2019-2020学年恩施州利川市九年级上期末数学模拟试卷(含解析)

湖北省恩施州利川市九年级（上）期末数学模拟试卷

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）

A．1B．C．D．

2．方程x2=4x的根是（）

A．x=4B．x=0C．x

1=0，x

2

=4D．x

1

=0，x

2

=﹣4

3．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1

4．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（）

A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）

5．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

6．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2=1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2=1B．2（x﹣2）2=5C．D．

7．用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）

A．y=（x+3）2+2B．y=（x﹣3）2﹣2C．y=（x﹣6）2﹣2D．y=（x﹣3）2+2

8．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=6，则S

阴影

等于（）

A．B．πC．D．2π

10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1．将△ABO绕O点旋转90°后得到△A

1B

1

O，则

点A

1

的坐标为（）

A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（1，﹣）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，﹣）或（﹣，1）

11．已知方程2x2﹣x﹣3=0的两根为x

1，x

2

，那么+=（）

A．﹣B．C．3D．﹣3

12．二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）

A．a=3±2B．﹣1≤a＜2

C．a=3或﹣≤a＜2D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．已知关于x的方程（m+2）x2+4mx+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是．14．若二次函数y=ax2+2ax﹣3的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是．

15．如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．

16．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，按照这样的规律摆下去，则第n个图形有颗黑色棋子（用含n的代数式表示）．

三．解答题（共8小题，满分72分）

17．已知抛物线y=a（x﹣h）2向右平移3个单位后，得到抛物线y=2（x+1）2，求a、h的值．18．用公式法解方程：x2﹣x﹣2=0．

19．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．20．如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD ⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）给k取一个负整数值，解这个方程．

22．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知CD=4，CA=6，

①求CB的长；

②求DF的长．

24．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

湖北省恩施州利川市九年级（上）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（ ） A ．1

B ．

C ．

D ．

【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．

【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面， 所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是， 故选：B ．

【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键． 2．方程x 2=4x 的根是（ ） A ．x=4

B ．x=0

C ．x 1=0，x 2=4

D ．x 1=0，x 2=﹣4

【分析】原式利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：x （x ﹣4）=0， 可得x=0或x ﹣4=0， 解得：x 1=0，x 2=4， 故选：C ．

【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

3．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ） A ．﹣3

B ．3

C ．﹣1

D ．1

【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 a=﹣2，b=﹣1． a+b=﹣2+（﹣1）=﹣3， 故选：A ．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出a ，b 的值是解题关键．

4．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y 轴的交点的坐标是（ ）

A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）

【分析】根据y轴上点的坐标特征，把x=0代入抛物线解析式计算出对应的函数值即可得到交点坐标．

【解答】解：把x=0代入y=2（x+1）2﹣2得y=2﹣2=0．

所以抛物线的顶点为（0，0），

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2=1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2=1B．2（x﹣2）2=5C．D．

【分析】将常数项移到方程的右边后，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．

【解答】解：∵2x2﹣4x=3，

∴x2﹣2x=，

则x2﹣2x+1=1+，即（x﹣1）2=，

故选：C．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

7．用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）

A．y=（x+3）2+2B．y=（x﹣3）2﹣2C．y=（x﹣6）2﹣2D．y=（x﹣3）2+2

【分析】由于二次项系数是1，利用配方法直接加上一次项系数一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式．

【解答】解：y=x2﹣6x+11，

=x2﹣6x+9+2，

=（x﹣3）2+2．

故选：D．

【点评】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x

1）（x﹣x

2

）．

8．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．

【解答】解：∵∠BOC=40°，

∴∠AOC=180°﹣40°=140°，

∴∠D=，

故选：B．

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．

9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=6，则S

阴影

等于（）

A．B．πC．D．2π

【分析】根据垂径定理求得CE=ED；然后由圆周角定理知∠AOD=60°，然后通过解直角三角形

求得线段AE、OE的长度；最后将相关线段的长度代入S

阴影=S

扇形OAD

﹣S

△OED

+S

△ACE

．

【解答】解：∵CD⊥AB，CD=6，

∴CE=DE=CD=3，

在Rt△ACE中，∠C=30°，

则AE=CEtan30°=，

在Rt△OED中，∠DOE=2∠C=60°，则OD==2，

∴OE=OA﹣AE=OD﹣AE=，

S

阴影=S

扇形OAD

﹣S

△OED

+S

△ACE

=．

故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算．求得阴影部分的面积时，采用了“分割法”，关键是求出相关线段的长度．

10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1．将△ABO绕O点旋转90°后得到△A

1B

1

O，则

点A

1

的坐标为（）

A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（1，﹣）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，﹣）或（﹣，1）

【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转90°和逆时针旋转90°后得到△A

1B 1 O

时点A

1

的坐标．

【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴∠AOB=30°，

当△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到△A

1B

1 O，

则易求A

1

（1，﹣）；

当△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A

1B

1 O，

则易求A

1

（﹣1，）．

故选：B．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．

11．已知方程2x2﹣x﹣3=0的两根为x

1，x

2

，那么+=（）

A．﹣B．C．3D．﹣3

【分析】根据根与系数的关系得到x

1+x

2

=，x

1

x

2

=﹣，再通分得到+=，然后利

用整体代入的方法计算．

【解答】解：根据题意得x

1+x

2

=，x

1

x

2

=﹣，

所以+===﹣．故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x

1，x

2

是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时：

x 1+x

2

=﹣，x

1

x

2

=．

12．二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（）

A．a=3±2B．﹣1≤a＜2

C．a=3或﹣≤a＜2D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣

【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，

即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，

当△=0时，

即（a﹣3）2﹣12=0

a=3±2

当a=3+2时，

此时x=﹣，不满足题意，

当a=3﹣2时，

此时x=，满足题意，

当△＞0时，

令y=x2+（a﹣3）x+3，

令x=1，y=a+1，

令x=2，y=2a+1

（a+1）（2a+1）≤0

解得：﹣1≤a≤，

当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；

当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意，

综上所述，a=3﹣2或﹣1≤a＜，

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案，本题属于中等题型．

二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）

13．已知关于x的方程（m+2）x2+4mx+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．

【解答】解：由题意得：m+2≠0，

解得：m≠﹣2，

故答案为：m≠﹣2．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

14．若二次函数y=ax2+2ax﹣3的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是（﹣4，0）．

【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x轴的另一个交点坐标．

【解答】解：二次函数y=ax2+2ax﹣3的对称轴为：

x=﹣=﹣1，

∵二次函数y=ax2+2ax﹣3的图象与x轴的一个交点为（2，0），

∴它与x轴的另一个交点坐标是（﹣4，0）．

故答案为（﹣4，0）．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．15．如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．

【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个的长，根据弧长公式可得结论．

【解答】解：由图1得：的长+的长=的长

∵半径OA=2cm，∠AOB=120°

则图2的周长为： =

故答案为：．

【点评】本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．16．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，按照这样的规律摆下去，则第n个图形有（6n﹣1）颗黑色棋子（用含n的代数式表示）．

【分析】由图形可知：第1个图形的黑色棋子的颗数为5=6×1﹣1，第2个图形的黑色棋子的颗数为11=6×2﹣1，第3个图形的黑色棋子的颗数为17=6×3﹣1，…由此得出第n个图形的黑色棋子的颗数为6n﹣1．

【解答】解：∵第1个图形的黑色棋子的颗数为5=6×1﹣1，

第2个图形的黑色棋子的颗数为11=6×2﹣1，

第3个图形的黑色棋子的颗数17=6×3﹣1，

…

∴第n个图形的黑色棋子的颗数为6n﹣1．

故答案为（6n﹣1）．

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现其图形的变化规律．三．解答题（共8小题，满分72分）

17．已知抛物线y=a（x﹣h）2向右平移3个单位后，得到抛物线y=2（x+1）2，求a、h的值．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律知抛物线y=a（x﹣h）2向右平移3个单位后得y=a（x﹣h﹣3）2，然后（x﹣h﹣3）2=2（x+1）2，解得a和h的值．

【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2向右平移3个单位，

∴得到的抛物线解析式y=a（x﹣h﹣3）2，

即a=2，

又x﹣h﹣3=x+1，

∴h=﹣4，

∴a=2，h=﹣4．

【点评】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．18．用公式法解方程：x2﹣x﹣2=0．

【分析】套用求根公式计算可得．

【解答】解：∵a=1、b=﹣1、c=﹣2，

∴△=1﹣4×1×（﹣2）=9＞0，

∴x==，

即x=﹣1或x=2．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键

19．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，

所以两人之中至少有一人直行的概率为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD ⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC与AD平行，由CD与AD 垂直，得到CD与OC垂直，即可得证；

（2）连接OF，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出∠OCB的度数，在直角三角形OCE 中，求出CE的长，利用角平分线性质得到CD=CE，即可求出CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵=，

∴∠DAC=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

则CD为圆O的切线；

（2）解：连接OF，过C作CE⊥AB，

∵==，

∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，

在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，

∴CE=2，

∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，

∴CD=CE=2．

【点评】此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）给k取一个负整数值，解这个方程．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，

解得k＞﹣3；

（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x

1=0，x

2

=2．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程无实数根．

22．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每

天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；

（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w 的值即可．

【解答】解：（1）y=300﹣10（x﹣44），

即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；

（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，

解得x

1=50，x

2

=64（舍去），

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）

=﹣10x2+1140x﹣29600

=﹣10（x﹣57）2+2890，

当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，

所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知CD=4，CA=6，

①求CB的长；

②求DF的长．

【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

（2）①在Rt△ABC中，根据cosC===，可得AC=6；

②作FH⊥AB于H，由BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，设FB=x，

则DF=FH=5﹣x，根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题；

【解答】（1）证明：连结AD，如图，

∵E是的中点，

∴==，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切线；

（2）①在Rt△ACB中，

∵cosC===，AC=6，

∴BC=9．

②作FH⊥AB于H，

∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，

∵cos∠BFH=cos∠C==，

∴=，

解得x=3，即BF的长为3，

∴DF=2

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．

24．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【分析】（1）先求得点C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣），最后，将点C的坐标代入求得a的值即可；

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．先求得AC的解析式，然后再求得BM的解析式，从而可求得点M的坐标，依据两点间的距离公式可求得MC=BM，最后，

依据等腰直角三角形的性质可得到∠ACB的度数；

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点E．依据题意可得到∠ECD＞45°，然后依据相似三角形的性质可得到∠CAO=∠ECD，则CE=AE，设点E的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a+1）2=32+a2，从而可得到点E的坐标，然后再求得CE的解析式，最后求得CE 与抛物线的交点坐标即可．

【解答】解：（1）当x=0，y=3，

∴C（0，3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．

将C（0，3）代入得：﹣ a=3，解得：a=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，

∴tan∠CAO=3．

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为﹣．

设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．

∴BM的解析式为y=﹣x+．

将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．

∴MC=BM═=．

∴△MCB为等腰直角三角形．

∴∠ACB=45°．

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，

∴∠ECD＞45°．

又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，

∴∠CAO=∠ECD．

∴CF=AF．

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．

∴F（4，0）．

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．

∴CF的解析式为y=﹣x+3．

将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．

将x=代入y=﹣x+3得：y=．

∴D（，）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间距离公式的应用、相似三角形的性质、等腰三角形的判定，依据相似三角形的性质、等腰三角形的判定定理得到AF=CF是解题的关键．