拐点问题
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4．探究题：已知：如图, , .求证： .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是.
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 ，然后在平行线间画了一点 ，连接 后，用鼠标拖动点 ，分别得到了图 ，小颖发现图 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 和 图中的与 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.
②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.（3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.
的平分线与 的平分线交于点 ．求证：______________．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择_______题．
A．在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则 的度数为_______．
B．如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足的数量关系为_______．
（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．
拐点问题
1．学习完平行线的性质与判定后，我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题.
(1)小明遇到了下面的问题:如尸图1，直线l1//l2，点P在l1、l2内部，试探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系。小明过点P作l1的平行线，可证∠A、∠APB、∠B之间的数量关系.请你写出小明具体的证明过程.
8．已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF.那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________.
（2）请你用（1）中的结论解答下面问题：
如图2，已知四边形ABCD，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
3．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
(2)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题:如图2，已知三角形ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
2．（1）我们知道“三角形三个内角的和为180°”．现在我们用平行线的性质来证明这个结论是正确的．
已知：∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角，如图1．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°证明：过点A作直线DE∥BC（请你把证明过程补充完整）
6．问题情境：如图， ∥ ， ， ，求 的度数.
小明的思路是过点 作 ∥ ，通过平行线的性质来求 .
（1）按照小明的思路，求 的度数；
（2）问题迁移：如图， ∥ ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两点之间运动时，问CAP
与 、 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 不在 、 两点之间运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接写出 与 、 之间的数量关系.
解：（1）如图1，过点 作 ，∴ ， .
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ， ， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2， ，求 的度数.
（3）方法运用：如图3， ，点 在 的右侧， ，点 在 的左侧， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间，求 的度数.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 中 与 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 ，直接写出 与 之间的数量关系：.
5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求 的度数.
天天同学看过图形后立即想出： ，请你补全他的推理过程.
7．问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE来自百度文库AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是.
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 ，然后在平行线间画了一点 ，连接 后，用鼠标拖动点 ，分别得到了图 ，小颖发现图 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 和 图中的与 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.
②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.（3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.
的平分线与 的平分线交于点 ．求证：______________．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择_______题．
A．在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则 的度数为_______．
B．如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足的数量关系为_______．
（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．
拐点问题
1．学习完平行线的性质与判定后，我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题.
(1)小明遇到了下面的问题:如尸图1，直线l1//l2，点P在l1、l2内部，试探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系。小明过点P作l1的平行线，可证∠A、∠APB、∠B之间的数量关系.请你写出小明具体的证明过程.
8．已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF.那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________.
（2）请你用（1）中的结论解答下面问题：
如图2，已知四边形ABCD，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
3．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
(2)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题:如图2，已知三角形ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
2．（1）我们知道“三角形三个内角的和为180°”．现在我们用平行线的性质来证明这个结论是正确的．
已知：∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角，如图1．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°证明：过点A作直线DE∥BC（请你把证明过程补充完整）
6．问题情境：如图， ∥ ， ， ，求 的度数.
小明的思路是过点 作 ∥ ，通过平行线的性质来求 .
（1）按照小明的思路，求 的度数；
（2）问题迁移：如图， ∥ ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两点之间运动时，问CAP
与 、 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 不在 、 两点之间运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接写出 与 、 之间的数量关系.
解：（1）如图1，过点 作 ，∴ ， .
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ， ， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2， ，求 的度数.
（3）方法运用：如图3， ，点 在 的右侧， ，点 在 的左侧， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间，求 的度数.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 中 与 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 ，直接写出 与 之间的数量关系：.
5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求 的度数.
天天同学看过图形后立即想出： ，请你补全他的推理过程.
7．问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE来自百度文库AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）