拐点问题
七年级下册数学拐点问题(一)
七年级下册数学拐点问题(一)七年级下册数学拐点问题简介本文将针对七年级下册数学中的拐点问题进行探讨和解释。
拐点是函数图像上的特殊点，也是函数曲线转向的地方。
了解拐点的概念和性质对于理解函数的变化趋势和图像形状非常重要。
相关问题1. 什么是拐点？•解释：拐点是函数图像上的特殊点，表示函数曲线在该点处的曲率发生变化。
在拐点上，函数的斜率由增加变为减小或由减小变为增加。
•举例：当函数图像从凹向上凹向下时，存在拐点。
2. 如何判断一个点是否为拐点？•解释：要判断一个点是否为拐点，需要通过二阶导数来确定。
•公式：拐点的判断条件为f’‘(x)=0且存在f’’’(x)。
3. 拐点的性质有哪些？•解释：拐点具有以下性质：–拐点的存在性：函数一定存在拐点，当且仅当函数图像由凹变凸或由凸变凹。
–拐点的个数：函数图像可能存在多个拐点，也可能没有拐点。
–拐点的位置：拐点通常位于函数图像的曲线变化最为剧烈的地方。
–拐点的切线：拐点处的切线方程在该点处为水平。
4. 如何找到拐点？•解释：要找到函数的拐点，需要进行以下步骤：–求函数的二阶导数f’’(x)。
–令f’’(x)=0，解方程求得拐点的横坐标。
–将拐点的横坐标代入原函数，求得拐点的纵坐标。
5. 如何利用拐点解决问题？•解释：利用拐点可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和图像形状，从而解决相关问题。
•举例：通过分析拐点的位置和性质，可以判断函数的增减性、极值点和凹凸区间等。
6. 拐点问题的应用场景有哪些？•解释：拐点问题在实际生活中有着广泛的应用，例如：–经济学中，用于分析市场需求和供应曲线的变化趋势。
–物理学中，用于研究物体运动的加速度变化和变速过程。
–工程学中，用于设计曲线道路和光学元件的形状。
总结通过本文的介绍，我们了解了七年级下册数学中的拐点问题。
拐点是函数图像上的特殊点，表示曲线的曲率变化。
了解拐点的概念和性质可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和图像形状。
同时，拐点问题在实际生活中有着广泛的应用。
拐点问题方法总结
拐点问题方法总结1. 引言拐点问题在数学和物理学中起到了重要的作用。
它用于描述函数在特定点处由上升变为下降（或由下降变为上升）的变化趋势。
拐点问题的解决可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将总结一些解决拐点问题的方法和技巧。
2. 寻找函数的拐点寻找函数的拐点可以通过以下步骤进行：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数的二阶导数。
二阶导数表示函数的斜率的变化率，它可以帮助我们确定函数的曲线是否存在拐点。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数的导数为零的点，即函数的驻点。
驻点是函数曲线上的点，对应着函数的极值或拐点。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们可以利用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
当二阶导数在某个点上由正变为负或由负变为正时，该点就是函数的拐点。
3. 示例让我们通过一个简单的例子来说明寻找函数的拐点的方法。
假设我们有一个函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2。
我们可以按照以下步骤来找到函数的拐点：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数 f(x) 的二阶导数。
对 f(x) 进行求导，得到f’’(x) = 6x - 8。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数 f(x) 的导数为零的点，即求解方程f’(x) = 0。
对 f(x) 进行求导，得到f’(x) = 3x^2 - 8x + 5。
解方程f’(x) = 0，我们可以得到 x = 1，x =5/3。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们使用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
将 x = 1 和 x = 5/3 分别代入二阶导数f’‘(x) = 6x - 8，我们可以得到f’‘(1) = -2 和f’’(5/3) = 2/3。
根据二阶导数的正负性，我们可以得出结论：函数 f(x) 在 x = 1 处由下降变为上升，是一个拐点；而在 x = 5/3 处由上升变为下降，也是一个拐点。
拐点问题结论总结
拐点问题结论总结概述拐点问题，也称为驻点、拐点、转折点等，是函数图像上的一个特殊点，其处的导数或二阶导数发生变化。
研究函数的拐点可以帮助我们了解函数图像的形状和性质，从而对函数做出更准确的描述和预测。
本文将对拐点问题进行总结和解释。
拐点定义和性质拐点是函数图像上导数或二阶导数发生变化的点。
具体地说，如果一个函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
同样地，如果一个函数的二阶导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点也是一个拐点。
拐点的性质如下：1.拐点处的函数可导，但并不一定连续可导。
2.拐点处的导数为零，但不意味着该点是极值点。
3.拐点可以导致函数图像从凹向上凸，或从凸向下凹。
4.拐点可以存在于函数的内部，也可以是函数的极值点。
拐点的判断方法判断一个函数是否存在拐点主要有以下几种方法：1.利用导数的增减性来判断。
如果函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
2.利用二阶导数的正负性来判断。
如果函数的二阶导数在某个点是正的，而在该点之后是负的，那么该点就是一个拐点。
3.利用函数图像的形状来判断。
如果函数的图像在某个点附近从凹向上凸，或从凸向下凹，那么该点有可能是一个拐点。
拐点问题的应用研究拐点问题可以有助于我们解决以下问题：1.函数的极值点问题。
拐点可以作为函数的极值点的一个候选。
2.函数图像的形状和性质。
了解函数的拐点可以帮助我们确定函数图像的凹凸性和转折点的位置。
3.函数的最优解问题。
拐点是函数曲线在某一方向上由凹转凸或由凸转凹的转折点，有时可以用来确定函数的最优解。
拐点问题的解决方法解决拐点问题的方法主要有以下几种：1.作出函数的导数图像。
通过观察导数的图像，可以判断函数是否存在拐点。
2.求导数的导数。
通过计算函数的二阶导数，可以直接判断函数的拐点。
3.求导数的关键点。
通过求导数为零的点，可以找到可能的拐点，然后使用其他方法来确认。
拐点练习题含详细答案
拐点练习题含详细答案拐点是数学中一个重要的概念，它标志着函数图像从凹向上凸，或者从凸向下凹的转折点。
对于函数而言，拐点处的导数发生变化，导致函数图像的凹凸性发生改变。
在这篇文章中，我们将讨论一些拐点练习题，并提供详细的解答。
题目1：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点。
解答1：首先，我们需要求出函数的导数。
对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求导得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后，我们需要找到导数f'(x)的根，因为函数的拐点发生在导数的根处。
我们可以利用因式分解或者配方法求得f'(x) = 0的解为x = 1和x = 3。
接下来，我们可以求得函数f(x)在x = 1和x = 3处的二阶导数。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求二阶导数得f''(x) = 6x - 12。
然后，我们将x = 1和x = 3代入f''(x)得到f''(1) = -6和f''(3) = 6。
最后，我们可以通过观察二阶导数的值来判断拐点的性质。
当二阶导数的值从正数变为负数时，函数图像从凸形状转为下凹形状，此时发生一个拐点。
类似地，当二阶导数的值从负数变为正数时，函数图像从下凹形状转为凸形状，也会发生一个拐点。
根据我们计算得到的二阶导数的值，我们可以确定函数f(x)在x = 1处有一个下凹的拐点，而在x = 3处有一个上凸的拐点。
题目2：给定函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求其拐点。
解答2：首先，我们需要求出函数g(x)的导数。
对于给定的函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求导得到g'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x - 64。
然后，我们需要找到导数g'(x)的根。
拐点典型例题
拐点典型例题拐点典型例题(创建与此标题相符的正文并拓展)拐点在数学中被定义为函数曲线上的一个点，其相邻部分的斜率发生突变或改变方向的点。
拐点是函数图像上的一个关键点，它可以提供重要的信息，例如函数的极值点、凸凹性等。
下面将介绍一些拐点的典型例题，以帮助读者更好地理解和应用拐点的概念。
例题1：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，找出其所有的拐点。
解析：为了找出函数的拐点，我们需要找到函数的二阶导数，并解方程f''(x) = 0。
首先计算函数f(x)的一阶导数和二阶导数。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2f''(x) = 6x - 6然后，我们将f''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1。
因此，x = 1是函数f(x)的一个拐点。
例题2：考虑函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2，找出其所有的拐点并判断其凹凸性。
解析：同样地，我们需要计算函数g(x)的一阶导数和二阶导数。
g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6xg''(x) = 12x^2 - 24x + 6将g''(x) = 0代入方程中，并解得x = 1/2。
因此，x = 1/2是函数g(x)的一个拐点。
为了判断拐点的凹凸性，我们可以通过观察g''(x)的符号变化。
当x < 1/2时，g''(x) > 0，说明函数g(x)是上凸的；当x > 1/2时，g''(x) < 0，说明函数g(x)是下凸的。
因此，拐点x = 1/2是一个由上凸到下凸的拐点。
这些例题展示了找出函数拐点的过程，并通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点的凹凸性。
理解和应用拐点的概念对于解决数学问题、优化函数以及分析曲线的性质都非常重要。
希望这些例题能够帮助读者更好地掌握拐点的概念和应用。
拐点练习册答案
拐点练习册答案问题一：某函数f(x)在点x=a处的导数为0，且在x=a处的二阶导数大于0，根据这些信息，我们可以推断出什么？答案：根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数为0意味着该点是函数的驻点。
而二阶导数大于0则表明函数在该点处是凹的。
结合这两个条件，我们可以推断出x=a是函数f(x)的一个局部最小值点，即拐点。
问题二：如果一个函数在某区间内是单调递增的，那么这个区间内是否存在拐点？答案：一个函数在某区间内单调递增，说明该区间内导数始终大于或等于0。
由于拐点的定义是函数在该点导数为0且二阶导数改变符号，所以在单调递增的区间内不存在拐点。
问题三：给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求该函数的拐点。
答案：首先计算一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1。
接着计算二阶导数：f''(x) = 6x - 6。
将x=1代入二阶导数，得到f''(1) = 0。
由于二阶导数在x=1处的符号没有改变，所以x=1不是拐点。
问题四：函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x。
令g'(x) = 0，解得x = 0, 1。
计算二阶导数：g''(x) = 12x^2 - 24x + 8。
将x=0代入二阶导数，得到g''(0) = 8 > 0，所以x=0是局部最小值点，但不是拐点。
将x=1代入二阶导数，得到g''(1) = 4 > 0，所以x=1是局部最小值点，且是拐点。
问题五：已知函数h(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：h'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 20x + 5。
拐点问题的公式
拐点问题的公式
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数
y=f(x)的拐点。
我们可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
（1）求f''(x)；
（2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不
存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点。
1、拐点：二阶导数为零,且三阶导不为零；拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
2、驻点：一阶导数为零。
驻点又称为平稳点、稳定点或临界点是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。
对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。
对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。
3、在驻点处的单调性可能改变,在拐点处单调性也可能发生改变,但凹凸性肯
定改变。
七年级下册数学拐点问题笔记
七年级下册数学拐点问题笔记
拐点问题是数学中的一个重要概念，它在图像的变化过程中表示图像一阶导数（斜率）的变化趋势。
1. 定义：对于函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(x)在a
点左、右两侧的斜率符号不同，那么a点就是函数f(x)的拐点。
2. 判断拐点的方法：
a. 求函数f(x)的一阶导数f'(x)；
b. 解拐点的方程f'(x) = 0，得到函数f(x)的可能拐点；
c. 求出拐点的二阶导数f''(x)；
d. 判断拐点的性质：
- f''(x) > 0，说明拐点是函数f(x)的极小值点，即函数图像
从凹向上变为凹向下；
- f''(x) < 0，说明拐点是函数f(x)的极大值点，即函数图像
从凹向下变为凹向上；
- f''(x) = 0，说明拐点处函数图像没有凹凸性的变化。
3. 求解拐点的示例：
a. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点：
- 求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；
- 解拐点的方程3x^2 - 6x + 2 = 0，得到x = 1和x = 2/3；
- 求得二阶导数f''(x) = 6x - 6；
- 因为f''(1) = 0，所以x = 1是拐点，根据f''(x)的符号，可
以判断拐点是极小值点。
4. 案例应用：拐点问题在物理、经济等领域中有广泛应用，能
够帮助我们分析问题的变化趋势。
以上是有关拐点问题的一些基本笔记，希望对你有所帮助。
拐点问题类型总结
拐点问题类型总结引言在数学和数据分析领域，拐点问题是指一个函数在某个点或区间内的导数或变化率发生突然变化的现象。
拐点问题具有重要的理论和实际应用价值，在经济学、统计学、金融学等领域经常会遇到。
本文将对拐点问题的常见类型进行总结，并介绍相应的解决方法。
1. 单个拐点问题单个拐点问题是指函数曲线上在某一点处出现导数发生突变的情况。
常见的解决方法有：1.1 导数法通过计算函数在拐点处的导数，判断导数的正负变化情况，即可确定拐点的位置。
具体步骤如下： 1. 对函数进行求导，得到导函数； 2. 找出导函数的零点，即找出导数为0的点； 3. 判断导函数在零点的两侧的正负变化情况，如果导函数在零点两侧的正负变化方向不同，则该点为拐点。
1.2 二阶导数法通过计算函数的二阶导数，判断二阶导数的正负变化情况，即可确定拐点的位置。
具体步骤如下： 1. 对函数进行两次求导，得到二阶导函数； 2. 找出二阶导函数的零点，即找出二阶导数为0的点； 3. 判断二阶导函数在零点的两侧的正负变化情况，如果二阶导函数在零点两侧的正负变化方向不同，则该点为拐点。
2. 多个拐点问题多个拐点问题是指函数曲线上出现多个导数发生突变的情况。
常见的解决方法有：2.1 导数符号表法通过绘制导数的符号表，即将函数的区间划分为若干段，然后针对每个区间计算导数的正负值，通过分析导数的符号变化情况，确定拐点的位置。
2.2 二阶导数符号表法通过绘制二阶导数的符号表，即将函数的区间划分为若干段，然后针对每个区间计算二阶导数的正负值，通过分析二阶导数的符号变化情况，确定拐点的位置。
2.3 零点法结合符号法通过计算函数及其导数的零点，并结合导数的符号变化情况，确定拐点的位置。
3. 拐点问题的实际应用举例拐点问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下为几个实际问题的案例：3.1 股票价格的拐点分析通过分析股票价格曲线的拐点，可以判断股票市场的变化趋势。
当股票价格曲线出现拐点时，意味着市场情况发生了较大的变化，投资者可以根据拐点来调整投资策略。
拐点问题初一压轴题
拐点问题初一压轴题拐点问题是初中数学中一个重要的知识点，也是学生们经常遇到的难题之一。
它在数学中有着广泛的应用，不仅仅是解题技巧，更是培养学生思维能力和解决实际问题的能力的一种方法。
下面我们就来详细了解一下拐点问题。
什么是拐点问题呢？拐点问题是指在一条曲线上，曲线的斜率发生突变的点，这个点就是拐点。
拐点可以是曲线的最高点或最低点，也可以是曲线上的一个变化点。
对于拐点问题，我们需要掌握一些基本的求解方法。
我们来看一道具体的拐点问题：已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求其拐点。
解题思路如下：第一步，求函数的一阶导数和二阶导数。
由于拐点是由斜率的突变引起的，所以我们需要求函数的一阶导数和二阶导数。
对于函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，我们可以分别求其一阶导数和二阶导数。
求一阶导数：y' = 3x^2 - 12x + 9然后，求二阶导数：y'' = 6x - 12第二步，求解拐点的横坐标。
由于拐点是由斜率的突变引起的，所以我们需要求解一阶导数等于0的横坐标，即求解方程3x^2 - 12x + 9 = 0。
我们可以使用求根公式来解这个方程：x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4*3*9)) / (2*3)x = (12 ± √(144 - 108)) / 6x = (12 ± √36) / 6x = (12 ± 6) / 6化简得：x1 = 3x2 = 1所以，函数的拐点的横坐标为3和1。
第三步，求解拐点的纵坐标。
我们将拐点的横坐标代入原函数中，即可求得拐点的纵坐标。
当x = 3时，y = 3^3 - 6*3^2 + 9*3 + 1 = 28当x = 1时，y = 1^3 - 6*1^2 + 9*1 + 1 = 5所以，函数的拐点的纵坐标分别为28和5。
函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的拐点分别为(3, 28)和(1, 5)。
初一拐点问题的解题技巧
初一拐点问题的解题技巧
拐点问题是在数学中常见的问题，特别是在函数和几何中。
在初一阶段，拐点问题通常涉及到一次函数、二次函数和反比例函数等。
拐点问题通常涉及到函数的增减性变化，因此要解决这类问题，首先需要理解函数的增减性。
对于一次函数，其一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
当 a > 0 时，函数是增函数；当 a < 0 时，函数是减函数。
对于二次函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
当 a > 0 时，函数的开口方向向上；当 a < 0 时，函数的开口方向向下。
对于反比例函数，其一般形式为 y = k/x，其中 k 是常数。
在第一象限和第三象限内，函数是减函数；在第二象限和第四象限内，函数是增函数。
在解决拐点问题时，通常需要找到函数的对称轴或对称中心，这可以通过观察函数的图像或利用公式来实现。
例如，对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程是 x = -b/2a。
此外，还需要注意函数的定义域和值域，以及函数的增减性变化。
例如，对于反比例函数 y = k/x，当 k > 0 时，函数的图像在第一象限和第三象限内；当 k < 0 时，函数的图像在第二象限和第四象限内。
综上所述，解决初一拐点问题需要理解函数的增减性、对称性和定义域等基本概念，并能够灵活运用这些概念来分析问题。
同时，还需要多做练习题来提高自己的解题能力。
七年级下册数学拐点问题
七年级下册数学拐点问题在七年级下册数学的学习中，拐点问题无疑是一个重要的知识点。
它涉及到函数的变化趋势，是解决许多实际问题的关键。
本文将通过实例，深入探讨拐点问题的概念、特征和应用。
一、拐点问题的概念拐点，在数学中是指函数图像上的一个转折点，在此点函数值失去增减性，即由单调性发生改变。
在七年级下册数学中，拐点问题主要涉及一次函数、二次函数等常见函数的拐点。
二、拐点的特征拐点的存在往往标志着函数由单调性转变为另一种趋势，因此拐点具有以下特征：1. 二阶导数：在拐点处一阶导数发生变化，而二阶导数在该点两侧的符号相反。
这是判断拐点的重要依据。
2. 函数图象：拐点处的切线与函数图象相交，形成图象的转折。
三、拐点的应用拐点问题在生活中的应用非常广泛，例如工程设计、经济预测等领域。
以下列举几个实例：1. 速度变化：在运动学中，速度的变化往往遵循一次函数或二次函数，拐点处常常是速度发生改变的时刻。
2. 投资收益：在经济学中，投资收益函数通常用二次函数表示，拐点处表示收益变化的转折点。
3. 工程设计：在机械设计中，拐点的存在可以指导我们选择合适的材料和设计，以达到最佳的性能。
四、如何求解拐点问题求解拐点问题需要掌握一次函数、二次函数的性质和导数概念。
具体步骤如下：1. 确定函数类型：根据函数表达式，判断是初等函数还是其他类型。
2. 求导数：在拐点处求导数的值，根据导数符号可以判断函数的单调性。
3. 验证：将拐点的二阶导数值与前后的符号进行比较，以验证拐点的正确性。
五、总结通过以上分析，我们可以看到拐点问题在七年级下册数学中的重要性和实用性。
掌握拐点的概念、特征和求解方法，不仅有助于我们理解函数的变化趋势，还能解决许多实际问题。
在学习过程中，我们要注重理解概念，掌握基本方法，并不断通过练习巩固知识。
最后，我们要认识到，虽然拐点问题在七年级下册数学中占据重要地位，但它是整个数学体系中的一部分。
平行线中的拐点问题
A
B
P
例2、已知AB∥DE，试问∠B.∠E、
C
∠BCE有什么关系。
A
解: 过点C作CF∥AB，
C
则_∠_B_=_∠__1_ （ 两直线平行, 内错角相等 ）
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
∴_C_F_∥__D_E____（ 平行于同一直线的两条直线互相平行 ）
∴∠E＝∠__2__（ 两直线平行, 内错角相等） ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠BCE．
D
B
1
F
2
E
5
知识点二: ‘凹’进去的模型
学以致用
1.如图，AB∥CD，∠A=65°－ α ，∠P=80°+α，
∠C=60°－α，则α= 15°。
A
B
P
C
D
6
知识点二: ‘凹’进去的模型
学以致用
2.如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 25°。
果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1=
16。5º
M
1
a
P
2 3
b
N
3
知识点一: ‘凸’出来的模型
学以致用
2.如图，AB//CD,FG⊥CD于N，若∠EMB=α,则∠EFG=( )。
B A
A.180°－α B.90°＋α
C.180°＋α D.270°－α C
∟
E Mα B
F
D N
G
4
知识点二: ‘凹’进去的模型
=(180°－∠C)－(180°－
∠A)=∠A－∠C
B D
F
8
知识点三: “猪手图”模型
拐点问题简答练习题整理
拐点问题简答练习题整理拐点问题是数学中的一个常见概念，涉及到函数的变化趋势。
在解答拐点问题时，我们需要考虑函数的单调性和导数的变化。
下面我将列举一些拐点问题的简答练习题，帮助大家更好地理解和掌握这个概念。
题目一：求函数f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x的拐点及拐点处的函数值。
解析：首先，我们需要求出函数的导数。
根据函数导数的定义，f'(x) = 3x^2 + 6x - 9。
接下来，我们需要找出导数的零点，即求解方程3x^2 + 6x - 9 = 0。
解得x = 1，x = -3/2。
然后，我们再求出这两个零点对应的函数值，即求解f(1)和f(-3/2)。
最终，我们得到拐点的坐标为(1, -5)和(-3/2, -27/8)。
题目二：已知函数f(x)在区间(-∞, 0)上是凹函数，在区间(0, +∞)上是凸函数，求函数f(x)的解析式。
解析：根据题目中的条件，在拐点处导数的一阶和二阶导数的符号改变。
首先，我们需要求出函数的二阶导数。
记f''(x) = d^2f(x)/dx^2，根据已知条件，当x < 0时，f''(x) < 0；当x > 0时，f''(x) > 0。
根据二阶导数的定义，我们可以得到f''(x) = 2。
接下来，我们需要求出函数的一阶导数。
记f'(x) = df(x)/dx，根据一阶导数的定义，我们有f'(x) =∫f''(x)dx = ∫2dx = 2x + C。
由于题目中给出的区间为(-∞, 0)和(0, +∞)，因此我们需要拆分成两部分进行积分。
对于x < 0，我们有f(x) = ∫(2x + C)dx = x^2 + Cx + D1；对于x > 0，我们有f(x) = x^2 + Cx + D2。
根据已知条件，f(x)在x = 0处连续，因此D1 = D2 = 0。
七年级下册数学拐点问题笔记
七年级下册数学拐点问题笔记
拐点是一个函数图像中变化方向的点，也就是函数曲线从上升趋势转为下降趋势，或者从下降趋势转为上升趋势的点。
确定一个函数图像是否有拐点，可以通过分析函数的导数的变化来判断。
函数的导数可以表示函数在某一点的变化率，当函数的导数发生突变时，即函数的增长速率发生改变，就可能出现拐点。
根据函数导数的变化情况，可以分为以下几种情况：
1. 函数递增而且导数一直大于零，表示函数没有拐点；
2. 函数递减而且导数一直小于零，表示函数没有拐点；
3. 函数递增而且导数先大于零后小于零，表示函数有一个或多个上拐点；
4. 函数递减而且导数先小于零后大于零，表示函数有一个或多个下拐点。
寻找函数的拐点可以通过求函数的导数，然后根据导数的符号来判断拐点的存在和位置。
求解拐点的具体步骤如下：
1. 求函数的导数；
2. 求导函数的导数；
3. 解方程求解导函数的零点，即求导数等于零的点；
4. 判断导数的符号变化来确定拐点的存在和位置。
需要注意的是，拐点只是表示函数的变化趋势发生改变，它不一定代表函数的最大值或最小值。
函数的最值需要通过其他方法进行求解。
七年级上册数学拐点问题
七年级上册数学拐点问题在七年级数学上册中，拐点问题是一个比较重要且常见的数学概念。
在学习数学的过程中，理解拐点问题可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
本文将介绍关于七年级上册数学中拐点问题的相关内容。
首先，我们需要了解什么是拐点。
在数学中，拐点是函数图像上的一个点，该点的导数存在但不连续。
换句话说，拐点是函数曲线由凹向上凸或由凸向上凹的点。
拐点的存在可以帮助我们分析函数的变化趋势和性质。
在七年级上册数学中，学生通常会学习关于一元二次函数的拐点问题。
一元二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
要确定一元二次函数的拐点，我们需要找到函数的二阶导数，即对函数的一次导数再次求导。
通过求解二阶导数的零点，我们可以找到函数的拐点。
当二阶导数大于0时，函数的拐点是函数图像上的一个极小值点；当二阶导数小于0时，函数的拐点是函数图像上的一个极大值点。
通过求解拐点，我们可以更准确地描述函数的曲线特征和性质。
除了一元二次函数，学生还可能学习其他类型函数的拐点问题，如三次函数、指数函数等。
在求解拐点问题时，关键是理解导数的概念和应用，以及如何通过导数的符号来判断拐点的性质。
数学中的拐点问题不仅有助于提高学生的数学思维能力，还可以帮助他们更好地理解函数的性质和图像。
在解题过程中，学生需要掌握一些基本的数学技巧，如导数的求解方法、函数的性质和图像的分析等。
通过练习大量的拐点问题，学生可以提高自己的数学能力和解题技巧，为学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
总的来说，七年级上册数学中的拐点问题是一个重要的数学概念，对学生的数学学习和思维能力有一定的促进作用。
通过学习拐点问题，学生可以更深入地理解函数的性质和图像，提高自己的数学解题能力。
希望学生能够认真学习拐点问题，不断提升自己的数学水平，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
七年级下册拐点问题十道
七年级下册拐点问题十道1. 一个物体以常速度匀速直线运动，在t=0时刻开始加速，加速度恒定为2 m/s^2，直到t=5 s时停止加速，之后以匀速运动。
求物体在t=9 s时刻的位移。
2. 一辆汽车在直路上匀速行驶，行驶速度为20 m/s。
在t=0时刻，司机突然刹车，导致汽车减速，减速度为4 m/s^2。
求汽车在t=5 s时刻的位移。
3. 一个自由落体物体从静止开始下落，下落过程中突然受到空气阻力，导致加速度降低为原来的一半。
求物体下落3秒后的速度。
4. 一个弹簧球在垂直方向上弹跳，每次弹跳高度为原来的一半。
已知初始高度为1 m，求第四次弹跳后球的高度。
5. 一颗火箭以恒定加速度起飞，加速度为10 m/s^2。
已知起飞后3秒钟，火箭的速度为100 m/s。
求火箭起飞后的位移。
6. 一连环坠落的物体从高度为10 m的地方自由下落，每经过1秒钟，它在竖直方向上的速度减少2 m/s。
求物体坠落到地面所需的时间。
7. 一个小车在直路上以20 m/s^2的加速度匀加速行驶，行驶了4秒后，司机突然刹车导致小车减速，减速度为5 m/s^2。
求刹车后小车行驶的时间和位移。
8. 一个自行车手开始以恒定速度骑行，速度为4 m/s。
经过t秒后，他开始刹车，减速度为2 m/s^2。
求自行车手刹车前行驶的时间和位移。
9. 一个物体以10 m/s的初速度向前运动，经过t秒后突然反向运动，速度变为5 m/s。
求物体运动了多长时间后才停下来。
10. 一个物体以10 m/s的初速度向前运动，在t=5 s时刻突然反向运动，速度变为-8 m/s。
求物体反向运动的时间和位移。
七年级下册拐点问题十道
七年级下册拐点问题十道题目一：生活中的拐点生活中的拐点是指人们生活中发生的某些关键事件或重要决策所带来的转变点。
以下为我认为的七年级下册十个拐点问题。
问题一：从小学到初中，你的生活有什么变化？小学生活和初中生活相比，存在着许多明显的拐点。
小学时充满了童真和无忧无虑的时光，而初中开始更加注重学业和责任感。
学习科目增多、作业量增加，同时也需要更多的自我管理和自我约束。
问题二：你迎来了十几岁，你的世界变了吗？随着年龄的增长，十几岁的年龄段是人生中的一个重要拐点。
人们开始对世界有更多的认知和思考，对自我和他人的要求也越来越高。
此时，人们可能会更加关注自己的兴趣和志向，未来的规划也开始逐渐清晰起来。
问题三：你遇到了一位特别热情的老师，对你的影响大吗？优秀的老师能够给学生带来很大的影响。
当我们遇到一位特别热情的老师时，他们可能会激发我们学习的热情，给予我们更多的关注和鼓励，从而影响我们的学习态度和成绩。
问题四：你曾经经历过一次失败，但是成功了吗？失败是生活中难以避免的一部分。
当我们经历一次失败时，失败本身可能让我们感到沮丧和失望，但重要的是我们从失败中学到了什么，并且坚持努力最终取得成功。
问题五：你是否曾经担心自己的变化被周围的人所接受？在成长的过程中，我们经历了许多身体和心理上的变化。
有时候，这些变化可能会让我们感到困惑和担忧，担心周围的人是否能够接受我们的变化。
然而，重要的是我们能够接受自己，并相信自己的独特之处。
问题六：你经历过一次选择和决策的犹豫吗？在生活中，我们经常需要做出选择和决策。
有时候，我们可能会面临犹豫不决的情况，担心自己做出的选择是否正确。
然而，无论我们做出什么样的选择，重要的是要有勇气和信心去面对并承担后果。
问题七：你能跨越自己的舒适区吗？舒适区指的是人们所熟悉和感到安全的范围。
在成长过程中，我们需要不断挑战自己，跨越舒适区去尝试新的事物和面对各种挑战。
只有这样，我们才能够不断成长和进步。
高中数学拐点解题技巧
高中数学拐点解题技巧在高中数学学习过程中，拐点题是一类常见而又具有一定难度的题型。
掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将通过具体的例子来说明拐点题的考点和解题方法，并给出一些指导性建议，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类题目。
一、一元二次函数的拐点问题一元二次函数是高中数学中的重点内容，而拐点问题是其中的一个难点。
考虑以下例题：例题1：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0。
若函数的图象在点 (1, 2) 处有一个拐点，求 a、b、c 的值。
解析：拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，即函数的二阶导数为零的点。
因此，我们需要求出函数的二阶导数，并根据给定的条件解方程。
首先，求出函数 f(x) 的一阶导数和二阶导数：f'(x) = 2ax + bf''(x) = 2a由题目可知，在点 (1, 2) 处有一个拐点，即 f''(1) = 0。
代入得到：2a = 0a = 0由于a > 0，所以a 不能为零。
因此，我们得出结论：不存在满足条件的a、b、c 的值，该题无解。
通过这个例题，我们可以看出拐点问题的考点是函数的二阶导数为零的点，解题方法是通过求导并代入给定条件解方程。
在解题过程中，要注意排除无解的情况，即使得 a > 0 的条件。
二、三角函数的拐点问题除了一元二次函数，三角函数也是高中数学中常见的拐点题考点。
考虑以下例题：例题2：已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求 f(x) 的拐点。
解析：拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，即函数的二阶导数为零的点。
因此，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数，并解方程 f''(x) = 0。
首先，求出函数 f(x) 的一阶导数和二阶导数：f'(x) = cos(x) - sin(x)f''(x) = -sin(x) - cos(x)解方程 f''(x) = 0，得到：-sin(x) - cos(x) = 0sin(x) + cos(x) = 0由于 sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，因此我们可以通过观察解的形式来得到答案。
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小明的思路是过点 作 ∥ ，通过平行线的性质来求 .
（1）按照小明的思路，求 的度数；
（2）问题迁移：如图， ∥ ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两点之间运动时，问CAP
与 、 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 不在 、 两点之间运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接写出 与 、 之间的数量关系.
解：（1）如图1，过点 作 ，∴ ， .
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ， ， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2， ，求 的度数.
（3）方法运用：如图3， ，点 在 的右侧， ，点 在 的左侧， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直线交于点 ，点 在 与 两条平行线之间，求 的度数.
（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
（ⅰ）猜想图 中 与 之间的数量关系并加以证明；
（ⅱ）补全图 ，直接写出 与 之间的数量关系：.
5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求 的度数.
天天同学看过图形后立即想出： ，请你补全他的推理过程.
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．
(2)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题:如图2，已知三角形ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
2．（1）我们知道“三角形三个内角的和为180°”．现在我们用平行线的性质来证明这个结论是正确的．
已知：∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角，如图1．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°证明：过点A作直线DE∥BC（请你把证明过程补充完整）
7．问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）
（2）请你用（1）中的结论解答下面问题：
如图2，已知四边形ABCD，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
3．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
8．已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF.那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________.
4．探究题：已知：如图, , .求证： .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变形，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是.
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 ，然后在平行线间画了一点 ，连接 后，用鼠标拖动点 ，分别得到了图 ，小颖发现图 正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图 和 图中的与 之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
拐点问题
1．学习完平行线的性质与判定后，我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题.
(1)小明遇到了下面的问题:如尸图1，直线l1//l2，点P在l1、l2内部，试探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系。小明过点P作l1的平行线，可证∠A、∠APB、∠B之间的数量关系.请你写出小明具体的证明过程.
的平分线与 的平分线交于点 ．求证：______________．
（1）请补充要求择_______题．
A．在图1的基础上，分别作 的平分线与 的平分线交于点 ，得到图2，则 的度数为_______．
B．如图3， ，直线 分别交 ， 于点 ， ．点 在直线 ， 之间，且在直线 右侧， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 与 满足的数量关系为_______．
请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.
②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：.（3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.