23.2中心对称

观 察
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°,你有什么发现? (2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?
O
B （2） C
重合
重合
归纳定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这个点对称或中心对称，这个点就叫做 对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中
C
O B’
B
A’
A
C’
这是找对称中心的的方法
A
D Ｃ
Ｂ
把一个图形绕着某一个点旋转 180°， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点 叫做它的对称中心。
想一想
下面哪些图形是中心对称图形? o
想一想
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有 区别的概念
区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系 中心对称图形指一个图形本身成中心对称 联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体, 则它们是中心对称图形
（3）
旋转图形（2） 旋转图形（4）
（4）
旋转图形（1） 旋转图形（3）
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都是中心对称图形 其中心就是对称中心
下列图形中哪些是中心对称图形？
①
②
③
④
下面图案是中心对称图形吗？若是请指出它们的对称中心，。
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
它是轴对称图形吗？
它是中心对称图形吗？
注意
B
2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯 形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形 ①②③④⑥⑦⑧⑨ 和⑨圆中，是轴对称图形的有 ______________,是 中心对称图形的有①⑤⑥⑦⑧⑨ ____________, 既是轴对称图形 又是中心对称图形的有____________. ①⑥⑦⑧⑨
如果将中心对称图形,把对称的部分看 成两个图形,则它们是关于中心对称。
名称
中心对称
中心对称图形 如果一个图形绕着一个点旋 转180后的图形能够与原来 的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点 就是它的对称中心
把一个图形绕着某一个点旋转180,如果 他能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这点对称，这个点叫做对 定义 称中心,两个图形关于点对称也称中心对 称，这两个图形中的对应点叫做关于中 心的对称点 ①两个图形完全重合； 性质 ②对应点连线都经过对称中心，并且被 对称中心平分 区别
轴对称图形与中心对称图形的比较
对 图 称
轴对称图形
性
中心对称图形
图形 对称中心
形
图形
对称轴条数
线段 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩行 菱行 正方形
轴对称图形与中心对称图形的比较
对 图 称
轴对称图形
性
中心对称图形
图形 对称中心
形
图形
对称轴条数
线段 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
A F O D E B C
OA__OB
OC__OD
现在你能很快地找到点E的 对应点F吗？ 观察一对对应点与其对称中心 有何位置和数量关系？
风车
结论：①中心对称图形的每一对对称点连线经 过对称中心，且被对称中心平分；②每一对对 称线段平行（或在同一直线上）且相等.
下列图形是中心对称图形吗？
（1）
（2）
判别两个图形关于某一点成中心对称的方法
方法1（定义）：将其中一个图形绕 某一点旋转180度，如果能够与另一个完 全重合，那么它们关于这一点中心对称。
方法2（判定定理）：如果两个图 形的对应点连成的线段都经过某一点,并 且都被该点平分,那么这两个图形一定关 于这一点成中心对称.
1.如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称， 求出它们的对称中心O。
同理：O =O ∴O =O ∵直线a⊥b， ∴ ∠AO
b
∴ ∠2+ ∠3=90°， A
O
1 2
4 3
= ∠1+ ∠2 +∠3+ ∠4=180 ° 三点共线， 关于点O对称.
A'
∴A、O、 ∴点A与
猜一猜
魔术师把5张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某两张牌旋 转180°。
魔术师解除蒙具后，看到扑克牌如下图:
————-
①两个图形的关系 ②对称点在两个图形上
①具有某种性质的一个图形 ②对称点在一个图形上
若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称， 联系 若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。
轴对称图形与中心对称图形： 轴对称图形 中心对称图形
有一条对称轴—直线 有一个对称中心—点 图形沿轴对折 图形绕这个点旋转180O 对折部分与另一部分 旋转后与原图形重合 重合
O
证明：∵O是□ABCD的对称中心 E EF、GH经过点O ∴E、F和G、H分别关于点O对称 B ∴EH∥GF = ∴四边形EGFH是平行四边形 ∵EF⊥GH ∴四边形EGFH是菱形
2条 1条 1条 3条
中点
对角线交点
2条 2条 4条
对角线交点 对角线交点 对角线交点
(1)正三角形是中心对称图形吗？
(2)正五边形是中心对称图形吗？
(3)正六边形是中心对称图形吗？ (4)除了平行四边形，你还能找到哪些多边形 是中心对称图形？
结论：中心对称的多边形很多，如边数为偶数 的正多边形都是中心对称图形。
O
等边三角形不是中心对称图形！
1.下列图形哪些是中心对称图形
图3 图1
图2

1.在下列图形中，是中心对称图形的是
（ C）
2.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形 的个数是( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4、 ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称 图形的是（ C ） A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形 ⑶ 下列多边形中，是中心对称图形而不 是轴对称图形的是（ A ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 ⑷ 已知：下列命题中真命题的个数是（ B ） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A 0 B 1 C 2 D 3
想一想
答：点A与 连结OA、O
如图，直线a⊥b，垂足为O，点A与点 A′关于直线a对称，点A′与点A″关于直线b对称，点 A与点A″有怎样的对称关系？你能说明理由吗？
关于点O对称. 理由如下：
A′ 、 O
A″ 、 、A
A′
a
A''
∵点A与A′关于直线a对称，点O在直线a上， ∴OA=O ，∠1= ∠2， ，∠3= ∠4， ，
E
练 习
3.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称， 求出它们的对称中心O．
C A′ B A B′
C′
练 习
解法一：根据观察，B、B′应是对应点，连结 BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O 即为所求（如图）
C O B A C′ B′
A′
练 习
解法二：根据观察，B、B′及C、C ′应分别是两组 对应点，连结BB′ 、CC′ ，它们相交于点O，则点O 即为所求（如图）．
魔术师很快确定了哪两张牌被旋转过，你知道是哪两张吗？
【例1】 （1）在左图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中， ①与② 关于y轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标 原点O对称的两个三角形的编号为 ①与③ ； （2）在右图中，画出与△ ABC关于x轴对称的△A1B1C1 y
5 4 y 5 4
☆典例分析
练 习
1. 如图，已知等边△ABC和点O，画 △A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成 中心对称．
A C′ O B A′ C
B′
练 习
2.画一个与已知四边形ABCD成中心对称的图形． （1）以顶点A为对称中心； （2）以BC边的中点为对称中心．
N F A B B
G
D
C
A
．
O C D
M
②
3 2 1
①
C1
B1
3 2
1
1 2 3 4 5 x
A1
-5
-4
-3
-2
-1 O -1 -2 -3 -4 -5
-5 -4 -3 -2
-1 O -1
-2
1
2
A
3
4
5
x
③
④
-3
-4
B
C
-5
☆典例分析
【例 2 】如图所示，如果 l 是四边形 ABCD 的对称轴， 如果AD∥BC，有下列结论： (1) AB=BC(2)AB∥CD(3)AB⊥BC(4)AO=OC 其 中 正 确的结论是 (1)、(2)、(4) .(把你认为正确的结论的序号 都填上)
O
如图，四边形ABCD关于点O是中心对称图形， 求证：四边形ABCD是平行四边形 A D 证明： 连结AC、BD C ∵四边形ABCD关于点O是中心对称图形 ∴点O在AC和BD上，且OA=OC，OB=OD B · O
∴四边形ABCD是平行四边形
如图：过□ABCD的对角线交点O作两条互相垂 直的直线分别交□ABCD各边于点E、F、G、H， 求证：四边形EFGH是菱形 G D A
C
O B′
B
A′
A
C′
一.知识回顾 1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一 点旋转1800,如果它能与另一个图形重合, 就说这两个图形关于这个点成中心对称. 2. 中心对称的性质: ⑴关于中心对称的两个图形是全等图形 ⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都 经过对称中心且被对称中心平分