信号与系统4.5

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第六章信号与系统的时域和频域特性

x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d

2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ）至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()

j
——时域积分特性

cos 0t

1 [e j0t 2

e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)

0 0 0

例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：

信号与系统第四章课后习题答案

其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «

《信号与线性系统分析》第四章

三、正交函数集
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
那么此函数集称为正交函数集
2021/9/18
21
在〔t1,t2〕区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的线性组合近似
那么称正交。
t2 t1
f1(t)f2(t)d
t0
正交的条件：
2021/9/18
17
例： f(t)11
(0t) (t2)
试用sint 在区间〔0，2 π〕来近似 f(t)。
2021/9/18
f(t)
c12
1 0
1
2
t
18
2
解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
权积分表示〞 ——傅里叶的第二个主要论点
2021/9/18
9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换自变量为z
zesT e(j )T
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10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量正交函数正交函数集用完备正交集表示信号
s t0T t0
in1 (ts)in (m1t)td T 2
0
mn mn
tt00Tco(nsω1t)co(m sω1t)d t T 0 2
mn mn

信号与系统精品课件习题解答4.5

信号与系统
§4.5 系统的因果性
ห้องสมุดไป่ตู้
一、系统的因果性
因果性 • 对于一般系统而言，响应不能早于激励出现。 • 对于线性时不变系统而言，则进一步得到
h(t)=h(t)u(t) • 从频域的角度，观察H(ω)。
二、佩利－维纳准则
佩利－维纳准则佩利（Paley ）和维纳（Wiener ）证明了，对于幅频特性| H(ω) |，系统物理可实现的必要条件是
若在某一频段 | H(ω) | =0，则有|Ln| H(ω) ||→∞ ，不满足佩利－维纳准则。
• 理想低通滤波器、理想高通滤波器、理想带通滤波器和理想带阻滤波器都是物理不可实现的系统。
三、希尔伯特变换
基于时域判断系统因果性的充分且必要条件，通过将其转换到频域，从的角度得到充分且必要条件——希尔伯特变换。
对h(t)=h(t)u(t)两端进行傅里叶变换，并应用傅里叶变换时域卷积特性，得到
H 1 H [π 1 ]
2π
j
H() R() jX
R( )
jX
1 2π
R
jX
] [π
1
j
1 [πR X 1 ] j [πX R 1 ]
2π
2π
三、希尔伯特变换
R
ln H ( )
1 2 d
并且 | H(ω) |必须平方可积，即
H ( ) 2 d
二、佩利－维纳准则
• 佩利－维纳准则只考虑了系统频响的幅频特性，没有考虑相频特性；是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
• 对于物理可实现系统， | H(ω) |可以在某些不连续的频率点上为零，但不能在一个有限频带内为零。
jX
1 2

《信号与系统》第四章

图两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt

信号与系统(第四版)第四章课后答案

第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0

1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2

1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
■
1
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2：单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3：单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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0
2
4
t
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信号与系统电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1

j
j
F (s)est ds

《信与系统》教与学

4.14
利用能量等式
f
2 (t )dt
1 2
2
F ( j) d ，计算
sin t
2t
2
dt
。
【解题方法：】先利用门函数常用对和对称性求出 sin(2t) 的傅里叶变换， t
4.11 如下图所示信号， f1 (t ) 的傅立叶变换 F1 ( j ) 已知，求信号 f 2 (t ) 的傅立叶变换 F2 ( j ) 。
解：
f2 (t ) f1 (t t0 ) f1(t t0 ) f1(t ) F1( j)
f1(t t0 ) F1( j)e jt0
9
《信号与系统》教与学第四章答案
解： T1
2
2(s )
T2
2 2
(s)
故该信号为非周期信号。
（2）
cos(
t)
sin(
t)
2
4
T1 T2
2
为无理数，
解： cos
2
t
,
2
4
(s)，
sin
4
t
,
2
8
(s)，
2
4
8 (s)。
4.2 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。
【解题方法：】首先根据函数的奇偶特性判断信号的傅立叶级数中包含的正、余弦分量；再根据函数的谐波特性判断信号的傅立叶级数中包含的奇谐分量、偶谐分量。
df (t) ( j ) F ( j ) dt
jt
df (t) dt
d( j) F(
d
j)
jF
(j)
j
dF ( j ) d
4t
df (t dt

信号与系统课件(郑君里版)第四章

2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0

f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds

2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt

双边拉氏变换
4
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)

f
(t )e t

1
2

F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)

p
f (t) F(s)
d f (t) dt

sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d

s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使求解过程简化。

信号与线性系统题解阎鸿森第四章

信号与线性系统题解阎鸿森第四章习题答案4.1 由于复指数函数是LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI 系统分析中具有重要价值。

在正文已经指出：尽管某些LTI 系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI 系统特征函数的信号。

在本题中，我们将验证这一结论。

(a) 对单位冲激响应()()h t t δ=的LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。

(b) 如果一个LTI 系统的单位冲激响应为()()h t t T δ=-，找出一个信号，该信号不具有ste 的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。

再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。

提示：可以找出满足这些要求的冲激串。

(d) 对冲激响应为()()h t u t =的LTI 系统，假如()t φ是它的特征函数，其特征值为λ，确定()t φ应满足的微分方程，并解出()t φ。

此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。

解：(a)()()h t t δ=的LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。

(b)()()h t t T δ=-，∴()()x t x t T →-。

如果()x t 是系统的特征函数，且特征值为1，则应有()()x t x t T =-。

满足这一要求的冲激序列为()()k x t t kT δ∞=-∞=-∑。

若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得：1()()()2kk x t t kT δ∞=-∞=-∑，特征值为1/2。

()2()kk x t t kT δ∞=-∞=-∑，特征值为2。

(c) 1cos ()2j tj t t e e ΩΩ-Ω=+ ()()1()()()()211()()22j t j t j t j j t j y t h t x t h e e d e h e d e h e d ττττττττττ∞Ω--Ω--∞∞∞Ω-Ω-ΩΩ-∞-∞⎡⎤=*=⨯+⎣⎦=+⎰⎰⎰()h t为实、偶函数∴()()j jh e d h e dττττττ∞∞Ω-Ω-∞-∞=⎰⎰∴1()()()cos()2j t j t jy t e e h e d t H jτττ∞Ω-Ω-Ω-∞=+=ΩΩ⎰同理可证sin tΩ。

§4.05 连续时间LTI系统的系统函数

信号与系统
四．零极点与系统时域响应的关系
1. 系统零极点的概念
对系统函数分子分母多项式进行因式分解得
H (s) K (s z1)(s z2 )L (s zm ) (s p1)(s p2 )L (s pn )m(s zj) NhomakorabeaK
j 1 n
(s pk )
k 1
信号与系统
二．系统函数的求解
例：电路如图，响应分别为 uC (t), iL (t) ，求对应的系统函数
H1(s)

UC (s) X (s)
,
H2
s

IL (s) X (s)
解：直接由分压、分流公式可以得到
R1 1 R2 1
+
xt

C
+
uC
t

iL t
- 1F -
L 1H
r 1
k 1
令
j zr Nre jr
j pk M k e jk
有
m
( j zr )
m
N re jr
H () K
r1 n
K
r 1 n
( j pk )
M k e jk
k 1
k 1
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
所以幅频特性为
d2 y(t) dt 2

6
dy(t) dt

5
y(t)

3
dx(t) dt
11x(t)
解：直接写出系统函数为
H
(s)

3s s2
11 6s
5

(s
3s 11 1)(s

《信号与系统》课程教学大纲——工程认证全文

精选全文完整版（可编辑修改）《信号与系统》课程教学大纲课程名称：信号与系统课程代码：TELE1006英文名称：Signal and Linear System课程性质：专业必修课程学分/学时：3.0开课学期：第3学期适用专业：通信工程、信息工程、电子信息工程、电子科学与技术等专业先修课程：高等数学，线性代数，电路分析后续课程：数字信号处理，通信原理，通信系统设计与实践等开课单位：电子信息学院课程负责人：王家俊大纲执笔人：侯嘉大纲审核人：一、课程性质和教学目标课程性质：本课程是通信工程、信息工程、电子信息工程等电子信息类专业的一门重要专业基础课，是通信工程专业的必修主干课。

教学目标：本课程主要讲授信号与线性系统的分析和处理方法的基本原理。

通过理论教学，使学生能建立系统分析的总体概念，掌握信号处理、信号特征分析、线性系统分析等基本概念和基本方法以及若干典型的电路系统分析应用，该课程是从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程，在教学环节中起着承上启下的作用。

能培养学生的电路设计与特征分析能力，思维推理和分析运算的能力，为进一步学习数字信号处理、通信原理等后续课程打下理论和技术基础。

本课程的具体教学目标如下：1、掌握信号与线性系统理论和知识体系所需的基本数理知识，并能用于专业知识与实际系统分析的能力学习中。

【1.1】2、具备信号与线性系统分析与理解的基础知识，能使用数学、自然科学、工程基础和专业知识分析实际工程中结构、电路、信号等相关具体问题。

【1.3】3、具备对常用信号、线性系统的特性、功能及应用进行分析和理解的基础能力，能够理解典型线性电路系统、滤波器、调制解调系统以及信号的时频特性和基本构成原理，能够针对实际工程问题和应用对象进行方案分析。

【1.4】4、具备对线性系统与信号的基本设计与分析能力，能运用基本原理、数理工具和工程方法，完成电子通信领域相关的复杂工程问题与系统设计中单元与环节的正确表达。

信号与系统第四章

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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
上一页返回
4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的收敛域（Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的概念。
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4.2 拉普拉斯变换

信号与系统傅里叶

dt
= F[ j(ω-ω0)] 例 1 f(t) = ej3t ←→ F(jω) = ? 解 1 ←→ 2πδ(ω) ej3t ×1←→ 2πδ(ω-3) -
信号与系统例 2 解
4.5
傅里叶变换的性质
f(t) = cosω0t ←→ F(jω) = ?
1 jω0t 1 − jω0t f (t) = e + e 2 2
1 ∞ − jω t f (−ω) = ∫ −∞ F( jt ) e dt 2π
∴ F(j t) ←→ 2πf (–ω)
信号与系统例
f (t) = 1 1+t 2
− |t| α
4.5
傅里叶变换的性质
←→ F(jω) = ?
2 α
解
e
← →
当 α=1, e−t| | ∴
α2 +ω2 2 ← → 1+ω2
∞
用时移特性
∫
所以
∞
−∞
f 2 (t − τ ) e
− jω t
d t = F2 ( jω ) e
− jω τ
F [ f1(t)*f2(t) ]=
∫
∞
−∞
f 1 (τ ) F2 ( jω ) e
− jω τ
d τ = F2 ( jω ) ∫ f1 (τ ) e
−∞
∞

− jω τ
dτ
= F1(jω)F2(jω)
2
-2
0
2
ω
1 π sin t [π g 2 (ω )] * [π g 2 (ω )] = g 2 (ω ) * g 2 (ω ) ←→ 2π 2 t
信号与系统
4.5

信号与系统西安邮电习题答案

信号与系统西安邮电习题答案第一次1.1画出下列各个信号的波形[式中为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

解题方法：首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与或结合时的变化情况；若只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用或的性质直接画出或部分的普通函数的波形；若是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。

(1)解：正弦信号周期(2)解：，正弦信号周期(3)解：，正弦信号周期(4)(5)1.2画出下列各信号的波形[式中为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

(1)(2)(3)解：(4)(5)1.3写出下图所示各波形的表达式(1)解：(2)解：1.4写出下图所示各序列的闭合形式的表示式(a)解：(b)解：(课堂已讲)1.5判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期(1)解：周期序列(2)解：，，m取3，；，，；故(3)解：，，故非周期；，，；故非周期 1.6已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形(1)(2)(3)1.7已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形(1)(2)1.8信号的波形图如下所示，试画出和的波形解：由图可知：，则当时，；当时，当时，(课堂已讲)1.9已知信号的波形如图所示，分别画出和的波形解：第二次1.10计算下列各题，(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(课堂已讲)1.11设系统的初始状态为，激励为，各系统的全响应与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

《信号与系统》课程讲义4-5

§4.5系统函数零极点∽频响特性一、频响特性1．概念①系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况②H (s )稳定系统0sin()m E t ω0()lim ()~ss t r t r t ω→∞=③包括：幅频特性、相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性00120012...j j n nK K K K K s j s j s p s p s p ωωωω−=++++++−−−−j e H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000−=−−⋅=⋅+=−−=−ϕωωωωωωje H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000ϕωωωωωω=⋅=⋅−==2．稳定系统的频响特性)()(220s H s E s R m zs ωω+=①系统响应：000()j H j H e ϕω=000()j H j H e ϕω−−=令则§4.5系统函数零极点∽频响特性0000()lim ()j t j tss zs j j t r t r t K e K e ωωωω−−→∞==+)sin()(2000)()(00000ϕωωωϕωϕ+=+−=++−t H E e e jE m t j j t j m 0000sin()sin()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++②0000cos()cos()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++§4.5系统函数零极点∽频响特性③ωω()H s 当正弦激励信号频率改变时，将代入得到频率响应()()()|()j s j H j H s H j e ϕωωωω===幅频特性相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性[例1]求系统的稳态响应22()3()2()2()3()d d dr t r t r t e t e t dt dt dt ++=+()sin cos 2e t t t=+解：222323()()3232s j H s H j s s j ωωωω++=→=+++−2(arctan arctan3)33213(1)1310j j H j ej −+==+4(arctan arctan3)32345(2)26210j j H j ej π−−+==−+()ss r t 13251()sin(arctan arctan 3)cos(2arctan arctan 3)10332210ss r t t t π=+−++−−§4.5系统函数零极点∽频响特性c ωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络允许信号通过低通特性时，网络不允许信号通过cωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络不允许信号通过高通特性时，网络允许信号通过1c ω2c ωω()H j ω带阻特性3．滤波网络分类：幅频特性1c ω2c ωω()H j ω带通特性1c ω§4.5系统函数零极点∽频响特性1111()()()()()()mmj j j j nniii i K s z K j z H s H j s p j p ωωω====−−=→=→−−∏∏∏∏Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωi M jN ,j i z p 频率特性取决于零、极点的分布4．频响特性的S 平面几何分析法()H j ωjj j j j z N eψω−=ij i i j p M eθω−=→令§4.5系统函数零极点∽频响特性121212121212[()()]1212()()()m nm n j j j m j j j n j m nj N e N e N e H j KM e M e M e N N N KeM M M H j e ψψψθθθψψψθθθϕωωω+++−+++=== 1212()()()m n ϕωψψψθθθ=+++−+++ 1212()m nN N N H j KM M M ω= 其中Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωiM jN §4.5系统函数零极点∽频响特性RC 21()()11()V s R sH s V s R s sC RC ===++CR++-1v -2v 【例2】研究图示的高通滤波网络的频响特性10z =零点：11p RC=−极点：解：转移函§4.5系统函数零极点∽频响特性()|()s j H s H j ωω==11()1211()j j j N e V H j e M e V ψϕωθω==→211111,()V N V M ϕωψθ==−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ=σ1RC−以矢量因子表示为1211111110,000,90()90N V N M RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩0ω=时，§4.5系统函数零极点∽频响特性121111111222,2245,90()45N V N M RC RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩ 1211111190,90()0N V M V θψϕω⎧→⇒→⎪⎨⎪→=→=⎩1RC ω=时，此点为高通滤波网络截止频率点ω→∞时，45 901RCω()ϕωO ()H j ω221§4.5系统函数零极点∽频响特性s RC 21()()()V j H j V j ωωω=1122R C R C ++-1v -2v C1R1C2R2++--3v 3kv 【例3】由平面几何法研究下图所示二阶系统的频响特性，，且§4.5系统函数零极点∽频响特性1311211112112223221()()1()()11()()()()()1sC V s V s R V s k s sC H s V s R C s s R R C R C V s kV s R sC ⎧⎪⎪=⎪+⎪⇒==⎨⎪++⎪=⎪+⎪⎩i 1121122110;,z p p R C R C ==−=−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ= σ111R C −×2M 2θ221R C−解：零、极点为：1122R C R C 由于221R C −，所以靠近原点，111R C −离开较远。

信号与系统参考答案(第二版)电子工程出版徐亚宁苏启常

第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。

其中()0X -为系统的初始状态。

（2）()()2f t y t e= （5）()()cos 2y t f t t = （8）()()2y t f t =解：（2）()()2f t y t e =① 线性：设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t eee +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以系统是非线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f ty t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以系统是时不变的。

③ 因果性因为对任意时刻 1t ，()()121f ty t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（5）()()cos 2y t f t t = ① 线性：设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos 2,cos 2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos 2,cos 2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos 2y t f t t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。

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t时域 e at
s平面
共 w 轭 2 复( s a ) 2 w 极点
jw jw
0
h(t )
变换到时域
t时域 eat sin(wt )
a
s
0
通信工程系
t
14
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
信号与系统极点在S平面的分布与信号时域形式的关系
15
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
信号与系统
§4.5 系统的零、极点分布与系统特性
（包含4.6节内容）
1
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
通信工程系
信号与系统
主要内容：
• 分析系统函数H(s)的零极点分布与h(t)的关系
• 分析系统函数H(s)的零极点分布与系统稳定性的关系
• 分析系统函数H(s)的零极点分布与系统时域响应 r(t)的关系 • 分析系统函数H(s)的零极点分布与系统频域响应 H(w)的关系
4
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
通信工程系
信号与系统
系统因果性的判据
时域：
当t 0时，h t 0
复频域要求H(s) ：
系统的收敛域为s>s0 或者 H(s)的所有极点都位于以s0为收敛轴的左半平面
5
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
通信工程系
信号与系统
（2）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。
极点位于实轴上
s平面 1 s a a
1 ( s a ) 2 a s平面
jw
变换到时域
h(t )
t时域
h(t ) e at
s
jw
变换到时域
0
h(t )
t
t时域 te at
s
变换到时域
共轭 jw w 复 2 极 2 ( s a) w a 0 s 点 jw
w
( s a)2 w 2 w L a jw , 则 hi (t ) eat sin(w t ) 2 2 ( s a) w
通信工程系
L hi (t ) e at sin(w t )
9
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
信号与系统 (b)当多重极点pi时，h(t )可能为t , t 2 , e pit
哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院通信工程系
23
信号与系统
自由响应的函数形式(衰减和振荡频率)由H(s)的极点
pi决定，
为什么？
与激励E(s)的极点无关；但它的幅度和相位却同时受H(s)和E(s)共同影响；

强迫响应的函数形式(衰减和振荡频率)由E(s)的极点 qk 决定，
与系统函数H(s)的极点无关；
5)若p1,2 a jw , 则
6)若p1,2
1 L 1)若pi 0, 则H i ( s) hi (t ) u (t ) s 1 L 2)若pi a, 则 hi (t ) e at sa 1 L 3)若pi a, 则H i ( s) hi (t ) eat sa
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j2
1 j
10
s 1 j
j2
7
通信工程系
信号与系统
H(s)零、极点分布与h(t)的对应
设集总参数线性时不变系统其系统函数为 K (s z j )
m j 1 n
H ( s)
(s p )
i i 1
= H i ( s)
i 1
k
i

j 1 n
k 1
i 1
作拉式反变换
n Ak Bi k 1 s qk i 1 s pi
v
只是自由响应的一部分
i
r (t ) L
零状态响应
1
R(s) Ak eq t u (t ) Bi e p t u (t )
n
k

k 1
i 1
强迫响应分量＋自由响应分量
16
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通信工程系
信号与系统
例：
若LTI系统的系统函数H ( s)=
若w1 2, w2 2, 画出系统的零极点图，并指出h(t )所含有的复指数分量。
s 5 s w s 3 w
2 2 1 2
s - 2 s 2 4s 4 s 2 4
t
t
则不满足绝对可积条件系统是不稳定系统。
18
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通信工程系
信号与系统如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶，则在时间足够长时，h(t)趋于一个非零值或等幅振荡的，处于稳定和不稳定两种情况的临界状态系统属于临界稳定系统。例如
1 s2 4 1 s 2 3s 2 1 s 2 s 2
l l 1 v
u
m
可能变少
j
)
(s q ) (s p )
系统临界稳定；系统稳定。系统不稳定。
19
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通信工程系
信号与系统
系统稳定性的判据
时域：

h(t ) d t
复频域要求H(s) ：
①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。
20
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2 2

17
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信号与系统
二、系统函数H(s)的零极点与系统稳定性的关系
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则这些极点对应的时域波形只能是单调衰减或振荡衰减的，即 lim h(t ) 0 则满足绝对可积条件系统是稳定的。如果H(s)的任一极点位于s右半平面，或在虚轴上具有二阶（或以上）极点，则该极点对应的时域波形可能是单调增加或振荡增加的，即 lim h( t )
通信工程系
信号与系统
三、H(s)的零极点分布与系统响应r(t)的关系 h( t ) H ( s )
激励： e(t ) E ( s)
E ( s)
系统函数： h(t ) H ( s)
H ( s)
(s )
l
u
(s q )
k k 1
l 1 v
(s z )
R( s ) E ( s ) H ( s )
(s ) (s z )
l
j
u
m
(s q ) (s p )
k
i
l 1 v

j 1 n
k 1
i 1
系统响应R(s)不仅与激励E(s)的零极点有关，还与系统函数H(s)的零极点有关。
那么，系统响应R(s)的时域响应r(t)的形式？
稳定系统
对于一个系统，如果对于任意的有界输入信号e(t)，
其零状态响应rzs(t)也有界，则该系统为稳定系统。
即如果激励信号e(t)满足 e(t ) M e 其零状态响应rzs(t)也满足 rzs (t ) M r 则为系统稳定；
6
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通信工程系
信号与系统
通信工程系
信号与系统
H(s)零、极点分布与h(t)的对应

H(s)的极点 pi 确定了h(t)到底包含多少复指数分量，每个极点为h(t)贡献一个 e pit 分量；

H(s)的零点 zi 对h(t)的时域波形无影响，只影响
h(t)的幅度和相位。
若H ( s )极点落于s左半平面（或s右半平面）则对应h(t )波形为衰减形式（或增长形式）；若H ( s)极点（共轭极点）落于虚轴上则对应h(t )波形为等幅振荡或阶跃（或增长式）；
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 h t 0 ，这表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，F s 和F (jw ) 均存在，两者可通用，只10 需 s jw 哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院通信工程系将即可。
信号与系统
H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解
j
m
(s p )
i i 1
j 1 n
其中z j , pi分别为H ( s )的第j个零点和第i个极点, l , qk 分别为E ( s )的第l个零点和第k 个极点
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通信工程系
信号与系统
h( t ) H ( s )
响应： r (t ) R( s)
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通信工程系
信号与系统根据H(s)和E(s)零极点的情况分为两种情况讨论：
① H(s)和E(s)之间无零极点对消的情况：
R( s ) E ( s ) H ( s )
(s ) (s z
l l 1 v
u
m
j
)
(s q ) (s p )
但它的幅度和相位却同时受H(s)和E(s)共同影响；
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哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院
通信工程系
信号与系统根据H(s)和E(s)零极点的情况分为两种情况讨论：
② H(s)和E(s)之间存在零极点对消的情况：极点的个数
R( s ) E ( s ) H ( s )
(s ) (s z