第8章 离散控制系统

式中，s i为E(s) 的极点，i = Res[E(s) z sT ] |s=s 为 E (s) z sT R z −e z −e 在极点s = si 时的留数。
i
第‹#›页
第8章 离散控制系统
当 E (s )具有一阶极点 s = s i ，其留数 R1 为 一阶极点
z R1 = lim(s − si )E(s) s→si z − esT
n=0 +∞
e* (t)则为加权单位理想脉冲序列。 而
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.2.2 采样定理 香农采样定理： 香农采样定理 要保证采样后的离散信号不失真地恢复原连续信号，或者 说要保证信号经采样后不会导致任何信息丢失，必须满足 两个条件： 1. 信号必须是频谱宽度受限的，即其频谱所含频率成分的最 高频率为ωmax ； 2. 采样频率必须至少是信号最高频率的两倍即 ωs ≥ 2ωmax 。
若E (s )具有m阶重极点 s = s i ，其留数 R m 为 阶重极点
1 d m−1 z m Rm = lim m−1 (s − si ) E(s) (m−1 s→si ds )! z − esT
第‹#›页
第8章 离散控制系统
例8.3 试求连续时间函数 e(t ) = te − at 的 z 变换。 解：首先写出 e(t ) 拉氏变换 E (s ) ，即
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.1.3 离散控制系统的研究方法
拉氏变换，传递函数和频率特性等不再适用，研究离 散控制系统的数学基础是z变换，通过z变换这个数学工具， 可以把我们以前学习过的传递函数，频率特性，根轨迹法 等概念应用于离散控制系统。因而z变换具有和拉氏变换同 等的作用，是研究线性离散系统的重要数学工具。
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.2.1 采样过程及其数学描述 把连续信号转换成离散信号的过程，叫做采样。实现采 样的装置叫做采样器或采样开关。将连续信号加到采样开关 的输入端，采样开关以周期T秒闭合一次，闭合持续时间为 τ ，于是采样开关输出端得到周期为T、宽度为 τ 的脉冲序列 e * (t ) 如图8-2所示。 8-2
第‹#›页
第8章 离散控制系统
2.部分分式法 . 连续时间函数 e (t ) 与其拉氏变换 E (s) 之间是一一对应 拉氏变换 的，若通过部分分式法将时间函数的拉氏变换式展开成一 些简单的部分分式，使每一项部分分式对应的时间函数为 最基本、最典型的形式，这些典型函数的z变换是已知的， 于是即可方便地求出 对应的z变换。 E (s )
第‹#›页
第8章 离散控制系统
2.零阶保持器 零阶保持器 由于理想低通滤波器实际是不存在的，工程上采用的 将采样信号恢复为连续时间信号的装置称为保持器 保持器。最常 保持器 用、最简单的保持器是零阶保持器 零阶保持器。零阶保持器可以将采 零阶保持器 样点幅值保持至下一个采样瞬时，采样信号经零阶保持器 后，变为阶梯信号e h (t )，如图8-3所示。
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.1.1 离散控制系统 1.采样控制系统 采样控制系统 一般来讲，把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散 系统，称为采样控制系统 脉冲控制系统 采样控制系统或脉冲控制系统 采样控制系统 脉冲控制系统。 例:
图8-1 工业炉温采样控制系统
第‹#›页
第8章 离散控制系统
取前两项
Ts 1+ 2 =T T 2s2 取前三项 1+Ts + 2
1 1 Gh0 (s) ≈ 1− T 2s2 s 1+Ts + 2
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.3 z变换理论 变换理论
8.3.1 Z变换的定义 变换的定义
采 函 样 数 f (t) = ∑ f (t)δ (t − kT)
第‹#›页
第8章 离散控制系统
例8.2 求正弦信号 e(t ) = sin ωt 的 z 变换。 解：对 e(t ) = sin ωt 取拉氏变换，得： ω E (s) = 2 s +ω2 将上式展开为部分分式：
1 1 1 E ( s) = ( − ) 2 j s − jω s + jω
根据指数函数的z变换表达式，可以得到
E(z) = 1 z z ( ) − jωT − jωT 2 j z −e z −e
=
z sinωT z 2 − 2z cosωT + 1
第‹#›页
第8章 离散控制系统
3.留数计算法 . 设连续函数的拉氏变换式及全部极点为已知，则可用 留数计算法求其z变换
n z E(z) = ∑Re s[E(s) ] | = ∑Ri sT s=si z −e i=1 i=1 n
上图该系统中工业炉是具有时滞特性的惯性环节。检 流计有电流流过，指针发生偏转，设转角为β。设计一同 步电机通过减速器驱动凸轮旋转，使指针周期性的上下运 动，且每隔T秒与电位器接触一次，每次接触时间为τ。 其中,T 称为采样周期,τ 称为采样持续时间。 当炉温连续变化时，则电位器的输出是一串宽度为τ， 周期为T的离散脉冲电压信号，用 表示。经过放大器、 e * (t ) 电动机、减速器去控制炉门角φ的大小，炉温的给定值， 由给定电位器给出。
1 s= lnz T
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.3.2 z变换的方法 变换的方法 1.级数求和法 级数求和法
级数求和法实际上是按z变换的定义将离散函数z变换 级数求和法 展成无穷级数的形式，然后进行级数求和运算,也称为直 直 接法。 接法。
第‹#›页
第8章 离散控制系统
例8.1 试求单位阶跃信号 e(t ) = 1(t ) 的z变换。 解： 单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，即
1 E (s) = (s + a) 2
显然 s1 = −a以及 n = 2，得
，
E( z) =
1 d 1 z ( s + a) 2 (2 − 1)! ds ( s + a) 2 z − e sT
| s =− a
Tze sT Tze − aT = | = sT 2 s = − a (z − e ) ( z − e − aT ) 2
第8章 离散控制系统
第8章 离散控制系统
主要内容: 主要内容 • 8.1 离散系统的基本概念 • 8.2 信号的采样与保持 • 8.3 z变换理论 变换理论 • 8.4 离散控制系统的数学模型 • 8.5 离散控制系统的分析 • 8.6 离散控制系统的数字校正 • 8.7 应用 应用MATLAB分析离散控制系统 分析离散控制系统
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.2 信号的采样与保持
把连续信号变换为脉冲信号，需要使用采样器；另一 方面，为了控制连续式元部件，又需要使用保持器将脉冲 信号变换成连续信号。因此，为了定量研究离散系统，必 须对信号的采样过程和保持过程用数学的方法加以描述。 在采样的各种方式中，最简单而又最普通的是采样间隔相 等的周期采样。
图8-3 零阶保持器
第‹#›页
第8章 离散控制系统
主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。 零阶保持器的单位脉冲响应如下图8 零阶保持器的单位脉冲响应如下图8-5所示：
gh(t) =1(t) −1(t −T)
图8-5 零阶保持器的单位脉冲响应
第‹#›页
第8章 离散控制系统
第8章 离散控制系统
零阶保持器的近似实现 零阶保持器的近似实现: 近似实现:
1−e−Ts Gh0 (s) = s 1 1 1 1 = (1− Ts ) = 1− 2 2 Ts s e s 1+Ts + +L 2
1 1 T Gh0 (s) ≈ 1− = s 1+Ts 1+Ts
零阶保持器的传递函数 传递函数为： 传递函数
1−e−Ts Gh0 (s) = L[1(t) −1(t −T)] = s
零阶保持器的幅频与相频特性如右下图所示：
幅频特性: 幅频
| sin( ωT 2) | |Gh ( jω) |= T ωT 2
相频特性: 相频
∠Gh ( jω) = −ωT 2
第‹#›页
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.3.3 z变换基本定理 变换基本定理 1.线性定理 线性定理 设连续函数 e1 (t ) 、2 (t ) 的 z 变换分别为E1 (z) 、E 2 (z) ， e 为常数， 且 a1 、a 2 为常数，则有
第‹#›页
第8章 离散控制系统
8.2.3 信号的复现与零阶保持器 1.信号的复现 信号的复现 如果不经过滤波器将高频分量滤掉，则相当于给系统加入 噪声。因此在实际应用中，采样开关后面串联一个信号复 现滤波器，通过它使脉冲 e * (t ) 复原成连续信号再加到系统 中去。 通常在工程上采用接近理想滤波器性能的保持器 保持器来代替。 保持器
e( nT ) = 1( nT ) = 1
(n = 1,2, L)
由z变换定义求得
E(z) = Z[1(t)]= ∑1(nT) ⋅ z−n =1+ z−1 + z−2 +K+ z−n +L
n=0 ∞
这是公比为 z −1 的等比级数，在满足收敛条件 | z −1 |< 1时， 其收敛和为：
1 z E(z) = = −1 1− z z −1
∗ k=0 ∞
对其进行拉氏变换：
L[ f (t)] = F (s) = ∑ f (kT)e−kTs
* * k =0 ∞
令 =e ， 上 变 z 则 式 为 Z[ f (t)] = F(z) = ∑ f (kT)z f ∗(t) 的Z变换。 变换。 变换