第21讲 直角三角形
第21讲-正弦定理和余弦定理(讲义版)
第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60B ．30C ．60或120D ．1204．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5B C ．2D ．15．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)26．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．129．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A ．2B ．1CD ．211．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ．B ．C ．D ．113．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．22B ．5 C ．25D ．2514．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.23515．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形D ．A 为锐角的三角形16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()22,4D ．()23,417．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC 面积最大时，此时的ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．619．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos CA B A+=，则ABCS =（ ）A ．B ．C ．D ．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）A ．2π B ．2πCD 21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求ABC △的面积．22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos1cos 2A CB +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？ 问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？ （2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+.(1)求角C (2)若5c =,11a b +=,求ABC ∆的面积.25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.。
第21课时 解直角三角形的有关概念
第21课时：解直角三角形的有关概念一、复习目标：1.掌握锐角三角函数的概念，能熟练运用特殊角的三角函数值进行计算.2.掌握解直角三角形的基本方法，加深对直角三角形中的边角关系的认识.3.在解直角三角形的过程中，渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法. 二、小题唤醒：1. 在Rt △OAC 中，∠C =90°，a =2b =，则sin A =___________.（考点：锐角三角函数的概念.）2.如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AD =4，4cos 5B =，则AC =_____________. （考点：锐角三角函数的简单计算）3.计算sin30cos30tan30⋅-= __________. （考点：特殊角的三角函数值.）4.已知α是锐角，且3sin(15)2α+=，那么4cos αα的值为________. （考点：特殊角的三角函数值.）5.在 Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是，∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠A =45°，10a =，解这个直角三角形.（考点：解直角三角形的概念.）B三、知识框架：四、精讲例题：例1A ：在 Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是，∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知24b c +=，∠A -∠B =30°，解这个直角三角形.例1B ： 如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =45°AC =23，求AB 的长.例1C ：如图，在Rt △ABC 中，∠C =30°，D 是边BC 上的一点，BD =2，AC =23，求AC 的长.两锐角互余勾股定理解直角三角形特殊角的三角函数边角关系三边关系锐角关系锐角三角函数直角三角形（设计意图：例题重点考查了解直角三角形的方法、灵活运用三角函数的定义以及特殊角的三角函数值等知识，问题二中构造直角三角形是关键.第三题中还可以直接运用含30°角的直角三角形性质，找到三边比例关系，从而设未知数列方程进行求解.）例2A ： 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是边BC 上的一点，CD =6， 3cos 5ADC ∠=， 2tan 3B =. （1）求AC 和AB 的长； （2）求sin ∠BAD 的值.例2B ：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C =45°，1sin 3B = AD =1，求： （1）BC 的长； （2）求tan ∠DAE 的值.例2C ：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50，点P 是边AB 上的任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E .点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，12sin 13EMP ∠=. （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN=y ， 求y 关于x 的函数.（设计意图：例题重点考查解直角三角形的方法，在求锐角三角函数值时，关键是找到该角所在的直角三角形，弄清该角的对边、邻边和斜边，分析这三边哪些已知、哪些未知、哪些可求.再选择合适的边角关系求出该角的三角函数值.第3题进一步渗透数形结合的思想和分类讨论的数学思想方法.）五、当堂巩固：1.（1）cos245°+tan30°·sin60°=________．（2）若32sin0α-=，则锐角α=_________．2.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，若AD=h，∠B=45°，∠C=30°，则AB=________，BC=_____________.（用含h的代数式表示）3.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=________．第2题第3题第4题4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D’处，那么tan∠BAD’=________________．5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，求CD的长．6.如图D是△ABC的边AB上一点,CD=2AD,AE⊥BC,交BC 于点F.若BD=8,sin∠CBD=34,求AE的长.B CA六、课后作业：★1.在△ABC 中，∠A =75°，2cos 2B =，则tan C =___________. ★2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，DE ⊥AB ，垂足为D .若AC =3，BC =4，BE =3.则sinA =________，DE =____________．第2题 第3题★3.如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为________. ★4.已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则该直角三角形最小角的正弦值是______.★5.在△ABC中，a 、b 、c 分别是，∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果222a b c +=，那么下列结论中正确的是( )A . sin c A a =B . cos b B c =C . tan a A b =D . tan c B b =★6.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( )A .33 B . 55 C .233 D . 255CABE DABDCE★★7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点C作CD⊥AB于点D.求sin∠ACD和tan∠BCD的值.★★8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D =90°，BC=2，CD=3，求AB的长.★★9.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
最新中考数学专题复习—第21讲 等腰三角形与直角三角形
第21讲等腰三角形与直角三角形目录：考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理考点一等腰三角形的概念及分类1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形．2．等腰三角形分为：底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形．温馨提示1.若题目中没有明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，就需要分类讨论.2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底，底角α满足0°＜α＜90°，顶角β满足0°＜β＜180°.考点二等腰三角形的性质和判定1．性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高线)所在的直线是它的对称轴．温馨提示这个性质简称“三线合一”，但不能简单地说成“等腰三角形的高线、中线、角平分线三线合一”.2．判定：(1)定义法；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)．温馨提示等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.考点三等边三角形的性质和判定1．性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.2．判定(1) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．温馨提示由判定(2)可知，在等腰三角形中，只要有一个角是60°，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.也可以根据定义判定.考点四线段垂直平分线的性质1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．2．性质(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．温馨提示1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.考点五直角三角形的性质和判定1．性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.温馨提示勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此可作高来构造直角三角形.2．判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．温馨提示1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短边的平方和与长边的平方作比较.2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.3.若a，b，c为一直角三角形的三边长，则以ma，mb，mc(m＞0)为三边的三角形也是直角三角形.4.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.中考典例精析考点一等腰三角形的性质例1 如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝_______.【点拨】∵AB＝BC，∠ACB＝35°，∴∠A＝∠ACB＝35°.∵AB∥DC，∴∠OCD＝∠A ＝35°.∵∠D＝40°，∠AOD是△OCD的外角，∴∠AOD＝∠OCD＋∠D＝35°＋40°＝75°.【答案】75°考点二等腰三角形的判定例2 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角形的判定．证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠A＝∠BCE.∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E.∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．考点三线段垂直平分线的性质例3 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC【点拨】∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝DC.∴△ABD，△BCD是等腰三角形．∴AC平分∠BCD.再应用“SAS”判定△BEC≌△DEC，∴选项A，B，D正确．故选C.【答案】C方法总结线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相关问题.考点四直角三角形的性质与判定例4 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则边AC的长为_________．【点拨】在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，∴AC＝AB2－BC2＝72－52＝2 6.【答案】26方法总结若已知三角形中的一个角为90°，解这个三角形首先应考虑用勾股定理；证明一个三角形为直角三角形，可证明一个内角等于90°，也可利用勾股定理的逆定理.考点五等边三角形的性质与判定例5 已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是_________.【点拨】由题意等边△ABC的高为4，点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，①若点P在等边△ABC的内部，则可得到点P到BC边的距离PD为1；②若点P′在等边△ABC的外部，则由对称性可以得到点P′到B′C′边的距离P′E为1；这时点P′到BC的距离P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.【答案】1和7方法总结等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三个角都等于60°，中线、高线、角平分线为同一条线段，三线合一.根据以上性质可以进行相关的计算与证明.基础巩固训练1．如果等腰三角形的两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是(D)A．9 cm B．12 cmC．15 cm或12 cm D．15 cm解析：分两种情况：(1)等腰三角形的腰长为6 cm，则它的周长为6×2＋3＝15(cm)；(2)等腰三角形的腰长为3 cm，三角形的三边长分别6 cm,3 cm,3 cm，不可能．故选D.2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(C)A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°解析：分两种情况：(1)这个等腰三角形的顶角为40°，则底角为(180°－40°)÷2＝70°；(2)这个等腰三角形的底角为40°，则顶角为180°－2×40°＝100°.故选C.3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°解析：分两种情况：(1)当这条高在三角形内部时，顶角的度数为90°－30°＝60°；(2)当这条高在三角形外部时，顶角的度数为90°＋30°＝120°.故选D.4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q .若BF ＝2，则PE 的长为( C )A ．2B ．23 C.3 D ．3解析：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝30°.∵QF 垂直平分BP ，∴BP ＝2BQ ，且∠BQF ＝90°.在Rt △BFQ 中，FQ ＝12BF ＝1，BQ ＝BF 2－FQ 2＝22－12＝ 3.于是BP ＝2 3.在Rt △BPE 中，PE ＝12BP ＝ 3.故选C. 5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB .∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB .∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ，∴BM ＝ME ，EN ＝CN ，∴MN ＝ME ＋EN ，即MN ＝BM ＋CN ＝9.故选D.6．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 是 等腰直角三角形．解析：∵c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，c 2－a 2－b 2≥0，|a －b |≥0，∴c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴△ABC 是等腰直角三角形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点C 在AE 的垂直平分线上，若DE＝10 cm，则AB＋BD＝10cm.解析：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AB＋BD＝AC＋CD＝EC＋CD＝DE＝10(cm)．8．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．理由：∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠D.∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.又∵∠BCE＝∠D＋∠CED，∴∠BCE＝2∠D＝2∠EBD.∵BE⊥CE，∴∠BCE＝60°，∠EBC＝30°.∴BC＝2CE.∵EA＝EC，∴BC＝AC.∴△ABC是等边三角形．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是(B)A．20°B．50°C．60°D．80°2．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为(C)A．25 B．25或32C．32 D．19解析：若腰长是6，则三边长分别为6,6,13，∵6＋6＜13，∴假设不成立；若腰长是13，则三边长分别为13,13,6，∴周长为13＋13＋6＝32.故选C.3． 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠A EB ＝90°.AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( C )A ．48B ．60C ．76D ．80解析：∵∠A EB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝62＋82＝10.∴S 阴影＝102－12×6×8＝100－24＝76.故选C. 4. 一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( D )A ．5 B.7 C. 5 D ．5或7解析：当4是直角边时，第三边的长为32＋42＝5；当4是斜边时，第三边的长为42－32＝7.故选D.5． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．13解析：∵△ABC 是等腰三角形，AD 平分∠B AC ，∴CD ＝BD ＝4.又∵点E 为AC 的中点，∴CE ＝AE ＝5，且DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝5， ∴△CDE 的周长＝CD ＋CE ＋DE ＝4＋5＋5＝14.故选C.6． 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE .如果只添加一个条件使∠DAB ＝∠EAC ，则添加的条件不能为( C )A ．BD ＝CEB ．AD ＝AEC ．DA ＝DED ．BE ＝CD解析：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .A 中，添加BD ＝CE ，可根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，∴∠DAB ＝∠EAC ；B 中，添加AD ＝AE ，则∠A DE ＝∠A ED ，再由外角的性质可得∠DAB ＝∠EAC ；C 中，添加DA ＝DE 不能得出∠DAB ＝∠EAC ；D 中，添加BE ＝CD ，由等式的性质可得BD ＝CE ，同A 可得∠DAB ＝∠EAC .故选C.7．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则△BEC 的周长为( A )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：因为△ABC 为等腰三角形，所以AB ＝AC .因为BC ＝5，所以2AB ＝2AC ＝21－5＝16，即AB ＝AC ＝8.因为DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AE ＝BE ，所以△BEC 的周长＝BE ＋EC ＋BC ＝AE ＋EC ＋BC ＝AC ＋BC ＝8＋5＝13.故选A.8．已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有( D )A ．②B ．①②C ．①③D ．②③解析：①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为三角形的三边长不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(3)2＝22，∴以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故符合题意．故能构成直角三角形的有②③.故选D.9． 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( B)A ．8米 B.10米 C.12米 D.14米解析：如图，设大树高AB ＝10米，小树高CD ＝4米，过C 点作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，则四边形EBDC 是矩形．∴EB ＝4米，EC ＝8米，AE ＝AB －EB ＝10－4＝6(米)．∴在Rt △AEC 中，AC ＝AE 2＋EC 2＝10(米)．故选B.10．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED ＝E C.若△ABC 的边长为4，AE ＝2，则BD 的长为( A )A ．2B ．3 C. 3 D.3＋1解析：如图，延长BC至F点，使得C F＝BD，连接E F，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDB＝∠EC F.∴△EBD≌△EFC.∴EB＝EF，∠B＝∠F.∵△ABC是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴AE＝CF＝2.∴BD＝CF＝2.故选A.二、填空题(每小题4分，共20分)11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠B AC，∠EBC ＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝8 cm.解析：如图所示，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠B AC的平分线可得A M⊥BC，B M＝MC＝12BC.延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形．故EN＝BN＝BE＝6 cm，∴DN＝6－2＝4(cm)．在Rt△DMN中，∵∠MDN＝30°，∴MN＝12DN＝2(cm)．∴BM＝6－2＝4(cm)，∴BC＝2BM＝8(cm)．12．如图，四边形ABCD中，∠B AD＝∠B CD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC长是43cm.解析：如图，将△ADC 旋转至△ABE 处，则△AEC 的面积和四边形ABCD 的面积相等，为24 cm 2，这时△AEC 为等腰直角三角形，作边EC 上的高AF ，则A F ＝12EC ＝FC ，∴S △AEC ＝12AF ·EC ＝AF 2＝24，∴AC 2＝2AF 2＝48，AC ＝43(c m)．13． 如图，在Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，若∠F ＝30°，DE ＝1，则BE 的长是 2 .解析：在Rt △F DB 中，∵∠F ＝30° ∴∠DBF ＝60°.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°. 在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2.∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ＝2.14． 如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠A BC 的平分线交AD 于点O ，连接OC ，若∠A OC ＝125°，则∠A BC ＝ 70°.解析：∵AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠C .∵∠A OC ＝125°，∴∠C OD ＝55°.∵∠ODC ＝90°，∴∠C ＝35°，∠OBC ＝35°.∵BO 平分∠A BC ，∴∠A BC ＝2∠OBC ＝70°.15．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠B AC ＝50°，∠B AC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是 100°.解析：如图，由AB ＝AC ，AO 平分∠B AC ，得AO 是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB ＝OA＝OC ，所以∠OAB ＝∠OBA ＝12×50°＝25°，∠OBC ＝∠OCB ＝180°－50°2－25°＝40°.由折叠可知EO ＝EC ，故∠OEC ＝180°－2×40°＝100°.三、解答题(共40分)16．(8分) 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F .(1)求证：CF ∥AB ；(2)求∠DFC 的度数．解：(1)证明：∵∠DCE ＝90°，CF 平分∠DCE ，∴∠DCF ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B AC ＝45°.∴∠B AC ＝∠DCF .∴CF ∥AB .(2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.17．(8分) 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图②，∠B AC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE.(2)∵∠B AC＝45°，BF⊥AC，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF.由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠C BF.在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠A FE＝∠B FC＝90°，∠EAF＝∠C BF，∴△AEF≌△BCF.18．(12分) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠C AB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠C AB，DE⊥AB，∴DE ＝CD，又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.19．(12分) (1)如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE.图①(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠B DA＝∠A EC＝∠B AC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图②(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠B AC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠B DA＝∠A EC＝∠B AC，试判断△DEF的形状．解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠B DA＝∠C EA＝90°.∵∠B AC＝90°，∴∠B AD＋∠C AE＝90°.∵∠B AD＋∠A BD＝90°，∴∠C AE＝∠A BD.又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(2)结论DE＝BD＋CE成立．证明：∵∠B DA＝∠B AC＝α，∴∠DBA＋∠B AD＝∠B AD＋∠C AE＝180°－α，∴∠DBA＝∠C AE.∵∠B DA＝∠A EC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(3)由(2)知，△ADB≌△CEA,∴∠DBA＝∠EAC.∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠A BF＝∠C AF＝60°.∴∠DBA＋∠A BF＝∠EAC＋∠C AF.∴∠DBF＝∠EAF.又∵BF＝AF，BD＝AE，∴△DBF≌△EAF.∴DF＝EF，∠B FD＝∠A FE.∴∠DFE＝∠DFA＋∠A FE＝∠DFA＋∠B FD＝60°. ∴△DEF为等边三角形．。
部编版2020年中考数学复习 三角形 第21讲 三角形试题(含解析)
第21讲 三 角 形1. (2011，河北)已知三角形的三边长分别为2，x ，13.若x 为正整数，则这样的三角形个数为(B )A. 2B. 3C. 5D. 13【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞13，x ＜13＋2.解得11＜x ＜15.因为x 为正整数，所以x 可以为12，13，14.2. (2013，河北，导学号5892921)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B ＝30°，∠C ＝100°，如图②，则下列说法正确的是(C )第2题图A. 点M 在AB 上B. 点M 在BC 的中点处C. 点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D. 点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远【解析】 如答图，取BC 的中点E ，连接AE ，则BE ＝CE .∵∠C ＝100°，∴AB ＞AC .∴AB＋BE ＞AC ＋CE .由三角形的三边关系，得AC ＋BC ＞AB .∴AB ＜12AD .∴AD 的中点M 在BE 上，即点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远．第2题答图3. (2014，河北)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长为(C )第3题图A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】 ∵D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴BC ＝2DE ＝4.4. (2014，河北)如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点，则a ，b 相交所成的锐角是(B )第4题图 A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°【解析】 如答图，分别延长a ，b 交于一点，形成一个三角形．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到a ，b 相交所成的锐角是100°－70°＝30°.第4题答图5. (2018，河北)下列图形具有稳定性的是(A )A B C D【解析】 三角形具有稳定性．三角形的边与角例1 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当∠A 落在四边形BCDE 内时，∠A 与∠1＋∠2之间始终不变的关系是(B )例1题图A. ∠A ＝∠1＋∠2B. 2∠A ＝∠1＋∠2C. 3∠A ＝∠1＋∠2D. 3∠A ＝2(∠1＋∠2)【解析】 ∵△ABC 沿DE 折叠，∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°.∴∠AED ＝12(180°－∠1)，∠ADE ＝12(180°－∠2)．∴∠AED ＋∠ADE ＝12(180°－∠1)＋12(180°－∠2)＝180°－12(∠1＋∠2)．∴在△ADE 中，∠A ＝180°－(∠AED ＋∠ADE )＝180°－⎣⎢⎡⎦⎥⎤180°－12（∠1＋∠2）＝12(∠1＋∠2)，即2∠A ＝∠1＋∠2. 针对训练1(2018，聊城)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A ′处，折痕为DE .如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，那么下列式子中正确的是(A )训练1题图A. γ＝2α＋βB. γ＝α＋2βC. γ＝α＋βD. γ＝180°－α－β【解析】 如答图．由折叠，得∠A ′＝∠A .∵∠BDA ′＝∠A ＋∠AFD ，∠AFD ＝∠A ′＋∠CEA ′，∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA ′＝γ，∴∠BDA ′＝γ＝α＋α＋β＝2α＋β.训练1答图三角形的角平分线、中线、高、中位线例2 如图，在△ABC 中，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条平分线所在的直线交于点E .(1)①如图①，若∠B ＝60°，则∠E ＝ 30° ； ②如图②，若∠B ＝90°，则∠E ＝ 45° ；(2)如图③，若∠B ＝α，求∠E 的度数；(3)如图④，仿照(2)中的方法，在(2)的条件下分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点G ，求∠G 的度数．① ② ③ ④例2题图【思路分析】 (1)①根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝30°，可求∠E 的度数．②根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝45°，可求∠E 的度数．(2)根据三角形的外角性质可得∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，再根据角平分线的定义可得∠FAC －∠ACE ＝12α，可求∠E 的度数．(3)根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )，可求∠G 的度数． 解：(1)①30°②45°(2)∵AF 平分∠DAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠FAC ＝12∠DAC ，∠ACE ＝12∠ACB . ∵∠DAC －∠ACB ＝∠B ＝α，∴∠E ＝∠FAC －∠ACE ＝12∠B ＝12α. (3)∵AG ，CG 分别平分∠EAB 与∠ECB ，∴∠G ＝∠HAC －∠ACG ＝32∠FAC －32∠ACE ＝32(∠FAC －∠ACE )＝32×12∠B ＝34α. 针对训练2 (2018，广州海珠区模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，连接BE ，CE .若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为(B )训练2题图 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【解析】 ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC .∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ＝12S △ABD ，S △CDE ＝S △CAE ＝12S △ACD .∴S △ABE ＝14S △ABC ，S △CDE ＝14S △ABC .∴S △ABE ＋S △CDE ＝12S △ABC ＝12×8＝4.∴阴影部分的面积为4.针对训练3 (2018，黄石)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠EAD ＋∠C 等于(A )训练3题图A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°【解析】 ∵AD 是BC 边上的高，∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝30°.∵∠BAC ＝50°，AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝25°.∴∠DAE ＝30°－25°＝5°.∵在△ABC 中，∠C ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝70°，∴∠EAD ＋∠C ＝5°＋70°＝75°.针对训练4 (2017，河北)如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为 100 m.训练4题图【解析】 ∵AM ＝AC ，BN ＝BC ，∴AB 是△CMN 的中位线．∴AB ＝12MN ＝100(m)．一、 选择题1. (2018，长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B )A. 4 cm ，5 cm ，9 cmB. 8 cm ，8 cm ，15 cmC. 5 cm ，5 cm ，10 cmD. 6 cm ，7 cm ，14 cm【解析】 A. ∵5＋4＝9，9＝9，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．B. 8＋8＝16，16＞15，∴此三条线段能组成三角形．故此选项正确．C. ∵5＋5＝10，10＝10，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．D. ∵6＋7＝13，13＜14，∴此三条线段不能组成三角形．故此选项错误．2. (2018，石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图所示叠放在一起，则α的度数是(A )第2题图A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°【解析】如答图．∵∠1＋45°＋90°＝180°，∴∠1＝45°.∵∠1＝∠2＋30°，∴∠2＝15°.∵∠2＋α＝180°，∴α＝165°.第2题答图3. (2018，石家庄裕华区一模)如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝142°，则∠C的度数为(A)第3题图A. 38°B. 39°C. 42°D. 48°【解析】∵△ABC沿DE，EF翻折，∴∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠B.∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF ＝∠A＋∠B＝142°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－142°＝38°.4. (2018，昆明)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)第4题图A. 90°B. 95°C. 100°D. 120°【解析】∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°.∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO ＋∠AOB＝25°＋70°＝95°.5. (2018，淄博周村区二模)用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)A B C D【解析】根据高线的定义可得出结论．6. (2018，贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是(B)第6题图A. 线段DEB. 线段BEC. 线段EFD. 线段FG【解析】 根据三角形中线的定义可得出结论．7. (2018，宿迁)如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE ∥BC .若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是(B )第7题图A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【解析】 ∵∠A ＝35°，∠C ＝24°，∴∠DBC ＝∠A ＋∠C ＝59°.∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝59°.8. (2018，石家庄模拟)如图，长度为10 m 的木条，从两边各截取长度为x m 的木条．若得到的三根木条能组成三角形，则x 可以取的值为(C )第8题图A. 2 mB. 52 mC. 3 mD. 6 m【解析】 根据三角形三边关系，得2x ＞10－2x ，且2x ＜10.解得2.5<x <5.9. (2018，廊坊安次区一模)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C )A B C D【解析】 A. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.故此选项错误．B. 若两条直线平行，则∠1＝∠2.若两条直线不平行，则∠1与∠2的大小关系无法进行判断．故此选项错误．C. ∵∠1是∠2所在三角形的一个外角且与∠2不相邻，∴∠1＞∠2.故此选项正确．D. ∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2.10. (2018，长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的度数为(C )第10题图A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°【解析】 ∵∠A ＝54°，∠B ＝48°，∴∠ACB ＝180°－54°－48°＝78°.∵CD 平分∠ACB交AB 于点D ，∴∠DCB ＝12×78°＝39°.∵DE ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB ＝39°. 11. (2018，西安灞桥区模拟，导学号5892921)如图，S △ABC ＝1.若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE 等于(B )第11题图A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 ∵S △BDE ＝S △DEC ，∴BD ＝DC .∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12.∵S △ABC ＝1，S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，∴S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ＝13.∴S △ADE ＝S △ABD －S △BDE ＝12－13＝16. 12. (2018，杭州二模)四根长度分别为3，4，6，x (x 为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则(D )A. 组成的三角形中周长最小为9B. 组成的三角形中周长最小为10C. 组成的三角形中周长最大为19D. 组成的三角形中周长最大为16【解析】 由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x ＜7.因为x 为正整数，所以x 只能为4或5或6.所以其周长最小为4＋3＋4＝11，周长最大为4＋6＋6＝16.13. (2018，河北二模)如图，将直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE .若∠C ＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC 的度数为(C )第13题图A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°【解析】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝35°，∴∠ABC ＝55°.由折叠，可得∠ABD ＝∠A ＝35°.∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°.二、 填空题14. (2018，泰州)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边的长为整数，则第三边的长为 5 .【解析】 设第三边的长为x .根据三角形的三边关系，得4＜x ＜6.因为第三边的长为整数，所以第三边的长是5.15. (2018，白银)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，c 为奇数，则c ＝ 7 .【解析】 ∵a ，b 满足|a －7|＋(b －1)2＝0，∴a －7＝0，b －1＝0.解得a ＝7，b ＝1.∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c ＜8.∵c 为奇数，∴c ＝7.三、 解答题16. (2018，宜昌)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E .(1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．第16题图【思路分析】 (1)先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC ＝90°－∠A ＝50°，由邻补角的定义得出∠CBD ＝130°.再根据角平分线的定义即可求出∠CBE ＝12∠CBD ＝65°.(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB ＝90°－65°＝25°，再根据平行线的性质即可求出∠F ＝∠CEB ＝25°.解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°.∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°.17. (2018，扬州江都区模拟)如图①，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D .(1)若∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，求∠D 的度数；(2)若把∠A 截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想∠D ，∠M ，∠N 的关系，并说明理由．第17题图【思路分析】 (1)根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D ，∠A 的等式，推出∠A ＝2∠D ，最后代入求出即可．(2)根据(1)中的结论即可得到结论．解：(1)∵∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠ACD ＋∠ECD ＝∠A ＋∠ABD ＋∠DBE ，∠DCE ＝∠D ＋∠DBC .∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∠ACD ＝∠ECD .∴∠A ＝2(∠DCE －∠DBC )，∠D ＝∠DCE －∠DBC .∴∠A ＝2∠D .∵∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，∴∠A ＝60°.∴∠D ＝30°.(2)∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)． 理由：如答图，延长BM ，CN 交于点A ，则∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°.由(1)知∠D ＝12∠A . ∴∠D ＝12(∠BMN ＋∠CNM －180°)．第17题答图1. (导学号5892921)如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，BC 上．若AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，则△DBE 与△ADC 的面积比为(C )第1题图A. 3∶5B. 4∶5C. 9∶10D. 15∶16 【解析】 ∵AD ∶DB ＝CE ∶EB ＝2∶3，∴S △BDC ∶S △ADC ＝3∶2，S △BDE ∶S △DCE ＝3∶2.设S △BDC ＝3x ，则S △ADC ＝2x ，S △BED ＝1.8x .∴△DBE 与△ADC 的面积比为1.8x ∶2x ＝9∶10.2. (2018，天津南开区模拟，导学号5892921)如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，则∠A 1＝( α2) .∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2 017BC 的平分线与∠A 2 017CD 的平分线交于点A 2 018，得∠A 2 018，则∠A 2 018＝( α22 018 ).第2题图【解析】 ∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∠ACD ＝2∠A 1CD ，∠ABC ＝2∠A 1BC ，∴2∠A 1CD ＝∠A ＋2∠A 1BC ，即∠A 1CD ＝12∠A ＋∠A 1BC .∴∠A 1＝12∠A ＝α2.依此类推，∠A 2 018＝α22 018.3. (2018，苏州常熟模拟)△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D .(1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F .①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．第3题图【思路分析】 (1)只要证明∠AIB ＝90°＋12∠ACB ，∠ADI ＝90°＋12∠ACB 即可．(2)①只要证明∠IDC ＝∠ACF 即可．②先求出∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°，再求出∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC 即可解决问题．(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ，∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC . ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC )＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∴∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI )＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12∠ACB ＝90°＋12∠ACB . ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB . ∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°.∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB . ∴∠AIB ＝∠ADI .(2)解：①DI ∥CF .理由：∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB )＝90°－12∠ACB . ∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ， ∴∠IDC ＝∠ACF .∴DI ∥CF .②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°.∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC .∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ， ∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC )＝12∠BAC ＝35°.。
24.数学 第21讲 直角三角形
第21讲 直角三角形1. (2014，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 不等于(A )第1题图A. 2B.3C. 4D. 5【解析】 如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n ≠2.第1题答图2. (2012，河北)如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C .若∠BOD ＝38°，则∠A ＝ 52°.第2题图【解析】∵∠BOD ＝38°，∴∠AOC ＝38°.∵AC ⊥CD ，∴∠A ＝90°－∠AOC ＝ 90°－38°＝52°.直角三角形的判定例1 (2019，滨州)满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C ) A. AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5 B. AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5C. ∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5D. ⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫tan B －332＝0 【解析】 ∵52＋42＝25＋16＝41＝(41)2，∴△ABC 是直角三角形．选项A 不符合题意．∵(3x)2＋(4x)2＝9x 2＋16x 2＝25x 2＝(5x)2，∴△ABC 是直角三角形．选项B 不符合题意．∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∴∠C ＝53＋4＋5×180°＝75°≠90°.∴△ABC 不是直角三角形．选项C 符合题意．∵⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫tan B －332＝0，∴cos A ＝12，tan B ＝33.∴∠A ＝60°，∠B ＝30°.∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．选项D 不符合题意．针对训练1 (2019，三明一模)如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于点M .若CM ＝5，则CE 2＋CF 2＝ 100 .训练1题图【解析】 ∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝12∠ACB ，∠ACF ＝12∠ACD ，即∠ECF ＝12(∠ACB ＋∠ACD)＝90°.∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF.∴EM ＝MC ，MF ＝MC.∴EM ＝MF ＝CM ＝5.∴EF ＝10.由勾股定理，可知CE 2＋CF 2＝EF 2＝100.针对训练2一个三角形的周长为38，第一条边长为a ，第二条边长比第一条边长的2倍多3.(1)用含a 的式子表示第三条边长；(2)若这个三角形为等腰三角形，求a 的值；(3)若a 为正整数，则此三角形能否为直角三角形？说明理由． 解：(1)由题意，得第二条边长为2a ＋3. 所以第三条边长为38－a －(2a ＋3)＝35－3a .(2)由三边关系，可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋（2a ＋3）＞35－3a ，a ＋（35－3a ）＞2a ＋3.解得513＜a ＜8.∵a ≠2a ＋3， ∴分两种情况．①a ＝35－3a ，解得a ＝834.不符合三边关系，舍去．②2a ＋3＝35－3a ，解得a ＝625.符合三边关系．∴a ＝625.(3)此三角形不能为直角三角形．理由：∵513＜a ＜8，且a 为正整数，∴a ＝6或7.当a ＝6时，三边长为6，15，17，62＋152≠172，不是直角三角形． 当a ＝7时，三边长为7，17，14，72＋142≠172，不是直角三角形． 综上可知，此三角形不能为直角三角形．直角三角形的性质例2 (2019，安徽模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是BC 边的中点，P 是边AB 上的动点．若要使△BPD 为直角三角形，则BP ＝（165或5 ）.例2题图【解析】 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝62＋82＝10.∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BD ＝4.分两种情形：①当∠DPB ＝90°时，△DPB ∽△ACB ，∴BP BC ＝BDAB.∴BP 8＝410.∴BP ＝165.②当∠PDB ＝90°时，易证DP ∥AC.∵CD ＝DB ，∴AP ＝PB ＝5.综上所述，满足条件的PB 的值为165或5.针对训练3 (2019，上海)如图，已知直线l 1∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C 在l 1上，30°角的顶点A 在l 2上．如果边AB 与l 1的交点D 是AB 的中点，那么∠1＝120°.训练3题图【解析】 如答图．∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC.∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°.∴∠2＝∠DCA ＋∠DAC ＝60°.∵l 1∥l 2，∴∠1＋∠2＝180°.∴∠1＝180°－60°＝120°.训练3答图一、 选择题1. (2019，深圳福田区模拟)下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是(C )A. 两边之和大于第三边B. 内角和等于180°C. 两个锐角的和等于90°D. 有一个角的平分线垂直于这个角的对边【解析】 任意一个三角形两边之和都大于第三边，选项A 不符合题意．任意一个三角形的内角和都等于180°，选项B 不符合题意．只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，选项C 符合题意．等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而除等腰直角三角形外其他直角三角形没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，选项D 不符合题意． 2. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，AD ＝ED ＝3，则BC 的长为(D )第2题图A. 32B. 3 3C. 6D. 62【解析】 ∵AD ＝ED ＝3，AD ⊥BC ，∴△ADE 为等腰直角三角形．根据勾股定理，得AE ＝32＋32＝3 2.∵在Rt △ABC 中，E 为BC 的中点，∴AE ＝12BC.∴BC ＝2AE ＝6 2.3. (2019，益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【解析】 如答图，AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2＋2＋1＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形．第3题答图4. (2019，成都)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起．若∠1＝30°，则∠2的度数为(B )第4题图A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°【解析】 如答图．∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝∠1＝30°.∵△ADE 是等腰直角三角形，∴∠ADE ＝45°.∴∠2＝45°－30°＝15°.第4题答图5. (2019，宁波)已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D .若∠1＝25°，则∠2的度数为(C )第5题图A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【解析】 如答图，设AB 与直线n 相交于点E ，则∠AED ＝∠1＋∠B ＝25°＋45°＝70°.∵直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°.第5题答图6. (2019，张家口一模)如图，长为8 cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3 cm 至点D ，则橡皮筋被拉长了(A )第6题图A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm【解析】 ∵C 为AB 的中点，∴AC ＝12AB ＝4 cm ，AD ＝BD.根据题意，得DC ⊥AB ，CD ＝3 cm .在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD ＝AC 2＋CD 2＝5(cm )．∴AD ＋BD －AB＝2AD －AB ＝10－8＝2(cm )．故橡皮筋被拉长了2 cm .7. (2019，宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)第7题图A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a.由勾股定理，得c2＝a2＋b2.阴影部分的面积为c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的长为a，宽为a＋b－c，则较小两个正方形重叠部分的面积为a(a＋b－c)．∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．8. (2019，河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若O是AC的中点，则CD的长为(A)第8题图A. 2 2B. 4C. 3D. 10【解析】如答图，连接FC，则AF＝FC.∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO.∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵∠AOF＝∠COB，∴△FOA≌△BOC(ASA)．∴AF＝BC＝3.∴FC＝AF＝3，FD＝AD－AF＝4－3＝1.在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2＋DF2＝FC2.∴CD2＋12＝32.∴CD＝2 2.第8题答图9.(2019，黄石)如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，CD ⊥AB 于点D ，∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E ，F 为边AC 的中点，CD ＝CF ，则∠ACD ＋∠CED 等于(C )第9题图A. 125°B. 145°C. 175°D. 190°【解析】 如答图，连接DF.∵CD ⊥AB ，F 为边AC 的中点，∴DF ＝12AC ＝CF.∵CD ＝CF ，∴CD ＝CF ＝DF.∴△CDF 是等边三角形．∴∠ACD ＝60°.∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°.∵∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E ，∴∠DCE ＋∠CDE ＝65°.∴∠CED ＝115°.∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第9题答图二、 填空题10. (2019，黔东南州)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．如果EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为 3 .第10题图【解析】 由勾股定理，得BC ＝EC 2－EB 2＝ 3.∴正方形ABCD 的面积为BC 2＝3.11. (2019，东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是（ 6＋43 ）.【解析】 如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC.在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝ 3.由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝3，∴BC ＝2BD ＝6.∴△ABC的周长为6＋23＋23＝6＋4 3.第11题答图12. (2019，南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.第12题图【解析】 由题意，可得杯子内细木筷的长度最长为122＋92＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有20－15＝5(cm )．13. (2019，北京)如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB ＋∠PBA ＝ 45 °.(点A ，B ，P 是网格线的交点)第13题图【解析】 如答图，延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2＝BD 2＝12＋22＝5，PB 2＝12＋32＝10，∴PD 2＋DB 2＝PB 2.∴∠PDB ＝90°.∴∠DPB ＝∠PAB ＋∠PBA ＝45°.第13题答图14. (2019，枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝（ 6－2 ）.第14题图【解析】 如答图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC ＝2AB ＝22，BF ＝AF ＝FC ＝22AB ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝2 2.在Rt △ADF 中，根据勾股定理，得DF ＝AD 2－AF 2＝ 6.∴CD ＝DF －FC ＝6－ 2.第14题答图15. (2019，鄂州)如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝（2或23或27 ）.第15题图【解析】如答图．∵AO＝OB＝2，∠1＝60°，∴当BP1＝2时，∠AP1B＝90°.当∠P2BA ＝90°时，∵∠1＝60°，∴BP2＝OB·tan∠1＝2 3.当∠P3AB＝90°时，∵∠AOP3＝60°，∴AP3＝OA·tan∠AOP3＝2 3.∴BP3＝AB2＋AP23＝27.综上所述，当△APB为直角三角形时，BP的长是2或23或27.第15题答图三、解答题16. (2019，大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离；(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(2)确定C港在A港的什么方向．第16题图解：(1)由题意，可得∠PBC ＝30°，∠MAB ＝60°. ∴∠CBQ ＝60°，∠BAN ＝30°. ∴∠ABQ ＝30°. ∴∠ABC ＝90°. ∵AB ＝BC ＝10 km ，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝102≈14.1(km)． 答：A ，C 两港之间的距离约为14.1 km. (2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝45°.∴∠CAM ＝60°－45°＝15°.∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．17. (2019，呼和浩特)如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝6，b ＝8，c ＝12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系； (2)求证：△ABC 的内角和等于180°；(3)若aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．第17题图(1)解：∠A ＋∠B ＜∠C .(2)证明：如答图，过点B 作MN ∥AC . ∵MN ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，∠NBC ＝∠C .∵∠MBA ＋∠ABC ＋∠NBC ＝180°， ∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°. 即△ABC 的内角和等于180°. (3)证明：∵aa －b ＋c ＝12（a ＋b ＋c ）c ，∴ac ＝12(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝12[(a ＋c )2－b 2]．∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是直角三角形．第17题答图1. (2019，绵阳)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别相交于点F ，G ，连接AC 分别交EF ，EG 于点H ，K .若BG ＝32，∠FEG ＝45°，则HK 的长是(B )第1题图A.223 B. 526 C. 322 D. 1326【解析】 ∵∠ADC ＝90°，CD ＝AD ＝3，E 是CD 的三等分点，∴AC ＝32，CE ＝1，DE ＝2.∵AB ＝5，BG ＝32，∴AG ＝72.∵AB ∥DC ，∴△CEK ∽△AGK.∴CE AG ＝CK AK ＝EK KG .∴172＝CK AK ＝EKKG.∴CK AK ＝EK KG ＝27.∵CK ＋AK ＝32，∴CK ＝223.如答图，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，则四边形ADEM 是矩形．∴EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2，∴MG ＝32.∴EG ＝EM 2＋MG 2＝352.∵EKKG＝27，∴EK ＝53.∵∠HEK ＝∠KCE ＝45°，∠EHK ＝∠CHE ，∴△HEK ∽△HCE.∴HC HE ＝HE HK ＝CE EK＝153＝35.∴设HE ＝3x ，HK ＝5x.∴5x ＋2233x ＝35.解得x ＝106.∴HK ＝526.第1题答图2. (2019，齐齐哈尔)在等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为 15°或45°或75°.【解析】 本题分三种情况．①如答图①，当点B 是顶角顶点时，∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴AD ＝CD.∵BD ＝12AC ，∴BD ＝AD ＝CD.在Rt △ABD 中，∠A ＝∠ABD ＝12×(180°－90°)＝45°.②如答图②，当点B 是底角顶点，且BD 在△ABC 外部时，∵BD ＝12AC ，AC ＝BC ，∴BD ＝12BC.∴∠BCD ＝30°.∴∠ABC ＝∠BAC ＝12×30°＝15°.③如答图③，当点B 是底角顶点，且BD 在△ABC 内部时，∵BD ＝12AC ，AC ＝BC ，∴BD ＝12BC.∴∠C ＝30°.∴∠ABC ＝∠BAC ＝12×(180°－30°)＝75°.综上所述，等腰三角形ABC 底角的度数为15°或45°或75°.第2题答图3. (2019，湖州南浔区二模)【尝试探究】如图①，等腰直角三角形ABC 的两个顶点B ，C 在直线MN 上，D 是直线MN 上一个动点(点D 在点C 的右边)，BC ＝3，BD ＝m ，在△ABC 同侧作等腰直角三角形△ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，EF ⊥MN 于点F ，连接CE .(1)求DF 的长；(2)在判断AC ⊥CE 是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题． 思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2＋CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程． 【拓展探究】(3)如图②，将图①中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，BC ＝3，BD ＝m .判断AC ⊥CE 是否成立，并说明理由．第3题图(1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴AB ＝BC ，AD ＝DE ，∠ADB ＋∠EDF ＝90°. ∵EF ⊥MN ，∴∠DEF ＋∠EDF ＝90°. ∴∠ADB ＝∠DEF .在△ABD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠DEF ，∠ABD ＝∠DFE ＝90°，AD ＝DE ，∴△ABD ≌△DFE (AAS)．∴DF＝AB＝BC＝3.(2)证明：思路一：由(1)，得△ABD≌△DFE，∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.∴CF＝EF.∵EF⊥MN，∴∠ECF＝45°.∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.思路二：由(1)，得△ABD≌△DFE，DE＝AD.∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.由勾股定理，得DE2＝DF2＋EF2＝32＋m2＝9＋m2.∴AE2＝2DE2＝2(9＋m2)．∵AC2＝32＋32＝18，CE2＝CF2＋EF2＝2m2，∴AC2＋CE2＝AE2.∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.(3)解：AC⊥CE成立．理由：如答图，过点E作EF⊥MN. ∴∠DEF＋∠EDF＝90°.∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠EDF＝90°.∴∠ADB＝∠DEF.∵∠ABC＝∠EFD＝90°，∴△ABD∽△DFE.∴EFBD＝DFAB＝DEAD＝tan∠DAE＝tan 30°＝33.∴EF＝3m 3.∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝3 3.∴DF＝33AB＝3.∴DF＝BC.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.∴在Rt△CEF中，tan∠ECF＝EFCF＝3 3.∴∠ECF＝30°.∵∠ACB＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.第3题答图。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
中考数学一轮复习第21讲直角三角形与勾股定理教
第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程（一）知识梳理直角三角形的概念、性质与判定b，外接圆勾股定理及逆定理互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互命题、定义、定理、公理述，作出_______（二）题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．（三）典例精讲例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )A、3CMB、6CMC、CMD、CM[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．。
第21讲 等腰三角形与直角三角形
第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）一、【课标考点解读】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和判定；了解等边三角形的概念并掌握等边三角形的性质和判定。
2.了解真角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理。
二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1.（2012•广州）如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为 ．2．（2008•肇庆）如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只需写出一对即可）____________________ ．3．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _____度．4.（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点5．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．16或20三、【知识要点梳理—知识链接】1.等腰三角形（1）定义：_____相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的_______相等；②等腰三角形的_______相等（即等边对等角）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相_____（即三线合一）；④等腰三角形是________图形，有一条对称轴，对称轴是底边的_______________。
（3）判定：①有_______相等的三角形是等腰三角形；②有________相等的三角形是等腰三角形。
2.等边三角形（1）定义：_________相等的三角形叫做等边三角形。
第二十一讲 相似三角形的性质(含答案)-
第二十一讲 相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2．相似三角形周长之比等于相似比；3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．例题求解 【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC(AD<BC)，AC 、BD 交于点O ，若S △OAB =256S 梯形ABCD ，则△AOD与△BOC 的周长之比是 ．(2001年浙江省绍兴市中考题)思路点拨 只需求BCAD的值，而题设条件与面积相关，应求出BOC AOD S S ∆∆的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．注 相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用． 人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确 性．使教学具有不可动摇的说明力．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中．E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =( )A ．4：10：25B ．4：9：25C ．2：3：5D ．2：5：25 (2001年黑龙江省中考题)思路点拨 运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比． 【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm ，BC=3㎝，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．思路点拨 要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．注 本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．【例4】 如图．在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作3条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的3个三角形1t 、2t 、3t 的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积．(美国数学邀请赛试题)思路点拔 图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．【例5】 如图，△ABC 中．D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且∠l ＝∠2=∠3，如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是m 、m 1、m 2，证明：4521≤+m m m ． (全国初中数学联赛试题)思路点拨 把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明．注 例4还隐舍着下列重要结论： (1)△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； (2)1=++BCHGAC IE AB DF ； (3) 2=++ACFGAB HI BC DE ．学历训练1．如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S △DOE ：S △COB =9：16，则AD ：DB= ． 2．如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是 ． (2003年江西省中考题)（第1题） （第2题） （第4题）3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 ． (2000年武汉市中考题) 4．阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a ：b ，设S 甲：S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66b a ba S S ==乙甲，又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，则333)(b a b a V V ==乙甲． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个圆锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ． (2001年江苏省泰州市中考题)5．如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=b ㎝，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 于( )A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：3 (2004年南京市中考题)（第5题） （第6题） （第7题）6．如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，∠DBC=∠A ，已知BC=2，△BCD 与△ABC 的面积的比是2：3，则CD 的长是( ) A.34 B.3 C ．232 D ．334 7．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31=AC AD ，AE=BE ，则有( ) A ．△AED ∽△BED; B ．△AED ∽△CBD;C ．△AED ∽△ABD; D ．△BAD ∽△BCD. (2001年杭州市中考题) 8．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：FD ：FB=1：2：3，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于( )A ．1：9：36B ．l ：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36（第8题） （第9题） 9．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD=∠B ，求证：ADBCCD AB =22． 10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ．(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF 的长． (2003年长沙市中考题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ 的长． (2002年厦门市中考题)12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC=2，在BC 上有100个不同的点P l 、P 2、…P 100，过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P 1E 1F 1G 1，P 2E 2F 2G 2…P 100E 100F 100G 100，设每个内接矩形的周长分别为L 1、L 2，…L 100，则L 1+L 2+…+L 100= ． (安徽省竞赛题) 13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，则△ABC 的面积为 ．（第12题） （第13题） （第14题）14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是 厘米2． (第11届“希望杯”邀请赛试题)15．如图，正方形ABCD 中，AE ＝EF=FB ，BG=2CG ，DE ，DF 分别交AG 于P 、Q ，以下说法中，不正确的是( )A ．AG ⊥FDB ．AQ ：QG ＝6，7C ．EP ：PD=2 ： 11D ．S 四边形GCDQ ：S 四边形BGQF =17：9 (2002年重庆市竞赛题) 16．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD=3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于( )A ．2B ．23 C ．215+ D ．215-（第15题） （第16题） （第17题） 17．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S 1=1，S 2=3和S 3=1，那么正方形OPQR 的边长是( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．318．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a 、b 、c ，且a ＞b ＞c d ，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?19．如图，△PQR 和△P ′Q ′R ′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为AB= a 1，BC =b 1，CD= a 2，DE= b 2，EF= a 3，FA =b 3 ．求证：a 1 +a 2 +a 3= b 1+ b 2 +b 3．20．如图，在△ABC 中，AB=4，D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合)，DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD ，设S △ABC = S ，S △DEC =S 1． (1)当D 为AB 中点时，求SS 1的值； (2)若AD= x ，y SS =1，求y 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； (3)是否存在点D ，使得S S 411>成立?若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由． (2002年福州市中考题)21．已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D ． ①在图甲中，证明：PC=PD ；②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比． (2)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA ，直线OB 分别交于点C 、E ，使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长．(2003年绍兴市中考题)。
小学六年级数学小升初珍藏版复习资料第21讲 图形与位置(解析)
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第21讲图形与位置知识精讲知识点一：用数对确定位置1.根据行列用数对来表示物体的位置2.竖为列,横为行。
确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从下往上数3.用数对表示物体位置时,先表示列,再表示行,表示形式为(列数,行数)知识点二：根据方向和距离确定位置1.认识方向:要明确方向包括上、下、前、后、左、右、东、南、西、北、东北、东南、西南、西北等。
2.理解方向和距离两个条件对确定位置的作用,并能根据方向和距离确定物体的位置。
当两个物体从自己的位置观察对方的时候,其方向是相对的。
3.观察方向：根据方向和距离确定位置，要明确四要素:观测点、方向、偏向角度的度数和距离。
知识点三：简单的路线图1.看懂并描述路线图：（1）弄清方向；（2）根据给出的比例尺求出实际距离；（3）弄清按什么方向走及走多远。
2.画出路线图：(1)确定方向;(2)根据实际距离和图纸的大小确定比例尺;(3)求出图上距离;(4)以某一点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。
提高达标百分练一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2022•崇川区）一个长方形花圃，长是30米，宽是25米，把它画在比例尺是1：1000的图纸上，这个花圃的图上面积是（）平方厘米。
A．750 B．75 C．7.5 D．0.75【思路点拨】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别求出长方形花圃的图上距离，再根据长方形的面积＝长×宽解答。
【规范解答】解：30×＝0.03（米）0.03米＝3厘米25×＝0.025（米）0.025米＝2.5厘米3×2.5＝7.5（平方厘米）答：这个花圃的图上面积是7.5平方厘米。
故选：C。
【考点评析】熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系是解题的关键。
2．（1分）（2022•崇川区）小军和小明是好朋友，根据如图的位置信息，下面描述正确的是（）A．小明家在小军家北偏东60°方向5千米处B．小明家在小军家北偏东60°方向2.5千米处C．小军家在小明家南偏西30°方向5千米处D．小军家在小明家南偏西30°方向2.5千米处【思路点拨】地图的方位是上北下南左西右东。
第21讲┃直角三角形与勾股定理
条件 结论 每个命题都由 ______和______ 两个部分组成
公认的真命题称为________ 公理
除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理 的过程称为________ 定理 证明 ．经过证明的真命题称为________
第21讲┃直角三角形与勾股定理
归 类 探 究
探究一 直角三角形性质
图 21－6 请解答下列问题： 3； (1)S1＝________ 1＋ 3 3n －1 8 1＋ · (n 为整数) (2)通过探究，用含 n 的代数式表示 Sn，则 Sn＝ ________________. 8 4
第21讲┃直角三角形与勾股定理
考点2 勾股 定理 勾股 定理 的逆 定理 勾股数 勾股定理及逆定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 2＋b2＝c2 的平方．即：a ________ 如果三角形的三边长a、b、c有关系： 逆定 2 a________ ＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角 理 形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途 证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问 题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称 为勾股数
图 21－5
第21讲┃直角三角形与勾股定理
解
1 析 第 1 个三角形的面积为1， 第 2 个三角形的面积为 2 2
2
1 2 × ( 2) ＝1，第 3 个三角形的面积为 × 2 ＝2，第 4 个三 2 1 1 2 2 角形的面积为 × ( 8) ＝4，第 5 个三角形的面积为 × 4 2 2 1 ＝8， 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 2 31 ＋1＋2＋4＋8＝ . 2
第21讲┃直角三角形与勾股定理
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边； (2)已知直角三角形的一边求另两边的关系； (3)用 于证明平方关系的问题．
第21讲 等腰三角形与直角三角形 参考答案
第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）参考答案二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1. 2 2． PD=PC （答案不唯一） 3． 15 4. D 5． C三、【知识要点梳理—知识链接】1.等腰三角形（1）两边（2）性质：①两腰； ②底角（即等边对等角）；③重合；④轴对称 垂直平分线（3）判定：①两边；②两个角2.等边三角形（1）三边（2）性质：①三边；②三个角，600；③轴对称，3（3）判定：①三边；②三个角；③6003.直角三角形（1）性质：①互余；②一半 （2）判定：①直角；②中线4. 勾股定理及其逆定理（1）平方和 平方 （2）平方和 平方五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________1. C2. ()12-n3. C 4．Ｃ六、【中考演练二----2010-2012年中考题】得分___________ 1．360 2．30 3．B 4．C5．证明：∵AE 平分∠DAC ， ∴∠1=∠2，∵AE ∥BC ， ∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∴∠B=∠C ，∴AB=AC ．6.解：在Rt △ABC 中，∵AC=8m ，BC=6m ， ∴AB=10m ，（1）当AB=AD 时，CD=6m ，△ABD 的周长为32m ；（2）当AB=BD 时，CD=4m ，AD=54m ，△ABD 的周长是（20+54）m ；（3）当DA=DB 时，设AD=x ，则CD=x-6，则()22286+-=x x ，∴325=x ，∴△ABD 的周长是380m ， 答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m 或（20+54）m 或380m . 七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________1．B 2．C 3．D 4．B 5. 3 6．4 7．18 8．3第5题9．解：仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．答：四边形ABCD 的面积是36．。
中考数学第四单元“三角形”复习课件
第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.
第21讲直角三角形
例 2 如图，△ ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与△ ACP′重合，如果 AP＝ 3，那么 PP′的长 等于( ) A． 3 2 B．2 3 C．4 2 D．3 3
【点拨】本组题考查直角三角形的基础知识和相关性质、判定．
例 4． 有一张直角三角形纸片， 两直角边长 AC＝6 cm， BC＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE(如图)，则 CD 等于( )
拓展
考点2
勾股定理及逆定理
勾股 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 2 2 2 a ＋ b ＝ c 定理 c 的平方．即：____________ 勾股 如果三角形的三边长 a、b、c 定理 逆定理 有关系： ____________ ，那么 a2＋b2＝c2 的逆 这个三角形是直角三角形 定理 （直 (1)判断某三角形是否为直角三 角三 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3) 角形 解决生活实际问题 的判 定） 勾股 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 数 称为勾股数
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
定义
直角三角形的概念、性质与判定
直角 的三角形叫做直角三角形 有一个角是________
(1)直角三角形的两个锐角互余
性质
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ____________ 斜边的一半
斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于____________
第16讲┃ 直角三角形
6．将一副直角三角板，按如图 16－ 7 所示叠放在一起，则 图中∠ α 的度数是 ________ 75° ．
2013届华东师大版数学全国中考复习方案第21讲直角三角形与勾股定理
图 21－ 5
第21讲┃ 回归教材
请解答下列问题： 3 ； (1)S1＝________ 1＋ 8 (2)通过探究，用含 n的代数式表示 Sn，则Sn＝ 3 3 n － 1 ________________. (n为整数) 1＋ 8 · 4
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图 21－ 2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 )，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处．
定义 分类
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 互逆命题、互逆定理
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做 ________ 原命题 ，那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________
第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在 Rt△ ABC中， AC＝ 9， BC＝ 12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝ 15，过 C作 CD⊥ AB，交 AB于点 D， 1 1 又 S△ ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.
图 21－ 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝ 4， BC＝ 4， CC1＝ 5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点 B1到最短路径的距离．
21勾股定理及证明
初中数学勾股定理及其证明编稿老师蔡宝霞一校杨雪二校黄楠审核隋冬梅【考点精讲】知识点1 勾股定理如果直角三角形中两条直角边为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2。
注意：勾股定理应用的前提条件必须是直角三角形，解题时，只能是在同一直角三角形中，才能利用它求第三边的长。
知识点2 勾股定理的证明对于勾股定理的内容，世界上几个文明古国相继发现和研究过这个定理，并给出了勾股定理的许多证明，有人统计，现在世界上已找出370多种运用图形的割、补、移、拼表示出方法指导思想手段目的拼图法数形转换图形的拼补各部分面积和等于整体面积，整理变形推导出勾股定理。
【典例精析】例题1如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。
利用这个图试说明勾股定理。
思路导航：根据大正方形面积＝四个相同直角三角形面积＋小正方形面积，得c2＝4×12ab＋（a－b）2即得c2＝a2＋b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理。
点评：应用图形的面积关系证明勾股定理内容时，通常是根据图形的面积和差之间的关系建立等式，从而推导得出勾股定理的内容。
例题2 观察探究：小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD沿逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC'′。
设AB＝b，BC＝a，AC ＝c。
（1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2－b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；（2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2。
思路导航：（1）根据题意作出长为（a＋b），宽为（a－b）的长方形图形；（2）四边形BCC′D′的面积从大的方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式即为所求，如图所示。
初中数学竞赛第二十一讲数形结合(含解答)
第二十一讲 数形结合【趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的:如图,D 是三角形ABC•的边AB 上一点,其上有一只小蚂蚁,它首先从D 点沿平行于BC 的方向爬行到AC 边上的E 点;•再从E 点沿平行于AB 方向爬到BC 边上的F 点;再从F 点沿平行于AC 的方向爬行到AB 边上的G 点……,这样每从一边爬到另一边算爬一次,•那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少n 次回到D 点,那么n 的值等于多少?•加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?解析 (1)若D 是AB 中点,则n=3;(2)若D 不是AB 中点,可证明6次后蚂蚁回到出发点D,如图,•因蚂蚁行走路线都是与△ABC 各边平行的,所以 AD AE BF BG CH CK AM BD EC FC GA AH BK BM ======, ∴AD BD AM BM BD BM ++=.即AB AB BD BM= ∴BD=BM,即M 与D 重合,n=6.当第(1)种情况时,蚂蚁回家的总路线长是△ABC 各边和的一半,•只要知道△ABC 各边长即可求解;当第(2)种情况时,只要知道△ABC 各边长和AD 、DG 或AE 、EH 等即可求解.请读者计算一下.点评数与形是一个不可分割的整体,数体现形的大小,形状,•而形又是抽象的数量关系形象化,数形结合能使我们容易把握问题的实质.【知识延伸】例 求函数y=21x ++2(4)4x -+的最小值. 解析 构造如图所示的两个直角三角形,即Rt △PAC,Rt △PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,PD=4-x,求最小值可转化为:在L 上求一点P,使PA+PB 最小.取点A 关于L 的对称点A ′连结A ′B,则A ′B 与L 的交点即为所求P 点,故PA+PB 的最小值即是线段A ′B 在Rt △A ′EB 中,A ′B=2234+, 故函数y 的最小值为 5. 点评此题若用代数方法来解很麻烦,通过对函数形式观察,发现:21x +可以看成是以x 、•1为直角边的三角形的斜边,2(4)4x -+可以看成是以(4-x),2为直角边的斜边,•此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值,于是可构造图形来解决.【好题妙解】佳题新题品味例1 在直径为AB 的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,•顶点C 在半圆周上,其他两边分别为6和8.现在建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN,其中,DE 在AB 上,如图21-3的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC 中AB 边上的高h;(2)设DN=x,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大?(3)实际施工时,发现AB 上距B 点1.85m 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?解析 (1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8;(2)∵△CNF ∽△CAB,∴h DN NF h AB -=. ∴NF=10(4.8)4.8x -. 则S DEFN =x ·104.8·(4.8-x)=104.8-(x 2-4.8x). 故当x=2.4时,S DEFN 最大;(3)当S DEFN 最大,x=2.4时,F 为BC 中点,在Rt △FEB 中,EF=2.4,BF=3.∴BE=22BF EF +=229 2.4-=1.8.∵BM=1.85,∴BM>EB.故大树位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.∵x=2.4时,DE=5,∴AD=3.2.点评本例应用二次函数的性质求解,并综合了相似三角形,圆等几何知识.•题目设计新颖,有较强的创新特色.例2正数x,y,z满足22222225,39,316.yx xyyzz xz x⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩试求xy+2yz+3xz的值.解析如图21-4,构造一直角三角形PQR,由条件可知:△PQR内有一点,使OQ=z,OP=3y,OR=x,则S△PQR=S△OPR+S△OPQ+S△OQR.即12×3×4=12×x×3ysin150º+12·3y+12·z·x·sin120º,∴6=43xy+23yz+34xy.∴xy+2yz+3xz=243.点评此题条件复杂,若想通过代数方法求解,势必十分困难,通过观察,利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易.例3 已知方程│x│=ax+1有一负根而没有正根,求实数a的取值范围.解析如图21-5,方程│x│=ax+1的根就是函数y1=│x│和y2=ax+1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根,就是过点(0,1)的直线y1=x+1只与直线y=-x(•x≤0)相交而不与直线y=x(x≥0)相交.在同一坐标系中作出y1=│x│与y2=ax+1•的图象,观察图象知,-1≤-1a<0,∴a≥1.全能训练A级1.函数y=21ax bx c++(a>0),无论x取任何实数,函数总有意义的条件是_______.2.已知边长为a的正方形,内接一个边长为b的正方形,求证:b<a b .3.已知a、b、x、y都是正数,且a2+b2=x2+y2=ax+by=1,求证:a2+y2=b2+x2=1,且ab=xy.1.b 2-4ac>0.2.提示:如图,由题意可得221()2x y a xy a b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 构造方程,由△≥0即得结论.3.构造出以1为直径的圆内接四边形ABCD,如图,使AB=a,AD=b,BC=y,DC=x,•由托勒密定理知ax+by=AC ·BD=1,而BD=1.∴AC=1即圆的直径.∴四边形ABCD 为矩形.故可得a=x,b=y.∴a 2+y 2=b 2+x 2=1,且ab=xy.B 级1.已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足:a+A=b+B=c+C=10.求证:a ·B+b ·C+c ·A<100.•2.已知正数a 、b,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.1.提示:构造等边△DEF如图,使DE=a+A,EF=c+C,FD=B+b,由S1+S2+S3<S△DEF可得结论.2.提示:如图,构造点P(-2,-2),Q(a,b),则不等式左边是PQ2,Q是线段AB上的点,AB的中点为C,则可求得PC=52,由PQ≥PC可得结论.。
小学奥数讲座标准教案-学案-六年级第21讲 时 钟 问 题(1)
第21讲时钟问题（一）如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。
另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511分。
【例 1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒1. 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。
第21讲直角三角形
∴BE=
BD=
×3=3
，
故选 D．
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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1．已知在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则 BC∶AC∶AB
考的值为( C )
点 A．1∶2∶3
AB
左边阴影部分的面积为
S1，右边阴影部分的
面积和为 S2，则( )
举
A．S1＝S2 B．S1<S2
一 反
C．S1>S2 D．无法确定
三
【解析】∵AB2＝BC2＋AC2，∴π(A2B)2＝π·(B2C)2＋π·(A2C)2，
考 点
∴S1＝S2.
训 练
【答案】A
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精
讲( )
中
考
典
例
精
析
举 A．30° B．45° C．60° D．75°
一
反
三
【解析】α＝30°＋45°＝75°.
考
点 训 练
【答案】D
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考 点 知 识 精 讲
中
考
典 例
9．(预测题)如图，在 Rt△ABC 中，以三边 AB、BC、CA 为直径
精 析
向外作半圆，设直线
精 析
3 A.2
7 B.6
25 C. 6
D．2
举 【解析】连结 AE，∵DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE.设 CE＝x，
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A．32
B．64
C．128 D．256
解析：易证△OAB∽OHI，∴S△OAB∶S△OHI＝(OA∶OH)2＝(8 2∶1)2＝128.
答案：C
5．(2008·金华)把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C，B，E在同 一条直线上，连结CD，若AC＝6 cm，则△BCD的面积是________ cm2.
解：(1)不变化，理由：∵∠AOB＝90°，P为AB中点， 1 ∴OP＝ AB. 2 (2)设OA＝x，OB＝y.∵x2＋y2＝(2a) 2＝4a2， x2＋y2 1 2 2 又∵S△ AOB＝ xy且x ＋y ≥2xy，即xy≤ . 2 2 1 ∴ xy≤a2，∴当x＝y＝ 2a时△AOB的面积最大，最大值为a2. 2
解析：∵AB2＝BC2＋AC2，∴π(
答案：A
(
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是 )
A．2.5 C．4
B．3 D．5
解析：根据垂线段最短知AP≥3，∴AP≠2.5. 答案：A
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3,5,2,3，则最大正方形E的面积是( )
知识点
直角三角形的性质与判定
1．性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30°； (5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．判定 (1)有一个角是90°的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形； (4)有两个角互余的三角形是直角三角形．
A．13
B．26
C．47 D．94
解析：由勾股定理得 答案：A
SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝3＋5＋2＋3＝13.
二、填空题 9．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ________度．
解析：∠1＋∠2＝360°－90°＝270°.考查四边形的内角和、直角三角形的两锐角互余． 答案：270
解：在Rt△ADC中，AC＝ AD 2＋CD2＝ 82＋62＝10 (cm) 在△ABC中，AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676. ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. 1 1 ∴S阴影＝SRt△ ABC－SRt△ ACD＝ AC·BC－ AD·CD 2 2 1 1 ＝ ×10×24－ ×8×6＝96(cm2) 2 2 答：图中阴影部分的面积是96 cm2.
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
解析：图中全等的直角三角形有：Rt△ABD≌Rt△CDB，Rt△ADE≌Rt△FCE， Rt△BDC≌Rt△FDC，Rt△ABD≌Rt△DCF共4对．
答案：B
4．下列几组数据：(1)8,15,17；(2)7,12,15；(3)12,15,20；(4)7，24,25.其中是勾股数组的 有______组．( ) A．1 B．2 C．3 D．4
A．32° B．58° C．68° D．60°
解析：题中隐含条件直尺的对边平行，易得∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝58°. 答案：B
3．(2008·湖州)利用图①或图②两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个 十分著名的定理，这个定理称为____________，该定理的结论其数学表达式是 __________________．
14．如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的 中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． (1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由； (2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求 出面积的最大值．
10．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝35°，那么∠2 ＝________°.
解析：观察图可得 ∠1＋ ∠2＝ 90°， ∴∠2＝ 90°－ ∠1＝ 55°. 答案：55
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的 一条直角边重合，则∠1的度数为________．
1．有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与 点A重合，折痕为DE(如下图)，则CD等于( )
A.
22 7 5 25 cm B. cm C. cm D. cm 4 3 4 3
解析：设CD为x cm，则AD＝BD＝(8－x) cm，又AC＝6 cm，在Rt△ACD中，根据勾股 7 定理得62＋x2＝(8－x)2，所以x＝ . 4
答案：6.5
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D在AB边上，点E是BC边 上一点(不与点B、C重合)，且DA＝DE，则AD的取值范围是________．
答案：2≤ AD ＜3
5．(1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； (2)如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点共线，试证明 ∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定 理(1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程．
【点拨】(1)考查勾股定理的判定定理，用较小两数的平方和与最大数的平方比较，相 等则构成直角三角形． (2)考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，AB＝2CD＝8 cm. (3)注意仔细审题，探究的是AE与EF的数量关系．
【解答】(1)C (2)8 (3)解：由已知可知HB＝EB，又AB＝BC，∴AH＝CE. ∵∠HAE＝∠B＋∠AEB，∠FEC＝∠FEA＋∠AEB， 又∠FEA＝∠B＝90°，∴∠HAE＝∠FEC.
答案：C
6．如图，在Rt△ABC中，以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边的 阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S 2，则( )
A．S1＝S2 C．S 1>S2
B．S 1<S2 D．无法确定
AB 2 BC AC ) ＝π·( )2＋π·( )2，∴S1＝S2. 2 2 2
解析：判断勾股数组的条件： ①都是正整数； ②较小两数的平方和等于最大数的平 方． (1)、 (4)满足此条件． 答案：B
5．如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中， 边长为无理数的边数有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析：根据勾股定理得AC＝5，AB＝ 26，BC＝ 13，无理数2个．
答案：C
2．将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm、高为55 cm的圆柱形容器中，圆桶放置的角度 与水平线的夹角为45°.若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中的水的深度至少应为 ( )
A．40° B．30° A 40° B 30° C．20° D．10°
解析：由折叠可得∠CA′D＝∠A＝50°，又∠CA′D＝∠B＋∠A′DB，∠B＝40°， ∴∠A′DB＝∠CA′D－∠B＝50°－40°＝10°.
答案：D
3．如图所示，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F， 则图中全等的直角三角形共有( )
解析：由三角形外角和定理得∠1＝45°＋30°＝75°. 答案：75°
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边 AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移 动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的 面积最小．
第4讲 直角三角形 讲
直角三角形的性质与判定．
1．(2009·宁波)等腰直角三角形的一个底角的度数是( A．30° B．45° C．60° D．90°
)
解析：因为等腰直角三角形的两底角相等且互余，∴每个底角是45°. 答案：B
2．(2009·金华)如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝ 32°，那么∠2的度数是( )
1 解析：面积法S图①＝c2＝ ab×4＋(b－a)2，∴a2＋b2＝c2. 2
答案：勾股定理
a2＋b2＝c2
4．(2008·温州)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等 腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的 面积比值是( )
(1)(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2 (2)证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE. 又∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠BCA＋∠DCE＝90°， 又B、C、D三点共线，即∠BCD＝180°.∴∠ACE＝90°. 1 1 1 (3)证明：∵SRt△ ABC＝ ab，SRt△CDE＝ ab，SRt△ ACE＝ c2. 2 2 2 1 ∴S梯形 ABDE＝SRt△ ABC＋SRt△CDE＋SRt△ ACE＝ab＋ c2. 2 1 1 ∵S梯形 ABDE＝ (a＋b)(a＋b)＝ (a＋b)2， 2 2 1 1 ∴ab＋ c2＝ (a＋b) 2.由(1)得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， 2 2 1 1 ∴ab＋ c2＝ (a2＋2ab＋b2)，∴a2＋b2＝c2. 2 2
类型
直角三角形的性质与判定
(1)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6 (2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝________ cm. (3)如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作 EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．