(部编版)2020新课标版备战高考数学二轮复习难点2.8最值问题和探索性问题测试卷理37
新课标版备战高考数学二轮复习难点2.8最值问题和探索性问题教学案文40
立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1 立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例１【河南省中原名校2018届第五次联考】如图甲，在四边形ABCD 中， 23,2AD CD ==， ABC ∆是边长为4的正三角形，把ABC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得平面PAC ⊥平面ACD ，如图乙所示，点,,O M N 分别为棱,,AC PA AD 的中点．（1）求证： AD ⊥平面PON ；（2）求三棱锥M ANO -的体积．思路分析：（1）在正三角形APC ∆中可得PO AC ⊥，有根据题意得到PO ⊥平面ACD ，从而得PO AD ⊥，计算可得AD CD ⊥．由,O N 分别为棱,AC AD 的中点，得到//ON CD ，故ON AD ⊥．根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PON ．（2）由条件得23ACD S ∆=，故1342NAO ACD S S ∆∆==，又可得点M 到平面ANO 的距离为1h 32OP ==M ANO -的体积．点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．2 立体几何中的最值问题 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径．例2【宁夏育才中学2018届第三次月考】一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为__________． 【答案】53【解析】设大正四面体的内切球半径为r ，则222211311353455532323r ⎛⎫⨯⨯⨯=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭得612r =.设小正四面体棱长的最大值为x ，内切球为小正四面体的外接球，则2223633r x x r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222563656123312x x ⎛⎛⎫⎛=+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得53x =.点评：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等．3 立体几何中的探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例3【江西省2018届1月联考】如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去一部分而成， D 是1AA 的中点.（1）若1AD AC ==， AD ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，求点C 到面11B C D 的距离；（2）若E 为AB 的中点， F 在1CC 上，且1CC CFλ=，问λ为何值时，直线//EF 平面11BC D ？思路分析：（1）由BC CD ⊥， 1CD C D ⊥，可得CD ⊥面11DC B ，即点C 到面11B C D 的距离等于CD ；（2）当4λ=时，直线//EF 平面11BC D ，理由如下：取1DB 的中点H ，连接EH ，可得1////AD EH CC ，当132C F EH ==时，四边形1C FEH 为平行四边形，即EF HC P .点评：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明了充分性综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛．折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决．解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．。
高考数学难点突破难点(化归思想-探索性问题-应用问题)
技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵 魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.
则 lim an 的值为( ) b n
n
4
6
4
A.
B.1
C.
D.
3
3
9
二、填空题
3.（★★★★）某房间有 4 个人，那么至少有 2 人生日是同一个月的概率是
.
（列式表示即可）
4（. ★★★★★）函数 f(x)=x3–3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则 b 的取值范围是
.
三、解答题
5.（★★★★）已知 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R 是参数）.
工作原理如下：
①输入数据 x0∈D，经数列发生器输出 x1=f(x0)；
②若 x1 D，则数列发生器结束工作；若 x1∈D，则将 x1 反馈回输
入端，再输出 x2=f(x1)，并依此规律继续下去.
4x 2 现定义 f (x)
x 1
49
（1）若输入 x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的
(1)当 t=–1 时，解不等式 f(x)≤g(x);
(2)如果 x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数 t 的取值范围.
6.（★★★★★）已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且 a1、a2、a3、……、an
2020高考数学专题复习----探索性专题
三、高考复习建议1.复习建议：（1）在第二轮复习的过程中要重视对探索性问题的专题训练,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些，难度由浅入深; （2）近几年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何,今年高考这些内容还是出探索性问题的热点（特别是解答题）,应加强对这些内容的研究；（3）注意总结探索性问题的解题策略。
2.解题策略：解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法：(1)直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；假设结论存在（或不存在），然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等例1.如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）分析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理。
因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。
显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC。
因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1。
由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD ⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD 为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。
(高考第二轮专题复习)高考数学第二轮专题复习 探索性专题
高考中的探索性问题江苏省宿迁中学王爱斌一、高考大纲剖析2003年以前数学考试说明中能力要求没有创新意识。
2004年数学考试说明：能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。
其中创新意识指对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.命题基本原则中指出，创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具.梳理解题程序，为考生展现其创新意识，发挥创造能力，创设广阔的空间.2005年数学考试大纲（必修+选I）：能力要求中创新意识增加了：创新意识是理性思维的高层次表现。
对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创造意识也就越强。
考查要求指出对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。
在考试中创设比较新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,体现思维的发散性。
精心设计考察数学主体内容,体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放型的试题。
两年考试大纲对比，说明今年高考对学生创新意识要求更高，近几年高考试题中对这方面考查主要通过探索性问题来实现的。
那么什么是探索性问题呢?如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.二、高考试题研究高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现．如2003年高考江苏卷第16题（立几）、第20题（解几）；2003年高考全国卷第15题（立几）、第22题（解几）；2003年高考上海卷第12题（填空题，解几）、第21题（Ⅲ）（解几）、第22题（理：集合与函数，文：数列与组合数）；2004年高考江苏卷第6题（统计图）、第13题（表格）；2004年高考上海卷第12题（填空题，数列）、第16题（选择题，招聘信息表）、第21题（3）（立几）、第22题（3）（圆锥曲线）；2004年高考北京卷第14题（填空题，数列）、第20题（不等式证明）；2004年高考福建卷第15题（概率）、第21题（Ⅱ）（导数与不等式）；2005年春季高考上海卷第9题（数列）、第16题（函数）、第21题（2）（函数与直线）、第22题（3）（椭圆）等。
高考数学第二轮考点总复习课件 第33课时 探索性问题
也不一定是数列的一个基本量．
④已知q与an，则an a1qn1，故数列an能确定， 所以q与an是数列an的一个基本量．
1．本题实质上是考查如何确定等比数 列的条件，属于条件探索性问题．
2．条件探索性问题经常和“新定义” 问题联系在一起，解决这类问题的关键是 阅读理解“新定义”，将其转化为相应的 知识进行处理．
a1q，且S3
a1
a1q
a1q 2
a2 q
a2
a2q，
a2q2 a2 S3 q a2 0.
则满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而
不能确定数列，即a2与S3不一定是数列an的基本量．
解析：③由a1与an可得an
a1qn1，则qn1
an a1
.当n为奇
数时，q可能有两个值，故不能确定数列，所以a1与an
综上，圆C上存在点M (2， 2)或M (1， 1)或M (0， 2)，
使MBF为等腰三角形
解析：(2)方法2：假设存在点M (x，y)，使MBF为 等腰三角形．下面分三种情况讨论：
ⅰ( )当FM FB时，因为B 0, 2关于x轴对称的点
(0， 2)也在圆上，所以M (0， 2)． (ⅱ)当BM BF时，因为BF 2 5，又圆C的直径
(写
出所有符合要求的编号)．
切入点：抓住“基本量”的定义进行判断．因为等比
数列an 由首项a1和公比q确定，所以a1和q是等比数
列的“基本量”．判断上述每组的两个量是不是“基本 量”可转化为能否确定a1和q.
解析：①由S1与S2可确定a1和a2，由
a1 a2
q可得公比q，
故能确定数列．
②由条件a2
为2 5，所以BM为圆C的直径，此时由C 1,0、 B0, 2及中点公式得M (2， 2)．
2020-2021学年高考数学二轮复习：第2部分_八大难点突破_难点4_解析几何中的范围、定值和探索性问题_有答案
难点四解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第68页)解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．下面对这些难点一一分析： 1．圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，直线y＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝12与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆D ，若圆D 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABD 的面积；(3)如图1，A 1，A 2，B 1，B 2是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ，设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.【导学号：56394098】图1[解] (1)∵直线y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切， ∴|0－2|2＝b ，化为b ＝1. ∵离心率e ＝32＝c a，b 2＝a 2－c 2＝1，联立解得a ＝2，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)把x ＝12代入椭圆方程可得：y 2＝1－116，解得y ＝±154.∴⊙D 的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝1516.令x ＝0，解得y ＝±114， ∴|AB|＝112，∴S △ABD ＝12|AB|·|OD|＝12×112×12＝118. (3)证明：由(1)知：A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 2(0,1)， ∴直线A 1B 2的方程为y ＝12x ＋1，由题意，直线A 2P 的方程为y ＝k(x －2)，k ≠0，且k ≠±12，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋1，y ＝k x －2，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.设P(x 1，y 1)，则由⎩⎨⎧y ＝k x －2，x24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∴2x 1＝16k 2－44k 2＋1，∴x 1＝8k 2－24k 2＋1，y 1＝k(x 1－2)＝－4k4k 2＋1.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.设F(x 2,0)，则由P ，B 2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F. 即－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x 2－0，∴x 2＝4k －22k ＋1，∴F ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. ∴EF 的斜率m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝2k ＋14.∴2m －k ＝2k ＋12－k ＝12为定值．[方法总结] 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题． (1)求定值问题常见的方法有两种①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． (2)定点的探索与证明问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋m ，然后利用条件建立k ，m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 2．圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命题新颖别致，常求特定量、 特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变 量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．图2【例2】 (苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N.(ⅰ)当直线的PA 斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；(ⅱ)设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．[解](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＋a 2c＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k(x ＋4)，k ＞0，则M(0,4k)， 所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k .(ⅰ)当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M(0,2)，N(0，－4)，F(22，0)，MF →＝(22，－2)，FN→＝(－22，－4)，MF →·FN →＝－8＋8＝0.所以MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3， 所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.(ⅱ)联立⎩⎨⎧y ＝k x ＋4，x 216＋y28＝1，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2， 直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k ≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取“＝”．所以△APQ 的面积的最大值为8 2.[方法总结] 这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找．求最值或范围常见的解法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注． 3．圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神．因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少(只有存在、 不存在两个结论有时候需讨论)，因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐．解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．图3【例3】 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P 满足条件，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【导学号：56394099】[解] (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22， 而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P 满足条件，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12， 即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4， 因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.[方法总结] (1)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．(2)解决存在性问题应注意以下几点：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．。
2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点2立体几何中的探索性与存在性问题课件
[解] 在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行．如图，延长 AB，DC，相交于点 M(M ∈平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点．
[点评] 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用 下列二种方法：(1)通过各种探索尝试给出条件；(2)找出命题成立的必要条件， 也证明充分性．
No Image
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
1．对命题条件的探索 探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下 三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明； (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．
【例 1】 如图 1，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC ＝CD＝12AD，E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. 在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PBE，并说明理由. 【导学号：56394092】
新课标高三数学高考二轮复习专题六《探索性问题》
【专题六】探索性问题【考情分析】高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.【知识交汇】随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注“探索性问题”．由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题．由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现。
探索型问题具有较强的综合性，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．高考常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题．【思想方法】一、条件追溯型【例1】（2009年高考浙江卷理科第17题）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD 沿AF 折起，使平面AFD ⊥平面ABC,在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是_______.【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ，即有C B B D ⊥，对于2,1,CD BC BD ==∴，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有12t =，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A a (0)a >，(0,)B a ，(4,0)C -，(0,4)D ，设AO B ∆的外接圆圆心为E ．（1）若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点P 在圆E 上，使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存在，求出⊙E【解析】（1）直线CD 方程为4y x =+，圆心(,)22a aE ，半径2r a =. |4|2a a -+=，解得4a =. （2）∵||CD ==∴当PCD ∆面积为12时，点P 到直线CD 的距离为又圆心E 到直线CD 距离为定值)，要使PCD ∆的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E =10a =， 此时，⊙E 的标准方程为22(5)(5)50x y -+-=．评注：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（一）选择题（12*5=60分）1．在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,DAB=60∠︒,E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）A B D 【答案】C2．的正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --.则四面体ABCD 的内切球的半径为（ ）A ．1B ．1 D ．2 【答案】D【解析】设球心为O ，球的半径为R ，由D ABC O ABC O ADC O BCD O ABD V V V V V -----=+++，知2r = D. 3．【湖南省株洲市2018届质量检测】已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC ，分别交于三点,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A. 【答案】C【解析】建立直角坐标系如下：点M 在侧棱1AA 上，设M ()0,1,a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设()0,1,Q c ，则()()3,1,,3,1,MN b a QN b c =-=-- 因为MNQ ∆为直角三角形，所以()()020MN QN b a b c ⋅=∴--+=，斜边MQ ==≥==，当a b b c -=-时取等号.故答案为故选C.42.236≈，如图，在矩形ABCD中，3,AD AB E F ==、分别为AB 边、CD 边上一点，且1AE DF ==，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得ADEF BCFE ⊥平面平面，连接AB CD 、，则所得三棱柱ABE DCF -的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多（ ）AB DFA.68%B.70%C.72%D.75%【答案】D5．【河南省漯河市2018届第四次模拟】已知三棱锥P ABC -中， AB BC = ， AB BC ⊥，点P 在底面ABC ∆上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为92，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ）A. 2B.C. 【答案】D6．已知边长为ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 【答案】C【解析】如图分别取AC BD ,的中点N M ,,连MN ,则容易算得233,3,23,3=====CN MD MN CM AM ,由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上,设球心为O ,半径为R ,x HN =,则由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=3)23(4272222x R x R ,解之得21=x ,则7427412=+=R ,所以球面面积ππ2842==R S ,故应选C ．DCA7．【福建省南安2018届第二次阶段考试】如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =1,AA 1面对角线11B D 上存在一点P 使得1A P PB +最短，则1A P PB +的最小值为（ ）22 【答案】A8．如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知A DE '∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）①FA DE '⊥；②//BC 平面A DE '；③三棱锥A FED '-的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③ 【答案】C【解析】①中由已知可得⊥DE 面FA A '，∴FA D E '⊥．②DE BC //，根据线面平行的判定定理可得//BC 平面DE A '．③当面⊥'DE A 面ABC 时，三棱锥FDE A -'的体积达到最大．故选C ．9．【河南省林州市2018届8月调研】如图，已知矩形ABCD 中， 483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为（ ）A. 5009πB.2503πC.10003πD.5003π【答案】D10.一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．3 B．3 C. 3 D．3【答案】B11．【河南省师范大学附中2018届8月】把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C ABD-的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A.1214【答案】D【解析】∵C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的正方形ABCD 中， 122AO CO AC ===，所以：左视图的面积等于111·224AOC S CO AO ∆===12．【湖北省武汉市2018届调研联考】设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）2 C. 1 D. 【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.如图，90ACB ∠=︒，DA ⊥平面ABC ，AE DB ⊥交DB 于E ，AF DC ⊥交DC 于F ，且2A D A B ==，则三棱锥D AEF -体积的最大值为 ．【答案】6【解析】因为DA ⊥平面ABC ，所以,,DA AB AD BC ⊥⊥AE DB ⊥,又2AD AB ==，DE ∴=又因为,BC AC AC AD A ⊥=,所以BC ⊥平面ACD ,所以平面BCD ⊥平面ACD ,AF DC ⊥，平面BCD 平面ACD CD =,所以AF ⊥平面BCD ,所以,AF EF BD EF ⊥⊥,所以BD ⊥平面AEF ,由22222AF EF AE AF EF +==≥⋅可得1AF EF ⋅≤，所以12AEF S ∆≤,所以三棱锥D AEF -体积的最大值为11326=. 14．【河北衡水金卷2018届模拟一】如图，在直角梯形ABCD 中， AB BC ⊥， //AD BC ， 112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ， D 的动点， EF AD ⊥于点F ，将DEF ∆沿EF 折起到∆ PEF 的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为__________．【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．已知边长为ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积 ． 【答案】28π【解析】如图所示， 120=∠AFC ， 60=∠AFE ，33223=⨯=AF ，∴23,233==EF AE ，设x O O ='，∵2='B O ，1='F O ，∴由勾股定理可得22222331234⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x R ，∴72=R ，∴四面体的外接球的表面积为ππ2842=R ，故答案为π28．16．【南宁市2018届12月联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④(三)解答题（4*10=40分）△，△分别沿DE，DF折起，使17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将AED DCF，两点重合于P.A C⊥平面；（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE（Ⅱ）求二面角P DE F--的余弦值.方法二：由题知 PE PF PD ，，两两互相垂直，故以P 为原点，向量 PF PE PD ，，方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2，则()0 0 0P ，，，()0 1 0E ，，，()1 0 0F ，，，()0 0 2D ，，.所以()1 1 0EF =-，，，()0 1 2ED =-，，.设() x y z =m ，，为平面EFD 的一个法向量，由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m 得020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得11 1 2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，，，又由题知()1 0 0=n ，，是平面PED 的一个法向量，所以2cos 3⋅<>==⋅m n m n m n ，.所以，二面角P DE F --的余弦值为23.18. 【辽宁省丹东市2018届高期末】长方形ABCD 中， 2AB AD =， M 是DC 中点（图1）．将△ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中：（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --为大小为π4，说明理由．19. 【北京市通州区2018届期末】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC , AB DC ==， 1122AD AA BC ===，点P ， Q 分别为11A D ， AD 的中点.（Ⅰ）求证： //CQ 平面1PAC ；（Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由. （Ⅲ）存在. 设点(),1,0E a ，所以(),1,2.PE a =-设PE 与平面1PAC 所成角为θ，所以214sin cos ,21n PE θ==所以21= 1.a =所以 1.BE = 20.如图,已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面,平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M为棱PD中点,在面ABCD内是否存在点N,使得MN⊥平面ABCD？若存在,请证明,若不存在,说明理由；--的余弦值.（2）求二面角D PE A。