复变函数复习题

复变函数复习题（2012-4-10） 第一章自测题

(一)填空题（每题3分，共15分）

1．复数10

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________;

2．设11i

z i

+=

-，则1005025____________________;z z z ++= 3．设35,arg(),4

z z i π

=-=则______________;z = 4．不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5．方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________.

（二）选择题（每题3分，共15分）

1．设34,z i =-+则幅角的主值arg (

)z

4

4

.arctan .arctan 33

4

4

.arctan .arctan

3

3

A B C D π

π

π

+-+-

2．41(

)-=

22222

2

2

2

.cos sin .cos

sin

4

4

4

4

33222222

2

2

.cos sin .cos

sin

44

4

4

k k k k A i B i k k k k C i D i π

π

π

π

πππππππ

π

ππ

ππ++-

+-

+++++-+-

++-

(0,1,2,3)k =

3．设(i z t t t

=+为参数)，则其表示(

)图形。

.A 直线； .B 双曲线； .C 圆； .

D 抛物线。

4．一个向量顺时针旋转

,3

π

向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为13i -，

则原向量对应的复数是();

.2;.13.3.3A B i C i D i +-+

5．设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（ ）

3333

.;

.

;.

;.

4

4

4

4

A i

B i

C i

D i -++---。 （三）计算题（每题5分，共50分）

1．设11i i z i i

-=

+-，求出它的实部、虚部、共轭复数、模及幅角（包括主幅角）； 2．将()7

22z i =--表示成x iy +的形式，并写出其三角和复指数表示式； 3．试求使等式成立的实数x 与y ：2

6

()5()1x y i x y x y i i

+--=-++- 4．求解方程2(23)130z i z i -+++=； 5．求值：4

5

(1)i -；

6．利用棣莫弗公式，试把cos3θ与sin 3θ分别表示为cos θ与sin θ的幂；

7．化简

(13)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i i θθθθ-+--

8．求z 平面上的直线2x =经(1)2w i z i =++-映射到w 平面上的图形； 9．函数2

w z =把z 平面上实轴及平行于实轴的直线映射成什么样的曲线？ 10．设复数,z i ≠±试求使

2

1z

z

+为实数的条件。 （四）证明题（每题10分，共20分）

1．设n 为正整数，试证：3131

1313()()122

n n i i ++-+--+=- 2．证明函数(1)

1i z w z

-=+把单位圆内部映射成上半平面()Im 0.z >

第二章自测题

（一）填空题：（每题3分，共15分） 1． 设()()01,01,f f i '==+则()0

1

lim

_________________z f z z

→-=； 2． 设()5

1(1)5

f z z i z =

-+，则方程()0f z '=的所有根为___________； 3． 函数()()()Im Re f z z z z =-仅在点__________________z =可导； 4． 设()f z u iv =+在区域D 内解析，如果u v +是实常数，那么()f z 在D 内是

______________

5． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是

_______________________________。

（二）选择题：（每题3分，共15分）

1．如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 处一定（ ）

.A 不解析； .B 不可导； .C 可导； .D 解析。

2．函数()2

1

1f z z =

+在圆域1z <内（ ） .A 可导； .B 不连续； .C 不可导； D 连续不可导。

3．下列函数中为解析函数的是（ ）

()()233..23A f z x iy B f z x i y =-=+ ()()22..

sin cos C f z xy ix y

D f z x chy i x shy =+=⋅+⋅

4．下列命题中，正确的是（ ）

.A 设,x y 为实数，则cos()1x iy +≤；

.B 若0z 是函数()f z 的奇点，则()f z 在0z 一定不可导；

.C 若,u v 在区域D 内满足柯西—黎曼方程，则()f z u iv =+在区域D 内解析；