初中数学难点去绝对值符号

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绝对值大全零点分段法化简最值

绝对值大全零点分段法、化简、最值

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号;使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式;而后;其解法与一般不等式的解法相同..因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键.. 1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义;即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩;有|x |<c (0)

(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩

；

|x |>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪

⇔≠=⎨⎪∈<⎩

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c c >0来解;如|ax b +|>c c >0可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ;再由此求出原不等式的解集..

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解;也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－

b ≤x ≤－a ”来求解;这是种典型的转化与化归的数学思想方法..

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式;利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值符号来解;这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷;解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围;如果没有明确不等式两边均为非负数;需要进行分类讨论;只有不等式两边均为非负数式时;才可以直接用两边平方去掉绝对值;尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.. 4利用零点分段法去掉绝对值符号

绝对值大全(零点分段法-化简-最值)

.. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x

x x ，有|x |

x c c c ；

|x |>c (0)0(0)(0)x

c x c c x c

R c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论

“a ≤｜x |≤b a ≤x ≤b

或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2

x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数

(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必

须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数

1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..

1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x

x x ，有|x |

x c c c ；

|x |>c (0)0(0)(0)x

c x c c x c

R c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论

―a ≤｜x |≤b a ≤x ≤b

或－b ≤x ≤－a ‖来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有―单项‖绝对值的不等式，利用|x |2=2

(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必

须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数

1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称

绝对值大全(零点分段法-化简-最值)

绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨

-<⎩，有|x |<c (0)

(0)

c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；

|x |>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪

⇔≠=⎨⎪∈<⎩

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或

ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a 〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，假如没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

初中数学绝对值重点难点突破(含练习题和答案)

初中数学知识点

绝对值重点难点突破（含练习题和答案）

一、绝对值定义

数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。

数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值.

二、由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

即(1)如果a>0，那么|a|=a；

(2)如果a=0，那么|a|=0；

(3)如果a<0，那么|a|=-a.

用式子可表示为：

三、重点归纳

①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.

②两个互为相反数的数的绝对值相等.反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

③求一个数的绝对值就是去绝对值符号，所以求一个数的绝对值，必须先判断绝对值符号里的数，再去绝对值符号.

如果绝对值里的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，

如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，

当绝对值里面的数的正负性不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0、小于0、等于0、这三类来计论。

例题1

|x-2|的绝对值为

答案

解析

(1）如果x-2>0，即x>2，那么|x-2|=x-2

(2)如果x-2=0，即x=2，那么|x-2|=0

(3)如果x-2<0，即x<2，那么|x-2|=2-x

④一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

⑤在数轴上，由于距离总是正数和零，则有理数的绝对值不可能是负数，因此任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的这一性质表现为：(1） |a|≥0，即 |a| 有最小值；

七年级数学专题-绝对值问题的几种解法

一、直接推理法
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号
二、巧用数轴法
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.
三、零点分段法
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号
四、分类讨论法
练习：
பைடு நூலகம்
思路点拨解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围
绝对值问题几种解法
• 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用，掌握好方法，顺利解决这些问题．
知识回顾
• 1．去绝对值的符号法则： • 2．绝对值基本性质 • ①非负性：
• 3．绝对值的几何意义 • 从数轴上看， |a|表示数 a的点到原点的距离(长度，非负)； |a-b|表示数a 、数 b的两点间的距离．
小结：
• 这节课你有什么收获？

去绝对值符号的几种常用方法

周健良

绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢？下面介绍几种去绝对值符号的常用方法.

一、用绝对值的定义

例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值.

分析由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号.

解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2. 例2 计算||+||+||+…+||

解原式=. 评析绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数.

二、用绝对值的性质

例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值.

解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4.

①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7；

②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1；

③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1；

④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7.

例4 已知|a-1|+|ab-2|=0, 求的值.

解 ∵|a -1|+|ab-2|=0, ∴|a -1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2. ∴原式= ==. 评析互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号.

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绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨

-<⎩，有|x |<c (0)

(0)

c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；

|x |>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪

⇔≠=⎨⎪∈<⎩

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或

ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ；

当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；

当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)= –a -b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

初一数学绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简

绝对值有几何意义和代数意义。在数轴上，一个数a的绝对值表示数a的点与原点的距离，记作|a|。正数的绝对值是它

本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的

运算符号是“| |”，取绝对值的结果总是非负数。

任何一个有理数都由符号和绝对值两部分组成。例如，-5

的符号是负号，绝对值是5.

对于字母a的绝对值，可以根据不同的情况进行分类讨论。如果a大于0，则|a|=a；如果a等于0，则|a|=0；如果a小于0，则|a|=-a。

利用绝对值比较两个负有理数的大小时，绝对值大的反而小。绝对值具有非负性，即|a|≥0.

如果若干个非负数的和为0，则这些非负数都必为0.例如，如果a+b+c=0，则a=0，b=0，c=0.

绝对值还有其他重要的性质。任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；如

果a=b，则|a|=|b|；如果a不等于0，则|a^2|=a^2；对于任意的

a和b，有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

去掉绝对值符号的基本步骤是找零点，分区间，定正负，去符号。解绝对值不等式需要将式子中的绝对值符号化为一般代数式类型来解，可以使用换元法、讨论法、平方法等方法。证明绝对值不等式可以利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，对

绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。

在一些考试中，会出现绝对值相关的题目，例如已知|x-

2|+|y-3|=1，求x+y的值。

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全(零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨

-<⎩，有｜x |〈c (0)

(0)

c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；｜

x ｜>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪

⇔≠=⎨⎪∈<⎩

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化｜x |<c 或｜x ｜〉c （c 〉0）来解，如｜ax b +｜〉c (c >0)可为ax b +〉c 或ax b +〈－c ；|ax b +｜〈c 可化为－c 〈ax +b 〈c ,再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x ｜≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨

-<⎩，有|x |

(0)

c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；

|x |>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪

⇔≠=⎨⎪∈<⎩

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或

ax b +<－c ；|ax b +|

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值符号来解，

这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，

初一上册数学绝对值化简 (1)

【例5】化简 x 5 2 x 3 【分析】本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于 x 5 、 2 x 3 的正负不能确定，由于 x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论． 3 【解析】先找零点. x 5 0 ， x 5 ； 2 x 3 0， x ，零点可以将数轴分成三段． 2 3 当 x ≥ ， x 5 0 ， 2 x 3 ≥ 0 ， x 5 2 x 3 3x 2 ； 2 3 当 5 ≤ x ， x 5 ≥ 0 ， 2 x 3 0 ， x 5 2 x 3 8 x ； 2 当 x 5 ， x 5 0 ， 2 x 3 0 ， x 5 2 x 3 3x 2 ．
【例1】已知 1≤ x 5 ，化简 1 x x 5 ．【分析】由 1≤ x 5 可知 1 x ≤ 0， x 5 0 ，可直接去掉绝对值符号进行化简．【解析】原式 x 1 5 x 4 【答案】 4 ．【总结】只要知道绝对值符号内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．
绝对值化简
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型．

绝对值大全

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

一、去绝对值符号的几种常用方法

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |= X (

°)，有|x |<C x(x °)

c 或 x c(c 0)

|X |>c x 0(c

x R(c 0)

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化| x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或 ax b < — c ；

|ax b |<c 可化为一c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论 a <x i 韦 a <x <b

或-b w x 匚a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有单项”绝对值的不等式，利用|x |2 = x 2可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。