2017年高考必备系列之数列
专题08 数列-2017年高考数学【理】考纲揭秘及预测
（十二）数列1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n 项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.1．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5S 的值为 A ．1516 B ．3116 C ．1532 D ．31322．已知数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________．3．已知数列{}21n a n -的前项和为n S ，且1445n n n S ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前项和n T .3．【解析】（1）依题意，当1n =时，11645a +=，解得145a =. 当2n ≥时，1445n n n S ++=①，11445nn n S --+=②， -①②得4215n n n a n =-，即4(21)5nn n a n =-⋅. 经检验，1n =也符合4(21)5n n n a n =-⋅，所以4(21)5nn n a n =-⋅. （2）依题意，23444413()5()(21)()5555n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯③L ， 45⨯③，得2341444441()3()5()(21)()55555n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅④L ， ③-④得23411444444422()2()2()2()(21)()55555555n n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯---⨯L ， 化简可得，436(368)()5n n T n =-+.。
2017年高考 数列
2017年高考数列一、单选题1、（2017•新课标Ⅰ卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A、1B、2C、4D、82、（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏4、（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2， a3， a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A、﹣24B、﹣3C、3D、85、（2017•新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20， 21，再接下来的三项是20， 21， 22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A、440B、330C、220D、110二、填空题1、（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________2、（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n， a3=3，S4=10，则=________．3、（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8=________．（2017•北京卷）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=________．4、三、解答题1、（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1， 1），P2（x2， 2）…P n+1（x n+1， n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1， x=x n+1所围成的区域的面积T n．2、（2017·天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1， S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．3、（2017•北京卷）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1， x2，…，x s}表示x1， x2，…，x s这s个数中最大的数．（13分）(1)若a n=n，b n=2n﹣1，求c1， c2， c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m， c m+1， c m+2，…是等差数列．4、（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．一、单选题1、C考点等差数列的通项公式，等差数列的前n项和解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．2、C考点必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，3、B考点等比数列的前n项和解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，4、A考点等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为= =﹣24．5、A考点数列的求和解：设该数列为{a n}，设b n= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则= a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+ (2)﹣1=2n﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n ﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．二、填空题1、-8考点等比数列的通项公式解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．2、考点等差数列的前n项和，数列的求和解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n= ，= ，则=2[1﹣+ +…+ ]=2（1﹣）= ．故答案为：．3、32考点等比数列的通项公式，等比数列的前n项和解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= ，S6= ，∴= ，= ，解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．4、1考点等差数列与等比数列的综合解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．三、解答题1、解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n= =（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n= ．考点等比数列的通项公式，等比数列的前n项和（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．2、解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n= ．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．考点数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．3、（1）解：a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d1＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时= =﹣a n+ ，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[ ]+1，当n≥m时，≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．考点数列的应用，等差关系的确定（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2.）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．4、解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．考点等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．。
2017年高考试题分类汇编(数列)
2017年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 CA ．1B ．2C ．4D ．82.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则4a =____．8-2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =,6634S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 BA ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 AA ．24-B ．3-C ．3D ．82.（2017·北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b ==-,44a b =8=，则22a b =____. 1 3.（2017·全国卷Ⅰ文科）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；(2)n n a =-（Ⅱ）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.4.（2017·全国卷Ⅱ文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 前n 项和为n T .11a =-，11b =，222a b +=.（Ⅰ）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； 12n n b -= （Ⅱ）若321T =，求3S . 321S =或36S =-.5.（2017·北京文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +10=，245b b a ⋅=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；21n a n =- , （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．312n T -=.6.（2017·天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328433n n n T +-=⨯+ 7.（2017·天津文科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+8.（2017·山东理科）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； 12n n x -=（Ⅱ）如图，在在平面直角坐标xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,1)P x ，,11(,1)n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域面积n T ．1211222n n n T --=⨯+9.（2017·山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=,123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； 2n n a =（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯考法4 一般数列1.（2017·全国卷Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；221n a n =- （Ⅱ）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 221n n S n =+。
2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)
文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比较 等差数列 等比数列 定义通项公 式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn+1a -d求和公 式中项公式A=2ba + 推广：2n a =m n m n a a +-+ab G =2。
推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。
2若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。
3．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。
n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。
411a a q n n =- ， mn mn a a q =- )(n m ≠ 4、典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系例1 （文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
2017高考必备数学公式
2017高考必备数学公式(一)通项公式的求法：(1)构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式;(2)构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列;(3)递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。
③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。
2017高考必备数学公式(二)高考数学爆强秒杀公式与方法1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6，数列的终极利器，特征根方程。
2017年高考理科数学真题汇编之数列(教师版)
2017年高考理科数学真题汇编之《数列》1.(2017年新课标Ⅰ理) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ C ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.2. ( 2017年新课标Ⅱ卷理)3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ B ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。
3.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 21nn + ． 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n nn n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ ，那么11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .4．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ______8-_____．【解析】由题意可得：()()1211113a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-5. (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ A ） A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-，故选A.6. (2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的（ C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.(2017年新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( A ) A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k + 的部分和，即 1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A.8. (2017年北京卷理) （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =____1___. 【解析】322131383,211(2)a d q d qb -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-9.(2017年北京卷理) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅， 其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较 当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n --- =[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥又21=-1c c -所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。
2017年高考真题之数列(选择、填空、解答)(学生)
2017高考真题解析之数列【知识回顾】【真题解析之选择题】【例1】（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【例2】（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3 C．3 D．8【例3】（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【真题解析之选择题】【例1】（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=．【例2】（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【例3】在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为．【例4】已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2（a n a n+1+1）=tn（1+a n），t为常数，则a n=．【真题解析之选择题】【例1】（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【例2】（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【例3】（2017•XX）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；（2）{b n} 为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1=b n b n+1，求数列的前n项和T n．【例4】（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【例5】（2017•XX）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【例6】（2017•XX）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【牛刀小试】一．选择题1.（2017•XX）已知数列x n=an2+bn+c，n∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=02. 在等差数列{a n}中，若a2=2，a1+a5=16，则公差d等于（）A．4 B．C．6 D．143. 在等比数列{a n}中，若a1=2，a4=16，则{a n}的前5项和S5等于（）A．30 B．31 C．62 D．644. 已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题 B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题5. 已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039 C．5043 D．50476. 已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25 B．27 C．50 D．54二．填空题7.（2017•XX）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．8.（2017•XX）已知数列{a n}满足：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，则=．9. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．10. 设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4=32，则a1=．11. 设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值X围为．三．解答题12. （2017•XX）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．13. （2017•）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．14. （2017•XX）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（1）0＜x n+1＜x n；（2）2x n+1﹣x n≤；（3）≤x n≤．15. （2017•XX）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．。
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列（2017高考文科数学）2016-4-30讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．（4）．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（5）．了解等差数列与一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．（7）．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。
考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。
并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。
因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。
二、基础知识+典型例题1、等差数列的概念与运算（1）．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．（2）．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.）（*∈N n （3）．等差中项如果2a bA +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项．（4）．等差数列的前n 项和等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n （5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)，② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．[来源学科网]背诵知识点一：（1）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-）（*∈N n （2）等差中项：b c a a,b,c 2=+构成等差数列，则（3）等差数列的前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式例1、（15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A 、 172 B 、19 2C 、10D 、12例2、（15安徽卷）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，）（*∈N n (d 为数列{a n }的公差)．（2）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n－2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （4）S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝…. （5）等差数列的单调性① 等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增．② 若d <0，则数列递减．③ 若d ＝0，则数列为常数列．背诵知识点二：（1）等差中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . （2）等差中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （3）等差数列的性质：d m n a a m n )(-=-考点二：等差数列中项的性质例3、（15全国卷二）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念与运算（1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．（2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.）（*∈N n （3）．等比中项若20G ab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项．（4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qq a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n （5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．（6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．背诵知识点三：（1）等比数列的通项公式：11n n a a q -=.）（*∈N n （2）等比中项：2b c a a,b,c =?构成等比数列，则（3）等比数列的前n 项和：① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝q q a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n考点三：等比数列定义与前n 项和公式例5、（15全国卷一）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .例6、（12全国卷）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =________例7、（13全国卷一）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-例8、（12全国卷）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m n n m a a q -=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则n m l k a a a a ?=? （3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列：则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }仍是等比数列．（4）等比数列的单调性．① a 1>0q >1或??a 1<00<="" bdsfid="210" n="" p="" }为递增数列；="" ②="">a 1>00<1或??<="" bdsfid="212" p="">a 1<0q >1{a n }为递减数列；③ q ＝1?{a n }为非零常数列；④ q <0?{a n }为摆动数列．（5） a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)背诵知识点四：（1）等比中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则n m l k a a a a ?=?（2）等比中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则2p n m a a a =? （3）等比数列的性质：a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -例10、（15全国卷二）已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1 1C.2 1D.8例11、（15浙江卷）已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.（2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．（3）．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== （4）．等差数列性质：① ()n m a a n m d =+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；（5）．等比数列性质：① n mn m a a q-=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a = （6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法（7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法（8）．数列通项公式求法① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用??≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.背诵知识点五：（1）数列通项公式求法：① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题考点五：求数列的通项公式①、累加法例13、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2017届高考数学三轮复习考点归纳：数列
2017届高考数学三轮复习考点归纳：数列2017届高考数学三轮复习考点归纳：数列1.已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数学归纳法进行证明.由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：（1）已知，且，可用“累加法”求；已知，且，可用“累乘法”求；已知，且，则，（其中可由待定系数法确定），可转化为数列成等比数列求；（4）形如为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出时，公式是否成立与关系的应用问题：（1）由与前项和关系求时：，当时，若适合（），，则时的情况可并入时的通项；否则用分段函数的形式表示.(2)由与前项和关系求，通常利用（）将已知关系式转化为与的关系式，然后求解判定一个数列是等差数列的方法：（1）用定义法（当时，为同一常数）；（2）等差中项法（）；（3）为常数）；（4）为常数）解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差与首项来表示，列出方程进行求解求等差数列前项和的最值的常用方法：（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；（2）用通项公式求最值：求使成立时的最大值即可判定一个数列是等比数列的方法：（1）定义法（为同一常数）；（2）等比中项法（）解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比与首项来表示，列出方程进行求解.9．数列求和常用方法有：（1）公式法：直接利用等差、等比数列的前项和公式求和(等比数列求和需考虑与)；（2）倒序相加法：若一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；（5）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.1.【2017四川凉山第一次诊断,6】设数列满足，（），若数列是常数列，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为数列是常数列，所以，即，解得，故选A.【要点回扣】1.数列数的概念；2.数列的递推关系.2. 【2017天津六校期中联考，1】在等差数列中，，公差，则201是该数列的第（）项．A．60 B．61 C．62 D．63【答案】B【解析】，选B.【要点回扣】等差数列通项公式【2017湖北荆州第一次质量检，4】已知等比数列的前项和为，且依次成等差数列，若，则( )A．16 B．31 C. 32 D．63【答案】B【要点回扣】等差数列、等比数列的性质设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（） A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列公差为，且，可按二次函数去想，其图象为抛物线上的点，由于，所以抛物线的对称轴为，当时，的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（）A． B． C. D．【答案】A【解析】，∴，，，，时，最小.选A.【要点回扣】等差数列与等比数列综合，数列最值设数列的前项和为，且，为等差数列，则（）A． B． C． D．【答案】A【要点回扣】等差、等比数列的综合应用已知等比数列的公比且，又，则( )A．B．C． D．【答案】A【解析】等比数列的公比q＞0且q≠1，又，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小都是负数若0＜q＜1，若q＞1，故选A的通项公式，当取得最大值时，的值为（）A． B． C． D．【答案】C【要点回扣】数列通项的性质【2017山东潍坊期中联考，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C.36里 D．24里【答案】C【解析】由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C.【要点回扣】1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.10. 已知数列中，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【要点回扣】数列的递推公式设各项都是正数的等比数列的前项之积为，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】【解析】因为各项都是正数的等比数列的前项之积为，且，设公比为，则所以.，故选.【要点回扣】1.等比数列及性质；2.基本不等式. 12. 【2017湖南五市十校教研教改共同体12月联考，3】已知数列的前项和，则““是“数列是等比数列”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，不是等比数列；若数列是等比数列，当时，与数列是等比数列矛盾，所以，因此““是“数列是等比数列”的必要不充分条件，选B.【要点回扣】充要关系13．已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是．【要点回扣】数列的函数特性．【2017河北唐山期末,14】已知是等比数列，，则．【答案】1【解析】设数列的首项为，公比为，则依题意，有，解得，所以．【要点回扣】等比数列的通项公式【2017广东湛江期中，14】在各项均为正数的等比数列中，若，则．【答案】【解析】由得，所以，由等比数列性质可得.【要点回扣】1.对数的运算性质；2.等比数列的性质【2017广东湛江期中调研，17】已知数列的前项和为.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.（Ⅱ）由题知成等比数列，，即，解得.，公比.，∴即上式两边乘以，得得.【要点回扣】(1)与的关系；2.等差数列、等比数列的通项公式与性质；3.错位相减法求和．【2017河南豫北名校联盟对抗赛，17】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立.又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是【要点回扣】1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式【2017广东郴州第二次监测,17】已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.（1）求数列,的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) ,；(2) .（2）由（1）知，所以，①，②—②，得，，所以.【要点回扣】1.等差数列的定义与性质；2.对数的性质；3.错位相减法求和。
2017届高考数列
等差、等比数列基本公式与性质（一）等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即a n−a n−1=d(n≥2)或a n+1−a n=d.2.公式等差数列通项公式：a n=或a n= .等差数列求和公式：S n=或S n= .3.性质：m,n,p,q∈N∗ ,若m+n=p+q则 .特别地，若2m=p+q，则 .其中a m是a p与a q的等差中项.4.证明等差数列的方法：（1）定义法：若a n−a n−1=d(n≥2)或a n+1−a n=d则{a n}是等差数列.（2）中项法：若a n+2+a n=2a n+1或a n+1+a n−1=2a n则{a n}是等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.即a na n−1=q（n≥2）或a n+1a n=q.2. 公式：等比数列通项公式：a n=或a n= .等比数列求和公式：S n=或S n= .3.性质：m,n,p,q∈N∗ ,若m+n=p+q则 .特别地，若2m=p+q，则 . 其中a m是a p与a q的等比中项. 4.证明等比数列的方法：（1）定义法：若a na n−1=q（n≥2）或a n+1a n=q.则{a n}是等比数列.（2）中项法：若a n+2∙a n=a n+12或a n+1∙a n−1=a n2则{a n}是等比数列. 基础题训练：1. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________;n S = . 3.已知等差数列{}n a 的前5项和为105,且2052a a =.则n S = . 3. 在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= .4.在等差数列{}n a 中，若24418102=++a a a ，则数列{}n a 的前11项和11S = .5. 已知为等差数列,若,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 在等差数列中，首项，若，则k 的值为 （ ）A ．15B ．16C ．17D ．187. 已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且1012S =，2017S =，则30S 为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．308. 数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2217n S n n =-，则当S n 取得最小值时n 的值为（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．59. 已知{}n a 为等比数列，22=a ，86=a 则（ ）A ．32±B ．32C ．32-D ．1610. 已知在等比数列中,,则该数列的公比等于（ ） A.12 B. 23 C. 2 D. 12- 11. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比q ≠1，若 S 5=3a 4+1，S 4=2a 3+1，则q 等于（ ）A.2B.-2C.3D.-112. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7=4a 24，a 2=2，则a 1=（ ）2D.213. 在等比数列{}n a 中，若357911732,a a a a a =则a =（ ）A ．9B ．1C ．2D ．314. 已知为等比数列,472a a +=,,则（ ）A ．7B ．5C ．-5D ．-715. 是等比数列的前n 项和。
2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题10 数列、等差数列﹑等比数列 理
数列、等差数列﹑等比数列【考向解读】1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质. 【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ，m ＋n ＝2p ⇒a m ＋a n ＝2a p ；等比数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m a n ＝a p a q ，m ＋ n ＝ 2p ⇒a m a n ＝a 2p .【变式探究】 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－1 【答案】C【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n . 【解析】解：（1）证明：因为a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0（n∈N *）， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1a n ＝a n ＋1a n －1a n＝1，又b 1＝1a 1＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知b n ＝n ，所以a n ＝1n .令c n ＝a n n ＋1，则c n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a n a n －1＝q(q 为常数且q≠0，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m .∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n <16，∴T 2m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝m 24m 2＋4m ＋1<16， ∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m∈N 且m ＞1， ∴m＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12，∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列. 【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题例3 、【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是▲ . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=【感悟提升】 数列{a n }中，a n 与S n 的关系为：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1(*)，当n ＝1时，a 1＝S 1.若a 1＝S 1满足(*)，则a n ＝S n －S n －1(n∈N *)；若a 1＝S 1不满足(*)，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1 【答案】A【解析】 当n ＝1时，4×（1＋1）×（a 1＋1）＝（1＋2）2a 1，解得a 1＝8.当n≥2时，4（S n ＋1）＝（n ＋2）2a nn ＋1，4（S n －1＋1）＝（n ＋1）2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝（n ＋2）2a n n ＋1－（n ＋1）2a n －1n ，即a n a n －1＝（n ＋1）3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝（n ＋1）3n 3×n 3（n －1）3×…×3323×8＝（n ＋1）3.检验知n ＝1也符合该式，所以a n ＝（n ＋1）3.【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合例4 、已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n∈N *，求数列{b n }的前n 项和．（2）由（1）得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋（n －1）×12n －2＋n×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋（n －1）×12n －1＋n×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1.所以数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n∈N *.【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n∈N *）.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m（S n －n －1）对于n≥2，n∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】解：（1）由a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列，可得a n ＋a n ＋2＝52a n ＋1.又{}a n 是等比数列，所以a n ＋q 2a n ＝52qa n ，又因为a n ≠0，所以2q 2－5q ＋2＝0，因为q>1，所以q ＝2.又a 1＝2，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n.（2）因为b n ＝na n ＝n·2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n －1）·2n＋n·2n ＋1，所以S n ＝－（2＋22＋23＋ (2)－n·2n ＋1）＝－（2－2n ＋11－2－n·2n ＋1）＝（n －1）·2n ＋1＋2.因为（n －1）2≤m（S n －n －1）对于n≥2，n∈N *恒成立，所以 （n －1）2≤m[（n －1）·2n ＋1＋2－n －1]恒成立，即（n －1）2≤m（n －1）（2n ＋1－1）恒成立，于是问题转化为m≥n －12n ＋1－1对于n≥2，n∈N *恒成立.令f （n ）＝n －12n ＋1－1，n≥2，则f （n ＋1）－f （n ）＝n 2n ＋2－1－n －12n ＋1－1＝（2－n ）·2n ＋1－1（2n ＋2－1）（2n ＋1－1）<0， 所以当n≥2，n∈N *时，f （n ＋1）<f （n ），即f （n ）单调递减， 则f （n ）≤f（2）＝17，所以m≥17.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞. 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A3.【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是▲ . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N .（2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<.因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C CDC D D D D S S S S S S S +=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CD =ð，U F D C =ð则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C D S S S =+，D F CD S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C4.【2015高考新课标2，理16】设nS 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n -【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n n S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n =-． 5.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10． 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．7.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴dd a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.8.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 【答案】21n-9. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是 “{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和nS ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A.10B.12C.14D 【答案】C【解析】假设公差为d,依题意可得1323212,22d d⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a=+-⨯=.故选C.。
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列D例1、 （15全国卷一）已知{}na 是公差为1的等差数列，nS 为{}n a 的前n 项和，若844SS =，则10a=（ ） A 、172B 、192C 、10D 、12例2、 （15安徽卷）已知数列}{na 中，11=a ，211+=-n na a （2≥n ），则数列}{na 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n＝a m＋(n－m)d，）（*∈Nn(d为数列{a n}的公差)．（2）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m ＋a n＝a p＋a q.特别地：a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.（4）S n＝a1＋a n2n＝a2＋a n－12n＝a3＋a n－22n＝….（5）等差数列的单调性①等差数列公差为d，若d>0，则数列递增．②若d<0，则数列递减．③若d＝0，则数列为常数列．考点二：等差数列中项的性质例3、（15全国卷二）设S是等差数列{}n a的前nn项和,若1353++=,则5S=（）a a aA．5B．7C．9D．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念与运算（1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．（2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n naa q -=.）（*∈N n（3）．等比中项 若2Gab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项．（4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qqa a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n（5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论． （6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列． ② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．考点三：等比数列定义与前n 项和公式例5、 （15全国卷一） 数列{}na 中112,2,n n na aa S +==为{}n a 的前n 项和，若126nS=，则n = .例6、 （12全国卷） 等比数列{}na 的前n 项和为nS ,若3230S S +=,则公比q =________例7、 （13全国卷一） 设首项为1，公比为23的等比数列{}na 的前n 项和为nS ，则 （ ）A.21nn S a =- B.32nn Sa =- C.43nnSa =- D.32n nS a =-例8、 （12全国卷） 数列{}na 满足1(1)21n n n aa n ++-=-,则{}na 的前60项和为( )A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m nnm aa q -=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则nm l ka a a a⋅=⋅（3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列： 则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }仍是等比数列．（4）等比数列的单调性．① ⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1⇔{a n }为递增数列；② ⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1⇔{a n }为递减数列；③ q ＝1⇔{a n }为非零常数列； ④ q <0⇔{a n }为摆动数列． （5） a n a m ＝q n －m(m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二） 等差数列{}na 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}na 的前n 项和nS =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n +D. (1)2n n -例10、（15全国卷二） 已知等比数列{}na 满足114a=,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.11C.21D.8例11、（15浙江卷）已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b ＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}na 的第n 项na 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()naf n =，称作该数列的通项公式.（2）．等差数列的通项公式：1(1)na a n d =+-()m a n m d=+-．（3）．等比数列的通项公式：11n n mnm aa q a q --==（4）．等差数列性质： ① ()nm aa n m d=+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则mn p qa a a a +=+；（5）．等比数列性质： ① n mnm aa q -=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m np qa a a a =（6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法（7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法（8）．数列通项公式求法 ① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题 ③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和nS 与第n 项na 关系求通项公式问题对递推公式为nS 与na 的关系式(或()nn Sf a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意na =1nn SS --成立的条件是n ≥2，求na 时不要漏掉n =1即na =1S 的情况，当1a =1S 适合na =1nn SS --时，na =1nn SS --；当1a =1S 不适合na =1nn SS --时，用分段函数表示.考点五：求数列的通项公式①、累加法例13、已知数列{}na 满足11211n n aa n a +=++=，，求数列{}na 的通项公式。
2017高考数学必考点：摆动数列
2017高考数学必考点：摆动数列2017高考数学必考点：摆动数列高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面xx为大家带来2017高考数学必考点【摆动数列】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。
摆动数列的定义：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
巧用(-1)n求摆动数列的通项：在数列中，我们经常会碰到求形如：1，-1,1，-1，…，或-1,1，-1,1，…，等数列的通项，很显然，我们只要利用(-1)n进行符号的调整，就能很快求出数列的通项公式，我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。
常数列的定义：各项相等的数列叫做常数列。
构造常数数列巧求数列的通项公式：非零常数列既是公比为1的等比数列也是公差为0的等差数列。
在数列{an}中，若an+1=an,则数列{an}为常数列，其通项公式为an=a1。
在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数列，便能简捷地求出通项公式。
递增数列的定义：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,高考数学，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。
递减数列的定义：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。
单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列.数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an+1的大小关系，可以作差比较;也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。
2017高考数学必考点【摆动数列】整理xx为大家带来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。
2017高考数学专题数列全
所以an=
(k∈N*).
(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)
第三十四页，共47页。
命题角度二 裂项相消求和 【典题3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为
第八页，共47页。
【答案】(Ⅰ)设{an}的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以{an}的通项公式为 an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (Ⅱ)因为 bn=
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893.
D.Sn=3-2an
【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为 ,
2
3
所以Sn=3-2an.
第十四页，共47页。
2.(2016·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且
a3+a8=13,S7=35,则a7= ( )
A.8
B.9 C.10
D.11
【解析】选A.由已知条件可得,
所以a7=a1+6d=2+6×1=8.
n
（2）看到前n项和形式，想到_________________.
第二十三页，共47页。
【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn. (2)当n≥2时,Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2, 所以Sn=2n，所以an=
2017年高考数学必备公式：数列公式_知识点总结
2017年高考数学必备公式：数列公式_知识点总结
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时，Sn=
Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
2017年高考数学 考纲揭秘 专题8 数列 理 精品
（八）数列考纲原文1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.高考预测与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n 项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.新题速递1．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5S 的值为 A ．1516 B ．3116 C ．1532 D ．31322．已知数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________．3．已知数列{}21n a n -的前n 项和为n S ，且1445n n n S ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .答案3．【解析】（1）依题意，当1n =时，11645a +=，解得145a =.当2n ≥时，1445n n n S ++=①，11445nn n S --+=②，-①②得4215n nn a n =-，即4(21)5nn n a n =-⋅.经检验，1n =也符合4(21)5n n n a n =-⋅，所以4(21)5n n n a n =-⋅.（2）依题意，23444413()5()(21)()5555n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯③L ，45⨯③，得2341444441()3()5()(21)()55555n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅④L ， ③-④得23411444444422()2()2()2()(21)()55555555n n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯---⨯L ， 化简可得，436(368)()5nn T n =-+.。
2017高考复习---数列
2017高考复习---数列1．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．2．已知数列{a n}中，，则a n=．3．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=．4．已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=．5．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．6．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列{a n}的通项公式a n=；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．7．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．8．已知数列{a n}满足，a1=5，，则等于．9．等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．10．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．11．在数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，都有a n+1=a n+n，则a100=．12．若数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n等于．13．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，则a4+a5=．14．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若S n≥2016，则n的取值范围为．15．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．16．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．17．已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=，通项a n=．18．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足=3，则数列{a n}的公差为．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=．20．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．21．若数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n•a n=2n﹣1，则{a n}的前40项和为．22．等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，则S13=．23．等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是．24．设数列{}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=．2017高考复习---数列参考答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1﹣S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．2．（2016•江西自主招生）已知数列{a n}中，，则a n=．【分析】由已知可得，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为：【点评】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=3．（2016•佛山模拟）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6= 9．【分析】根据正项等比数列{a n}的前n项和的性质，S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列即（S6﹣S3）2=S3•（S9﹣S6），∴（S6﹣3）2=3×12解得S6=9或﹣3（正项等比数列可知﹣3舍去），故答案为：9【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的性质，同时考查运算求解的能力，属于基础题．4．（2016•杭州模拟）已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=6或7．【分析】由题意易得a7=0，进而可得数列{a n}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，易得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，∴S10﹣S3=7a7=0，∴a7=0，∴递减的等差数列{a n}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴S n取得最大值，n=6或7故答案为：6或7【点评】本题考查等差数列前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．5．（2016•杭州校级模拟）已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．【点评】本题考查等比数列的公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．（2016•浙江校级模拟）已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．【分析】由等比数列和等差数列的性质得（1+3d）2=（1+d）（1+8d），从而求出d=3，由此能求出这个等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，∴（1+3d）2=（1+d）（1+8d），解得d=0（舍）或d=3，∴这个等比数列的公比q===．等差数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．数列{a n}的前n项和S n=n×1+=．故答案为：，3n﹣2，．【点评】本题考查等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2016•南通模拟）设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=（1+q3）（q+q2）=+，设t=，则=t2﹣2，因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab=t2+t﹣2=，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．8．（2016春•张家港市校级期中）已知数列{a n}满足，a1=5，，则等于4．【分析】利用a1=5，，计算出前7项，即可得到结论．【解答】解：∵a1=5，，∴，∴a2=同理，a3=10，a4=，a5=20，a6=，a7=40，∴=4，故答案为：4【点评】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（2016春•石家庄期末）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d ＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④【点评】本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．10．（2016春•南昌期末）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．11．（2016秋•玉泉区校级期末）在数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，都有a n+1=a n+n，则a100=4951．【分析】由题意知a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a100﹣a99=99，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=1+1+2+…+99=4951．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+n，∴a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a100﹣a99=99，∴a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=1+1+2+…+99=4951．答案：4951．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．12．（2016春•红河州校级期中）若数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n等于2n﹣1．【分析】直接把数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…的前n项求和即可得到答案．【解答】解：由题意可知，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=．故答案为2n﹣1【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．13．（2016春•连云港校级月考）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，则a4+a5= 3．【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出，由此能求出a4+a5．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，∴，解得，∴a4+a5=16×[]=3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．14．（2016春•乐清市校级月考）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若S n≥2016，则n的取值范围为大于等于11的奇数．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，由S4、S2、S3成等差数列，可得2S2=S4+S3，化为2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，联立解得，由于S n≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，对n分类讨论即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S4、S2、S3成等差数列，∴2S2=S4+S3，∴2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，∴，解得，∵S n≥2016，∴≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，当n为偶数时，不成立，舍去．当n为奇数时，化为2n≥2015，解得：n≥11．∴n的取值范围为大于等于11的奇数．故答案为：大于等于11的奇数．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=﹣1．【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d=0，由公差d不为零，则d=﹣a1，又2a1+a2=1，即有2a1+a1+d=1，即3a1﹣a1=1，解得a1=，d=﹣1．故答案为：，﹣1．【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．（2015•江西校级一模）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．【分析】由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．17．（2015•温州三模）已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=1，通项a n=3n﹣2．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=10，S6=S3+39，得，解得．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．故答案为：1，3n﹣2．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．18．（2015•靖远县校级三模）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足=3，则数列{a n}的公差为2．【分析】=3，由此能求出数列{a n}的公差．【解答】解：∵，∴，∴，又，∴d=2．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．（2015•南通校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=1023．【分析】由已知递推式a n+1=a n+2n，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故答案为：1023．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和．正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键．20．（2015•沈阳一模）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．21．（2015•防城港模拟）若数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n•a n=2n﹣1，则{a n}的前40项和为820．【分析】根据熟练的递推公式，得到数列通项公式的规律，利用构造法即可得到结论．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前40项和为10×2+（10×8+×16）=820，故答案为：820【点评】本题主要考查数列的通项公式，以及数列求和，根据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的关键．22．（2015•汇川区校级三模）等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，则S13=156．【分析】利用等差数列的性质，把S13转化为13a7，再利用等差数列的性质求出a7即可．【解答】解；∵a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，∴a3+a7﹣a10+（a11﹣a4）=8+4=12又∵a3+a11=a10+a4=2a7，∴a7=12∴S13=13a7=12×13=156故答案为156【点评】本题考查等差数列的性质，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．23．（2015•上海模拟）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是α1，α3．【分析】利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，∴数列{a n}是递增数列，故α1是真命题；∵na n=2n2﹣8n，∴数列{na n}是先减后增数列，故α2是假命题；∵=2﹣，∴数列{}是递增数列，故α3是真命题；∵a n2=4n2﹣32n+64，∴数列{a n2}不是递增数列，故α4是假命题．故答案为：α1，α3．【点评】本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题．24．（2015•温州二模）设数列{}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=20．【分析】由数列{}是公差为d的等差数列，结合已知列式求得公差，再代入等差数列的通项公式求a12．【解答】解：∵数列{}是公差为d的等差数列，且a3=2，a9=12，则，即，解得：d=，∴，即a12=20．故答案为：；20．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列复习小结1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 3212、等差数列[等差数列的判定方法]1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
[等差数列的通项公式]如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。
[等差数列的前n 项和] 1．2)(1n n a a n S +=2. d n n na S n 2)1(1-+=[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2ba A +=或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,123213．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ （6）性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ;④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{nS n是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；⑦设{a n }与{b n }是等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1，λ2是常数）也是等差数列；⑧设{a n }与{b n }是等差数列，且b n ∈N*，则{a bn }也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{a n }是等差数列，则{na C }（c>0, c ≠1）是等比数列.3、等比数列 [等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。
[等比中项]如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。
[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。
2．等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。
[等比数列的通项公式]如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。
[等比数列的前n 项和]○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n○3当1=q 时，1na S n =[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=3． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。
如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,123214．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ （7）性质：①设{a n }是等比数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m ·a n =a p ·a q ；②设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …， S pm －S (p －1)m (m>1, p ≥3，m 、n ∈N*)仍为等比数列；③设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ是常数）、{mn a }（m ∈Z*）仍成等比数列；④设{a n }与{b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列；⑤设{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ∈Z*，则{a bn }是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；⑥设{a n }是正项等比数列，则{log c a n }(c>0, c ≠1)是等差数列.4、数列前n 项和 （1）重要公式：2)1(321+=+++n n n ； 6)12)(1(3212222++=+++n n n n ；2333)]1(21[21+=++n n n（4）裂项求和：111)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。
2．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为3．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则nn x x x ⋯21=4．在正数项列{a n }中，a 2n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 5．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K=6．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=7．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222d c b a ++=8.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=9．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为10．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元。
二、解答题1． 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
2． 已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+C(C 为常数)，求数列{a 0}的通项公式，并判断{a n }是不是等差数列。
3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n 。
4． 已知数列{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，求S n =13221111++⋯++n n a a a a a a 。
5． 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
数列求和的基本方法一）、公式法利用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和．例1 等比数列{}n a 中，345a a +=，6740a a +=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．二）、周期转化法如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n 项和进行转化合并．例2 已知数列{}n a 中，11a =-，22a =，220n n a a ++=，求122009a a a ++⋅⋅⋅+的值．三）、分类转化法对于一些“摆动”型（项按一定的规律循环现，如按“+”，“-” 或“大”，“小”等）非等比数列，求和时通常要对项数分奇偶两种情形进行讨论． 例3 已知数列{}n a ：2，-5，8，-11，14，-17，…． 求数列{}n a 的前n 项和n S ．四）、裂项相消法将数列中的每一项拆裂成两项之差，使拆裂后的项互相之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从而达到求和的目的．例4求数列的前n 项和n S ．解：因为n a =，所以n S1+…+1．例5 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：20n S n n +-=，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．五）、错位相减法如果数列｛a n ｝是等差数列，数列｛b n ｝是等比数列，那么用错位相减法可求数列｛a n b n ｝的前n和．例6 已知数列{}n a ，对*n ∈N 都有23122311112222n n a a a a n ----+++⋅⋅⋅+=， 求数列{}n a 的前n 项和n S ．六）、倒序相加法如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数” 之和)等于首末两项之和（或等于首末两项“系数” 之和）， 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n 和． 例7 已知函数11()31x f x -=+，数列{}n a 中，123123(),(),()a f a f a f n n n===，…()k k a f n =，…，11(),()n n n na f a f n n--==，求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：1111()(1)3131x x f x f x --+-=+++=1111313113x x x ---+=++， 123()()()n S f f f n n n =+++⋅⋅⋅+1()n f n-+()n f n ， 设1231()()()()n S f f f f n n n n-=+++⋅⋅⋅+ 把上式右边倒序得：1221()()()()n n S f f f f n n n n--=++⋅⋅⋅+++ 两式相加得11222[()()][()()]n n S f f f f n n n n --=++++ … +11[()()]n f f n n-+=1n n ⋅=，∴2n S =∴1()(1)(1)22n n n S S f f n n =+=+=+．七）、通项分析法通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n 项和的一种基本方法．例8已知数列{}n a 中，21231,121,12221,a a a ==++=++++23241222221,a =++++++⋅⋅⋅．求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：数列{}n a 的通项公式是：21212222n n n a --=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅ 2221+++21(1222)n -=+++⋅⋅⋅++23(22n n --++2221)⋅⋅⋅+++112121212n n ---=+-- 1(21)(21)n n -=-+-1322n -=⋅-， 2(312)(322)(322)n S ∴=⋅-+⋅-+⋅-+ … 1(322)n -+⋅-213(1222)2n n -=+++⋅⋅⋅+- 3(12)2323212n n n n -=-=⋅---． 例9 已知数列{}n a 中，12346,57,558,5559a a a a ====，55560=n a ．求数列{}n a 的前n 项和n S ．八）分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。