2006年高考模拟试卷数学试题(理科)
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：x （1，+∞）f′+﹣++（x）↑↓↑↑f（x）f（x）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（，）为减函数．（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．（ⅱ）当a＞2时，取x0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax≥1，得f（x）=e ﹣ax ≥＞1．综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n}的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n}的前n项的和求首项a1与通项a n，可先求出S n，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006高考数学模拟试题
2006高考数学模拟试题2006．4．13本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．试题前标有（理工类）的题目，仅供理工类学生使用，试题前标有（文史类）的题目，仅供文史类学生使用，没有标注的题目是文、理学生必作的．题号一二三总分171819202122分数第Ⅰ卷（选择题共60分）1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）(文)已知函数，它的反函数是，则(理)若 则( ).(2)(文)的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是( ).(理)设数列的通项公式为,它们的前项和依次为,则( ).(3)已知，若的充分条件是，，则之间的关系是（ ）．（A） （B） （C） （D）(4)对于x∈R，恒有成立，则f(x)的表达式可能是( )．（） （）（） （）(5) 我国10月15日发射的”神州5号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆， 近地点距地面为千米，远地点距地面为千米，地球半径为千米，则飞船运行轨道的短轴长为 ( ) ．(6)定义集合的运算,则( ).(7) 设椭圆，双曲线，抛物线，（其中）的离心率分别为，则（ ）．（A） （B）（C） （D）大小不确定(8)设命题：在直角坐标平面内，点与在直线的异侧；命题：若向量满足，则的夹角为锐角．以下结论正确的是（）．（A）“”为真，“”为真（B）“”为真，“”为假”（C）“”为假，“”为真（D）“”为假，“”为假(9) 是三个平面，是两条直线，有下列三个条件:①；②；③.如果命题“且＿＿＿＿＿＿则”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( ).①或② ②或③ ①或③ 只有②(10)(理)设定义域为R的函数都有反函数，且函数和图象关于直线对称，若，则(4)为（ ）． （文）设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则的取值范围是（A）（B）且（C）（D）或（11）( ).（A）（B）（C）（D）（12）已知向量，则与夹角的范围是( ).（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(13)．(文) 一个田径队,有男运动员56人,女运动员42人,比赛后,立即用分层抽样的方法,从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽_____________人．(理) 设一个凸多面体的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则有欧拉公式E=V+F．现已知一个凸多面体的各个面都是边形，且该多面体的顶点数V与面数F之间满足关系2VF=4，则______________．(14)．某市某种类型的出租车，规定3公里内起步价8元（即行程不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是 ．(15)．一个棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样棱锥的体积等于___________________（写出一个可能的值）．(16)已知等式请你写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含了已知的等式(不要求证明)这个等式是___________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)．（本小题满分12分）已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（，2）和（，）。
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本10
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本10本试卷分第Ⅰ卷（选择题 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题 共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P ={（x ，y ）||x |+|y |=1}，Q ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，则 A.P ⊂Q B.P =Q C.P ⊃Q D.P ∩Q =Q2.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>)0(3)0(log 2x x x x，则f ［f （41）］的值是 A.9B.91C.－9D.－91 3.将直线x +y =1绕（1，0）点顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆x 2+(y －1)2=r 2相切，则半径r 的值是A.22B.2C.223 D.14.复数z 满足arg （z +2）=4π，则|z －2|的最小值是 A.1B.2C.23D.225.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值 A.是55 B.是95 C.是100 D.不能确定6.过定点P （0，2）作直线l ，使l 与曲线y 2=4（x －1）有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条7.某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y =3000+20x －0.1x 2（0<x <240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是A.100台B.120台C.150台D.180台8.对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 的距离为定值d .那么，这样的直线b 有A.1条B.2条C.3条D.无数条9.某学生计划有不超过10元的钱购买单价分别为0.5元、0.6元的铅笔和练习本.根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则不同的选购方式共有A.10B.15C.19D.2010.为了使函数y =sin ωx （ω>0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A.98πB.2197π C.2199π D.100π11.在f 1（x ）=21x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，当x 1>x 2>1时，使21［f （x 1）+f （x 2）］<f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x12.设P （x ，y ）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则xy的取值范围是 A.［－3,3］B.（－∞，－3）∪［3，+∞］C.［－33,33］ D.（－∞，－33）∪［33，+∞］第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13.一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差是 . 14.不等式1-x ax<1的解集为（－∞ ，1）∪（2，+∞），则a = . 15.2100252423A A A A ++++ = .16.已知x ∈（0，π），则y =sin x +xsin 2的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知复数z 1=x +ai ，z 2=x +bi （b >a >0，x >0）的辐角主值分别为α，β，求tan （β－α）的最大值及对应的x 的值.18.（本小题满分12分）如图，M —l —N 是120°的二面角，A 、B 两点在棱上，AB =2，D 在平面M 内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB =90°,C 在N 内,三角形ABC 是直角三角形，∠ACB =90°，∠ABC =60°.（1）求三棱锥D —ABC 的体积；（2）求直线BD 与平面N 所成的角的正弦值； （3）求二面角D —AC —B 的平面角的正切值. 19.（本小题满分12分）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现在一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？20.（本小题满分12分）椭圆C 1：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A 、B ，P 是双曲线C 2：2222by a x -=1的右支（x 轴上方）的一点，线段AP 交椭圆于C ，PB 的延长线交椭圆于D ，且C 平分AP .（1）求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角；（2）当双曲线C 2的离心率e 为何值时，直线CD 恰过椭圆C 1的右焦点. 21.（本小题满分12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R （x ）（万元）满足：R （x ）=⎩⎨⎧>≤≤-+-).5(2.10),50(8.02.44.02x x x x假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ （3）求赢利最多时每台产品的售价. 22.（本小题满分14分） 设f （x ）的定义域为x ∈R 且x ≠2k ，k ∈Z ，且f （x +1）=－)(1x f ，如果f （x ）为奇函数，当0<x <21时，f （x ）=3x . （1）求f （42001）；（2）当2k +21<x <2k +1（k ∈Z ）时，求f （x ）;（3）是否存在这样的正整数k ，使得当2k +21<x <2k +1（k ∈Z ）时，log 3f （x ）>x 2－kx－2k 有解？参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.解析：集合P 表示正方形，集合Q 表示圆面. 答案：A2.B3.解析：用d =r 去研究线圆相切. 答案：A4.解析：用数形结合的方法去研究. 答案：D5.解析：S 19=19a 10=19·2173a a +. 答案：B6.解析：直线l 与抛物线相切或与抛物线的对称轴平行. 答案：C7.C 8.D 9.D 10.解析：由题意1≥4941T ，其中T 为周期. 答案：B11.解析：研究函数的图象，数形结合，切实理解题中21［f （x 1）+f （x 2）］<f （221x x +）的意义.答案：A12.解析：数形结合，xy表示点（x ，y ）与原点连线的斜率. 答案：C二、填空题（每小题4分，共16分） 13.2 14.2115.333298 16.3 三、解答题（17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分）17.解：由题设知tan α=x a ，tan β=x b 且0<α<β<2π， ∴tan （β－α）=xab x ab +-=+-βααβtan tan 1tan tan . 5分 ∵x >0，x ab >0且x ·xab=ab 为定值.∴当且仅当x =x ab 即x =ab 时，x +xab取得最小值2ab .此时tan （β－α）取最大值abab 2-. 12分18.解：（1）过D 向平面N 作垂线，垂足为O ，连接OA 并延长至E . ∵AB ⊥AD ，OA 为DA 在平面N 内的射影，∴AB ⊥O A.∴∠DAE 为二面角M —l —N 的平面角. ∴∠DAE =120°.∴∠DAO =60°. ∵AD =AB =2，∴DO =3.∵△ABC 是有一个锐角为30°的直角三角形，斜边AB =2， ∴S △ABC =23，又D 到平面N 的距离DO =3. ∴V D —ABC =21.4分（2）由（1）可知，∠DBO 为直线BD 与平面N 所成的角， ∴sin DBO =46=BD DO . 8分（3）过O 在N 内作OF ⊥AC ，交AC 的反向延长线于F ，连接DF ，则AC ⊥DF ，∴∠DFO 为二面角D —AC —B 的平面角.又在△DOA 中，OA =2cos60°=1，即∠OAF = ∠EOC =60°，∴OF =1·sin60°=23. ∴tan DFO =OFDO=2.12分19.解：（1）安全负荷y 1=k ·22l ad （k 为正常数），翻转90°后，y 2=k ·22lda .∵ady y =21， ∴当0<d <a 时，y 1<y 2，安全负荷变大； 当0<a <d 时，y 2<y 1，安全负荷变小. 5分 （2）设截取的宽为a ，高为d ，则（2a ）2+d 2=R 2，即a 2+4d 2=4R 2. ∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大..9343)(224)(224)(244332222222222422222R d R d d d R d d d R d d R da du =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅≤-⋅⋅=-=-==当且仅当22d =R 2－d 2，即取d =36R ，取a =233222=-d R R 时，u 最大，即安全负荷最大. 12分20.解：（1）由已知A （－a ，0），B （a ，0），设P （x 0，y 0），C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），x 0>a ，y 0>0，则2,20101y y a x x =-=.将C （2,200y a x -）代入椭圆方程得4)(22220=+-by a a x .∵220220bya x -=1，消去y 0得x 0=2a 或x 0=－a （舍）.将x 0=2a 代入双曲线方程得y 0=3b ，∴P （2a ，3b ）.∴k PD =k PB =aba x y 300=-. ∴PD 的方程为y =ab3（x －a ），代入椭圆方程得2x 2－3ax +a 2=0. 解得x 2=2a或x 2=a （舍）. ∵x 1=20a x -，∴x 1=x 2.∴CD 的倾斜角为90°.6分（2）当直线CD 过椭圆C 1的右焦点F 2（c ，0）时，x 1=x 2=c ，则a =2c ，∴b =322=-c a c ，即b =23a .在双曲线中半焦距c ′=2722=+b a a ，∴e =27='a c ，这时CD 恰过椭圆C 1的右焦点. 12分21.解：依题意，G （x ）=x +2.设利润函数为f （x ），则f （x ）=⎩⎨⎧>-≤≤-+-).5(2.8),50(8.22.34.02x xx x x（1）要使工厂有赢利，即解不等式f （x ）>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2+3.2x －2.8>0， 即x 2－8x +7<0，∴1<x <7.∴1<x ≤5;当x >5时，解不等式8.2－x >0，得x <8.2，∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台且小于820台的范围. 5分（2）0≤x ≤5时，f （x ）=－0.4（x －4）2+3.6，故当x =4时，f （x ）有最大值3.6，而当x >5时，f （x ）<8.2－5=3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多. 9分 （3）即求x =4时的每台产品的售价，此时售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240元/台. 12分22.解：（1）∵f （x +2）=－)1(1+x f =f （x ），∴f （x ）是周期为2的周期函数.∴413)41()41500()42001(==+=f f f .5分（2）∵2k +21<x <2k +1，k ∈Z ，∴21<x －2k <1，－21<x －2k －1<0，0<2k +1－x <21. ∴f （2k +1－x ）=32k +1－x .又f （2k +1－x ）=f （1－x ）=－f （x －1）=－f （x +1）=)(1x f . ∴f （x ）=)12(1x k f -+=3x －2k －1.10分（3）∵log 3f （x ）>x 2－kx －2k ，∴x －2k －1>x 2－kx －2k ，x 2－（k +1）x +1<0（*） Δ=k 2+2k －3.①若k >1且k ∈Z 时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<+-+++<<-+-+.12212,2321232122k x k k k k x k k k但是.21212121232122+<+=++++<++++k k k k k k k k∴x ∈∅.②若k =1，则Δ=0，（*）无解. ∴不存在满足条件的整数k .14分。
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本1
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本1一、选择题=+-2)i 3(i 31.1i 4341.A + i 4341.B -- i 2321.C + i2321.D --[分析] 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能．解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算．.4341)322(81 )31(813223-1 12i i i i i--=--=-=+=原式解法.i 4341 )i 31(41)i 31(i31 22--=+-=---=原式解法i.4341i)3(4i i3i i)3(i)3i(原式 32--=--=+-=++-=解法[答案]B==⎪⎭⎫⎝⎛π-∈x 2tan ,54x cos ,0,2x .2则已知247.A247.B -724.C724.D -[分析] 本题主要考查三角函数的基础知识和基本三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能．作为常规解法，可先由已知条件求sin x ，推得tan x 的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1；作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2．,54x cos ,0,2x 1=⎪⎭⎫⎝⎛π-∈因为解法 ,53x cos 1x sin 2-=--=所以,43x tan -=则 . 724xtan 1x tan 2x 2tna 2-=-=由此得 (注：也可用下式得解：,724x sin x cos x cos x sin 2cos2x sin2x tan2x 22-=-==而不需求tanx ．),235422,0x 2 2<<<<π-因为解法 ,6x 454x cos π-<<π-=得则由 .,,32tan 3,22为答案得和、故排除则从而D C B A x x -<⎪⎭⎫⎝⎛--∈ππ[答案] Dx 1,)f (x 0.x ,x ,0 x .12)x (f .30021x 的取值范围是则若设涵数>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）[分析] 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与幂函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力．根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式1)x (f 0>化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3．:1)f (x 10少有一个成立等价于下列不等式组至解法>⎪⎩⎪⎨⎧>>⎩⎨⎧≤>--.0x ,1x ② ;0x ,112①02100x 0解不等式组①得;1x 0-<解不等式组②得.1x 0>综合得0x 的取值范围为(－∞,－1)∪(1，+∞)．解法2 由,1012)0(f 0<=-=排除A 和B ；由f(0.04)=0.2<1，排除C ，得答案D ．0,x ,112 ,1)( 3x -⎩⎨⎧≤=-=由考虑方程解法x f解得x=－1；由0,x ,1x 21⎪⎩⎪⎨⎧>=解得x=1．因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，所以得1)x (f 0>的取值范围为(－∞，1)∪(1，+∞)．[答案] D4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足),,0[,|AC |AC |AB |ABOA OP +∞∈λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ+=→→→→→→则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[分析] 本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能． 解法1 为书写方便与直观起见，宜作图表示(如下图)．图中，有,AP AC AB ,AC |AC |AC ,AB |AB |AB 11111→---→--→--→--→→--→--→--→--=+==则动点P 满足),0[ ,AP OA OP 1+∞∈λλ+=→---→---→---.,1AP A P 出发的射线的轨迹是由点点所以,BAC AP ,P C //AB |,AC |1|AB | 111111∠==→---→---→---→---平分所以因为因此，点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．得答案为B ．解法2 当λ>0时，,0|AC |AC |AB |ABOA OP AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ=-=→--→--→--→--→--→--→--因为,|AB ||AC |AB AC 1|AP | |AB ||AP |AB AP AB ,AP cos ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+λ=⋅⋅=〉〈→--→--→--→--→--→--→--→--→--→--→--所以.1|||||| ||||,cos ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=〉〈→--→--→--→---→--→--→--→--→--→--→--AC AB ACAB AP AC AP AC AP AC AP λ,,cos ,cos 〉〈=〉〈→--→--→--→--AC AP AB AP 得 ,,, 〉〈=〉〈→--→--→--→--AC AP AB AP 所以因为A ，B ，C 不共线， 所以AP 平分∠BAC，得点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．解法3 考虑特殊情形，取△ABC 为等腰直角三角形，即：,|BC ||AB |,BC AB →--→--→--→--=⊥如图．这时，△ABC 的外心为AC 的中点D ，垂心为点B ．而由题设知点P 的轨迹是由点A 出发，方向为→--→--→--→--+|AC |AC|AB |AB 的射线l ，不经过点D ，也不经过点B ，故排除A 、D 两个选项．其次，由于|,AB ||AC |→--→--≠所以射线l 不平分BC ，即不通过△ABC 的重心，排除选项C ．从而得选项B 为答案．[答案]B的反函数为函数),1(,11ln.5+∞∈-+=x x x y),0(x ,1e 1e y .A x x +∞∈+-= ),0(x ,1e 1e y .B x x +∞∈-+= )0,(x ,1e 1e y .C x x -∞∈+-=)0,(x ,1e 1e y .D x x -∞∈-+=[分析] 本题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能． 根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2．解法1 解方程不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+=,1x ,1x 1x ln y,11e 1e x y y >-+=得,01e y >+因为1e 0 y -<所以得y>O ，因此，所求的反函数为).,0(,11+∞∈-+=x e e y x x解法2 因为点(2，ln3)在原函数的图像上，所以点(1n3，2)应在反函数的图像上．因此，由In3>0，可排除选项C 、D ；由,21e 1e 3ln 3ln ≠+-可排除A ，应取B 作答． [答案] B6．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为3a .A 34a .B 3 6a .C 3 12a .D 3[分析] 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力． 题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示．图中将原正方体略去，以使图线清晰．该八面体的三条轴线AC 、BD 、EF 两两互相垂直，且AC=BD=EF=a ，把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积为.6a EF BD 21AC 31V 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案．心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为;6a 3又如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的,61所以八面体的体积是正方体体积的,61即.6a 3[答案] C7．设))x (f ,x (P )x (f y ,c bx ax )x (f ,0a 002在点曲线=++=>处切线的倾斜角的取值范围为,4,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡π，则点P 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,0.A⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 21,0.B⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 2b ,0.C⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 21b ,0.D[分析] 本题主要考查导数的几何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能．解答本题，宜先求出0x 的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P 到对称轴距离的取值范围，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．解法1 依题设知点P 的横坐标0x 必须且只须满足.14tan)(00=≤'≤πx f,b ax 2)x (f +='因为.1b ax 20 0≤+≤所以因为抛物线y=f(x)的对称轴为直线l ：,a 2bx -=所以点P 到直线l 的距离为,a 2b x d 0+=0,a >因为,a 21|b ax 2|2a 1d 0≤+=所以.B .a 21，0d .0d 答案为的取值范围为即得且⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥解法2 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲线y=f(x))x 2x y (2-=即的对称轴为直线l ：x=1．曲线在点P 处切线的斜率为,2x 2k 0-=由14tna,00tan =π=及tanx 的单调性，依题设知k 的取值范围为[0，1]，所以,12x 200≤-≤,211x 00≤-≤即得点P 到对称轴l 距离的取值范围为.21,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡据此，可排除选项A ，C ，D ，得答案B ．[答案] B 8．已知方程0)n x 2x )(m x 2x(22=+-+-的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=A ．143.B21.C83.D[分析] 本题主要考查二次方程根与系数的关系，等差数列等基本知识，以及数学思维和分析处理问题的能力．注意到题设4次方程的两个2次因式中，只有常数项不同，可知等差数列的4个项中首尾两项应为其中一个因式的两根，而中间两项为另一因式的两根．所以，在此基础上，可用不同的引入方式，采取适当的计算程序，求得|m －n|的值．解法1 因为抛物线n x 2x y m x 2x y 22+-=+-=与有公共的对称轴x=1，又它们与x 轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为.31 ,1 ,1 ,314321p x p x p x p x +=+=-=-=.x x ,x x ,41x 32411在另一抛物线上、在同一抛物线上、且有=413p 1 =-故 ,.41p 从而得=.218p |)p 1()9p -(1| |x x -x x ||n -m | 2223241==--==0m x 2 x 41, 22=+-=α是方程不妨设依题意解法的一个根，则方程的另一个根为,472 =α-=β .167m =αβ=所以 0n x 2x 2=+-设方程 .2 ),(111111β+α==β+αβ<αβα 则不妨设和的两个根为.,,, :，414、、、1111ββααβαβα其次序必为的等差数列个数成首项为所以,21)(31d =α-β=公差应为.1615)1(21n 11=+α⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=βα=所以 .211615167|n m | =-=-从而解法3 依题意可设原方程的4个根为.d 341,d 241 ,d 41 ,41+++则对任意实数x ，有),n x 2x )(m x 2x (d 341x d 241x d 41x 41x 22+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-),n x 2x ()m x 2x (d 241d 41x d 321x d 34141x d 321x 2222+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即比较系数，得.n d 241d 41,m d 34141,2d 321⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（注：m 、n 的位置也可对调，不影响结果）．,21d =解得.21|d 2||n m | 2==-所以解法4 从解原方程入手．由,0n x 2x 0m x 2x 22=+-=+-和求得原方程的根为：,n 11m 11 -±-±和由题设，这4个根组成首项为41的等差数列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且 .41n 1141m 11=--=--或且等差数列为则若,167,4111==--m m .47 ,11 ,11 ,41 n n -+--,41473141n 11 ⎪⎭⎫⎝⎛-=---所以从而得,1615m =.211615167|n m | =-=- .21|n m |,1615m ,167n ,41n 11=-===--从而同样可得类似的推导可得则若[答案] C9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是14y 3x .A 22=-13y 4x .B 22=- 125.22=-y x C15y 2x .D 22=-[分析] 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能．本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景．在这种情况下，宜用待定系数法求解．因为双曲线的中心在原点，点)0,7(F 又是双曲线的一个焦点．故双曲线的方程可写为① ,172222=--a y a xa>0为待定系数，可用不同方法求得． 解法1 将y=x －1代人方程①，整理得,0)a 8(a x a 2x )a 27(22222=--+-由直线y=x －1与双曲线相交于M 、N 两点，故此二次方程有不等的两个实根,x ,x 21分别为点M 、N的横坐标．从而MN 中点的横坐标为,a 27a 2x x x 22210--=+=,322a 7a ,32x 220-=---=所以由题设.15y 2x ,①.2a 222=-=得所求双曲线方程为代入方程解得解法2 依题设，可记,t 35,t 32N ,t 35,t 32M ⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫⎝⎛+-+- 其中t 为某个常数，且t≠0． 由M 、N 在双曲线上，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.1a 7t 35a t 32.1a 7t 35a t 32 22222222将两式相减，整理得,a 75a 2 22-=得所求双曲线方程为代入式解得,①.2a 2= .15y 2x 22=-上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解．解法3 由双曲线与直线y=x －1有两个交点M 和N ，且焦点在x 轴上，可知双曲线渐近线的斜率绝对值应大于1，由此排除B 、C ；其次，由MN 的中点的横坐标为,32-可估计双曲线的张口应比较大，D 的可能性比较大．为此，作定量检验，将直线方程代人A 所示的双曲线得,0x 6x 2=-+.D ,A ,323MN 得答案排除中点的横坐标应为可知-≠-[答案] D10．已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)．一质点从AB 的中点0P 沿与AB夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点432P P P 和、（入射角等于反射角)．设4P 的坐标为,2x 1).0,x (44<<若则tan θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,31.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,52.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,52.D[分析] 本题以运动质点碰壁反射问题为背景，主要考查直线、轴对称和函数等基础知识及其应用，以及分析解决问题的能力．依题意可知点4P 的横坐标4x 是tan θ的函数，试题要求由4x的取值范围确定tan θ的取值范围，也即由函数的值域求定义域．为此，宜从建立函数关系式入手，如解法2．不过，作为选择题，本题可以用特殊值排除法快速求解，如解法1．解法1 取特殊的θ角，当21tan =θ时，根据反射原理，得点4321P P ,P ,P 和依次是BC ，CD ，DA和AB 的中点，即有21,,1x 4因此=不属于所求的tan θ的取值范围．从而，可排除选项A 、B 和D ，应取C 作答．解法2 依题设可作图如下．记各点的坐标如下：).0,x (P ),y ,0(P ),1,x (P ),tan ,2(P ),0,1(P 44332210θ根据反射原理得：,0x y 0x 01y tan 2x tan 143232--=---=θ-=-θ-,tna 13 x 2θ-=所以,tan 32tan x 1y 23θ-=θ-= 3. tna 2tan y x 34-θ=θ=,23tna 21 214<-<<<θ等价于从而x.21tan 52tan <θ<θ的取值范围为即得[答案] C=+++++++∞→)(lim .1111413122242322n nn C C C C n C C C CA ．331.B61.CD ．6[分析] 本题主要考查组合数的性质、数列极限的计算等基本知识，以及基本的计算技能． 本题要求考生计算两个和式之比的极限．由于和式的项数随n 的增加而无限增加，因而不能简单应用极限四则运算法则求极限，必须将和式化简成有限的形式．原式中，分子、分母的和式是组合数求和，应充分借助组合数性质，将其化简．例如，应用公式1m ,1n 1m n m n C C C +++=+可顺利化简原式．此外，也可采用数列求和的方法求解．3123n 2243422423332242322 C 1+=+==+++=+++=+++n n nn n C C C C C C C C C C C C C因为解法21121141323114131222114131211 1 1 C ++-=++-==+++++-=++++++-=+++n n n nn nC C C C C C C C C C C C C C C又.31)2(3)1()1(lim)1n(C C lim 221n 31n =-+-+=-=∞→++∞→n n n n n n n n 原式所以.31)2)(1(3)1)(1(limn =+--+=∞→n n n n n n 原式所以[答案] B12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．3πB ．4ππ33.CD ．6π[分析] 本题主要考查正多面体和球的基本知识，以及空间想象能力和几何计算能力．本题给出棱长为2的正四面体，要求推断外接球的表面积．为此，必须先求该球的半径，宜作图进行推算或估算．为了图像清晰，可只作正四面体进行讨论，不画出球的图线．如附图，四面体ABCD 各棱长都为.2．解法1 如图，点O 为球心，OA 、OB 、OC 、OD 都是球的半径，因为ABCD 是正四面体，所以这四条半径的两两夹角彼此相等，设其大小为θ．由空间中的一点O ，引四条射线，两两的夹角都等于θ，则有.322π<θ<π ,3sin 2sin 4sin ,2AB ,2sin2ABOA r π<θ<π=θ==且因为球半径,232sin 22<θ<即,1r 32<<所以得,4S 38r 4S ,2<<ππ=满足球的表面积因此据此，可排除选项B 、C 和D ，应取A 作答．解法2 如图，过A 作AE⊥面BCD ，E 是垂足．连结EB ，则EB 是正△BCD 外接圆的半径．应用正弦定理，由正三角形的边长为,2得.3260sin 22EB =︒=因为 AE⊥EB.31AB EB BAE sin ==∠所以过AB 的中点F ，在平面AEB 中，作AB 的垂线交AE 于O ，则O 是四面体ABCD 外接球的球心，球的半径为,2331122 BAE cos AFAO r =-=∠==所以，所求的球之表面积为.3r 4S 2π=π=上述估计和精算的方法，计算量仍嫌偏大．若充分发挥空间想像力，可获快速判断．解法3 联想棱长为1的正方体,D C B A ABCD 1111-则四面体11D ACB 的棱长都为,2它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长3的一半，即有,23r =故所求球面积为S=3π．[答案] A 二、填空题.________x x 21x .13992的系数是展开式中⎪⎭⎫ ⎝⎛-[分析] 本题主要考查二项式定理的应用，以及基本的计算技能．直接利用二项展开式的通项公式，便可求得9x 的系数，如解法1．由于二项式中的两个项都含有x ，因此将其适当变形，有利于简化计算，如解法2．试题的这种设计，体现了对计算灵活性和准确性的要求．解法1 设所求系数为a ，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r ，使,ax x 21)x (C 9rr 92r9=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.ax x 2C 9r 318rr9=⎪⎭⎫⎝⎛1⋅-即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.C 21)1(a 9,3r 18 ,r9r r 得所以解得r=3，所求系数为.221C 81a 39-=-=解法2 因为,)21x (x x 21x 93992-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 的系数为该式展开式中所以9x ,.221C 81 2C a 396969-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1-=-221 ][-答案14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____________，_______________，____________辆．[分析] 本题主要考查分层抽样方法在产品质量检验中的应用，以及简单的数值计算技能． 设三种型号的轿车抽取数依次为x ，y ，z 辆．根据分层抽样方法的原理，知20.:60:12z :y :x 46,z y x ⎩⎨⎧==++这个方程组可用不同方法求解． 解法1 由比例式知存在常数k 满足.k 20z 60y 12x ===46,20k 60k 12k =++则 10.20k z 30,60k y 6,12k x ,21k =======从而解得解法2 由此例式得60x=12y ， 20x=12z ，x 320z y =+所以46x 320x ,=+从而6, x =解得 10.x 1220z ,30x 1260y ====则[答案] 6，30，1015．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花．不同的栽种方法有_____种．(以数字作答)[分析] 本题以花圃设计为应用背景，主要考查排列、组合的基础知识，侧重考查乘法原理和加法原理的应用，以及逻辑思维能力和计数能力．为了正确解答本题，首先必须准确理解题意：抓住花圃布局的要求，看清图形中6个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且4种颜色的花都要种上，缺一不可．对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会引致解答出错．其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数．采用不同的计数模式和计数程序，伴随出现不同的解法，列举解法供参考．解法1 将6个区域分4组，不同组栽种不同颜色的花，同一组栽种同一颜色的花．因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以为了栽种方案合乎题意，分在同一组的区域至多只能有2个．因而，由图形可知,不同分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：每一类分组法，都有44P 种不同的栽种方法．应用加法原理，得到所有符合题意的不同栽种方法的种数为.12012345P 5N 44=⨯⨯⨯⨯==解法2 按区域的顺序，依次安排各区域所栽种的花的颜色： 第1区，可种4色花中的任一种，有4种不同的栽种法；接着，第2区，因与第1区相邻，两区花色必须不同，所以，第2区只能从3色花中任选一种栽种，有3种不同种法；跟着，第3区，因与第1、2区都有边界，所以，只有2种不同栽种法； 随后，第4区，与2区无边界，与1、3区都有边界．因此，可分两类情形：第一类：在第4区中栽种与第2区同一色的花，有1种栽法；至此，只栽种了3种不同颜色的花，因此，第5、6区域，应有一个区域栽种第4种颜色的花，而另一区域可选的花色只有1种(这是因为与之相邻的三个区域，已种上不同颜色的3种花)．从而，在第5、6区域栽花的不同方式有2种； 第二类：在第4区域中栽种与第2区域不同颜色的花，有1种栽法；不过，与第一类不同的是：至此，4种不同颜色的花都被栽种了．往后，第5区域栽花有两种选择：一种是栽与第2区域同色花，紧接着，第6区域有2种栽种方法；第五区域另一种栽花法，是栽种与第2区域不同颜色的花，只有1种选择(因为它不能与1、4区域同色)，紧接着，由于1、2、5三个区域已栽种3种不同颜色的花，故第6区域只有1种栽花的选择．综合起来，应用乘法原理和加法原理，得合乎题意的不同栽花的方法种数为 N=4×3×2×（1×2+1×2+1×1） =120解法3 因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以当区域1栽种一种颜色的花之后，该颜色的花就不能栽于其它区域．因而可分两步走，考虑如下：第一步，在区域1中，栽上一种颜色的花，有4种栽法；第二步，在剩下的五个区域中，栽种其它三种颜色的花．为此，可将2至6号五个区域分成3组，使同一组中的不同区域没有公共边．这样的分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：对每一类分得的3个组，将3种颜色的花分别栽于各组，共有33P 种栽法．应用乘法原理和加法原理，得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为.120P 54N 33=⨯=解法4 由于第1、2、3区两两都有边界，所以这3个区所栽的花，彼此必须不同颜色．因而，第一步可从4种颜色的花任取3种分别栽在这3个区域上，共有3334P C 种栽法．其次将另一颜色的花栽于4、5、6三个区中的一个区或两个区，即分为两类情形：第一类：栽在4、5、6的一个区域中，有3种情形：情形1：栽于4区，则6区只有一种颜色的花可栽(因为必须不同于4、1、2区的颜色)，进而，5区周边三个区域已栽上3种不同颜色的花，故5区也只有一种颜色的花可栽；情形2：栽于6区，则与情形1同理，4、5区域分别只有1种颜色可栽；情形3：栽于5区，由于5、1、2三个区已栽上不同颜色的花，6区只有1种栽法；同理，4区也只有1种栽法．第二类：栽于4、5、6中的两个区，只有栽于4、6两个区域的一种情形，这时5区有2种栽法(因为5区的周边只有两色花)．综合起来，应用乘法原理与加法原理，得不同栽种方法的种数为.1205P C)2111111(P C N 33143334=⨯=⨯⨯+⨯+⨯=解法5 分两类情况考虑：第1类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的4种花，共有44P 种栽法．对于每一种栽法，第4、6区分别都只有1种颜色的花可栽．第2类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的3种花，共有3334P C 2种栽法．对于每一种栽法，要么2、5区栽同色花，要么3、5区栽同色花．对于前者，第6区有2种颜色的花可供选栽，第4区只能栽第4种颜色的花；对于后者，第4区有2种颜色的花可供选栽，第6区只能栽第4种颜色的花．即无论何种情形，第4、6区的栽法都是2种．综合上述情形，应用加法原理与乘法原理，得不同栽种方法的种数为.120P C 22P N 333444=⨯+=[答案] 12016．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_______．(写出所有符合要求的图形序号)[分析] 本题以正方体为依托，主要考查直线与平面垂直的判定，比较深刻地考查了空间想象能力．为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN 、NP 、MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP ．解法1 作正方体1111D C B A ABCD -如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面111D CB EFGHKR D BA 和、都是对角线l )AC (1即的垂面．对比图①，由,BA //MN 1MP∥BD,D BA //MNP 1面知面，故得l ⊥面MNP ．对比图②，由MN 与面11D CB 相交，而过交点且与l 垂直的直线都应在面11D CB 内，所以MN 不垂直于l ，从而l 不垂直于面MNP ．对比图③，由MP 与面D BA 1相交，知l 不垂直于MN ，故l 不垂直于面MNP ． 对比图④，由MN∥BD，,D BA //MNP ,BA //MP 11面知面故l ⊥面MNP ．对比图⑤，面MNP 与面EFGHKR 重合，故l ⊥面MNP ． 综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l 所在的对角截面为α．各图可讨论如下：在图①中，MN ，NP 在平面α上的射影为同一直线，且与l 垂直，故l ⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是MP 的垂线，故l ⊥MP；l 在左侧面的射影是MN 的垂线，故l ⊥MN，从而l ⊥面MNP ．在图②中，由MP⊥面α，可证明MN 在平面α上的射影不是l 的垂线，故l 不垂直于MN ．从而l 不垂直于面MNP ．在图③中，点M 在α上的射影是l 的中点．点P 在α上的射影是上底面的内点，知MP 在α上的射影不是l 的垂线，得l 不垂直于面MNP ．在图④中，平面α垂直平分线段MN ，故l ⊥MN．又l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP 垂直，从而l ⊥MP，故l ⊥面MNP ．在图⑤中，点N 在平面α上的射影是对角线l 的中点，点M 、P 在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l 与这一直线垂直．从而l ⊥面MNP ．至此，得①④⑤为本题答案．解法3 如图建立空间直角坐标系O －xyz ，设正方体的棱长为2，则对角线l 的方向向量可取为).2,2,2(-=→l对图①，有),1,0,1()0,0,1()1,0,0(MN ),0,1,1()0,0,1()0,1,0(MP --=--=-=-=→--→--.0,0MNP l MN l MP l 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→对图②，有),1,2,1()2,0,1()1,2,2(MN =---=→--.0不垂直与面知由MNP l N M l ≠⋅→---→对图③，有),1,1,2()1,0,2()0,1,0(MP -=--=→--.l l 不垂直与面知由MNP 0MP ≠→--→对图④，有),0,2,2()1,0,2()1,2,0(MN ),1,0,1()1,0,2()2,0,1(MP -=---=--=---=→--→--.0,0MNP l MN l MP l 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→对图⑤，有),1,2,1()2,0,1()1,2,0(MN ),2,1,1()2,0,1(),0,1,2(MP -=---==--=→--→--.MNP 0MN ,0MP 面得由⊥=⋅=⋅→--→→--→l l l综合得本题答案为①④⑤．从解法3可以看到；应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便，操作也比较简单，无须多动脑筋，只需要计算正确即可．[答案] ①④⑤ 三、解答题17．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)． (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-2,2上的图象．[命题意图] 本小题主要考查三角函数的性质和恒等变形的基础知识，同时考查动手画图的技能． 作为三角函数的解答题，力求较全面地覆盖三角函数的基础知识，因此，试题的设计给出一个三角函数的解析式，通过运用和角与倍角的三角函数公式，变形为单个三角函数的表达式，从而求出它的周期和最值．恒等变形过程强调通性通法，以适应文科考生的实际．在这个基础上要求作出这个函数的图像，强化了作图技能的考查，倡导考生重视实践，学会动手操作．[解题思路] 首先把给出的函数解析式变形为单个三角函数的表达式，再按问题的要求答题．,42x sin 21 4sin 2cos 4cos 2sin 21 2sin 2cos 1 cos sin 2sin 2f(x) 12⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=πππx x xx x x x 解法.21,)x (f +π最大值为的最小正周期为所以函数.42sin 21 4sin 42sin 2 4x cos 22sinx )cos (sin sin 2)( 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+=ππππx x x x x x f 解法.21,)x (f +π最大值为的最小正周期为所以函数（Ⅱ）解 由（Ⅰ）知上的图像是在区间故函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-=2，2)x (f y18．如图，在直三棱柱,C B A ABC 111中-底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°．侧棱B A CC ED ,2AA 111与分别是、=的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ．(Ⅰ)求B A 1与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；.)Ⅱ(1的距离到平面求点AED A[命题意图] 本小题主要考查线面关系和直三棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．新课程的立体几何教材分为(A)、(B)两个版本，即传统的逻辑推理体系和向量运算方法．为了．适应不同地区的选用情况，前几年高考的立体几何试题是命制出(甲)、(乙)两道平行题目由考生选作．今年试验改变这种做法，原课程与新课程统一命制一道通用的试题，基本要求是用传统方法或向量方法，解题难度相当．于是，试题的知识载体定位于直棱柱．理科用直三棱柱，文科用正四棱柱．理科试题中的图形实际上是半个正方体，它的原型是正方体的一个性质：“若点M 是正方体ABCD D C B A 1111-的棱D D 1的中点，则正方体的中心O 在截面AMC 上的射影恰好是△AMC 的重心”．试题基本上是采用其逆命题，且只给出半个正方体，把问题提为“正方体的一条对角线与截面所成的角”，隐蔽了上述性质，提高了对考生空间想像力和推理能力的要求，以期更好地考查考生的数学能力．[解题思路] 本题(Ⅰ)的基本解法是先求出三棱柱的底面边长，可以在直三棱柱中求解，也可以补形成正四棱柱或直平行六面体求解，思维层次高者可以发现EB=DF 避开计算，通过线段比求角的三角函数值．(Ⅱ)问的解法用等积法最为简便．运用向量方法则(Ⅰ)问较易，(Ⅱ)问较难，总体难度相当．(Ⅰ)解法1 如图，连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是B A 1与平面ABD 所成的角．设F 为AB 中点，连结EF 、FC ， 因为D 、E 分别是B 、A CC 11的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形．连结DF ，G 是△ADB 的重心，故G∈DF．在直角三角形EFD 中，.3FD 1EF ,FD 31FD FG EF 22===⋅=知由.36321,2=⨯==EG ED 于是.3EB ,32B A ,22AB ,2ED FC 1=====则因为.323136EB EG EBG sin =⋅==∠所以.32arcsinABD B A 1所成的角是平面即解法2 同解法1图．AEB ，D ADB E V V --=因为所以 AB·DF·EG=AB·EF·DE，其中EF=1．,x 22FB CF DE x,BC ====则设.1x 21FB DB DF ,x 1DB 222222+=-=+=所以.DF 32EG ,DF 92DF 32DF 31EG 22==⋅=即又,DE DF 322=所以x 221x 21322=⎪⎭⎫⎝⎛+即,02x 3x 2=+-整理得),,12(x x 舍去与题设矛盾解得==.36142132EG =+⨯⋅=则,31x 22BE 2=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=而.323/36BE EG EBG sin ===∠所以,ABCH H C B A , 31111-行六面体将直三棱柱补形成直平如图解法H H 1取的中点P,连结PD,PA,PB,则ABDP 是平行四边形,PB 必过△ADB 的重心．.PB Q A ,EG //Q A ,Q A ,PA ,PB 31PQ 1111⊥=故则连结截取 ,QB B A PQ P A 221221-=-所以.PB 31PB 31PB 32PQ QB P A B A 222222121=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-即,x 2PD AB ,1x PA DA BD ,x BC 2222222==+====则设 ,BD 2AB 2AD PB ,ABDP 2222+=+中在平行四边行。
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本29
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本29本试卷分第Ⅰ卷(选择题共 60分)和第Ⅱ卷(非选择题共 90分)，考试时间为120分钟，满分为150分。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.以下满足A ≠⊂B 的非空集合A 、B 的四个命题中正确的个数是 ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件 ③若任取x∈B ，则x ∈A 是随机事件 ④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件A.1B.2C.3D.4 2.函数y =|x －3|－|x+1|A.最小值为0，最大值为4B.最小值为－4，最大值为0C.最小值为－4，最大值为4D.没有最大值，也没有最小值3.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是A.81.2，4.4B.78.8，4.4C.81.2，84.4D.78.8，75.6 4.设z ∈C ，且z+2的辐角主值为3π，z-2的辐角主值为65π，那么z 等于 A.i 2321+- B.i 2123+-C.i 3+-D.i 31+-5.直线y =x+m 与曲线x y 12=-有两个不同交点，则实数m 的取值范围为A.(-2，2)B.(-2，-1]C.(-2，1]D.[1，2)6.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x 4项的系数是通项公式为a n =3n-5的数列的A.第3项B.第11项C.第18项D.第20项7.已知数列{a n }共有n 项，且通项k n k k C 2a =，则此数列的各项之和S 为 A.3nB.3n-1C.n ·2nD.不存在8.已知函数)6x cos(x sin )x (f π-ω+ω=的图象上相邻的两条对称轴间的距离是23π，则ω的一个值是 A.32 B.34C.23D.439.已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m 、n 是方程f(x)=0的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是A.m ＜a ＜b ＜nB.a ＜m ＜n ＜bC.a ＜m ＜b ＜nD.m ＜a ＜n ＜b 10.对于函数⎩⎨⎧<≥=)x cos x (sin x cos )cosx x (sin x sin )x (f 时时，下列四命题中正确的是A.该函数的值域是[-1，1]B.当且仅当2kx 2x π+=(k ∈Z)时，该函数取得最大值1 C.该函数是以π为最小正周期的周期函数 D.当且仅当2k π+π＜x ＜2k π+23π(k ∈Z)时，f(x)＜0 11.MN 是两条互相垂直的异面直线a 、b 的公垂线段，点P 是线段MN 上除M 、N 外一动点，若点A 是a 上不同于公垂线垂足的一点，点B 是b 上不同于公垂线垂足的一点，△APB 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能12.某商品进货规则是：不超过50件，按每件b 元，若超过50件，按每件(b-30)元.现进货不超过50件花了a 元，若多进11件，则花费仍为a 元，设进货价都是每件整元，则a 等于A.1980B.3690C.6600D.7200第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.点P(a ，3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y-3＜0表示的平面区域内，则点P 的坐标是________________.14.函数y =(sinx-3cosx)(cosx-3sinx)的最小正周期为___________. 15.过双曲线1by ax 2222=-的右焦点F(c ，0)的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，则NFMF 22b a 2.类比双曲线这一结论，在椭圆1b y a x 2222=+(a ＞b ＞0)中，NFMF是定值_______________.16.已知函数f(x)=|x 2-2ax+b|(x ∈R).给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x =1对称；③若a 2-b ≤0，则f(x)在区间[a ，+∞]上是增函数；④f(x)有最大值|a 2-b|.其中正确命题的序号是_________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体.(1)从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？(2)从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率是多少？18.(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和是S n ，数列{b n }满足：b 1=a 1，a n =-S n +n ，b n+1=a n+1-a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列，并写出其通项公式；(2)求a n 的通项公式；(3)求n n a lim ∞→.19.(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当P DP A为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？(2)在(1)的条件下，求直线A 1B 1与平面CD 1P 所成的角.20.(本小题满分12分)已知△OFQ 的面积为26，且∙=m.(1)设6＜m ＜46，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q(如图)，且|OF |=c ，m =(146-)c 2，当||取最小值时，求此双曲线的方程.21.(本小题满分14分)已知点F(0，415)，上半平面内的点P 到F 和x 轴的距离之和为417. (1)求动点P 的轨迹；(2)设动点P 的轨迹是C 1，曲线C 1交y 轴于M ，A 、B 是曲线C 1上满足∠AMB =2的两点. 证明：直线AB 与y 轴交于一定点.22.(本小题满分12分)设f(x)=ax 2+bx+c(a ＞b ＞c)，f(1)=0,g(x)=ax+b. (1)求证：函数f(x)与g(x)的图象有两个交点；(2)设f(x)与g(x)的图象的交点A 、B 在x 轴上的射影为A 1、B 1，求|A 1B 1|的取值范围；(3)求证：当x ≤-3时，恒有f(x)＞g(x).参 考 答 案一、选择题 1.C2.C 利用绝对值的几何意义在数轴上研究.3.A 数据变化后，平均数改变而方差不变.4.D5.B 利用数形结合研究直线系y =x+m 与半圆x 2+y 2=1 (x≥0)的交点情况. 6.D7.B 利用二项式定理展开(1+2)2.8.A 函数y =Asin(ωx+ϕ)的图象的相邻两条对称轴相距半个周期.9.A 因为(x-a)(x-b)=0的两解为a 、b ，又m 、n 满足(x-a)(x-b)=1＞0，故m 、n 不可能介于a 、b 之间.10.D 利用数形结合研究f(x)的性质.11.B 利用在△ABC 中，若a 2+b 2＜c 2知C 为钝角，则本题中∠APB 为钝角. 12.C 设进货件数为x(39＜x≤50)，由题意得bx =(b-30)(x+11)，从而11)11x (30b +=，由条件得x =44. 二、填空题13.(-3，3) 由点线距离公式得a =7或-3，代入2x+y-3＜0得a =-3. 14.π 15.22b a 2-用特值法去研究.16.③ 当a 2-b≤0时，f(x)=x 2-2ax+b ，图象的对称轴为x =a ，开口向上，③对. 三、解答题17.解：切割后有0、1、2、3个面涂有红色的面的小正方体的个数分别为8、24、24、8.因此有 (1)2164248P 1=+=. 6分(2)7271C C 1)A (P 1P 264282=-=-=. 12分18.(1)证明：a n =-S n +n ，a n+1=-S n+1+n+1，故a n+1-a n =-a n+1+1，a n -a n-1=-a n +1， 从而(a n+1-a n )-(a n -a n-1)=-(a n+1-a n )，(a n+1-a n )=21(a n -a n-1)， 故n 1n n )21()21(21b ==-∙. 4分 (2)提示：用叠加法求a n =n211-. 8分 (3)1.12分19.解：(1)设PD =x ，AB =1，作DE⊥PC 于E ，可得22x =，比值为2-1. 6分 (2)30°.12分20.解：(1)由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=θ=θ-π∙∙∙.m cos ||||,62)sin(||||212分∴tan θ=m64，∵6＜m ＜46， 4分 ∴1＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4.6分(2)设所求的双曲线方程为1by a x 2222=-(a ＞0，b ＞0)，Q(x 1，y 1)，则FQ =(x 1-c ，y 1).∵△OFQ 的面积是62|y ||OF |211=， ∴c64y 1±=. 又由FQ OF ∙=(c ，0)·(x 1-c,y 1)=(x 1-c)c =(46-1)c 2, ∴x 1=46c, 8分12c968c 3y x ||222121≥+=+=, 当且仅当c =4时，||最小.此时Q 的坐标为(6,6)或(6,-6).由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.16b a ,1b6a 62222 解得⎩⎨⎧==.12b ,4a 2211分故所求方程为112y 4x 22=-.12分21.解：(1)设P 点到x 轴的距离为|PQ|，P 到直线y =415的距离为|PR|. ∵|PF|+|PQ|=417， ∴|PF|=417-|PQ|=|RQ|-|PQ|=|PR|. ∴P 点的轨迹是以F(0，415)为焦点，y =417为准线的抛物线在上半平面的部分，方程为x 2=-(y-4)(y ＞0).7分(2)证明：设A(x 1,4-x 12),B(x 2,4-x 22), 又M(0,4),∴AM k =121x x-=-x 1, BM k =-x 2.∵MA⊥MB,∴x 1·x 2=-1,AB 的方程为121212221x x x x )x 4()x 4()x 4(y --=-----.由x 1≠x 2得(x 1+x 2)x+y-3=0，它与y 轴的交点为(0，3)，是一个定点. 14分22.(1)证明：由⎩⎨⎧+=++=bax y c bx ax y 2ax 2+(b-a)x+(c-b)=0，△=(b-a)2-4a(c-b).∵f(1)=0,∴a+b+c =0,且a ＞b ＞c, ∴a ＞0,c-b ＜0,故△＞0.∴函数y =f(x)与y =g(x)的图象有两个交点. 4分(2)解：设方程的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=a b a -，x 1·x 2=abc -， ∴|A 1B 1|=|x 1-x 2|=21221x x 4)x x (-+ =a bc 4)a b a (2--- =a c2a 4)a c a 2(2+-+ =a c 4)ac (2-=4)2ac(2--. ∵a ＞b ＞c ，a+b+c =0，∴⎪⎩⎪⎨⎧--=>>>.c a b ,a c a b 1,0a∴1＞a c a --＞a c ，即1＞a c 1--＞a c. ∴-2＜a c ＜21-，49＜(ac -2)2-4＜12. ∴23＜|A 1B 1|＜23. 即|A 1B 1|的取值范围是(23，＜23). 8分(3)证明：令F(x)=f(x)-g(x),∴F(x)=ax 2-(a-b)x-b+c =ax 2-(2a+c)x+(a+2c). ∵x≤-3，∴x 2≥3且-x≥3＞1，又2a+c ＞0，∴-x(2a+c)＞2a+c.∴F(x)＞3a+(2a+c)+(a+2c)=3(2a+c)＞0.∴f(x)＞g(x). 12分。
2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题(理科)
2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数ii -12等于（ ）A ．1 + iB ．1－iC ．－1 + iD ．－1－i 2．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 表面积等于 （ ） A ．22+ B ．23+ C ．24+ D ．63．给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 （ ） A ．i ≤30?；p = p + i －1 B ．i ≤29?；p = p + i + 1 C ．i ≤31?；p = p + i D ．i ≤30?；p = p + i 4．由曲线y 2 = x 与y = x 2所围图形的面积为 （ ）A ．31 B ．32 C ．1D ．25．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y = 0.66x + 1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 （ ）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66% 6．函数f (x ) =－x 3 + x 2 +x －2的零点分布情况为（ ）A ．一个零点，在)31,(--∞内B ．二个零点，分别在)31,(--∞、),0(+∞内C ．三个零点，分别在)31,(--∞、)0,31(-、),1(+∞内D ．三个零点，分别在)31,(--∞、)1,0(、),1(+∞内7．在等差数列{a n }中，a 10 < 0，a 11 > 0，且a 11 >| a 10 |，若{a n }的前n 项和S n < 0，则n 的最大值是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．208．将函数)2||,0()sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象，向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示， 则ω、ϕ的值分别为 （ ） A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3πD ．2，－3π9．已知双曲线的两个焦点)0,5(1-F 、)0,5(2F ，P 为双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|= 2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 10．三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且PA = 2，则此三棱 锥外接球的半径为 （ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 11．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 （ ）①x x f sin )(=②x x f lg )(=③xe xf =)(④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①B ．④C ．②③④D ．①③④12．甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的）（ ）A ．21 B ．41 C ．31 D ．61第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.13．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 14．已知n xx )21(3-展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为 .15．如图，在直角坐标系xoy 中，O 是正△ABC 的中心， A 点的坐标为（0，2），动点P （x ，y ）是△ABC 内的点（包括 边界）.若目标函数z = ax + by 的最大值为2，且此时的最 优解(x ，y )确定的点P (x ，y )是线段AC 上的所有点，则目 标函数z = ax + by 的最小值为 . 16．给定下列结论：①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q ：.01,2>+-∈∀x x R x则命题“q p ⌝∧”是假命题；②已知直线l 1：01:,0132=++=-+by x l y ax ，则l 1⊥l 2的充要条件是3-=ba； ③若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαtan 5tan =； ④圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得弦长为2.其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为23，求C B c b sin sin ++的值.18．（本小题满分12分）某旅游公司为3个旅游团提供a ，b ，c ，d 四条线路，每个旅游团任选其中一条. （Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率；（Ⅲ）求选择a 线路旅游团数的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）设函数xx f )21()(=，数列{a n }满足)()2(1)1(),0(*1N n a f a f f a n n ∈--=+=（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ， 试比较n S 与n T 34的大小，并加以证明.20．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB = 90°，PA ⊥底面ABCD ，AB =2，2=AD ，DC = 1，PA = 4，与M 、N 分别为PB 、PD 的中点，平面CMN 交AP 于点Q .（Ⅰ）求平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）确定点Q 的位置.21．（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(= （Ⅰ）若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； （Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．760 14．32115．－4 16．①③三、解答题：17．解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)62s i n (212c o s 2s i n 3++=++=πx x x ……………………………………3分∴函数f (x )的最小正周期ππ==22T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ，解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,6[ππππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得21)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，在△ABC 中，π<<A 0 ππππ26626+<+<∴A6562ππ=+∴A ，解得.3π=A …………………………………………………8分 又2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分由233sin sin sin ===A aC c B b ，得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==CB cb Cc B b18．解：（Ⅰ）3 个旅游团选择3条不同线路的概率为.834333341==A C P ………………3分（Ⅱ）恰有2条线路没有被选择的概率为.169432223242=⋅=A C C P …………………6分 （Ⅲ）设选择a 线路的旅游团数为ξ，则3,2,1,0=ξ其中642743)1(642743)0(321333=⋅=====C P P ξξ .6414)3(64943)2(333323====⋅==C P C P ξξ ………………………… 10分 ∴ξ的分布列为：从而.4643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………… 12分 19．解：（Ⅰ）1)21()0()21()(01===∴=f a x f x又)2(1)(1n n a f a f --=+.)21()21(1)21(221+--==∴+n n n a a a ……………………………………………………2分21+=∴+n n a a 即 21=-+n n a a ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 .122)1(1-=⨯-+=∴n n a n …………………………………………………… 4分（Ⅱ）12)21()21(-==n a n nb 41)21()21(12121==∴-++n n nn b b 即数列{b n }是首项为21，公比为41的等比数列 ])41(1[32411])41(1[2121n n n n b b b S -=--=+++=∴ ……………………………6分)12)(12(153131*********+-++⨯+⨯=+++=-n n a a a a a a T n n n)1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n )1211(3234+-=∴n T n ………………………………………………………………8分 故比较S n 与n T 34的大小，只需比较n )41(与121+n 的大小即可即只需比较2n + 1与4n 的大小 ………………………………………………………10分121331)31(41+>+≥+⋅+=+=∴n n C n n n故n n T S 34>（或用数学归纳法证明） …………………………………………… 12分 20．解：解法一：（Ⅰ）如图以A 为原点，AD ，AB ，AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0,0,0），)0,0,2(D ，B （0,2,0），)0,1,2(C ，P （0,0,4），M （0,1,2），N （2,0,22）…………2分 ∵PA ⊥面ABCD ，AP ∴为平面ABCD 的法向量，且)4,0,0(=设平面CMN 的法向量),,(z y x =)2,1,22()2,0,2(--=-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222200z y x z x n CN CM 令z = 1得 1,2==y x )1,1,2(=∴n …………………………………………………………………………4分21244),cos(=⋅==n AP 60),(],180,0[),(=∴∈n AP n AP即二面角的大小为60° ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (0,0,a ) 则),1,2(a CQ --=由平面向量基本原理存在唯一实数对),(μλ使CN CM CQ μλ+= 即)2,1,22()2,0,2(),1,2(--+-=-μλa …………………………………… 9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=---=-∴3121:2212222a u a μλλμμλ解得 即Q （0，0，3） ∴Q 点在AP 上且分AP 的比为3：1 ………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）过N 作NG ⊥AD ，∵N 是PD 中点，∴G 为AD 中点连结BD ，则MN ∥BD ，∴MN ∥平面ABCD ，过C 用BD 的平行线l ，则MN ∥l ， 即平面CMN ∩平面ABCD = l过G 作CH ⊥l 交l 于H ，连结NH ，则∠NHG 为平面CMN 与平面ABCD所成二面角的平面角 …………………………………………………………………3分 设A C ∩BD = O ，容易证明AC ⊥BD333323332622=-=-==⋅=⋅=AO AC OC BD AB AD AO 332333321=+=+=∴OC AO CH 又221==PA NG 6033322tan =∠∴===∠∴NHG GH NG NHG 即平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小为60°………………………………6分（Ⅱ）取PA 中点R ，连结MR ，DR ，∵MRAB 21∴MR CD ∴CM ∥DR ，…………………………………………………………………………9分 过N 作NQ ∥DR ，则Q 所求，且PA PQ 41=即Q 分AP 的比为3：1 ……………………………………………………………12分 （注：Ⅰ也可用面积射影定理求） 21．解：（Ⅰ）xax x a x f x F +=+=ln )()( 定义域为),0(+∞∈x 2ln )1()(x xa x F --=∴ ……………………………………………………………2分令ae x x F -=='10)(得 由aex x F -<<>'100)(得由ae x x F -><'10)(得 …………………………………………………………4分即),0()(1aex F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a aa e eaa e F ……………………6分 （Ⅱ）kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0+∞) k xxx G -='∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k xxx G 在(0+∞)内恒成立 ………8分 令k x x x H -=ln 2)(，则2)ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)(∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数当),(+∞∈e x 时0)(<'x H )(x H 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k ee H -=2)( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2ek ≥∴ ………………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A⊥ 0=⋅∴，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分 又22222122221)1(2ba b a x x b a a x x +-=+=+ 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分 222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分 2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，1则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x 1=，x 2=．当x 变化时，f′（x ）和f （x ）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数．（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e ﹣ax ≥1，得f （x ）=e﹣ax≥＞1．综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ； （Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年普通高等学校招生统一考试理科数学试题参考答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．π314．11 15．2400 16．π6三、解答题 17．解：由πA B C ++=，得π222B C A+=-， 所以有cos sin 22B C A+=． 22cos 2cos2cos 2sin212sin 2sin22132(sin )222B CA AA A AA ++=+=-+=--+．当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos 2BC A ++取得最大值32． 18．解：（I ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，， i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，． 依题意有12124224()2()339339P A P A =⨯⨯==⨯=，．01111111()()2224222P B P B =⨯==⨯⨯=，．所求的概率为010212()()()p P B A P B A P B A =++141414494929=⨯+⨯+⨯ 49=． （II ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~4(3)9B ，． 35125(0)9729P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 2134100(1)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯=⎪9⎝⎭， 223480(2)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯= ⎪9⎝⎭， 364(3)729P ξ4⎛⎫===⎪9⎝⎭． ξ的分布列为数学期望393E ξ=⨯=．19．解法一：（I ）由已知2211l MN l l MN l M ⊥⊥= ，，，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN⊥==，，可知A N N B =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，AC NB ∴⊥． （II ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH NBH ，∠为NB 与平面ABC 所成的角．AB CHN1l2lM在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ===∠ 解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -． 令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，． （I ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥，2l ∴⊥平面ABN ． 2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，． 于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， 1(1)00AC NB =+-+=，AC NB ∴⊥．（II ）(11)(11)AC m BC m ==- ，，，，，．||||AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NBNC =C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H，设(0)(0)H λλ>，．(01)HN MC λ∴=-= ，，．11203HN MC λλλ=--=∴= ，．103H ⎛∴ ⎝⎭，，，可得203⎛= ⎝⎭ ，，HN ，连结BH ，则 113BH ⎛=- ⎝⎭ ，，， 220099HN BH HN BH =+-=∴⊥ ，，又MC BH H = ，∴HN ⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角． 又(110)BN =-，，，l43cosBH BNNBHBH BN∴===∠．20．解：（I）椭圆方程可写为22221y xa b+=，式中0a b>>，且2232a ba⎧-==⎩，得2241a b==，，所以曲线C的方程为221(00)4yx x y+=>>，．1)y x=<<，y'=设00()P x y，，因P在C上，有00401|x xxx y yy='<<==-，，得切线AB的方程为004()xy x x yy=--+．设()0A x，和()B y，，由切线方程得1xx=，4yy=．由OM OA OB=+得M的坐标为()x y，，由x，y满足C的方程，得点M的轨迹方程为()2214112x yx y+=>>，．（II）222||OM x y=+，222444111yxx==+--，2224||154591OM xx∴=-+++=-≥，且当22411x x -=-，即1x =>时，上式取等号． 故||OM的最小值为3．21．解：（I ）()f x 的定义域为(1)(1)-∞+∞ ，，．对()f x 求导数得 222()e .(1)axax a f x x -+-'=-（i ）当2a =时，2222()e (1)xx f x x -'=-，()f x '在(0)(01)-∞，，，和(1)+∞，均大于0，所以()f x 在(1)(1)-∞∞，，，+为增函数． （ii ）当02a <<时，()0f x '>，()f x 在(1)(1)-∞+∞，，为增函数． （iii ）当2a >时，201a a-<<．令()0f x '=，解得1x =2x = 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：()f x 在⎛-∞ ⎝，，⎫⎪⎪⎭，()1+∞，为增函数，()f x 在⎛ ⎝为减函数．（II ）（i ）当02a <≤时，由（I ）知：对任意(01)x ∈， 恒有 ()(0)1f x f >=．（ii ）当2a >时，取0(01)x =，，则由（I ）知0()(0)1f x f <=．（iii ）当0a ≤时，对任意(01)x ∈，，恒有111xx+>-且e 1ax -≥，得 11()e 111ax x xf x x x-++=>--≥． 综上当且仅当(2]a ∈-∞，时，对任意(01)x ∈，恒有()1f x >． 22．解：（I ）由14122333n n n S a +=-⨯+，1n =，2，3， ，① 得1114124333a S a ==-⨯+，所以12a =．再由①有114122333n n n S a --=-⨯+，2n =，3， ．②将①和②相减得()()111412233n nn n n n n a S S a a +--=-=--⨯-，2n =，3， ，整理得()11242n n n n a a --+=+，2n =，3， ，因而数列{}2nn a +是首项为124a +=，公比为4的等比数列，即12444n n n n a -+=⨯=，1n =，2，3， ，因而42n n n a =-，1n =，2，3， ．（II ）将42n n n a =-代入①得()1412422333n n n n S +=⨯--⨯+()()11121223n n ++=⨯--()()1221213n n +=⨯--．()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪---⨯-⎝⎭，所以，11131122121nn i i i i i T +==⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∑∑1131122121n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭＜32．Ｂ卷选择题答案1．Ａ2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ａ 7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ａ 11．Ａ12．Ａ。
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本20
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本20本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知f (x )=sin x +cos x ，则f (12π)的值为 A.26B.21 C.23 D.22 2.若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.baa b +＞2D.｜a ｜+｜b ｜＞｜a +b ｜3.已知a ，b ，c 为任意非零向量，下列命题中可作为a =b 的必要不充分的条件是 ①|a |=|b |；②(a )2=(b )2；③c ²(a －b )=0. A.①② B.②③ C.①②③ D.①4.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)，则所有不同排法种数是A.36B.72C.144D.2885.正项等比数列｛a n ｝满足：a 2²a 4=1，S 3=13，b n =log 3a n ，则数列｛b n ｝的前10项的和是A.65B.－65C.25D.－256.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的长轴被圆x 2+y 2=b 2与x 轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是A.21 B.22 C.33 D.322 7.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为51、31、41，现三人各投篮一次至少有1人命中的概率为A.601B.6047C.53D.6013 8.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为A.3πB.23π C.25πD.3π9.如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，底面边长为1，侧棱长为2，E 为BB 1中点，则异面直线AD 1与A 1E 所成的角为A.arccos510 B.arcsin510 C.90°D.arccos1010 10.已知，命题p :x +x1的最小值是2，q :(1－x )5的展开式中第4项的系数最小，下列说法正确的是A.命题“p 或q ”为假B.命题“p 且q ”为真C.命题“非p ”为真D.命题q 为假11.已知f (x )为奇函数，周期T =5，f (－3)=1，且tan α=2，则f (20sin αcos α)的值为 A.1 B.－1 C.2 D.－212.已知f (x )=3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则F (x )=［f －1(x )］2－f －1(x 2)的值域为A.［2，5］B.［1，+∞）C.［2，10］D.［2，13］第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_________.14.已知函数y =f (x )的反函数f －1(x )=log8sinπ(x －cos 28π)，则方程f (x )=1的解是_________.15.对于实数x 、y ，定义新运算x *y =ax +by +1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5=15，4*7=28，则1*1=_________.16.设α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实： ①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是_________.(要求写出所有真命题)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且4sin 22C B +－cos2A =27， (1)求∠A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值. 18.(本小题满分12分)数列｛a n ｝中，a 1=1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2=a n (S n －21). (1)求S n 的表达式； (2)设b n =12+n S n，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 19.(本小题满分12分)如图，正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD =90°，∠CBD =30°.(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求二面角D —AB —C 的大小； (3)求异面直线AC 和BD 所成的角. 20.(本小题满分12分)在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(七天)涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P 与周次t 的函数关系.(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q =－0.125(t －8)2+12，t ∈［0，16］，t ∈N .试问：该服装第几周每件销售利润L 最大？21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2－1(x ≥1)的图象是C 1，函数y =g (x )的图象C 2与C 1关于直线y =x 对称. (1)求函数y =g (x )的解析式及定义域M ； (2)对于函数y =h (x )，如果存在一个正的常数a ，使得定义域A 内的任意两个不等的值x 1，x 2都有|h (x 1)－h (x 2)|≤a |x 1－x 2|成立，则称函数y =h (x )为A 的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y =g (x )是M 上的利普希茨Ⅰ类函数；(3)设A 、B 是曲线C 2上任意不同两点，证明：直线AB 与直线y =x 必相交.22.(本小题满分14分)椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率e =32，过点C (－1，0)的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且C 分有向线段的比为2.(1)用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.解析：f (x )=2sin(x +4π)， ∴f (12π)=2sin 3π=26. 答案：A 2.解析：由a 1＜b1＜0，得b ＜a ＜0. ∴|a |+|b |=|a +b |，∴D 不正确. 答案：D3.解析：由a =b 可推得①②③均成立，而由①②③均推不出a =b 成立，∴选C. 答案：C4.解析：C 24A 44÷A 22=72. 答案：B5.解析：a 32=a 2a 4=1，∴a 3=1.设{a n }的公比为q1，则 S 3=q 2+q +1=13，解得q =3，∴公比为31. a n =a 3(31)n －3=(31)n －3， ∴b n =log 3(31)n －3=3－n .∴{b n }是等差数列，其前10项和为2)72(10-=－25. 答案：D6.解析：由题意知a －b =2b ，∴a =3b ，c =22b ，∴e =322=a c .答案：D7.解析：甲、乙、丙三人均未命中的概率为 (1－51)(1－31)(1－41)=52， ∴甲、乙、丙三人至少有1人命中的概率为1－52=53. 答案：C8.解析：将正四面体补成正方体，由正四面体棱长为1，可得正方体棱长为22，正四面体的外接球也就是正方体的外接球，其直径2r 等于正方体的对角线长22²3=26. ∴r =46，∴外接球表面积为4πr 2=23π. 答案：B9.解析：取CC 1中点F ，连结D 1F 、AF ，则∠AD 1F 是AD 1与A 1E 所成角， 易得AD 1=5，D 1F =2，AF =3， ∴∠AFD 1=90°. cos AD 1F =51011=AD F D . 答案：A10.解析：∵x 可取负值，∴命题p 为假，∴非p 真，故选C. 答案：C11.解析：由tan α=2，得sin2α=54， f (20sin αcos α)=f (10sin2α)=f (8)=f (3)=－f (－3)=－1. 答案：B12.解析：∵f (x )图象过点(2，1)，∴32－b =1，∴b =2.∴f (x )=3x －2，∴f －1(x )=log 3x +2(1≤x ≤9). ∴f －1(x 2)中，x 2∈［1，9］. ∴x ∈［－3，－1］∪［1，3］， ∴F (x )定义域为［1，3］，而F (x )=(log 3x +2)2－(log 3x 2+2)=(log 3x +1)2+1. ∵log 3x ∈［0，1］，∴F (x )∈［2，5］. 答案：A二、填空题(每小题4分，共16分)13.60° 14.x =2 15.－11 16.①②⇒③，①③⇒②三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分)17.解：(1)由4sin 22C B +－cos2A =27及A +B +C =180°，得2［1－cos(B +C )］－2cos 2A +1=27， 4(1+cos A )－4cos 2A =5.∴4cos 2A －4cos A +1=0，∴cos A =21. ∵0°＜A ＜180°，∴A =60°.6分(2)由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+.∵cos A =21，∴bc a c b 2222-+= 21，∴(b +c )2－a 2=3bc .将a =3，b +c =3代入上式得bc =2. 由⎩⎨⎧==+23bc c b 得⎩⎨⎧==.2,1c b 或⎩⎨⎧==.1,2c b12分18.解：(1)n ≥2，S n 2=(S n －S n －1)(S n －21)， ∴S n =1211+--n n S S ，即n S 1－11-n S =2(n ≥2). ∴n S 1=2n －1，∴S n =121-n .6分(2)b n =)121121(21)12)(12(112+--=-+=+n n n n n S n ， T n =21 (1－31+31－51+51－71+…+121-n －121+n ) =21 (1－121+n ). 12分19.(1)证明：∵平面ABC ⊥平面BCD ，且∠BCD =90°， ∴CD ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥AB . 3分 (2)解：过点C 作CM ⊥AB 于M ，连DM ，由(1)知CD ⊥平面ABC ， ∴DM ⊥AB .∴∠CMD 是二面角D —AB —C 的平面角.设CD =1，由∠BCD =90°，∠CBD =30°，得BC =3，BD =2.∵△ABC 为正三角形，∴CM =23BC =23.∴tan CMD =32=CM CD ，∴∠CMD =arctan 32. ∴二面角D —AB —C 的大小为arctan32. 7分(3)解：取三边AB ，AD ，BC 的中点M ，N ，O ，连AO ，MO ，NO ，MN ，O D. 则OM21AC ，MN 21B D. ∴直线OM 与MN 所成的锐角或直角就是直线AC 和BD 所成的角. ∵△ABC 为正三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥平面BCD ，∴△AOD 是直角三角形，ON =21AD ， 又∵CD ⊥平面ABC ，∴AD =1322+=+CD AC =2.在△OMN 中，OM =23，MN =1，ON =1， cos NMO =4321=MN MO. ∴直线AC 和BD 所成的角为arccos43. 12分20.解：(1)P =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+.1611 240,105 20,50 210t t t t t6分(Ⅱ)P －Q =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤+.1611 36481,105 16281,50 681222t t t t t t t tt =5时，L max =981，即第5周每件销售利润最大. 12分21.解：(1)由y =x 2－1(x ≥1)，得y ≥0，且x =1+y ，∴f －1(x )=1+x (x ≥0)，即C 2：g (x )=1+x ，M ={x |x ≥0}.4分(2)对任意的x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，则有x 1－x 2≠0，x 1≥0，x 2≥0. ∴|g (x 1)－g (x 2)|=|11+x －12+x |=11||2121+++-x x x x ＜21|x 1－x 2|.∴y =g (x )为利普希茨Ⅰ类函数，其中a =21. 8分(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线C 2上不同两点，x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2. 由(2)知|k AB |=|2121x x y y --|=|||)()(|2121x x x g x g --＜21＜1.∴直线AB 的斜率k AB ≠1.又∵直线y =x 的斜率为1，∴直线AB 与直线y =x 必相交.12分22.解：(1)设椭圆E 的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，由e =32=a c . ∴a 2=3b 2，故椭圆方程x 2+3y 2=3b 2.2分设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由于点C (－1，0)分有向线段的比为2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ，即⎩⎨⎧-=+-=+.2),1(212121y y x x由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0. 4分由直线l 与椭圆E 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2) 两点，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=∆.1333,136,0)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k而S △OAB =21|y 1－y 2|=21|－2y 2－y 2| =23|y 2|=23|k (x 2+1)|= 23|k ||x 2+1|. ⑥由①④得:x 2+1=－1322+k ，代入⑥得：S △OAB =13||32+k k (k ≠0).8分(2)因S △OAB =13||32+k k =||||33k k +≤323=23，①②③④ ⑤当且仅当k =±33，S △OAB 取得最大值. 此时x 1+x 2=－1，又∵3221x x =－1， ∴x 1=1，x 2=－2. 将x 1，x 2及k 2=31代入⑤得3b 2=5. ∴椭圆方程x 2+3y 2=5.14分。
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本18
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本18本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列函数中具有反函数的有①y =x 2，x ∈{1，2，3} ②y =lg|x | ③y =e x －2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.将点P (1，2)按向量a =(3，4)平移到点P ′(－t 2+t +6，t 2+t )，则实数t 的值为 A.2或－1 B.－3或2 C.－1或3 D.23.数列{a n }满足a n =－31a n －1(n ≥2)，a 1=34，则a 4与a 2的等差中项是 A.－8120B.8120C.2720D.－27204.若0＜a ＜1，f (x )＝|log a x |，则下列各式中成立的是A.f (2)＞f (31)＞f (41) B.f (41)＞f (2)＞f (31) C.f (31)＞f (2)＞f (41) D.f (41)＞f (31)＞f (2)5.(x 3+41x)n 的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是A.21B.35C.56D.586.已知圆方程x 2+y 2=4，A (－1，0)，B (1，0)，动抛物线过A 、B 两点且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是A.3522y x +=1(y ≠0)B.3422y x +=1(y ≠0) C.4522y x +=1(y ≠0)D.4322y x +=1(y ≠0) 7.函数y =cos 2(x +23π)是 A.周期为2π的偶函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数 8.若直线a ⊥b ，且a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 A.b ⊂α B.b ∥α C.b ⊂α或b ∥α D.以上都不对9.在正三棱锥S —ABC 中，D 是AB 的中点，且SD 与BC 成45°角，则SD 与底面ABC 所成角的正弦为A.22 B.31 C.33 D.36 10.某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为A.15，5，25B.15，15，15C.10，5，30D.15，10，2011.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++的值为A.338B.3932C.3326D.392112.R 上的函数y =f (x )不恒为零，同时满足f (x +y )=f (x )f (y )，且当x ＞0时，f (x )＞1，则当 x ＜0时，一定有A.f (x )＜－1B.－1＜f (x )＜0C.f (x )＞1D.0＜f (x )＜1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.若关于x 的方程4x +a ·2x +4=0有实数解，则实数a 的取值范围是___________.14.若曲线f (x )=x 4－x 在点P 处切线平行于直线3x －y =0，则点P 的坐标为___________. 15.若c ≠0，则直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2+ax +by +c =0的交点个数是___________.16.若对n 个向量a 1，a 2，…，a n 存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1+k 2 a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”，依此规定，能说明a 1=(1，0)，a 2=(1，－1)，a 3=(2，2)“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3依次可以取___________.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知cos(α+4π)=53，2π≤α＜23π，求cos(2α+4π)的值.18.(本小题满分12分)解关于x 的不等式|x －a |＜ax (a ＞0). 19.(本小题满分12分) 在某物理实验中，有两粒子a ，b 分别位于同一直线上A 、B 两点处(如图所示)，|AB |＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a 粒子向左移动的概率为31，b 粒子向左移动的概率为52.(1)求2秒后，a 粒子在点A 处的概率；(2)求2秒后，a ，b 两粒子同时在点B 处的概率. 20.(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧面BCC 1B 1是边长为a 的正方形，D 、E 分别是B 1C 1、BB 1的中点.(1)试过A 、C 、D 三点作出该三棱柱的截面，并说明理由； (2)求证：C 1E ⊥截面ACD ； (3)求点B 1到截面ACD 的距离. 21.(本小题满分12分)已知函数g (x )=(2－x )3－a (2－x )，函数f (x )的图象与g (x )的图象关于直线x －1＝0对称. (1)求f (x )的表达式；(2)若f (x )在区间［1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围；(3)记h (x )＝f (x )+g (x )，求证：当x 1，x 2∈(0，2)时，|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|. 22.(本小题满分14分)设A (－2，0)，B (2，0)，M 为平面上任一点，若|MA |＋|MB |为定值，且cos AMB 的最小值为－31. (1)求M 点轨迹C 的方程；(2)过点N (3，0)的直线l 与轨迹C 及单位圆x 2+y 2=1自右向左依次交于点P 、Q 、R 、S ，若|PQ |＝|RS |，则这样的直线l 共有几条？请证明你的结论.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：①③由一一映射确定，故有反函数. 答案：C2.解析：由平移公式知：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++-4231622t t t t 解得t =2.答案：D3.解析：公比q =－31，a 2=a 1q =－94，a 4=a 1q 3=－814. ∴a 2与a 4的等差中项为(a 2+a 4)÷2=－8120.答案：A4.解析：f (2)=|log a 2|=|－log a21|=log a 21， f (31)=|log a 31|=log a 31， f (41)=|log a 41|=log a 41. ∵0＜a ＜1，log a x 是减函数， ∴f (41)＞f (31)＞f (2). 答案：D5.解析：2C 2n =C 1n +C 3n ，解得n =7，T r +1=C r 7x21－7r.令21－7r ＝0，∴r =3，∴常数项为T 4=C 37=35.答案：B6.解析： |AF |＋|BF |＝|AA ′|+|BB ′|＝2|OO ′|＝4.由定义知，抛物线焦点F 的轨迹是中心在原点，A 、B 为焦点，4为长轴长的椭圆(不包括在x 轴上的点). ∴a =2，c =1，b =3，故选B.答案：B 7.解析：y =sin 2x =21(1－cos2x )，故选C. 答案：C8.解析：b 与α可能相交，可能平行，也可能b 在α内，故选D. 答案：D9.解析：取AC 中点E ，连结DE 、SE ，则∠SDE 是SD 与BC 所成角.∴∠SDE =45°，设BC ＝2，SA ＝x ．易得DE ＝1，SD ＝SE ＝12-x ，∴△SDE 是等腰直角三角形，∴SD ＝12-x =22.作SO ⊥面ABC 于O ，连结OD ，则OD ＝63BC =33，∠SDO 即SD 与底面所成角，cos SDO =36=SD DO ，∴sin SDO =33. 答案：C10.解析：300∶200∶400=3∶2∶4=15∶10∶20. 答案：D 11.解析：由S =21bc sin A =3，得c =4，a 2=b 2+c 2－2bc cos A =13，∴a =13，原式=3932sin =A a . 答案：B12.解析：显然f (x )=2x 满足条件，当x ＜0时， 0＜2x ＜1，故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13.a ≤－4 14.(1，0) 15.0 16.－4，2，1三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π－sin2αsin 4π=22 (cos2α－sin2α). ∵43π≤α+4π＜47π，cos(α+4π)=53＞0， ∴23π＜α+4π＜47π， ∴sin(α+4π)=－54)4cos(1-=+-πα. 6分∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π)=－2524.sin2α=－cos(2α+2π)=1－2cos 2(α+4π)=257.∴cos(2α+4π)=22(－2524－257)=－25031. 12分18.解：|x －a |＜ax (a ＞0)⇔⎩⎨⎧<-<->axa x ax x 0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+<->a x a x a x )1(0)1(02分①a ＞1时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>->>aa x aa x x 110，∴x ＞a a +1.6分②a =1时，∴x ＞21. 8分③0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>->>aa x a a x x 110，∴a a +1＜x ＜a a -1.10分综上，a ≥1时，解集为［a a +1，+∞)；0＜a ＜1时，解集为(a a +1，aa-1).12分 19.解：(1)∵1秒后a 粒子向左移动1个单位的概率为31，又过1秒后a 粒子回到A 处的概率为1－31=32，∴a 粒子先向左后向右回到A 处的概率为31×32，同理，a 粒子向右后向左回到A 处的概率为32×31，故2秒后a 粒子在A 处的概率为31×32+32×31=94.6分(2)∵2秒后a 粒子在B 处的概率为32×32=94，而b 粒子2秒后在B 处的概率为53×52+52×53=2512. ∴2秒后a 、b 粒子同时在B 处的概率为94×2512=7516. 12分20.(1)解：取A 1B 1中点F ，连DF 、AF ，由题设DF ∥A 1C 1∥AC ， ∴A 、C 、D 、F 四点共面，∴截面是ACDF . 3分(2)证明：⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥⇒-C CC BC BC AC CC AC C B A ABC 11111 直棱柱 ⎭⎬⎫⊂⊥⇒11111 C CBB E C C CBB AC 面面⇒C 1E ⊥A C.D 、E 是B 1C 1、BB 1中点⇒C 1E ⊥截面AC D.7分(3)解：延长AF 、CD 、BB 1，易证它们交于一点G ，由(2)知C 1E ⊥截面ACD ，又C 1E ⊂ 侧面BCC 1B 1，∴侧面BCC 1B 1⊥截面ACD .过B 1作B 1M ⊥CG 于M ，则B 1M ⊥截面ACD . ∴B 1M 就是B 1到截面ACD 的距离.∵B 1D21BC ， ∴GD ＝DC ＝25a ，GB 1＝B 1B ＝a ， 在Rt △GB 1D 中，B 1M ＝a GD D B GB 5511=∙.即B 1到截面ACD 距离为55a .12分21.解：(1)设P (x ，y )为函数f (x )图象上任一点，其关于x ＝1的对称点P ′(x ′，y ′)应在g (x )图象上.∴⎪⎩⎪⎨⎧='='+.,12y y x x ∴⎩⎨⎧='-='.,2y y x x 代入g (x )表达式得f (x )= x 3－ax .4分(2)∵f ′(x )=3x 2－a ，且f (x )在［1，+∞)上是增函数，∴3x 2－a ≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3x 2∈［3，+∞）恒成立. ∴a ≤3. 8分 (3)∵h (x )=f (x )+g (x )=(2－x )3－a (2－x )+x 3－ax =6x 2－12x +8－2a ， |h (x 1)－h (x 2)|=|(6x 12－12x 1+8－2a )－(6x 22－12x 2+8－2a )| =|6(x 12－x 22)－12(x 1－x 2)| =6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|. ∵x 1，x 2∈(0，2).∴0＜x 1+x 2＜4，∴－2＜x 1+x 2－2＜2，即|x 1+x 2－2|＜2，∴6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|＜12|x 1－x 2|， 即|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|. 12分 22.解：(1)设M (x ，y )，∵在△AMB 中，AB ＝4，|MA |＋|MB |是定值. 可设|MA |＋|MB |＝2a (a ＞0).∴cos AMB =||||2||||||222MB MA AB MB MA -+=||||216||||2|)||(|2MB MA MB MA MB MA --+=||||21642MB MA a -－1.3分而|MA |＋|MB |≥2||||MB MA ∙， ∴|MA |·|MB |≤a 2.∴||||21642MB MA a -－1≥222164a a -－1. ∵cos AMB 最小值为－31， ∴222164a a -－1=－31.∴a =6.∴|MA |+|MB |=26＞|AB |.∴M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且a =6，c =2. ∴b 2=a 2－c 2=2.∴曲线C 的方程是2622y x +=1. 7分(2)设直线l 的方程是y ＝k (x －3).1°当k ＝0时，显然有|PQ |＝|RS |；此时l 的方程是y ＝0. 2°当k ≠0时，∵|PQ |＝|RS |，∴PS 与RQ 的中点重合，设中点为G ，则OG ⊥PS .由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(12622x k y y x ，得(1+3k 2)x 2－18k 2x +27k 2－6=0. 10分设P (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，则x 1+x 2=223118k k +，y 1+y 2=k (x 1－3)+k (x 2－3)=2316k k +-. ∴G (22319kk +，2313k k +-).∴222319313k k k k++-×k =－1无解，此时l 不存在， 综上，存在一条直线l ：y ＝0满足条件.14分。
2006高考数学模拟试卷
2006高考数学模拟试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|2<x<4},能使A B 成立的实数a 的取值范围是 （ ） A ．{a|3<a<4} B ．{a|3≤a<4} C ．{a|3<a≤4} D ．{a|3≤a≤4}2. 已知f(x+2)是偶函数，则y=f(2x)的图像的对称轴是 （ ） A ．x=-1 B ．x=1 C ．x=2 D ．x=-23．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（0，+∞） D ．（1，+∞） 4．关于等比数列{a n }给出下述命题：（1）数列a n =10是公比q=1的等比数列；（2）;,224+++=+∈n n n a a a N n 则（3）;,,,,,q p n m a a a a q p n m N q p n m ⋅=⋅+=+∈+则（4）S n 是等比数列的前n 项和，则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列，其中的真命题是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④5．已知x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥--,012,01,01y x y x y x 则z=20-2y+x 的最大值是 （ ）A ．21B ．23C ．25D ．276．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高AA 1=3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 所角的正弦值等于 （ ） A ．54 B ．53C ．522D ．5237．一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是 （ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．228．函数f(x)=4x 4-2x 2+6的单调递增区间是 （ ） A ．]1,0[]1,(和--∞ B ．)0,1(- C ．],1[]0,1[+∞⋃- D ．[0，1]9．复数iz +=11的辐角主值是 （ ） A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π10．已知)cos ,(cos ),cos ,sin 3(x x b x x a ωωωω==，记函数f(x)=a ·b ，且f(x)的最小正周期是π，则ω=（ ）A ．ω=1B ．ω=2C ．21=ωD ．32=ω11．给出三个条件：①xt 2>yt 2; ②ty t x >; ③x 2>y 2其中能分别成为x>y 的充分条件的是 （ ）A ．①②③B ．②③C ．③D ．①12．双曲线14322=+-y k x 的离心率e<2，则k 的取值范围是 （ ） A ．k<3 B ．-9<k<3 C ．-3<k<3 D ．-57<k<3第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x ﹣1（x＞1）7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A．B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x 11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．18．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．19．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．21．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．22．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选：D．【点评】考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选：D．【点评】考查知识点有二倍角公式，最小正周期公式本题比较容易3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【考点】NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选：C．【点评】本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x ﹣1（x＞1）【考点】4R：反函数．【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选：B．【点评】由于是基本题目，解题思路清晰，求解过程简捷，所以容易解答；解答时注意函数f（x）=lnx+1（x＞0）值域的确定，这里利用对数函数的值域推得．7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【考点】LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题．【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A．B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选：D．【点评】本题主要考查对称的性质和对数的相关性质，比较简单，但是容易把与f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）搞混，其实9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选：D．【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g （x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g （x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f （g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的求和公式，难度一般．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【考点】8E：数列的求和．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选：C．【点评】本题主要考查求和符号的意义和绝对值的几何意义，难度较大，且求和符号不在高中要求范围内，只在线性回归中简单提到过．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，=C108=C102=45可得r=8代入通项公式可得T r+1故答案为：45．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：【点评】本题主要考查等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度一般．15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：由题意，点P（1，）在圆（x﹣2）2+y2=8的内部，圆心为C（2，0），要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CP，所以k=﹣=，故答案为．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所在的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】16：压轴题．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25【点评】本题主要考查直方图和分层抽样，难度不大．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为3【点评】本题考查向量垂直的充要条件|数量积等于0；向量模的平方等于向量的平方；三角函数的同角三角函数的公式；18．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=【点评】本题主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．19．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）【点评】本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查了函数的导数和利用导数判断函数的单调性，难度较大，涉及分类讨论的数学思想．21．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．22．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【考点】F3：类比推理；RG：数学归纳法．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A ∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）=∅．⑧∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）=m时，f（﹣x）=﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）=n时，f（﹣x）=n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）=﹣f（3）=﹣7；最大值为f（﹣1）=﹣f（1）=﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．3．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）=x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．4．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．5．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006高考数学模拟卷(理)
2006高考数学模拟卷（理）（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1、 下列各式：①2003⊆｛x|x ≤2004｝；②2004∈｛x|x<2004｝；③｛2004｝｛x|x ≤2004｝；④ф∈｛x|x<2004｝ （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、a=sin14°+cos14°, b= sin16°+cos16°, c=26,则a,b,c 的大小关系是 （ ） A 、a<b<c B 、a<c<b C 、b<c<a D 、b<a<c 3、复数ia ai222+-的模为2，则实数a 的值是 （ ）A 、3B 、3C 、3±D 、3± 4、不等式组()()⎩⎨⎧≤≤≥+++3005x y x y x 表示的平面区域的面积为 （ ）A 、12B 、16C 、24D 、285、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足→→→→=++AB PC PB PA ，则点P 与ΔABC 的关系为 （ ） A 、P 在ΔABC 的内部 B 、P 在ΔABC 的外部C 、P 在AB 边所在的直线上D 、P 在AC 边所在的直线上6、已知数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1122n 的前n 项和为S n ，则n n S +∞→lim 等于 （ ） A 、0 B 、1 C 、23D 、2 7、中心在原点，准线为x=±4，离心率为0.5的椭圆方程为 （ ）A 、14322=+y x B 、13422=+y x C 、1422=+y x D 、1422=+y x 8、下列四个命题中，正确命题的序号是 （ ）①“直线a 、b 是异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a ∥直线b ” 的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；④“直线a ∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线”。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设集合 $M=\{x|x^2-x<0\}$，$N=\{x||x|<2\}$，则（）。
A。
$M\cap N=\varnothing$B。
$M\cap N=M$C。
$M\cup N=\mathbb{R}$XXX2.已知函数 $y=e^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则（）。
A。
$f(2x)=e^{2x}$（$x\in\mathbb{R}$）B。
$f(2x)=\ln2\cdot\ln x$（$x>0$）C。
$f(2x)=2e^x$（$x\in\mathbb{R}$）D。
$f(2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）3.双曲线 $mx^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）。
A。
$\dfrac{3}{4}$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$4.如果复数 $(m^2+i)(1+mi)$ 是实数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$B。
$-1$C。
$0$D。
不存在实数 $m$ 满足条件。
5.函数$y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ 的单调增区间为（）。
A。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$B。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{N}$C。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$D。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi+\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$6.$\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为$a$、$b$、$c$，若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$（）。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，1则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a ＜2时，f'（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数． （ⅲ）当a ＞2时，0＜＜1，令f'（x ）=0， 解得x 1=，x 2=．当x 变化时，f′（x ）和f （x ）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1 （ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e ﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1．综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：． 【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
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2006年高考模拟试卷 数 学 试 题（理科）考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n（k ）=k n kkn P PC --)1(球的体积公式：334R Vπ=（其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答卷纸上)1. 已知=>==>==B A x y y B x x y y A x 则},1,)21(|{},1,log |{2 ( ）A ．),21(+∞B ．（2,21）C ．)21,0( D ．（0，2）2.命题甲：α是第二象限角；命题乙：sin tan 0αα<，则命题甲是命题乙成立的 ( )A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知直线:4350,()l x y AB m λλ++==为非零实数，如果直线l 与直线AB 平行，则可推算出：与m 共线的一个单位向量是（ ）A ．34(,)55B ．34(,)55-C ．43(,)55D ．43(,)55- 4．定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模为（ ）A ．1+B C ．1- D5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ ）0.30.1A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．为了解某校高三学生的视力情况，随 机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图（如右图）. 由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组 的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0 之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 A. 0.27,78 B. 0.27,83 C. 2.7,78D. 2.7,837. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程为 ( )A. 221090x y x +-+=B. 221090x y x +--=C.221090x y x ++-=D.221090x y x +++=8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+10．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为 ( )1k 0二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷上） 11．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________。
12．6(x展开式中常数项是第 项，该项等于 (用数字作答)． 13．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.14．已知m 、n 是直线， α、β、γ是平面，给出下列命题：① 若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα，则βα⊥⊥n n 或；②若α∥β，n m =γ⋂β=γ⋂α,，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若m =⋂βα，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）2006年高考模拟试卷 数 学 试 题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填写在对应方格内.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答卷中的横线上.（11） （12）（13） （14）三、解答题（本大题共6个小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知21()sin(2)cos(2)cos 263f x x x x ππ=-+-+-+ .（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间5[,]88ππ上的最大值，并求出f(x)取最大值时x 的值.16．（本小题满分14分）甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为21，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望E ξ=34，η表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值. (1)求s 的值及η的分布列， (2)求η的数学期望.17．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离. 18．(本小题满分14分)设定义在正实数集上的两个函数2()2ln ,()f x x x g x x =-=-减函数，(1,)+∞上是增函数 。
(Ⅰ) 若)(/x f 为f(x)的导函数,解不等式:/()()f x g x <+(Ⅱ) 证明:方程()()3[1,)f x g x =++∞在上恰有一个实数根.19．(本小题满分14分)双曲线的中心是原点O ，它的虚轴长为62，相应于焦点F （c ,0）（c ＞0）的准线l 与x 轴交于点A ，且| OF |= 3 | OA |。
过点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点。
（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若AQ AP ∙=0，求直线PQ 的方程。
20．(本小题满分14分)已知曲线C:2()f x x =,C 上点A 、n A 的横坐标分别为1和()n a n N *∈，且15a =,11(1)1(0,,1)2n n x af x a a a +=-+>≠≠.记区间[1,](1)n n n D a a =>.当n x D ∈时，曲线C 上存在点(),()n n n P x f x ，使得点n P 处的切线与直线n AA 平行.(Ⅰ)试证明:数列{}log (1)1a n x -+是等比数列;(Ⅱ)当1n n D D +⊃对一切n N *∈恒成立时，求实数a 的取值范围;(Ⅲ)记数列{}n a 的前n 项和为S n ，当14a =时，试比较S n 与n +7的大小，并证明你的结论.2006年高考模拟试卷 数 学 试 题（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共16分）11. 1 12. 5 , 15 13. 3 14. ②④ 三、解答题15.（本小题14分）（Ⅰ）1+cos2x1cos2x 3f(x)=cos(2x+)+cos(2x-)+- =2cos2xcos +=cos2x 3322322πππ ……6分 故()f x 的周期为π …………8分（Ⅱ）55[,],2x [,]8844ππππ∈∈若x f(x)为[,]82ππ上的减函数，5(,]28ππ上的增函数, 10分 5()()88f f ππ>，故当x 8π=时，f(x) …………14分 16.（本小题14分）解： (1)依题意知ξ∽B(2，s)，故E ξ=2s=34，∴s=32…………2分 η的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是361)31()21(22=⨯， 甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯，∴p (η=0)=36139192361=++． …………6分 甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是361)3131)(2121(=⨯⨯，甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯．∴p (η=2)=91361+=365，∴p (η=1)=1p -(η=0)p -(η=2)=2136536131=--． ………10分 故η的分布列是………12分（2）E η=97365221136130=⨯+⨯+⨯． …………14分 17.（本小题14分）解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、 B （3，0，0）、C （3，1，0）、D （0，1，0）、 P （0，0，2）、E （0，21，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC …………3分设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC PB AC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. …………6分 （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x ……………10分即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63.………14分解法2：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角. …………3分 在△AOE 中，AO=1，OE=,2721=PB,2521==PD AE∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA …………5分 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473.…………6分 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF.连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF …10分设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF …………14分 18．（本小题14分）(1)由条件可得:a=2 ………………2分/2()2,()f x x g x x x∴=-=-不等式/()()f x g x <+:22x x x-< …………4分 解之得:解集为.x ⎧⎪<⎨⎪⎩ ……………7分（Ⅱ）构造函数2()()()32ln 3(0)x f x g x x x x x ϕ=--=--+->)/32()2111222x x x x x x ϕ∴=--⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦………………9分 ()1,x ∴∈+∞当时,/()0;x ϕ> 即()x ϕ在()1,+∞上单调递增 ………………11分又(1)1ϕ=-，22()23 2.5233 1.250e e e ϕ=--+>--+=>00(1)()0(1,),()0e x e x ϕϕϕ∴<∴∈=必存在使，又()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴0x x =是其方程的唯一实数根。