全概率公式的应用与推广

全概率公式的应用与推广摘要;全概率公式是概率论的一个重要公式，也是概率论中的一个难点，它包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛。

本文列举了几个例子并给出了三种推广形式，拓展了它在我们日常生活中的使用范围，进而成为我们解决类似的更加复杂问题的行之有效的工具，帮助我们更好地解决实际问题.关键词;全概率公式 样本空间 事件概率论是统计学在现实生活中应用的理论基础，它的特点是推理严谨和逻辑性较强，是学生学习中属于学习比较困难的学科，尤其是正确的应用全概率公式.在概率论中全概率公式是一个重要公式，它不仅含盖了事件的并和互不相容的概念，而且包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛.1.全概率公式性质（全概率公式）：假设对一个样本空间Ω，有12,,,n A A A 一列事件，若12,,,n A A A 为其的一个分割，即12,,,n A A A 互不相容，且Ω== ni i A 1，如果()()0,1,2,,,i P A i n >= ,则对任一事件B 有()()()i i 1P B P A P B|A n i ==∑)1(.证明 如下图所示:事件12,,,n A A A 中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12,,,n A A A 互不相容，即∑==ni i BA B 1，显然12,,n BA BA BA 也互不相容.∴由概率的加法公式和概率的乘法公式得：()1n i i P B P BA =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()12n P BA BA BA =++ ()()()12nP B A P B A P B A =+++ ()()()()()()1122n n P A P B|A P A P B|A P A P B|A =+++()()ni i i 1 P A P B|A ==∑即得到全概率公式:∑==ni 1i i )A |)P(B P(A P(B)全概率公式的基本思想就是：考察事件B 可能发生的全部情况，把B 分割成若干个表面上看来可能比较复杂但实际上求概率时比较简单的互不相容的事件的和，这里所说的对事件B 进行分割并不是直接对B 进行分割，而是先找到一列事件12,,,n A A A ，使其恰好构成样本空间Ω的一个划分，这样事件B 就会被事件12,,n BA BA BA 分成了n 部分，即n 21BA BA BA B +++= ；同时，用概率的加法公式与概率的乘法公式求出事件B 的概率.换句话说，如果我们从问题的条件上可以找到一列事件1A ，2A ,…，n A ，使得当且仅当其中之一发生时B 才可能发生（即可以使B 可能发生的全部情况）及其概率),,2,1)((n i A P i =，同时我们还可以求得在它们发生的条件下B 发生的条件概率),,2,1)(|(n i A B P i =，那么用全概率公式即可求得)(B P 。

通常我们也可以此作为一个题目是否可以使用全概率公式来求解的判定方法.以下就通过一些例题，来讨论全概率公式在实际解题中的应用.2.全概率公式的应用例 1 某厂加工一种产品，现有甲，乙，丙三个工作人员，知道这三个工作人员加工这种产品的合格率分别为 0.95，0.9，0.8，现在这三名工作人员已加工了一定量的产品，甲、乙、丙三人加工产品个数的比例为2：3：5.混在一起，现任取一件，求此产品为合格品的概率.分析 显然这个试验应分为两步进行:第一步,我们先看取到的产品是哪个工作人员生产的,因为取到的产品总是由甲、乙、丙三个工作人员中的一个工作人员生产,我们可把它们分别设为123A A A ，,,显然123A A A ，，两两互不相容,且)3,2,1(,0)(=>i A P i ,Ω=321A A A .第二步，看所取出的这件产品是合格品还是不合格品，自然，该产品可能是合格品，也可能是不合格品；此处是求取得合格品的概率，当然这个正品可能是甲生产的，也可能是乙生产的，还可能是丙生产的，由此我们可以确定，此题我们可以用全概率公式去求解.解: 记事件B ：“取到的产品为合格品”,1A ：“取到的产品由甲生产”,2A ：“取到的产品由乙生产”,3A ：“取到的产品有丙生产”,由已知条件知102)(1=A P ,103)(2=A P ,105)(3=A P ， 1(|)0.95P B A =,2(|)0.9P B A =,3(|)0.8P B A =.则有全概率公式得 31112233()()(|)()(|)()(|)()(|)2350.950.90.8101010i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A p A P B A ===++=⨯+⨯+⨯∑0.86=.即任取一件产品为合格品的概率为0.86.例2 某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人;现在举行一场游泳选拔比赛，我们知道一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9、0.7、0.4。

求在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率.分析 显然这个试验应分为两步进行：第一步，看选出的运动员所在的级别，因为选出的运动员总在一级运动员、二级运动员或三级运动员中的一个，我们可以把它们分别设为123A A A ，，，显然123A A A ，，两两互不相容，且)3,2,1(,0)(=>i A P i ，Ω=321A A A ；第二步，看选出的运动员能否晋级，此处求该运动员能够晋级的概率，当然，这个能够晋级的运动员可能是一级运动员，也可能是二级运动员，还可能是三级运动员，由此，我们可以确定，此题我们可以使用全概率公式来求解. 解：记事件B :“选出的运动员能进入比赛”,1A ：“选出的运动员是一级运动员”,2A ：“选出的运动员是二级运动员”,3A ：“选出的运动员是三级运动员”.由题意知204)(1=A P ,208)(2=A P ， 208)(3=A P ,9.0)|(1=A B P , 2(|)0.7P B A =,3(|)0.4P B A =,则有全概率公式得31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++4880.90.70.4202020=⨯+⨯+⨯ 0.62=.即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62.例3 我们小时候都玩过丢手绢的游戏，现在有m 个小朋友在玩这个游戏，手绢首先由甲开始丢出，其余的m-1个小朋友得到手绢的可能性是相同的，求第n 次丢手绢时，仍由甲丢出的概率.分析 这个实验中间涉及的过程比较复杂，但我们可以只考虑第n-1次，第n-1次可以分为两种情况，即第n-1次手绢在甲手中或手绢不在甲手中，两种情况是互不相容的，可以设为1-n A 和1-n A ，且Ω=--11n n A A ，且如果第i 次手绢在甲手中，则第1+i 次就一定不在甲手中，即0)|(1=+i i A A P 且11)|(1-=+m A A P i i ，通过分析我们可以知道这题可以使用全概率公式来求解.解 设事件i A ：“第n 次传手绢时，仍由甲传出”,1(),1i i P P A P ==记则，且 1i 11|A )0,|)1i i i P A P A A m ++==-（（. 所以由全概率公式得n n-1n n-1n-1n n-1 P(A )P(A )P(A |A ) p(A )p(A |A )=+n-111P 0(1)1n P m -=⨯+-⨯-. 得递推公式2),1(111≥--=-n P m P n n . 将11=P 代入,得,3,2],)11(1[12=---=-n m m P n n 即第n 次丢手绢，仍由甲丢手绢的概率为,3,2],)11(1[12=---=-n m m P n n 例4 在一次射击比赛中，有1号、2号、3号三种靶，若击中1号靶一次，或击中2号靶两次，或击中3号靶三次，则通过比赛。

某选手击中1号、2号、3号靶的命中率与所击中靶和射手所在的距离成反比.已知1号靶、2号靶、3号靶与选手之间的距离之比为7：2：1，若该选手已击中了两次，求该选手通过比赛的概率.分析 很明显，这是一个很复杂的事件，我们还是来分两步进行：第一步，看已被击中的两次在哪个靶上，我们可以这样做：设 ij ω={第一枪击中第i 号靶上，第二枪击中第j 号靶上}，2,3,1j ,i =.所有的结果为: 11ω12ω,13ω,21ω,22ω,23ω,31ω,32ω,33ω.再设1A ={1号靶只被击中一次}，},,,{312113121ωωωω=A ，2A ={1号靶被击中两次}， }{112ω=A ，3A ={2号靶被击中两次}, }{223ω=A ，4A ={3号靶被击中两次}， }{334ω=A ，5A ={2号靶和3号靶各被击中一次}，},{32235ωω=A .显然54321,,,,A A A A A 两两互不相容，且 )5,4,3,2,1(,0)(=>i A P i ， Ω=54321A A A A A ；第二步，看该选手击中两次靶，能否通过比赛.此处所求的是该选手能通过的概率，当然，该选手可能通过比赛，也可能不通过比赛，由此，我们可以确定，此题可以使用全概率公式去求解.解 记事件B :该选手通过比赛,设ij ω={第一枪击中第i 号靶上，第二枪击中第j 号靶上}，2,3,1j ,i =.所有的结果为: 11ω12ω,13ω,21ω,22ω,23ω,31ω,32ω,33ω.设1A ={1号靶只被击中一次}，},,,{312113121ωωωω=A ，2A ={1号靶被击中两次}， }{112ω=A ，3A ={2号靶被击中两次}, }{223ω=A ，4A ={3号靶被击中两次}， }{334ω=A ，5A ={2号靶和3号靶各被击中一次}，},{32235ωω=A ,54321,,,,A A A A A 为样本空间Ω的一个分割.因为，命中率与被击中靶和选手之间的距离成反比，且1号靶、2号靶、3号靶与选手之间的距离之比为7：2：1，所以，可以得到该选手击中1号靶的概率为0.1，击中2号靶的概率为0.2，击中3号靶的概率为0.7.112132131()(,,,)P A P ωωωω=12132131()()()()P P P P ωωωω=+++0.10.20.10.70.20.10=⨯+⨯+⨯+⨯ 0.18=.211P(A )P()0.10.10.01ω==⨯=,322P(A )P()0.20.20.04ω==⨯=,433P(A )P()0.70.70.49ω==⨯=,52332P(A )P(,)0.20.70.70.20.28ωω==⨯+⨯=.由题意知0)|(,0)|(,1)|(,1)|(,1)|(54321=====A B P A B P A B P A B P A B P .则由全概率公式可得51P(B)()(|)i i i P A P B A ==∑1122P(A )P(B|A )P(A )P(B|A )=+334455()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A +++0.1810.0110.0410.4900.280=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.23=即该选手能通过比赛的概率为0.23.例5 盒中有黄球3个，蓝球7个，甲先从中任取2个，乙再从其余的8个中任取3个.甲、乙约定，取得黄球多者为胜，求甲胜的概率.)5(分析 显然这个试验稍微有点复杂，我们还是分两步进行：第一步，看甲先取出的黄球个数，它可能是0个，可能是1个，也可能是2个，我们分别把它设为0A ,1A ,2A ，显然0A ,1A ,2A ，两两互不相容，且 )2,1,0(,0)(=>i A P i ,Ω=210A A A ；第二步，看乙取出黄球的个数，比较甲、乙两人谁的黄球多.此处所求的是甲比乙的黄球多的概率。