方法专题6 构造中位线的方法
构造三角形的中位线
专题构造三角形的中位线
[方法归纳]中点的用途很广，构造三角形的中位线是常用方法之一．
一、连结两点构造三角形的中位线
1．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为____
. 二、取中点构造三角形的中位线
2．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，BD＝12，AC＝16，点E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
三、先连结两点再取中点构造中位线
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F分别是DC，AB的中点，直线EF分别与BC，AD的延长线相交于点G，H.求证：∠AHF＝∠BGF.
4．如图，在△ABC中，点O是BC边的中点，点D是AC边上的一点，点E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB＝CD＝5，∠OEC＝60°，求OE的长度．
四、利用角平分线与垂线构造中位线
5．如图所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.
(1)求证：GH∥BC；
(2)若AB＝9 cm，AC＝14 cm，BC＝18 cm，求GH的长．。
三角形中位线技巧
三角形中位线技巧
三角形的中位线是指连接三角形一个顶点和其对边中点的线段。
常见的中位线技巧包括：
1. 中位线的交点为重心，重心到顶点距离的比例为2:1。
2. 中位线长等于底边长的一半，即$m_a = \frac{1}{2}a$，其中$m_a$为从顶点到对边中点的中位线，$a$为底边长。
3. 三角形三条中位线交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，称为中心。
4. 中心到各顶点的距离等于中线长的三倍，即$OM =
\frac{3}{2}m_a$，其中$O$为中心。
5. 如果相邻两边中点连线，分别交对角线于点$P$和$Q$，则$PQ$等于$\frac{1}{2}$对角线长。
中位线常常作为解决三角形问题的关键步骤之一，通过灵活应用中位线技巧可以帮助我们更好地理解和解决三角形问题。
中位线的构造
八下数学思维解法技巧培优小专题【典例丄】（2019-赤壁市模拟）如图，在四边形肋CD 中，点分别是边AB 、AD 的中点，若BC=15, CD=9, EF=6, ZAFE=55° ,则ZQC= 145 °・【点拨】连接BD •根据三角形中位线定理得到肋=2£F=12, £F 〃肋，根据勾股定理的逆定理得到ZBDC=9Q° ,结合图形计算即可.【解析】解：连接BD ，T 点F 分别是边AB. AD 的中点，:.BD=2EF=12, EF//BD.:• ZADB= ZAFE=55° ,BD 2+CD 2=225, 卅=225,:.BD 2+CD 2=BC 19:.ZBDC=90° ,••• ZADC= ZADB+ZBDC= 145° ,故答案为:145. 连接两点构造中位线中佞线的构31A・100°B. 120° C. 140°D・160°【典例2】（2019・宁波期末）如图，在0BC中D E分别是.IB, AC的中点，点F, G在BC上,且BC=4BF=4CG, £F 与DG 相交于点O,若ZDFE=40° , ZZ）GE=80°,那么ZDOE的度数是（）A【点拨】连接皿利用中位线的性质，可得DE=；BC,由BC=4BF=4CG可得FG= *BC,易得DE //FGRDE=FG,易得四边形DEFG为平行四边形，可得DF//EG,利用平行线的性质可得ZDGE= Z FDG,由外角的性质可得结果.【解析】解：连接DE,TD, E分别是.IB, AC的中点，:.DE//BC且9：BC=4BF=4CG,:.FG=^BC,.•・四边形DEFG为平行四边形，:.DF//EG.:• ZDGE= ZFDG=W ,V ZP/T=40°,I CDCZD利用"••• ZDOE=80° +40° =120° ,【典例3】（2019・钦州期末）如图，MBC中，M是EC中点…Q平分ZBAC. ED丄“10于D,若AB=12, JC=16,则MD等于2・【点拨】延长他交zlC于H 根据等腰三角形的性质得到BD=DH.根据三角形中位线定理计算即可.【解析】解：延长交JC于H,T.1D 平分ABAC. BDW:・BD=DH、AH=4B=\2,:.HC=AC-AH=4.TM 是EC 中点，BD=DH,:.MD=字CH=2,故答案为：2.AB【典例4】（2019・南开区期中）如图，HABC中一3是中线,AE是角平分线，CF丄于F」B=5,AC=2.则DF的长为（）A. 3B. 2.5 C・ 1.5 D・1【点拨】延长CF交肋于证明MFCs/XAFH可得CF=FH, AH=4C,然后求岀EH,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得詁丹.【解析】解：如图，延长CF交肋于H,•••一匹是角平分线，A ZCAF= ZHAF.TCF 丄A ZJFC=Z.4FH=90° ,在△JFC和厶1?7/中.Z.CAF =乙HAFT AF =AF ,LAFC=乙AFH•••△zLFCPZUFH （如），:・CF=FH・ AH=AC,:.BH=AB - .1H=AB - AC=5・2 = 3,又•••.ID是中线，•••DF是的中位线, :.DF=^BH=^x3 = 1.5. 故选：C.区中点构造中位线【典例5】（2019-成都期末）已知：如图一Q、恥分别是厶拐C的中线和角平分线—3丄BE, AD=BE3^5-2 —【点拨】过D点作DF//BE，则DF=^BE=\. F为EC中点.在RtZ^WF中求岀的长度，根据已知条件易知G为3中点，因此E为廿中点，贝ij AC= |jF.【解析】解：过刀点作DF//BE.•••・!□是AABC的中线,AD丄BE,：・F为EC中点,AD丄DF,【典例6]（2019-福田如图，已知在3=24,点E是BC上一点,BE=10,连接DE、\\1D=BE=2,则DF=X V22 + 12 =屈「BE是AABC的角平分线，.10丄PE•••△dEG 幻△DEG,•••G为中点,•••E为M中点,:・AE=EF=CF,故答案为：芋【点拨】连接取加的中点F,连接MF、NF,证明NF、分别是△PDE、肋的中位线，由三角形中位线定理得出NF〃恥，MF//AD、NF= ^BE=5. MF=^AD= 12.证出AF丄MF,在Rt/\MNF中，由勾股龙理即可得出答案・CB【解析】解：连接取肋的中点F,连接MF、NF、如图所示：TM、N、F分别是DE、BD的中点，:・NF、妙分别是△$£）£、厶血的中位线，:.NF//BE. MF//AD, NF=；BE=5,临=訓=\2.V ZJCB=90° ,•••JD 丄BC、\9MF//AD.•••MF 丄BC.•:NFUBE、•••NF 丄MF.在Rt^MNF中，由勾股宦理得：MN= \NF2 + MF2=^52 + 122 =13；故答案为:13.【典例刀（2019-成都校级月考）如图，41BC中，ZJ5C=90° , BA=BC.△BEF为等腰直角三角形, ZBEF=9L , M为2F的中点，求证:ME=^CF・E【点拨】延长EF到D, DE=EF,连接JD、BD,判断岀是等腰直角三角形，根据等峻血角三角形的性质可得加=BF,再求出ZCBF= ZABD,然后利用“边角边”证明&BD和ZkCBF全等，根据全等三角形对应边相等可得.3=CF,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=i W,从而得到ME= i-CF・【解析】证明：如图，延长EF到D，l-li DE=EF,连接肋、BD,••仏BEF为等腰直角三角形，ZBEF=9L ,•••ZBFE=45° , BE丄DF,•••恥垂直平分DF,A ZBDE=45° ,:・、BDF是等腰直角三角形，:・BD=BF. ZDBF=90° ,V ZCBF+Z.1BF= Z ABC= 90° ,ZABLH ZABF= ZDBF= 90c,:.ZCBF=Z.1BD.在HABD和ZkCBF 中,AB = BC乙CBF = J LABD^BD = BF:.AABD^ACBF (SAS).:・AD=CF.•・・M为.IF的中点，DE=EF,:.ME是ZUDF的中位线，：.ME=【典例8】（2019-成都校级月考）如图，点P为'ABC的边EC的中点，分别以AC为斜边作RtZD 和RtAJC£> 且ZB3=Za(E,求证：PD=PE.【点拨】如图，分别取肿、JC的中点M M连接DM、PM、PN、NE,构建三角形中位线，利用三角形中位线左理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得3DP沁NPE (SJS),则该全等三角形的对应边相等：PD=PE・【解析】证明：如图，分别取肿、2C的中点M、N,连接DM、PM、PN、NE.•・•点P为HABC的边BC的中点，.・.PM为/\ABC的中位线，:.PM=扣C・又TWE为直角斜边上的中线，:・NE=AN=扣C.:・MP=NE・同理DM=RV・TD忆=桃AZ1 = Z3,・・・Z5=2Z1 (三角形外角定理).同理，Z6=2Z2.又Z1 = Z2,AZ5=Z6.又PM//AC, PN//AB,AZ7=Z9, Z8=Z9,AZ7=Z &•••Z5+Z7=Z6〒Z8,即ZDMP= ZPNE,DM = PM:.在\MDP与ANPE中，乙DMP =厶PNE,MP = NE:.HMDPS HNPE（SAS）,:・PD=PE・1.（2019・武汉）如图，在△.ISC中，ZJCB=60°C=l, D是边，毎的中点，E是边BC上一点.若^平分△磁的周长，则DE的长是_亨_.【点拨】延长BC至使CM=CA,连接MM,作CN丄于M 根据题意得到ME=£P,很据三角形中位线宦理得到根据等腰三角形的性质求岀厶1CN,根据正弦的概念求岀汁算即可.【解析】解：延长BC至M,使CM=CA.连接凡皿作CN丄凡“于N,•••DE平分ZU5C的周长，:.ME=EB.又AD=DB,B. 20C. 12 D ・10:.DE= jjM, DE//AM.V ZJCB=60° ,A ZJCM= 120° ,VCM=G4,A ZJCV=60°、AN=MN 、：..4N=AC^mZACN=学\/3t• nr — J3• • DE — •故答案为：■-—・22・（2019・宽城区期末）如图，D 是ZUBC 内一点，BD 丄CD, E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD. AC 的中点.若-W=10, BD=J CD=6,则四边形EFGH 的周长是（ ）【点拨】利用勾股定理列式求出BC 的长,再根据三角形的中位线平行于第滋并且等于第三边的一半A. 24求出EH=FG= ^BC. EF=GH=*1D,然后代入数据进行讣算即可得解.【解析】解：•:BD1CD,肋=8, 3=6,:・BC= \BD2 +CD2 = V 82+ 62=10,•:E、F、G、H分别是AB. AC. CD、的中点，:・EH=FG=专BC, EF=GH=4D,•••四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD-BC,又mo,•••四边形EFGH的周长=10+10=20,故选：B.3・(2019・英徳市期末)如图，在中，BF平分ZABC, AG丄BF,垂足为点交BC于点G, E为/C的中点，连结DE, DE=2.5cm, AB=4cm,则BC的长为9 期・【点拨】由条件“BF平分AG丄肿•'可判怎三角形肋G是等腰三角形(AB=GB).再由条件临为HC的中点”，可判怎a是三角形的中位线，由此可得GC=2DE 进而可求出BC的长.【解析】解：TEF 平分ZABC. AG丄BF.:./\ABG是等腰三角形,A. 3 D ・4AB ~ GB =4d ♦•:BF 平分 ZABC.：..4D=DG.YE 为dC 的中点，.・.D£是ZUGE 的中位线,:.DE= *CG,:.CG=2DE=5cm.:.BC=BG+CG=4+5 = 9m ,故答案为：94. （2019-通川区期末）如图，/\ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，平分ZABC,交DE 于点、F, 若BC=6、则DF 的长是（ ）【点拨】利用中位线怎理，得到DE 〃肋，根据T •行线的性质，可得ZEDC=ZABC 、再利用角平分线 的性质和三角形内角外角的关系，得到进而求出DF 的长.【解析】解：在△肋C 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点,:.DE//AB,:.ZEDC= ZABC. 2•：BF平分ZABC.:.ZEDC=2ZFBD・在△BDF 中，ZEDC= ZFBD+ZBFD.:.ZDBF=ZDFB・:.FD=BD= ；BC= | x6 = 3・故选：2.5.（2019-松北区一模）如图，和BE分别为三角形MC的中线和角平分线，.Q丄BE,若AD=BE=4,则FC的长」【点拨】过D点作〃恥，则F为EC中点,在RtAADF中求出2F的长度，根据已知条件易知6为3中点，因此E为廿中点，则AC=【解析】解：过D点作DF〃EE,如图所示：•••JD是ZUBC的中线,AD丄BE,；・F为EC中点，AD丄DF,\\1D=BE=4.则DF=2, AF= \!AD2 + DF2 =2>/5,•:BE是HABC的角平分线…ID丄:.HABG 竺4DBG,:.AC= |jF=3 洛.故答案为：3尽6.（2019-垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为」B、BC、CD、的中点，并且E、F、G、H四点不共线.当AC=6, BD=*时，四边形EFGF的周长是一14 .【点拨】根据三角形中位线宦理得到FG〃EH, FG=£H根据平行四边形的判左龙理和周长解答即可.【解析】解：TF，G分别为BC, CD的中点，:.FG= FG//BD.VE, H分别为AB, D」的中点，•••EH=$BD=4, EH//BD.:.FG//EH. FG=EH,•••四边形EFGH为平行四边形,:.EF=GH=^1C=3.•••四边形EFGH的周长=3+3+4+4 =14,故答案为：147.(2019・怀化)已知：如图，在HABC中，DE、DF是/XABC的中位线，连接EF. AD,其交点为O・求证：(1)HCDE9HDBF；(2)O4 = OD・【点拨】(1〉根据三角形中位线，可得DF打CE的关系，DB 口 DC的关系，根据SAS.可得答案;(2)根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案.【解析】证明：(1)•:DE、DF是ZL3C的中位线，:.DF=CE. DF//CE. DB=DC・•: DF"CE、:•乙C=ZBDF ・DC = BD住HCDE和△DBF中厶C=乙BDF.CE = DF:.△ CDE9 /XDBF(SJS)：(2) •:DE、DF是WBC的中位线,:.DF=AE, DF//AE,•••四边形DE.1F是平行四边形,•：EF 口.10 交于O 点，:.AO=OD8・（2019-尚志市期中）如图在直角HABC中，ZBAC=9Q Q,点D是BC中点,连接,3,点E为.Q的中点，过点/作AF//BC 交线段恥的延长线于点F,连接CF.（1）求iiE： -1F=DC；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有而积等于ZUEF而枳2倍的三角形.【点拨】（1）由“MS”町证HAFE皿DBE；（2）根据等髙模型即可解决问题.【解析】证明：（1）•:AF〃BC、:.ZAFE= ZDBE•••△4BC是宜角三角形，.3是BC边上的中线，E是的中点,：..1E=DE. BD=CD在和△DBE中，LAFE =乙DBELAEF =乙BED，AE = DE:.^AFE^ADBE (zUS)：(2)解：•:AE=DE・•: S ABD=2S「.BDE=2S• AEF・•:DB=DC、BD=AF, ：..1F=CD9/.四边形ADCF是平行四边形,S； ADC=s； dCF=s(ABF；•••而积等于而枳2倍的三角形有：0CD, £\ABD、ZUCF. “AFB.。
初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)
学生姓名学生年级学校上课时间辅导老师科目教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格新课导入知识点归纳1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一：倍长中线法经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④第1题图第2题图2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF ＝CG ．5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AE ＝EF ，求证：AC ＝BF.6.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ，F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE ＝2AF ；②FG ⊥DE ．FGE D B C AF DB C AE GFB C A D E7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？8.四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上的中点，△ABE 沿着直线AE 翻折，点B 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G ，请探究线段AB 、AG 、G C 之间的关系．9.如图所示，△ABC 中，点D 是BC 的中点，且∠BAD ＝∠DAE ，过点C 作CF//AB ，交AE 的延长线于点F ，求证：AF ＋CF ＝AB.FD A B C EG F E D B C A FD B C A E做辅助线思路二：构造中位线法经典例题2：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是________.【课堂训练】1.已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.2.已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC 的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM＝ON.AB F CDNMEDA BCOE FM NP3.BD、CE分别是的△ABC外角平分线，过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，易证FG=21（AB+BC+AC）。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
构造三角形中位线的五种常用方法
期末提分练案
第3讲 平行四边形 第2课时 方法训练 构造三角形中位线的五种常用方法
方法训练 1．如图，点 B 为 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 同侧
作等边三角形 ABD 和等边三角形 BCE，点 P，M，N 分别为 AC，AD，CE 的中点． (1)求证 PM＝PN；
方法训练
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N.求证 AN＝13AC.
证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH， 过点 H 作 HE∥AD，交 BN 的延长线于 E. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D 为 BC 的中点． ∵H 为 NC 的中点，∴DH∥BN. 又∵PD∥EH，∴四边形 PDHE 是平行四边形．∴HE＝PD.
方法训练 4．如图，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，M，N 分别
是 AD，BC 的中点．若 AB＝10，CD＝8，求 MN 长度的取 值范围．
方法训练 解：如图，取 BD 的中点 P，连接 PM，PN. ∵M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线， ∴PM＝12AB＝5. 同理得 PN＝12CD＝4. 在△PMN 中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.
方法训练
∵P 为 AD 的中点，∴AP＝PD. ∴AP＝EH. 又∵HE∥AD，∴∠PAN＝∠EHN，∠APN＝∠HEN. ∴△APN≌△HEN(ASA)． ∴AN＝NH. ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝13AC.
方法训练 2．如图，在△ABC 中，已知 AB＝6，AC＝10，AD 平分∠BAC，
BD⊥AD 于点 D，点 E 为 BC 的中点．求 DE 的长． 解：如图，延长 BD 交 AC 于点 F. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF. 又 AD＝AD， ∴△ADB≌△ADF(ASA)． ∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
中位线定理不同证明方法
中位线定理不同证明方法【前言】中位线定理是高中数学中的一个重要定理，它说明了一个三角形的三条中位线相交于一个点，并且这个点距离三角形三个顶点的距离相等，即这个点是三角形重心。
本文将从不同的证明方法来探讨中位线定理，以便读者能够全面、深刻地理解这个定理。
【主体】一、中位线与平行四边形定理平行四边形定理指出，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
我们可以利用这个定理来证明中位线定理。
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E，再连接DE，如图1所示。
由于D是AB的中点，所以AD = DB；同理，AE = CE。
连接BD和CE，可以得到△CED和△BDE是等边三角形，即CE = BD。
根据平行四边形定理，四边形BCED是平行四边形，因此BC ∥ DE。
同理，可得AC ∥ DE和AB ∥ DE。
根据平行线之间的性质，当有两条平行线和一条直线交叉时，它们所分割的对应线段成比例。
AD：DE = BD：EC。
由于AD = BD和EC = CE，所以AD：DE = 1：1。
通过比例关系，我们可以得知中位线AD平分了DE。
同理，可以证明AC和BE互相平分，即中位线AD、BE和CF互相平分。
根据平行四边形定理，可以得出结论：中位线AD、BE和CF相交于一点，且这个点是三角形ABC的重心。
二、中位线的向量证明在平面几何中，向量是一种重要的工具，它可以用来进行几何问题的研究和证明。
这里我们将利用向量进行中位线定理的证明。
设向量OA = a，向量OB = b，向量OC = c。
既然A、B、C是三角形ABC的顶点，则向量AB = b - a，向量AC = c - a。
根据中位线的定义，向量AD = 1/2 * (b - a)，向量AE = 1/2 * (c - a)。
由于中位线AD和向量AB平行，所以存在实数k，使得向量AD = k * (b - a)。
同理，存在实数m，使得向量AE = m * (c - a)。
专训常用构造中位线的五种方法
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
第6章平行四边形 题型解读5 构造中位线题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读5 构造中位线题型【知识梳理】：中位线的常见构造方法1.连或找中点，得中位线；（例1、2）2.连中点不得中位线时，另取中点；（例3、4）3.连线构造中位线的背景图形—三角形；（例5、6、7、8）【典型练习】例1．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，且相交于点O ，H 、F 分别是OB 、OC 的中点，则EH 、DF 有怎样的特殊关系？【解题过程】连接ED 、FH ，∵BD 、CE 是△ABC 的中线，∴ED 是△ABC 的中位线，∴BC=2DE ，BC//DE ，又∵H 、F 是OB 、OC 的中点，∴HF 是△OBC 的中位线，∴BC=2HF ，BC//FH ，∴ED=FH ，ED//FH ，∴四边形EDFH 是平行四边形，∴EH=DF ，EH//DF.例2.如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长．【解题过程】延长BD 交AC 于点F ，∵∠BAD=∠FAD ，AD=AD ，∠ADB=∠ADF=90º，∴△ABD ≌△AFD ，∴AB=AF=6，BD=DF ，∴DE 是△BFC 的中位线，∴FC=2DE ，∵AC=14，AF=6，∴FC=8，∴DE=4.例3.已知如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ，求证：GF=GC.O ED C BAF H DB AFDC B A【解题过程】取BE 的中点H ，连接FH 、CH ，∵F 是AE 的中点，∴FH 是△EAB 的中位线，∴FH//AB ，AB=2FH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴FH//CD ，CD=2FH ，∵点E 是CD 的中点，∴DC=2EC ，∴FH=EC ，∴四边形EFHC 是平行四边形，∴GF=GC.例4. 如图，在△ABC 中，D 、G 分别为AB 、AC 的点，且BD=CG ，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP=AQ.【解题过程】取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，∵M 、N 是BG 、CD 的中点，∴ME 、NE 分别是△BGC 、△CDB 的中位线，∴ME//CG ，CG=2ME ，NE//BD ，BD=2NE ，∵BD=GC ，∴ME=NE ，∴∠EMN=∠ENM ，∵ME//GC ，NE//BD ，∴∠EMN=∠AQP ，∠ENM=∠APQ ，∴∠AQP=∠APQ ，∴AP=AQ.例5.求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形【解题过程】已知四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：四边形EFHG 是平行四边形.连接BD ，∵E 、H 是AB 、AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD ，且EH=BD/2；∵F 、G 是BC 、DC 的中点，∴G FE DC B A H G FE DC B A QPN M DC B AQ PN M E DC B AH G F ED CB AG GFG 是△CBD 的中位线，∴FG//BD ，且FG=BD/2；∴EH//FG ，且EH=FG ，∴四边形EFHG 是平行四边形。
学习笔记：三角形中位线证明方法
前 言
共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。
关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。
1动手操作法2相似法3倍长法4平行法5翻折法
目录 CONTENTS
6作高法7构造法8旋转法9统一法10反证法
目录 CONTENTS
类型一：动手操作法
类型五：作高法
类型六：构造法
类型八：旋转法
总结
初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。
我把这些方法分成了十种不同的类型，其中运用这三种变换都能达到证明的目的。
因为有中点，所以倍长法与作高法和构造法都能构造全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角形，并生成对顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找到证明思路与方法。
这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在AE=EC，且A、E、C在同一条直线上。
我们应该认真研究初中数学几何知识，发现其本质与联系，就能对几何证明达到融会贯通、运用自如的地步。
要让学生对几何证明进行全方位地探求，抓住问题的全貌以及与问题相关的其他因素，进行多角度、多层次的思考与研究，唯有这样，我们才能使学生的思路更加宽广，思维更加灵活，培养出具有创造性思维能力的学生。
中考加油。
证明三角形中位线的方法
证明三角形中位线的方法引言三角形中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
它有着很多有趣的性质和应用，可以通过多种方法进行证明。
在本文中，我们将深入探讨三角形中位线的证明方法。
证明方法一：向量法步骤一：构造向量对于任意三角形ABC，我们可以通过定义向量AB、AC和BC来表示三角形的各边。
步骤二：证明中位线中点设中位线DE的中点为F，我们需要证明向量DF等于向量EF。
1.证明DF=EF：–设向量AB=a，向量AC=b。
–根据中位线定义，向量DE=(a+b)/2，向量AF=a/2，向量CE=b/2。
–因此，向量DF=DE-AF=(a+b)/2-a/2=b/2。
–同理，向量EF=CE= b/2。
–因此，向量DF等于向量EF，即DF=EF。
步骤三：证明中位线平行我们需要证明中位线DE和BC平行。
1.证明DE∥BC：–设向量AB=a，向量AC=b。
–根据中位线定义，向量DE=(a+b)/2，向量BC=b-a。
–因此，向量DE∥BC。
步骤四：证明三角形中位线相交于一点我们需要证明三角形的三条中位线交于一点。
1.证明中位线DF与中位线BE交于一点：–设中位线DF和BE交于点G。
–根据步骤二的证明，我们已知向量DG=EG。
–同理，我们可以证明向量AG=BG，以及向量CG=FG。
–因此，点G是中位线DF和BE的交点。
证明方法二：重心定理重心定理是另一种证明三角形中位线的方法。
下面我们将介绍重心定理的证明步骤。
步骤一：定义重心对于任意三角形ABC，重心G是三条中线AD、BE和CF的交点。
步骤二：证明重心在三条中线上我们需要证明重心G在中线AD、BE和CF上。
1.证明重心在中线AD上：–设中线AD与BE的交点为点H。
–根据定义，我们知道向量AH=(2/3)AD，向量BH=(1/3)BE。
–因此，向量GH=AH-BH=(2/3)AD-(1/3)BE=(1/3)(2AD-BE)。
–因为向量AD=BC，所以向量GH=(1/3)(2BC-BE)=(1/3)(BC+BC-BE)=(1/3)(BC+CE)。
微专题 中点问题六大方法
方法四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质 例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____． 【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的 中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结 如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直 构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．
中位线定理的三种证明方法
方法一：欲证DE=BC/2这种线段的倍半问题,往往可以将短的线段放大,转化为证明两线段相等,此题可将线段DE延长一倍至F,再连FC,把问题转化为证明四边形DFCB为平行四边形.
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∵AD
∵∵A=∵ACG
∵∵AED=∵CEF、AE=CE、∵A=∵ACF
∵∵ADE∵∵CFE (S.A.S)
∵AD=CF(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∵AD=BD
∵BD=CF
又∵BD∵CF
∵BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵DF∵BC且DF=BC
∵DE=DF/2=BC/2
∵DE为三角形ABC的中位线.
方法二：相似法：八年级下册第四章已学习过相似图形,也可以利用相似三角形的知识来解决.
∵D是AB中点
∵AD：AB=1：2
∵E是AC中点
∵AE：AC=1:2
又∵∵A=∵A
∵∵ADE∵∵ABC(S.A.S)
∵AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∵ADE=∵B，∵AED=∵C
∵BC=2DE,BC∵DE
方法三：用截长补短的方法构造全等三角形,再证出平行四边形,得出结论.
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG
∵点E是AC中点
∵AE=CE
∵AE=CE、∵AED=∵CEG、DE=GE
∵∵ADE∵∵CGE (S.A.S)
∵AD=CG、∵G=∵ADE
∵D为AB中点
∵AD=BD
∵BD=CG
∵点D在边AB上
∵DB∵CG
∵BCGD是平行四边形
∵DE=DG/2=BC/2
∵所以DE为三角形ABC的中位线。
构造三角形的中位线的五种方法
∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵E 为 BC 的中点，BD＝FD， ∴DE 是△BCF 的中位线．∴DE＝12CF＝12×4＝2.
3．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF 为等腰 直角三角形，∠BEF＝90°，M 为 AF 的中点．求证： ME＝12CF.
解：如图，连接 BD 并取 BD 的中点 P，连接 PM，PN. ∵M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线．∴PM＝12AB＝5. 同理可得 PN＝12CD＝4. 在△PMN 中， ∵PM－PN＜MN＜PM＋PN，∴1＜MN＜9.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N.求证：AN＝13AC.
证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH， 过点 H 作 HE∥AD，交D 为 BC 的中点．
又∵H 为 NC 的中点， ∴DH 为△BCN 的中位线．∴DH∥BN. ∵HE∥AD，∴四边形 PDHE 是平行四边形．∴HE＝PD. ∵P 为 AD 的中点，∴AP＝PD.∴AP＝HE. 易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH. 又∵NH＝HC，∴AN＝NH＝HC.∴AN＝13AC.
(1)求证：PM＝PN；
证明：如图，连接 CD，AE. ∵M，N，P 分别是 AD，CE，AC 的中点， ∴MP，NP 分别是△ACD 和△ACE 的中位线． ∴PM＝12DC，PN＝12AE. ∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形， ∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°. ∴∠ABE＝∠DBC. ∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴AE＝DC.∴PM＝PN.
三角形中位线证明方法
三角形中位线证明方法
三角形中位线的证明可以从以下几个方面进行：
1.利用向量法证明：可以利用向量表示三角形的中位线并计算其长度和角度，最终证明中位线相等。
2. 利用数学归纳法证明：首先证明在直角三角形中，中位线相等，假设三角形ABC的中位线DE相等，再证明当三角形ABC任意一边增加一小段时，中位线DE也相应增加一小段，从而证明中位线DE在三角形ABC中任意一边上都相等。
3. 利用勾股定理证明：首先利用勾股定理得出三角形中各个角的余弦值，接着利用中位线将三角形划分成两个小三角形，利用余弦定理证明两个小三角形的对应边长和夹角相等，从而证明中位线相等。
4. 利用相似三角形证明：利用中位线将三角形划分成两个小三角形，证明这两个小三角形与原三角形相似，从而证明中位线相等。
以上几种证明方法都可以用于证明三角形中位线相等的结论，根据具体情况可以灵活运用。
中位线定理不同证明方法
中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。
它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。
中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。
一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。
让我们回顾一下中位线的定义。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。
为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。
设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。
根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。
现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。
设交点为D。
根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。
我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。
然后我们来看三角形ADM和三角形BND。
根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。
根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。
因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。
同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。
我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。
根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。
我们可以得出结论：CD || AB。
根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。
因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。
代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。
我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。
根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。
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方法专题6 构造中位线的方法
类型一连中点构造三角形中位线(KP43)
1.如图,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF // DG且EF=DG.
类型二取中点构造三角形中位线
2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=BD,E,F分别是边AD,BC的中点,EF 分别交AC，BD于点G,H,求证:∠OGH=∠OHG.
类型三角平分线十垂线构造三角形中位线
3.如图,CD是△ABC的角平分线,AE上CD于点E,F是AC的中点，
(1)求证:EF // BC;
(2)猜想:∠B,∠DAE, ∠EAC之间的关系，并说明理由.
类型四倍长法构造三角形中位线
4.如图,点P为△ABC的边BC的中点,分别以AB,AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE,
且∠BAD=∠CAE.求证:PD= PE.。