高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理

【解析】由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB ⊥CA ．同
理可证 PC ⊥ AB ， PA⊥ BC ．∴ P 是 △ABC 的垂心．如图⑶.
C
A
E
C
B
P
M H P
A
F
B
O
图⑶
图⑷
4 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于 sinB=
sinC=AD，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是 △ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
1 已知 G 是 △ABC 所在平面上的一点，若 GA GB GC 0 ，则 G 是 △ABC 的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
如图⑴.
A
C
A' G
B
图⑴
P
B
M
A
C
O
图⑵
2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足 OP OA ( AB AC) ， (0， ) ，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( ).
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由题意 AP ( AB AC) ，当 (0， ) 时，由于 ( AB AC) 表示 BC 边上
的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的重心，如图⑵.
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点 P 满足
（λ
∈（0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
OA
S S BC
S A
OA
SB
OB
SC
OC
S S
SB SC
SB SC
BC
SA OA SB OB SC OC 0
推论 O 是 ABC 内的一点，且 x OA y OB z OC 0 ，则
SBOC S: COA : SAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
AD
DB
SBOC S: COA DB : AD
SBOC : SCOA tan A : tan B
同理得 SCOA : SAOB tan B : tan C ， SBOC S: AOB tan A : tan C
SBOC S: COA : SAOB tan A : tan B : tan C
故 H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题
6 已 知 I 为 △ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 AB c ， AC b ， BC a ． 若
则点 H 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心
D．垂心
2
2
2
2
证明: HA HB CA BC
A
(HA HB) BA (CA CB) BA
得 (HA HB CA CB) BA 0
H
即 (HC HC) BA 0 AB HC
B
C
图6
同理 AC HB, BC HA ，
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理：
四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题
平面向量奔驰定理与三角形四心
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孙老师整理
已知 O 是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 SA ， SB ， SC ，求证：
SA OA SB OB SC OC 0
A
如图 2 延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则
O
B
C
BD SABD SBOD SABD S BOD SC
sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
O 是 ABC 的垂心
SBOC : SCOA S: AOB tan A : tan B : tan C
tan A OA tan B OB tan C OC 0
C
O
A
D
B
证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD
C
BC
0
，
即 AB BC
AC BC
BC CB 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点
AB cos B AC cos C
在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷.
2 2 2 2 2 2
5 若 H 为 △ABC 所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB
S S S S DC
ACD
COD
S ACD
COD
B
图1
A
O
B
D
C
图2
OD DC OB BD OC
BC
BC
SB OB SC OC
SB SC
SB SC
OD SBOD SCOD SBOD SCOD S A OA SBOA SCOA SBOA SCOA SB SC
OD
S A
OP
OA
AB AB cos B
AC AC cos
C
，
(0， ) ， 则 动 点
P的
轨迹一定
通过
△ABC 的( )． A．重点 B．外心
C．内心
D．垂心
【解析】由题意 AP
AB
AC
，
AB
cos B
AC
cos C
由于
AB AB cos B
AC AC cos
O 是 ABC 的重心
SBOC : SCOA S: AOB 1:1:1 OA OB OC 0
O 是 ABC 的内心
SBOC S: COA S: AOB a : b : c a OA b OB c OC 0
O 是 ABC 的外心
SBOC : SCOA S: AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C