高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理

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平面向量之奔驰定理详解

平面向量奔驰定理与三角形四心

已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：

0=++•••OC S OB S OA S C B A

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =

--===∆∆∆∆∆∆∆

图1

OD BC DC OB +BC

=C B B

S S

S +OB +C

B C S S S +OC

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA

BOD S S S S S S S S S S

OA OD +=++==

= 图2

∴ C

B A S S S OD +-

=OA

∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

∴0=++•••OC S OB S OA S C B A

A B

推论:O 是ABC ∆内的一点，且

0=++•••OC OB OA z y x ，则

z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ∆的重心

⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC

OB OA

O 是ABC ∆的内心

⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC

OB OA c b a

O 是ABC ∆的外心

⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解21---平面向量“奔驰定理”

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解

第21讲

平面向量“奔驰定理”

平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．

考点一平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →

＝0.

例1 已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →

＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案 C

解析由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →

＝0，又OA →＋2OB →＋mOC →

＝0，

∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m . ∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47，解得m ＝4.

易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．跟踪演练1 设点O 在△ABC 内部，且AO →＝13AB →＋14AC →

，则S △OAB S △OBC

＝________.

解析由AO →＝13AB →＋14

AC →

，

得－12OA →＝4(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →

)，整理得5OA →＋4OB →＋3OC →

【高考数学秒杀系列-向量秒杀】专题4 奔驰定理(原卷版)-高考数学二轮复习

第4讲奔驰定理

知识与方法

【奔驰定理】:若O 为ABC ∆内任意一点,有OA OB OC αβγ++=0, 则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.

证明:如图1,取点,,A B C ''',使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'='='=,则

OA '+OB OC '+'=0,即O 为A B C ∆'''的重心B OC A OC A OB S S S ∆''∆''∆''⇒==,

sin 11

2,1sin 2

AOB AOB A OB A OB OA OB AOB

S OA OB S S S OA OB OA OB A OB αβαβ∆∆∆''∆''

⋅∠⋅===⇒='⋅''⋅'∠'' 同理1

,AOC A OC BOC B OC S S S S αγ

βγ

∆∆''∆∆''=

111

::::::,BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ

∆∆∆⇒=

即证明BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=0. 与三角形“四心”的结合. (1)O 是ABC ∆的重心

::1:1:1BOC AOC AOB S S S OA OB OC ∆∆∆⇔=⇔++=0.

(2)O 是ABC ∆的内心

::::BOC AOC AOB S S S a b c aOA bOB cOC ∆∆∆⇔=⇔++=0.

(3)O 是ABC ∆的外心

::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 2BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB C OC ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+⋅=0

平面向量奔驰定理

引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。

一、定义

1.1 平面向量

平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。1.2 平移

在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。平移可以用平面向量来表示。

二、定理

2.1 平行四边形法则

对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。

证明：

如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和

$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。又因为

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。

得证。

2.2 平面向量奔驰定理

对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和

平面向量奔驰定理

一、概述

在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。

二、奔驰定理的表述

奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：

a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗

其中，0⃗⃗表示零向量。

三、奔驰定理的证明

为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：

d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗

d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗

d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗

同理，我们可以得到：

d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗

d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗

将以上三个等式相加，可以得到：

d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗

化简可得：

3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)

再进一步化简得到：

d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：

a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗

由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：

a⃗+b⃗⃗+c⃗=1

(a⃗+b⃗⃗+c⃗)

进一步化简可得：

a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗

因此，奔驰定理得证。

四、奔驰定理的应用

奔驰定理在向量运算中有重要的应用。通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：

1. 向量相加

设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：

d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗

平面向量中的奔驰定理

在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即

因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，

则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2

AOB

POB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅

【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ，则221111333322

111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC

∆∆∆⋅++⋅ ()()()2

21111112233333322

111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++=

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题-高一数学下学期题型分类归纳(人教A版2019必修第二册)

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题

1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，

则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z

2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，

求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0

⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ，则BD

DC =

S ∆ABD S ∆ACD

S ∆BOD S ∆COD

S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD

C S B ，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B

+S C

OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B

+S C

OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA

COD S COA

S BOD +S COD S BOA +S COA

=S A

B +S C

，

∴OD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S A

S B +S C

OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∴−S A

B +S C

OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B

S B

+S C

⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B

OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .

（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则

平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理

秒杀技巧一奔驰定理

奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：

(1)O 是ABC △的重心：

=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0

(2)O 是ABC △的内心：

=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0

(3)O 是ABC △的外心：

=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0

(4)O 是ABC △的垂心：

=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0

例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.

例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.

例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.

1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）

【高中数学】奔驰定理和感触形的四心课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

π A＝__4__.
依题意，可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，可得6tan A＝6tan3A，因为tan A≠0，所以tan A＝±1. 又因为tan A<tan B<tan C，所以 tan A＝1，所以 A＝π4.
变式练习：
5.△ABC 的重心为 G，AB＝6，AC＝8，BC＝2 13，则△BGC 的面积为
A.12 3
B.8 3
C√.4 3
D.4
cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝362＋×664×－852＝12，又 A∈(0，π)，∴A＝π3， ∴S△ABC＝12×6×8×sin π3＝12 3，
典型例题讲解：一、重心与奔驰定理
例1.已知在△ABC 中，G 是重心，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，且
56aG→A＋40bG→B＋35cG→C＝0，则
π B＝__3___.
依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以 b＝75a，c＝85a，所以 cos B＝a2＋285aa×2－85a57a2＝12，因为 0<B<π，所以 B＝π3.
∴cos C＝－18，sin C＝387，
又
2R＝sinc
C＝3 6 7⇒R＝

谈谈奔驰定理及其应用_周国梅

知识导航

奔驰定理可以算是平面向量问题中最美的一个结论.因为奔驰定理的图形的形状和奔驰的Logo 非常相似，所以我们把它称之为奔驰定理.利用这个定理来解答平面向量问题，不仅能够节省做题的时间，还能确保解题的准确率.

一、奔驰定理

奔驰定理：P 为△ABC 内的任意一点，

若S A =S ΔPBC ，S B =S ΔPAC ，S c =S ΔPAB ，则S A ⋅ PA +S B ⋅ PB +S C ⋅

PC =

0，

如图1所示

.图1

图2

证明：延长AP 交BC 于点Q ，如图2所示.

由图可知， AP =

S B +S C S ΔABC ⋅ AQ 并且 AQ =S B

S B +S C

⋅ AB +S C S B +S C

⋅ AC ，

化简可得 AP =

S B S ΔABC ⋅

AB +S C S ΔABC

⋅ AC ，同理可得 BP =S A S ΔABC ⋅ BA +S C S ΔABC

⋅ BC ,

CP =S A S ΔABC ⋅ CA +S

B S ΔABC

⋅ CB ,

因此，S A ⋅ AP +S B ⋅ BP +S C ⋅ CP =

S A S B S ΔABC

⋅( AB +

BA )+S B S C S ΔABC ⋅(

BC + CB )+S C S A S ΔABC

⋅( CA + AC )= 0+ 0+ 0= 0.即可证明奔驰定理.

二、奔驰定理的应用

奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.

例1.假设点O 是△ABC 内的一点，

且满足

OA +2 OB +3 OC = 0，则S ΔABC S ΔOBC 的值为.解析：绘制图形后，我们可以发现该问题中的图

(完整版)向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广

一、奔驰定理及证明

图1

如图1,已知P 为ABC ∆内一点，则

0BPC APC APB PA S PB S PC S ∆∆∆⋅+⋅+⋅=奔驰定理

证明：若'''0PA PB PC ++=,则'''P A B C ∆为重心,不妨设''',,xPA PA yPB PB zPC PC === 0xPA yPB zPC ∴⋅++= （1) ''''''''11||||

||||sin sin 22PB C PB C PBC

S xS PB PC S

PB PC BPC B PC y z yz xyz

=⋅∠=⋅∠== 同理可得''

PA C PAC

S xyz =

，''

PA B PAB

xyz

PB C PA C PA B S

==又

::::PBC PAC PBC x y z S S S ∴=

(1)0BPC APC APB PA S PB S PC S ∆∆∆∴⋅+⋅+⋅=式可化为奔驰定理得证

最简单的一个就是面积法.用三角形面积公式带入,约去三条线段长度之积，得到三个单位

向量的关系,将它们放入单位圆中.图2

如图2，已知P A B C 为单位圆，，，在圆上， AP BP CP 、、所对的角分别为 αβγ，，则

sin sin sin 0AP BP CP αβγ++= 真·奔驰定理

这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。

奔驰车标

接下来，我们要证明的就是这个了。

这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。

平面向量奔驰定理解析

标题：深入解析平面向量的奔驰定理

引言：

平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学和工程学等多个领域都有广泛的应用。其中，奔驰定理是平面向量的基础定理之一，它关于向量的线性组合和共线性的性质提供了深入的理解。本文将以从简到繁、由浅入深的方式，全面解析平面向量的奔驰定理，帮助读者更深入地理解这一重要定理。

第一部分：平面向量的基本概念和性质

1.1 平面向量的定义：向量的概念和表示方法

1.2 平面向量的运算规则：向量的加法、减法和数量乘法

1.3 平面向量的基本性质：零向量、相等向量和反向向量

1.4 平面向量的共线性：向量与标量的乘积及其几何意义

第二部分：奔驰定理的原理和证明

2.1 奔驰定理的陈述和解释

2.2 奔驰定理的基本原理：向量的线性组合和共线性

2.3 奔驰定理的证明过程：以几何和代数两种方式阐述

第三部分：奔驰定理的应用领域和案例分析

3.1 平面向量的几何应用：平行四边形定理和三角形面积计算

3.2 物理学中的平面向量应用：力的合成和分解

3.3 工程学中的平面向量应用：力的平衡和结构分析

第四部分：对平面向量奔驰定理的观点和理解

4.1 奔驰定理与其他平面向量定理的联系和区别

4.2 奔驰定理的价值和意义：揭示向量的线性相关性和共线性

4.3 奔驰定理的推广和扩展可能性：向高维空间和抽象向量空间的推广

结论：

通过对平面向量奔驰定理的深入解析，我们可以更全面、深刻和灵活地理解平面向量的线性组合和共线性性质。奔驰定理不仅有重要的理论价值，而且在几何学、物理学和工程学等实际应用中具有广泛的应用前景。希望本文能够帮助读者更好地掌握平面向量的奔驰定理，从而在解决实际问题中发挥其优势和作用。

向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广

向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广下面是奔驰定理的具体证明步骤：

1.假设有一个六边形ABCDEF，内部有一点P。我们需要证明向量AP、BP、CP、DP、EP、FP构成一个逆时针排列的向量。

2.首先，我们可以将向量AP表示为向量求和的形式：AP=AB+BP。

3.同样地，可以得到向量BP=BC+CP，CP=CD+DP，DP=DE+EP，

EP=EF+FP，FP=FA+AP。

4.将以上的等式代入向量AP=AB+BP，得到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA+AP。

5.通过消去相同项，并利用向量求和的交换律，可以简化得到

AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA。

6.注意到右侧的向量和为零，即AB+BC+CD+DE+EF+FA=0。

7.将这个等式代回到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA中，可以得到AP=0。

8.由于向量AP=0，所以点P与六边形的其他顶点处于共线状态。

证明完毕。

奔驰定理的应用和推广主要体现在以下几个方面：

1.距离问题：利用奔驰定理可以计算点到直线、点到线段的距离。通

过将向量连接到顶点得到相应向量，用向量的模长即可计算距离。

2.面积问题：奔驰定理可以用于求解平面图形的面积。通过将奔驰定

理中的六边形分割成三个小三角形，可以利用向量的叉乘求出三角形的面积，并将它们相加得到整个六边形的面积。

3.几何关系：利用奔驰定理可以推导和证明多边形之间的一些几何关系，如共线、共面等。通过将点与多边形的顶点建立向量连接，再利用奔

驰定理的结果，可以得到多边形之间的空间位置关系。

4.应用拓展：奔驰定理还可以应用于解决其他与平面向量相关的问题，如平面旋转、对称等。通过建立适当的向量连接和运算，可以进一步推广

高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理

OP
OA
AB AB cos B
AC AC cos
C
，
(0， ) ，则动点
P的
轨迹一定
通过
△ABC 的( )． A．重点 B．外心
C．内心
D．垂心
【解析】由题意 AP
AB
AC
，
AB
cos B
AC
cos C
由于
AB AB cos B
AC AC cos
C
BC
0
，
即 AB BC
AC BC
BC CB 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点
AB cos B AC cos C
在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷.
2 2 2 2 2 2
5 若 H 为 △ABC 所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB
S S S S DC
ACD
COD
S ACD
COD
B
图1
A
O
B
D
C
图2
OD DC OB BD OC
BC
BC
SB OB SC OC
SB SC
SB SC
OD SBOD SCOD SBOD SCOD S A OA SBOA SCOA SBOA SCOA SB SC

向量中的奔驰定理及应用

引言：

在数学中，向量是一个有方向和大小的量。它在物理、几何和工程学中有着广泛的应用。而奔驰定理是向量的一个重要定理，它描述了向量的加法和减法的运算规律。本文将介绍奔驰定理的概念及其应用，并探讨如何利用奔驰定理解决实际问题。

一、奔驰定理的概念

奔驰定理，又称平行四边形法则，是向量运算中的一个基本定理。它表明，如果在平面上取两个向量a和b，那么以这两个向量为邻边所构成的平行四边形的对角线向量c，其大小等于两个向量的和。

奔驰定理可以用公式表示为：c = a + b

其中，a、b和c分别表示向量a、b和c的大小和方向。

二、奔驰定理的应用

奔驰定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。以下是奔驰定理在实际问题中的几个应用示例。

1. 力的合成

在物理学中，奔驰定理可以用于力的合成。当一个物体受到两个力的作用时，可以利用奔驰定理求出合力的大小和方向。假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，它们的大小和方向分别为F1和F2，

那么合力F的大小和方向可以用奔驰定理表示为：F = F1 + F2。

2. 速度的合成

在运动学中，奔驰定理可以用于速度的合成。当一个物体在平面上同时具有水平和竖直方向上的速度时，可以利用奔驰定理求出合速度的大小和方向。假设一个物体的水平速度为v1，竖直速度为v2，那么合速度v的大小和方向可以用奔驰定理表示为：v = v1 + v2。

3. 矢量的平行和垂直关系

利用奔驰定理，我们可以判断两个向量之间的平行和垂直关系。如果两个向量的和为零向量，即a + b = 0，那么这两个向量是平行的。如果两个向量的点积为零，即a · b = 0，那么这两个向量是垂直的。这些性质在几何学和物理学中具有重要的意义。

高考数学满分秘籍第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展)

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

（高阶拓展）（核心考点精讲精练）

平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

知识讲解

1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

2.奔驰定理的证明

如图：延长OA 与BC 边相交于点D 则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC

AOB S S S S S BD DC S S S S S -====- DC BD OD OB OC BC BC

=+ AOC AOB AOC AOB AOC AOB

S S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD COD BOA COA BOA BOC AOC AOB

COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++ BOC AOC AOB S OD OA S S ∴=-

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向量中的奔驰定理及应用

高考数学满分秘籍 第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展)

【高中数学】奔驰定理和感触形的四心课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

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