高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理的内容及推导
平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。
先来说说这个定理的内容吧。
简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。
哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。
那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。
就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。
推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。
其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。
它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图 1如图 1，已知 P 为ABC内一点，则PA S BPC PB S APC PC S APB0奔驰定理证明：若 PA'PB'PC'0 ，则 P为 A'B' C'重心，不妨设 xPA PA' , yPB PB ' , zPC PC 'x P A y P B z P 0C(1)1'|'|''SPBCxSPBC''SPBC| PB | | PC | sin BPC sin B PC''2 y z yz xyz2同理可得 S PAC yS' '，S PABzS'' PAC PA B xyz xyz''S 'S'又SPBC P A C P A Bx:y:z S SPAC:SP B CPBC:(1)式可化为 P A S B P C P B S APC P C S A P B0奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。
用三角形面积公式带入，约去三条线段长度之积，得到三个单位向量的关系，将它们放入单位圆中。
图2如图 2，已知、、所对的角分别为，，则P为单位圆， A， B， C在圆上， AP BP CPAP sin BP sin CP sin0真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。
奔驰车标接下来，我们要证明的就是这个了。
这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。
于是整个定理就得到了证明。
二、奔驰定理在向量中应用例 1 、若ABC 内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA4OB 5OC 0 ,则该ABC 的面积为。
答案：56答案解析：由奔驰定理得：设S O B C 3 x， S O A C 4 ，x S O A B5 x例 2 、【 2016 年清华领军】若O ABC S AOB :S BOC :S COA4:3: 2AOABAC，为内一点，满足，设则+ =答案：23例 3 、，且满足 |PB|=2 ，|PA|=2 ，APB5，且2 AP 3PB PC40，则P为 ABC内部一点6ABC 的面积为（）94C、16A、B、D、835答案：98三、奔驰定理推广推广 1 、如果 P 不在三角形内呢？既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向，当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。
高中数学奔驰定理证明
高中数学奔驰定理证明在高中数学领域中，奔驰定理是一个极其重要且有趣的定理。
奔驰定理是数学中的平行线性质之一，它描述了平面上两组平行线之间的关系。
下面我们将简要介绍奔驰定理，并给出其简单证明。
奔驰定理的描述如下：如果在平面上有三组平行线，那么这些平行线所分割的任意两个平行线带有相同长度的线段之比也是相等的。
现在，我们来证明一下奔驰定理。
假设有三组平行线，分别为l1, m1, n1和l2,m2, n2，那么我们要证明的是线段l1与线段l2的比等于线段m1与线段m2的比，同时等于线段n1与线段n2的比。
我们首先选择一个起点P，并将P与三组平行线分别相交，分别标记为A, B, C。
根据平行线性质，我们可以得知线段PA与线段AB、PB与BC、PC与CA分别平行。
接下来，我们假设线段l1与线段l2之间的比为k，即l1:l2=k。
由于线段PA与线段AB平行，我们可以得到线段PA与线段AC的比也为k，即PA:AC=k。
同样地，我们可以得到PB:BC=k和PC:CA=k。
根据比例的传递性，我们可以得到PA:AC=PB:BC=PC:CA=k。
因此，我们可以得出结论：在平行线l1、m1、n1和l2、m2、n2的情况下，线段l1与线段l2的比等于线段m1与线段m2的比，同时等于线段n1与线段n2的比。
这样，我们就成功地证明了奔驰定理。
奔驰定理在几何学中具有广泛的应用，尤其在平行线和比例的问题中起到了关键作用。
通过理解和熟练应用奔驰定理，我们可以更好地解决相关的数学问题，提升我们的数学能力。
总结起来，奔驰定理描述了平面上两组平行线所分割的线段之比的相等性。
本文通过简单的证明过程展示了奔驰定理的准确性和重要性。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。
本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。
一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。
其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。
1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。
平移可以用平面向量来表示。
二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。
证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。
连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。
又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。
得证。
2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。
奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。
二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。
三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。
假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。
四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。
通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。
以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。
五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。
平面向量奔驰定理公式
平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。
设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。
- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。
- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。
1. 推论。
- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。
- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。
- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。
- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。
平面向量中的奔驰定理
平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。
【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。
【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。
平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理
秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。
向量奔驰定理的内容及推导过程
向量奔驰定理的内容及推导过程向量奔驰定理，也称为平行四边形定理或平行四边形法则，是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。
该定理表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
推导过程如下：假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，平行四边形的两条对边分别为向量AD和向量BC。
根据向量的定义，向量可以表示为有向线段。
我们需要证明向量和的性质，即两个向量相加的结果仍然是一个向量。
假设有向线段AB和有向线段BC，将它们首尾相连，得到一个新的有向线段AC。
根据平行四边形的性质，向量AC与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。
因此，向量和AC可以表示为向量AB加上向量BC，即AC = AB + BC。
接下来，我们需要证明平行四边形的对角线的向量和相等。
假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，它们的向量和为向量AD。
根据向量和的性质，我们可以得到向量AC = AB + BC。
同时，根据平行四边形的性质，向量AD与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。
因此，向量AD可以表示为向量AB加上向量BC，即AD = AB + BC。
将上述两个等式联立，我们可以得到向量AD = AC。
根据向量的定义，两个向量相等意味着它们具有相同的大小和方向。
因此，我们可以得出结论：如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
应用向量奔驰定理，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题。
例如，已知平行四边形的两条对角线的向量和等于向量d，而其中一条对角线的向量为向量a，另一条对角线的向量为向量b。
我们可以根据向量奔驰定理得出结论：向量a + 向量b = 向量d。
通过代入已知条件，我们可以求解出未知的向量或边长。
总结一下，向量奔驰定理是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。
它表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广奔驰定理是求解向量中的三角形面积的重要定理，它的证明基于向量叉乘的性质。
下面我们将详细介绍奔驰定理的证明、应用及推广。
奔驰定理的证明：设向量AB=c,AC=a,向量AD=d，则三角形的面积可以表示为：S=1/2×AB×AC的正好(通过向量叉乘的定义和性质可知)奔驰定理指出，若三个向量互相平行，则这三个向量的长度(或模)与他们所夹三角形的面积之间满足以下关系：S=1/2×，AB×AC证明：首先，设向量AB=c,AC=a,向量BC=b.由题设可知,AB∥AC，因此存在一个实数λ,使得AB=λAC。
即c=λa.同理，由题设可知，AB∥BC，因此存在一个实数μ,使得AB=μBC。
即c=μb。
两者联立得到：λa=μb两边同时做叉乘得到：a×(λa)=b×(μb)由叉乘的性质可知，a×(λa)=(λa)×a=(λa)×(-a)=0;b×(μb)=(μb)×b=(μb)×(-b)=0所以，0=a×(λa)=b×(μb)根据向量叉乘的性质可知，当两个向量叉乘结果为零时，这两个向量互相平行。
由此可得，a与(λa)平行，b与(μb)平行。
由已知得到的结果可知，AB=λAC,AB=μBC。
因此，λAC=μBC。
等式两边同时除以AB得到：λ=μ×，AC/AB，=μ×，AC，AB即，AB，/，AC，=λ/μ=，AB×AC，/，AC×BC因此这就是奔驰定理的证明过程。
奔驰定理的应用与推广：1.应用：奔驰定理广泛应用于解决向量的平行、垂直、共面问题，尤其在几何证明题中使用较为频繁。
例如，可以利用奔驰定理来判断两个向量是否平行，从而简化证明的过程。
2.推广：奔驰定理可以推广到更多的向量问题中。
例如，对于四面体ABCD，我们可以通过向量叉乘得到其体积：V=1/3，AB×AC·AD对于平行六面体，连续使用奔驰定理，可以得到其体积公式：V=，AB×AC·AD奔驰定理还可以应用于计算向量的夹角，设两个向量AB=a,AC=b，夹角θ，则有：cosθ=(a·b)/(，a，b，)奔驰定理的证明及应用与推广使我们更加深入地理解了向量的叉乘操作和向量的几何性质。
高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于 sinB=
sinC=AD，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是 △ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
O 是 ABC 的垂心
SBOC : SCOA S: AOB tan A : tan B : tan C
tan A OA tan B OB tan C OC 0
C
O
A
D
B
证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD
AC
．∵
AB
与
AC
分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，∴
a
b
c
AB
AC
AB AC
AI 与∠BAC 平分线共线，即 AI 平分 BAC ．
同理可证： BI 平分 ABC ， CI 平分 ACB ．从而 I 是 △ABC 的内心，如图⑸.
7 已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
，则 O 是
△ABC 的外心，如图⑺。
9 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
OP
OB
OC
AB
AC
， (0， ) ，则动点 P 的轨迹一定通过
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理在平面向量的广袤世界中，有一个名为“奔驰定理”的重要概念，它宛如一颗璀璨的明珠，为解决众多向量相关的问题提供了有力的工具。
首先，咱们来了解一下什么是平面向量。
简单来说，平面向量就是既有大小又有方向的量。
比如说，在一个平面内，一个物体移动的方向和距离就可以用向量来表示。
那么，奔驰定理到底是什么呢？奔驰定理指出：如果有一个三角形ABC，其内部一点P 与三个顶点A、B、C 形成的三个向量分别为PA、PB、PC，那么就有 S△PBC·PA ＋ S△PAC·PB ＋ S△PAB·PC ＝ 0 。
这里的 S 表示三角形的面积。
可能您看到这个式子会觉得有些复杂，别担心，咱们通过一个具体的例子来理解。
假设在三角形 ABC 中，点 P 是其内部的一点，三角形ABC 的面积为 12，三角形 PAB 的面积为 3，三角形 PAC 的面积为 4。
那么三角形 PBC 的面积就是 12 3 4 ＝ 5 。
如果向量 PA 的长度为 2，方向朝右，向量 PB 的长度为 3，方向朝上，向量 PC 的长度为 4，方向朝左。
那么根据奔驰定理，5×PA ＋ 4×PB ＋ 3×PC ＝ 0 。
那奔驰定理有什么用呢？它的用处可大了！比如说，在判断一个点是否在三角形内部时，如果满足奔驰定理，那么这个点就在三角形内部；如果不满足，那就在外部。
再比如，在求解三角形内部一点到三个顶点的距离比例关系时，奔驰定理也能发挥巨大的作用。
我们来详细说一说奔驰定理在解决具体问题中的应用。
假设已知三角形 ABC 中，点 P 满足奔驰定理，且三角形 ABC 的三条边长分别为a、b、c，对应的三个内角分别为 A、B、C。
我们要求点 P 到三条边的距离之比。
通过奔驰定理，我们可以得到三角形 PBC、PAC、PAB 的面积与向量之间的关系。
然后利用三角形面积的不同表达式，比如 S ＝ 1/2 ×底×高，就可以求出点 P 到三条边的距离。
平面向量奔驰定理解析
平面向量奔驰定理解析标题：深入解析平面向量的奔驰定理引言：平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学和工程学等多个领域都有广泛的应用。
其中，奔驰定理是平面向量的基础定理之一，它关于向量的线性组合和共线性的性质提供了深入的理解。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式，全面解析平面向量的奔驰定理，帮助读者更深入地理解这一重要定理。
第一部分：平面向量的基本概念和性质1.1 平面向量的定义：向量的概念和表示方法1.2 平面向量的运算规则：向量的加法、减法和数量乘法1.3 平面向量的基本性质：零向量、相等向量和反向向量1.4 平面向量的共线性：向量与标量的乘积及其几何意义第二部分：奔驰定理的原理和证明2.1 奔驰定理的陈述和解释2.2 奔驰定理的基本原理：向量的线性组合和共线性2.3 奔驰定理的证明过程：以几何和代数两种方式阐述第三部分：奔驰定理的应用领域和案例分析3.1 平面向量的几何应用：平行四边形定理和三角形面积计算3.2 物理学中的平面向量应用：力的合成和分解3.3 工程学中的平面向量应用：力的平衡和结构分析第四部分：对平面向量奔驰定理的观点和理解4.1 奔驰定理与其他平面向量定理的联系和区别4.2 奔驰定理的价值和意义：揭示向量的线性相关性和共线性4.3 奔驰定理的推广和扩展可能性：向高维空间和抽象向量空间的推广结论：通过对平面向量奔驰定理的深入解析，我们可以更全面、深刻和灵活地理解平面向量的线性组合和共线性性质。
奔驰定理不仅有重要的理论价值，而且在几何学、物理学和工程学等实际应用中具有广泛的应用前景。
希望本文能够帮助读者更好地掌握平面向量的奔驰定理，从而在解决实际问题中发挥其优势和作用。
观点和理解：在我看来，平面向量的奔驰定理是平面向量理论中的重要基石，它揭示了向量的线性相关性和共线性的本质。
通过奔驰定理，我们可以将多个向量通过线性组合的方式表示为其他向量，进一步理解向量的几何性质和相互关系。
解决平面向量问题相关技巧梳理
解决平面向量问题相关技巧梳理一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A •••::0,::x y z x y z A B C OA OB OC S S S ++==（或）则2.推导过程证明方法一：如图延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== ∴ CB A S S S OD +-=OA ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC ∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆二.极化恒等式1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方2.推导过程：2222=-=-AB AC AD BD ADBDDOA BC三．三角形的四心 1.推论（1）重心：中线的交点，①O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S⇔0=++OC OB OA②中线长度分成2：1 ③1()3OG OA OB OC =++=12312333x x x y y y ++++（,）（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OCOB OA c b a②(菱形性质）AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（3）外心：①O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA A2221111sin sin 2sin 2sin 22222是外心，；；A B C O S OB OC BOC R A S R B S R C =⋅⋅∠===O②()0OB OA OD +=（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①O 是ABC ∆的垂心:⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆②OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅由OA OB OB OC ⋅=⋅，得()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，所以⊥OB CA ．同理可证⊥OC AB ，⊥OA BC ．OCABDO•••,::0,(,,,0,0)::O ABC x y z x y z A B COA OB OCx y z R xyz x y z S S S ∆=++=∈≠++≠总结：一般的，设是所在平面内一点且满足则技巧1 奔驰定理【例1】P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（ ） A ．4:3:2 B ．2:3:4C ．111::432D ．111::234【举一反三】1.已知ABC 所在平面内一点P ，满足12PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积的比值为（ ）A ．16 B ．14C ．13 D ．12 2.点P 是ABC ∆所在平面上一点，若2133AP AB AC =+，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．123.已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-4技巧2 三角形的四心【例2-1】点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的__________心．【例2-2】在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．重心D ． 外心【举一反三】1.过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心2．设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅若，则点P 是△ABC A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若OA OB OC ==，则点O 是三角形ABC 的________心．4．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()PB PC OB OC PC PA OC OA PA PB OA OB 0-⋅+=-⋅+=-⋅+=，则O 为ΔABC 的（ ） A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心技巧3 极化恒等式【例3】（1）在ABC ∆中，若8BC =，BC 边上中线长为3，则AB AC ⋅=（ ） A ．-7B ．7C ．-28D ．28（2）在ABC 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且AD DE EB ==，若3CA CB ⋅=，则CD CE ⋅的值是（ ） A ．359B ．329C ．113D ．53【举一反三】1.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．32.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A B ．1C D ．2巩固练习1．点O 在△ABC 内部，且满足4560OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为________2．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．3．设点O 在ABC ∆的外部，且5230OA OC OB --=，则:ABC OBC S S ∆∆= 。
向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明与应用与推广下面是奔驰定理的具体证明步骤：1.假设有一个六边形ABCDEF，内部有一点P。
我们需要证明向量AP、BP、CP、DP、EP、FP构成一个逆时针排列的向量。
2.首先，我们可以将向量AP表示为向量求和的形式：AP=AB+BP。
3.同样地，可以得到向量BP=BC+CP，CP=CD+DP，DP=DE+EP，EP=EF+FP，FP=FA+AP。
4.将以上的等式代入向量AP=AB+BP，得到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA+AP。
5.通过消去相同项，并利用向量求和的交换律，可以简化得到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA。
6.注意到右侧的向量和为零，即AB+BC+CD+DE+EF+FA=0。
7.将这个等式代回到AP=AB+BC+CD+DE+EF+FA中，可以得到AP=0。
8.由于向量AP=0，所以点P与六边形的其他顶点处于共线状态。
证明完毕。
奔驰定理的应用和推广主要体现在以下几个方面：1.距离问题：利用奔驰定理可以计算点到直线、点到线段的距离。
通过将向量连接到顶点得到相应向量，用向量的模长即可计算距离。
2.面积问题：奔驰定理可以用于求解平面图形的面积。
通过将奔驰定理中的六边形分割成三个小三角形，可以利用向量的叉乘求出三角形的面积，并将它们相加得到整个六边形的面积。
3.几何关系：利用奔驰定理可以推导和证明多边形之间的一些几何关系，如共线、共面等。
通过将点与多边形的顶点建立向量连接，再利用奔驰定理的结果，可以得到多边形之间的空间位置关系。
4.应用拓展：奔驰定理还可以应用于解决其他与平面向量相关的问题，如平面旋转、对称等。
通过建立适当的向量连接和运算，可以进一步推广奔驰定理的应用范围。
综上所述，奔驰定理是一个重要的向量定理，在解决与平面向量相关的问题时具有广泛的应用和推广价值。
通过熟练掌握奔驰定理的证明过程和相关的应用方法，可以更好地理解和运用平面向量的概念和性质，提高解决几何问题的能力。
向量中的奔驰定理及应用
向量中的奔驰定理及应用引言：在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
它在物理、几何和工程学中有着广泛的应用。
而奔驰定理是向量的一个重要定理，它描述了向量的加法和减法的运算规律。
本文将介绍奔驰定理的概念及其应用，并探讨如何利用奔驰定理解决实际问题。
一、奔驰定理的概念奔驰定理，又称平行四边形法则，是向量运算中的一个基本定理。
它表明，如果在平面上取两个向量a和b，那么以这两个向量为邻边所构成的平行四边形的对角线向量c，其大小等于两个向量的和。
奔驰定理可以用公式表示为：c = a + b其中，a、b和c分别表示向量a、b和c的大小和方向。
二、奔驰定理的应用奔驰定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是奔驰定理在实际问题中的几个应用示例。
1. 力的合成在物理学中，奔驰定理可以用于力的合成。
当一个物体受到两个力的作用时，可以利用奔驰定理求出合力的大小和方向。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，它们的大小和方向分别为F1和F2，那么合力F的大小和方向可以用奔驰定理表示为：F = F1 + F2。
2. 速度的合成在运动学中，奔驰定理可以用于速度的合成。
当一个物体在平面上同时具有水平和竖直方向上的速度时，可以利用奔驰定理求出合速度的大小和方向。
假设一个物体的水平速度为v1，竖直速度为v2，那么合速度v的大小和方向可以用奔驰定理表示为：v = v1 + v2。
3. 矢量的平行和垂直关系利用奔驰定理，我们可以判断两个向量之间的平行和垂直关系。
如果两个向量的和为零向量，即a + b = 0，那么这两个向量是平行的。
如果两个向量的点积为零，即a · b = 0，那么这两个向量是垂直的。
这些性质在几何学和物理学中具有重要的意义。
4. 位移的计算在力学中，奔驰定理可以用于位移的计算。
当一个物体在平面上同时受到水平方向和竖直方向的力作用时，可以利用奔驰定理求出物体的位移。
假设物体在水平方向上的位移为x1，竖直方向上的位移为x2，那么物体的总位移x可以用奔驰定理表示为：x = x1 + x2。
平面向量的奔驰定理(解析版)
专题九 平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0．证明：如图，延长AP 与BC 边相交于点则D ，BD DC ＝S △ABD S △ACD ＝S △BPD S △CPD ＝S △ABD －S △BPD S △ACD －S △CPD ＝S △PAB S △PAC， ∵PD →＝DC BC PB →＋BD BC PC →，∴PD →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →， ∵PD PA ＝S △BPD S △BPA ＝S △CPD S △CPA S △BPD ＋S △CPD S △BPA ＋S △CPA ＝S △PBC S △PAC ＋S △PAB ，∴PD →＝－S △PBC S △PAC ＋S △PABPA →， 即－S △PBC S △PAC ＋S △PAB PA →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →，∴S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0． AB CP由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推论：已知P 为△ABC 内一点，且xP A →＋yPB →＋zPC →＝0．(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)．则有(1)S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝|x |∶|y |∶|z |．(2)S △PBC S △ABC ＝|x x ＋y ＋z |，S △P AC S △ABC ＝|y x ＋y ＋z |，S △P AB S △ABC ＝|z x ＋y ＋z|． 【例题选讲】[例1](1)设点O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32答案 A 解析 分别取AC 、BC 的中点D 、 E ，∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，∴OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，即2OD →＝－4OE →，∴O 是DE 的一个三等分点，∴S △ABC S △AOC ＝3．秒杀 根据奔驰定理得，S △ABC ∶S △AOC ＝(1＋2＋3)∶2＝3．(2)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD等于( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 B 解析 如图，由点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13．秒杀 由AD →＝13AB →＋12AC →得，DA →＋2DB →＋3DC →＝0，根据奔驰定理得，S △BCD ∶S △ABD ＝1∶3． (3)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13P A →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6答案 B 解析 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29P A →，由RP →＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)，整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29P A →，整理得4P A →＋6PB →＋9PC →＝0，根据奔驰定理得，∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．(4)已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|等于( )A ．130B ．131C ．132D ．133答案 A 解析 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ，又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ，∴|PQ →||AB →|＝15－16＝130． (5)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A ．29，49B ．49，29C ．19，29D ．29，19答案 A 解析 秒杀 根据奔驰定理，得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0，整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故选A ． (6)设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC ＝30°，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是________．答案 33 解析 根据奔驰定理得，12P A →＋xPB →＋yPC →＝0，即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy | PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ，又因为点P 是△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，且∠BPC ＝2∠BAC＝60°，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号．所以(x ＋y )max ＝33． 【对点训练】1．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．1．答案 12解析 设D 为AC 的中点，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →．又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－ OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12．秒杀 由OA ＋OC ＝－2OB ，得OA ＋OC ＋2OB ＝0，根据奔驰定理得，△AOB 与△AOC 的面积之比为12． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．2．答案 4 解析 ∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点．又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABC S △AOC＝4．秒杀 因为OA →＋OB →＋2OC →＝0，根据奔驰定理得，S △ABC S △AOC＝4． 3．已知P ，Q 为△ABC 中不同的两点，且3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，则S △P AB ∶S △QAB 为_____．3．答案 1∶2 解析 因为3P A →＋2PB →＋PC →＝2(P A →＋PB →)＋P A →＋PC →＝0，所以P 在与BC 平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S △P AB ＝16S △ABC ，QA →＋QB →＋QC →＝0，可得Q 是△ABC 的重心，因此S △QAB ＝13S △ABC ，S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ． 秒杀 由3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，根据奔驰定理得，S △P AB ∶S △ABC ＝1∶6，S △QAB ∶S △ABC ＝1∶3＝2∶6，所以S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ．4．已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A ．15B ．25C ．35D ．454．答案 C 解析 因为D 是AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以2AM →－2AD →＝3AC →－3AM →，即2DM →＝3MC →，所以5DM →＝3DM →＋3MC →＝3DC →，所以DM →＝35DC →，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高，所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM →||DC →|＝35．秒杀 由5AM →＝AB →＋3AC →，得AM →＋BM →＋3CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ABC ＝35． 5．若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2 5．答案 A 解析 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12． 秒杀 由BA →＋BC →＝4BM →，得AM →＋2BM →＋CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ACM ＝12． 6．已知O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为__________．6．答案 1 解析 如图，设AC 中点为M ，BC 中点为N ．因为OA →＋OC →＋OB →＋OC →＝0，所以2OM →＋2ON →＝0，所以OM →＋ON →＝0，O 为中位线MN 的中点，所以S △AOC ＝12S △ANC ＝12×12S △ABC ＝14×4＝1．秒杀 根据奔驰定理得，S △OBC ∶S △OAC ∶S △OAB ＝1∶1∶2．因为S △ABC ＝4，所以S △AOC ＝1．7．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为 ________．7．答案 4 解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →．所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4．秒杀 由AD →＝15AB →－45CA →，得8AD →＋BD →＋4CD →＝0，根据奔驰定理得，S △ABD ∶S △ACD ＝4∶1，所以S △ABD ＝4．8．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( )A ．12B ．32C ．1D ．2 8．答案 D 解析 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1．因为P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，所以λ1＝12，所以λ2＋λ3＝12，所以λ2λ3≤⎝⎛⎭⎫λ2＋λ322＝116，当且仅当λ2＝λ3＝14时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P 为EF 的中点．延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，所以P A ＝PM ，所以P A →＝－PM→＝－12(PB →＋PC →)，又因为P A →＋xPB →＋yPC →＝0，所以x ＝y ＝12，所以3x ＋y ＝2．故选D ． 秒杀 根据奔驰定理得，。
平面向量奔驰定理证明
平面向量奔驰定理证明引言平面向量是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述平面上的运动、力以及几何图形等。
而奔驰定理是平面向量的一个重要性质，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
本文将对平面向量奔驰定理进行证明，并探讨其应用。
平面向量什么是平面向量？平面向量是指在平面上有确定的长度和方向的量，它可以用有序数对(a,b)表示。
其中a称为x轴分量，b称为y轴分量。
平面向量可以表示为向量运算的形式：A= a i + b j，其中i和j分别是x轴和y轴上的单位向量。
平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算，具体定义如下： - 加法：两个向量A和B的和，表示为A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，即分量分别相加。
- 数乘：一个向量A与一个实数k的数乘，表示为kA = (ka1, ka2)，即分量分别乘以k。
平面向量的性质平面向量有以下重要性质： 1. 两个向量相等，当且仅当它们的对应分量相等。
2. 两个向量的和与次序无关，即A + B = B + A。
3. 数乘满足结合律和分配律。
奔驰定理奔驰定理的表述奔驰定理又称平面向量的三角形定理，它的表述如下：如果向量【图片】共线，那么存在实数k1、k2和k3，使得【图片】。
其中k1、k2和k3可以为任意实数。
奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们需要利用平面向量的运算性质和一些基本几何知识。
步骤一：引入中点向量设【图片】，则【图片】为【图片】和【图片】的中点，即【图片】。
步骤二：利用中点向量的性质根据中点向量的性质，可以得到以下等式：【图片】。
步骤三：利用平行四边形法则根据平行四边形法则，可以得到以下等式：【图片】。
步骤四：整理等式将步骤二和步骤三得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤五：化简等式根据等式【图片】，可以得到以下等式：【图片】。
步骤六：整理等式将步骤五得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤七：证明奔驰定理根据步骤一至步骤六得出的等式，可以得到【图片】。
高考数学满分秘籍 第07讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展)
第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。
平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。
它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D 则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOCAOB S S S S S BD DC S S S S S -====- DC BD OD OB OC BC BC=+ AOC AOB AOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD COD BOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S S OD OA S S S S S S +====++ BOC AOC AOB S OD OA S S ∴=-+ BOC AOC AOB AOC AOB AOC AOB AOC AOB S S S OA OB OC S S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅= 3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅= ,则::::BOC COA AOB S S S x y z= 有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++= ；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= ；或OA OB OC == ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= ，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.考点一、奔驰定理与四心问题综合1．（宁夏·高考真题）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心1．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心2．（2023·江苏·高三专题练习）在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ ，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心3．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知点O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，()0λ∞∈+，，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知O 是ABC 所在平面内一点，且点O 满足0AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则点O 一定ABC 的（）A ．外心B ．重心C ．内心D ．垂心考点二、奔驰定理与其他问题综合1．（2023·全国·高三专题练习）已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++= ，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．2:3:4D ．2:3:62．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++= ，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．553．（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++= B ．若0aPA bPB cPC ++= 成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+ ，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)2,1m n ⎡+∈-⎣1．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．设O 是锐角ABC 内的一点，,,BAC ABC ACB ∠∠∠分别是ABC 的三个内角，以下命题不正确的有（）A ．若0OA OB OC ++= ，则O 为ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++= ，则::1:2:3A B C S S S =C ．若5π2,6OA OB AOB ==∠= ，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = D ．若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅= 2．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，若BOC 、AOC 、AOB 的面积分别记为1S 、2S 、3S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且240OA OB OC ++= ，则cos B =()A．23B ．13C ．23D ．333．（2023·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= .设O 是锐角ABC内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++= ，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++= 【能力提升】一、单选题1．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心2．（2022·高三课时练习）已知点O 是ABC 所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB cOC →→→→++=，则点O 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．（2023春·河南濮阳·高三统考期末）点,,O G P 为ABC 所在平面内的点，且有222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，0GA GB GC ++= ，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅= ，则点,,O G P 分别为ABC 的（）A ．垂心，重心，外心B ．垂心，重心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，垂心，重心4．（2023春·四川成都·高三树德中学校考期末）已知点N ，O ，P 在ABC 所在平面内，且3PA PB PC PN ++= ，222OA OB OC== ，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则点N ，O ，P 依次是ABC 的（）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心5．（2023春·天津·高三天津市第四十七中学校联考期末）已知三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()()AB CA BA OA OB CB AB CA BA CB⋅+=⋅ ()0CA BC CA OC BC =⋅+= ，则O 为ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心6．（2023·全国·高三专题练习）已知O ，N ，P 在所在ABC 的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅ ，则O ，N ，P 分别是ABC 的（）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心二、多选题7．（2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）已知M ，N 在ABC 所在的平面内，且满足AM BM BM CM CM AM ⋅=⋅=⋅ ，2CA NB NA =+ ，则下列结论正确的是（）A ．M 为ABC 的外心B ．M 为ABC 的垂心C ．N 为ABC 的内心D ．N 为ABC 的重心8．（2023春·河北石家庄·高三校考阶段练习）设O 为ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则正确的是（）A ．O 为ABC 的外心()0OA OB AB ⇔+⋅= B ．O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++= C ．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅ D ．O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=9．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B c S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅= ．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为ABC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅= C．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos 6AMB ∠=-10．（2023春·江苏盐城·高三江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，O 是ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC 的三个内角，以下命题正确．．的有（）A ．若2340OA OB OC ++= ，则4:::3:2A B C S S S =B ．若2OA OB == ，23AOB π∠=，且2340OA OB OC ++= ，则4ABC S =△C ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ，则O 为ABC 的垂心D ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=11．（2023春·安徽·高三安徽省宿松中学校联考期中）如图，P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= △△△成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（）A ．若ABC 是等边三角形，P 为ABC 内任意一点，且点P 到三边BC,CA,AB 的距离分别是123,,h h h ，则有1230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅= B ．若P 为ABC 内一点，且0PA PB PC ++= ，则P 是ABC 的内心C ．若P 为ABC 内一点，且1255AP AB AC =+ ，则::2:1:2PBC PAC PAB S S S = D ．若ABC 的垂心P 在ABC 内，,,AD BE CF 是ABC 的三条高，则0PD PE PF PA PB PC AD BE CF⋅+⋅+⋅= 12．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B c S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅= ．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为ABC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅= C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::32:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则6cos AMB ∠=13．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo 非常相似，该结论如下：如图，已知O 是ABC 内部一点，将BOC ，AOC ，AOB 的面积分别记为A S ，B S ，C S ，则0A B CS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= .根据上述结论，下列命题中正确的有（）A ．若2340OA OB OC ++= ，则4:::3:2A B C S S S =B ．若1255AO AB AC =+ ，则::2:1:2A B C S S S =C ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=D ．若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=14．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= .若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅ .则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C=15．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的是（）．A ．若0OA OB OC ++= ，则O 为ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++= ，则::1:2:3A B C S S S =C ．若O 为ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅= D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = 16．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．设O 是锐角ABC 内的一点，,,BAC ABC ACB ∠∠∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则O 为ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则::1:2:3A B C S S S =C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = D ．若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅= 三、填空题17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，13PQ PA = ，13QR QB = ，13RP RC = ，则:ABC PBC S S 等于_______A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶618．（2021·全国·高三专题练习）已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且OA OB OC == ，0NA NB NC ++= ，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ，则点O ，N ，P 依次是ABC 的（填三角形的四心）19．（2023·全国·高三专题练习）已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OA OB CA CB OP CA A CB B λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭ ，R λ∈，则P 的轨迹一定经过ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）20．（2023·全国·高三专题练习）1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O 为ABC 内一点，OBC △，OAC ，OAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++= ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =，O 为ABC 内的一点且为内心.若AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为.。
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如图⑴.
A
C
A' G
B
图⑴
P
B
M
A
C
O
图⑵
2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足 OP OA ( AB AC) ， (0， ) ，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( ).
平面向量奔驰定理与三角形四心
孙老师整理
已知 O 是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 SA ， SB ， SC ，求证：
SA OA SB OB SC OC 0
A
如图 2 延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则
O
B
C
BD SABD SBOD SABD S BOD SC
OP
OA
AB AB cos B
AC AC cos
C
，
(0， ) ， 则 动 点
P的
轨迹一定
通过
△ABC 的( )． A．重点 B．外心
C．内心
D．垂心
【解析】由题意 AP
AB
AC
，
AB
cos B
AC
cos C
由于
AB AB cos B
AC AC cos
则点 H 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心
D．垂心
2
2
2
2
证明: HA HB CA BC
A
(HA HB) BA (CA CB) BA
得 (HA HB CA CB) BA 0
H
即 (HC HC) BA 0 AB HC
B
C
图6
同理 AC HB, BC HA ，
C
BC
0
，
即 AB BC
AC BC
BC CB 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点
AB cos B AC cos C
在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷.
2 2 2 2 2 2
5 若 H 为 △ABC 所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB
OAS S BC来自S AOA SB
OB
SC
OC
S S
SB SC
SB SC
BC
SA OA SB OB SC OC 0
推论 O 是 ABC 内的一点，且 x OA y OB z OC 0 ，则
SBOC S: COA : SAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
AD
DB
SBOC S: COA DB : AD
SBOC : SCOA tan A : tan B
同理得 SCOA : SAOB tan B : tan C ， SBOC S: AOB tan A : tan C
SBOC S: COA : SAOB tan A : tan B : tan C
sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
O 是 ABC 的垂心
SBOC : SCOA S: AOB tan A : tan B : tan C
tan A OA tan B OB tan C OC 0
C
O
A
D
B
证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理：
四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题
S S S S DC
ACD
COD
S ACD
COD
B
图1
A
O
B
D
C
图2
OD DC OB BD OC
BC
BC
SB OB SC OC
SB SC
SB SC
OD SBOD SCOD SBOD SCOD S A OA SBOA SCOA SBOA SCOA SB SC
OD
S A
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于 sinB=
sinC=AD，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是 △ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB ⊥CA ．同
理可证 PC ⊥ AB ， PA⊥ BC ．∴ P 是 △ABC 的垂心．如图⑶.
C
A
E
C
B
P
M H P
A
F
B
O
图⑶
图⑷
4 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
【解析】由题意 AP ( AB AC) ，当 (0， ) 时，由于 ( AB AC) 表示 BC 边上
的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的重心，如图⑵.
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点 P 满足
（λ
∈（0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
故 H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题
6 已 知 I 为 △ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 AB c ， AC b ， BC a ． 若
O 是 ABC 的重心
SBOC : SCOA S: AOB 1:1:1 OA OB OC 0
O 是 ABC 的内心
SBOC S: COA S: AOB a : b : c a OA b OB c OC 0
O 是 ABC 的外心
SBOC : SCOA S: AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C