《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
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2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－4，－3) 3x＋2y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 y＝3. B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为(－4,3)．
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
得交点P(－5,2)． 2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 2 ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋5)． 即2x＋3y＋4＝0.
法二：设所求直线方程为2x＋3y＋m＝0，
2x＋y＋8＝0， 解方程组 x＋y＋3＝0，
得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入2x＋3y＋m＝0，求得m＝4， 故所求直线方程为2x＋3y＋4＝0.
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线l过坐标原点，且的方程． 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l x＝0与 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
x＝ －6 ， 4x＋y＋6＝0， k＋4 由 得 y＝kx， －6k y＝k＋4.
[一点通] 1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关 键； 2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形
的条件入手解决的．
5．求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－
2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
证明：法一：对于方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0， 令k＝0，得x＋y＝0， 令k＝1，得x－1＝0，
得交点P(－5,2)． 2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 2 ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋5)． 即2x＋3y＋4＝0.
的解．
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线l过坐标原点，且的方程． 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l x＝0与 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
x＝ －6 ， 4x＋y＋6＝0， k＋4 由 得 y＝kx， －6k y＝k＋4.
[一点通] 1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关 键； 2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形
的条件入手解决的．
5．求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－
2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
证明：法一：对于方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0， 令k＝0，得x＋y＝0， 令k＝1，得x－1＝0，
得交点P(－5,2)． 2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 2 ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋5)． 即2x＋3y＋4＝0.
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两 唯一公共解 个方程的 ；如果这两个二元一次方程
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．
[一点通]
解决此类问题有两种方法．一种是常
规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点
斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再
求出交点，代入求出待定系数．
3．本例改成“与直线2x＋3y－10＝0平行”，求直线方程．
2x＋y＋8＝0， 解：法一：解方程组 x＋y＋3＝0，
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－4，－3) 3x＋2y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 y＝3. B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为(－4,3)．
x＋y＝0， 解程组 x－1＝0，
得两直线的交点为(1，－1)，
将(1，－1)代入已知直线方程(k＋1)x－(k－1)y－ 2k＝0恒成立，这表明不论k取何值，直线均过定 点(1，－1)． 法二：原直线方程可变形为 (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
x＋y＝0， 欲使上式对任意k都成立，必有 x－y－2＝0. x＝1， 解得 y＝－1，
得交
2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 3 ∴所求直线的斜率是2. 因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．
[一点通]
解决此类问题有两种方法．一种是常
规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点
斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再
求出交点，代入求出待定系数．
3．本例改成“与直线2x＋3y－10＝0平行”，求直线方程．
2x＋y＋8＝0， 解：法一：解方程组 x＋y＋3＝0，
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－4，－3) 3x＋2y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 y＝3. B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为(－4,3)．
x＋y＝0， 解程组 x－1＝0，
得两直线的交点为(1，－1)，
将(1，－1)代入已知直线方程(k＋1)x－(k－1)y－ 2k＝0恒成立，这表明不论k取何值，直线均过定 点(1，－1)． 法二：原直线方程可变形为 (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
x＋y＝0， 欲使上式对任意k都成立，必有 x－y－2＝0. x＝1， 解得 y＝－1，
得交
2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 3 ∴所求直线的斜率是2. 因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
2017-2018学年北师大版必修二 2.1.4两条直线的交点 课件(25张)
问题导学
当堂检测
1.判断两条直线是否相交,具体方法如下: (1)当两条直线的斜率都存在时,只要两斜率不相等,则它们相交; (2)当两条直线中有一条斜率存在,另一条不存在时,它们一定相交; (3)当两条直线的斜率均不存在时,它们一定不相交. 2.求两条直线的交点坐标,即是解由两条直线的方程组成的方程组, 这体现了用方程的思想研究直线交点的问题 ,用代数思想研究几何问 题的思想方法.
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预习引导
预习交流 2
若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,当两条直线相交于 点 P(x0,y0)时,试判断直线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R) 是否经过点 P. 提示:经过.因为 l1 与 l2 交于 P(x0,y0),所以 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,于是(A1x0+B1y0+C1)+λ(A2x0+B2y0+C2)=0+λ×0=0,故直 线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过点 P,该方程就是经过两相交直 线交点除 l2 外的直线系方程.
问题导学
当堂检测
解:(1)由于������������1 =2,������������2 =1,������������1 ≠ ������������2 , ∴ 两直线相交. 2������-������ + 4 = 0, ������ = 1, 解方程组 得 ������ = 6. ������-������ + 5 = 0, ∴ 两条直线的交点坐标为(1,6). (2)由方程组 5������ + 4������-2������-1 = 0, 解得 2������ + 3������-������ = 0,
北师大版高中数学必修二课件：两条直线的交点
-1 2+������ 3+������ 2+������
������ + ������-1 = 0, ������������-2������ + 3 = 0,
得
, ,
-1 2+������ 2+������
所以 l1 与 l2 的交点是 P
,
3&#以点 P 的坐标满足 l3 的方程 . 即
探究三三线共点问题 【例3】 已知三条直线l1:x+y-1=0,l2:ax-2y+3=0,l3:x-(a+1)y-5=0. 若这三条直线交于同一点,求实数a的值. 分析:先求出l1与l2的交点坐标.令该点在l3上即得a的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:解由 l1,l2 的方程组成的方程组 ������ = ������ =
-1 2+������
-(a+1)· -5=0,解得 a=-7 或 a=-2(舍去 ).
2+������
3+������
故 a=-7.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10相交于同 一点,则a的值为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二求两条直线的交点坐标 【例2】已知两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上, 求m的值. 分析:两条直线的交点在y轴上,故交点的横坐标为0,从而可以求 解m的值.
������ + ������-1 = 0, ������������-2������ + 3 = 0,
得
, ,
-1 2+������ 2+������
所以 l1 与 l2 的交点是 P
,
3&#以点 P 的坐标满足 l3 的方程 . 即
探究三三线共点问题 【例3】 已知三条直线l1:x+y-1=0,l2:ax-2y+3=0,l3:x-(a+1)y-5=0. 若这三条直线交于同一点,求实数a的值. 分析:先求出l1与l2的交点坐标.令该点在l3上即得a的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:解由 l1,l2 的方程组成的方程组 ������ = ������ =
-1 2+������
-(a+1)· -5=0,解得 a=-7 或 a=-2(舍去 ).
2+������
3+������
故 a=-7.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10相交于同 一点,则a的值为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二求两条直线的交点坐标 【例2】已知两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上, 求m的值. 分析:两条直线的交点在y轴上,故交点的横坐标为0,从而可以求 解m的值.
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
D．(3,4) 答案：C
2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点
在 第二象限，则m的取值范围是________． 2－m x＝ 4 ， y＝2x＋m＋2， 解：由 得 y＝－2x＋4， y＝m＋6. 2 因为两直线的交点在第二象限
2－m 4 <0， x<0， ∴ 即 y>0， m＋6>0， 2
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－4，－3) 3x＋2y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 y＝3. B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为(－4,3)．
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线l过坐标原点，且的方程． 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l x＝0与 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
北师大版高中数学必修二课件：两条直线的交点坐标、两点间距离
►
知识点三 两点间的距离公式 P P ＝ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 1 2
2 2 ＋y －y x － x 2 1 1 ____________________________ ． 2 |x2－x1| (1)当直线 P1P2 平行于 x 轴时， |P1P2|＝_______________ ； |y2－y1| (2)当直线 P1P2 平行于 y 轴时， |P1P2|＝_______________ ； (3)当 P1，P2 中有一个是原点，另一个是 P(x，y)时，则
3.3.2 │ 预习探究
[思考] 结合前面所学的知识，归纳判断两条直线相交的 方法．
解：关于两条直线相交的判断方法有： (1)若两直线方程所组成的方程组只有一组解，则两直线相 交； (2)在两直线的斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两 直线相交．
3.3.2 │ 预习探究
► 知识点二 直线系方程 若两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 有 交 点 ， 则 过 l1 与 l2 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为 (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 ． _________________________________ (1) 当 λ ＝ 0 时 ， 直 线 系 方 程 即 为 直 线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ； _______________________ (2)(A1x ＋ B1y ＋ C1) ＋ λ(A2x ＋ B2y ＋ C2) ＝ 0 不能表示直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 __________________________ ．
3.3.2 │ 三维目标
【情感、态度与价值观】 (1)通过两直线交点坐标和二元一次方程组的解的联系，从而 认识事物之间的内在联系． (2)能够用辩证的观点看问题；体会事物之间的内在联系，能 用代数方法解决几何问题．
《两条直线的交点》完美课件 【北师大版】1
《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
练习 《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
练5：证明不论m取什么实数，直线
2 m 1 x m 3 y m 1 0 1
都经过一定点，并求出这个定点的坐标。
《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ
为任意常数）表示过M点的所有直线
3x+2y－1=0 证明：联立方程
2x－3y－5=0
x=1
解得：
即 M（1，- 1）
y= - 1
y
x
o M(1, - 1)
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A 1 x B 1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0 是过直线
《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
下课休息
《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
2021年3月30日星期二
如何求两条直线 的交点位置呢？
已知两条直线
l1 : A1xB1yC1 0 l2 : A2xB2yC2 0 相交,如何求这两条直线的 交坐 点标?
导入
已知两条直线相交 l1:A 1xB 1yC 10
l2:A 2xB 2y C 20
几何元素及关系
代数表示
点A
Aa,b
直线l
练1：求下列各对直线的交点坐标：
1 l1:2 x 3 y 1,2l2:x 3 y 3 ;
（ 5 ，2 ） 3
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练5：证明不论m取什么实数，直线
2 m 1 x m 3 y m 1 0 1
都经过一定点，并求出这个定点的坐标。
《两条直线的交点》完美课件 北师大版1-精品课件ppt(实用版)
标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ
为任意常数）表示过M点的所有直线
3x+2y－1=0 证明：联立方程
2x－3y－5=0
x=1
解得：
即 M（1，- 1）
y= - 1
y
x
o M(1, - 1)
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A 1 x B 1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0 是过直线
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下课休息
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2021年3月30日星期二
如何求两条直线 的交点位置呢？
已知两条直线
l1 : A1xB1yC1 0 l2 : A2xB2yC2 0 相交,如何求这两条直线的 交坐 点标?
导入
已知两条直线相交 l1:A 1xB 1yC 10
l2:A 2xB 2y C 20
几何元素及关系
代数表示
点A
Aa,b
直线l
练1：求下列各对直线的交点坐标：
1 l1:2 x 3 y 1,2l2:x 3 y 3 ;
（ 5 ，2 ） 3
两条直线的交点课件(北师大必修2)
[研一题]
[例1] 判断下列各对直线的位置关系，如果相 交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0； (2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0； (3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
[自主解答] (1)解方程组25xx＋ －3y－y－9＝7＝00，， 得xy＝＝12.，
解得xy＝＝2－. 2， 即 l1 与 l2 的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，所以其斜率 k＝－22＝－1， 直线方程为 y＝－x，一般式为 x＋y＝0.
法二：∵l2 不过原点， ∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝ 0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式解得 λ＝1， ∴l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
[通一类] 1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应 的交点坐标：
5x＋4y－2＝0， 2x－6y＋3＝0， (1)2x＋y＋2＝0； (2)y＝13x＋12；
2x－6y＝0， (3)y＝13x＋12.
解：(1)解方程组52xx＋ ＋4y＋ y－2＝ 2＝00，， 得该方程组
则P点是直线l1与l2的 交点 ．因此，两条直线是否有交点，
就要看方程组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
是否有解，当方程组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
有无穷多个解时，说明直线l1与l2 重合，
当方程组无解时，说明l1与l2 平行 ．
[小问题·大思维]
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
(2)解方程组42xx－－63yy＋＋15＝ 0＝00，， ②
《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
( ，得 解：1) 由点到直线的距离公式
d 2 (1) 2 10 22 12
10 2 5 5
(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 (1) | 5 3 3
0
B
x
30 6 C点坐标为 ( , ) 13 13
点到直线的距离
问题：已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
设A 0, B 0
设R( xR , y0 ), S ( x0 , yS )
R, S在直线Ax By C 0上
RS PR 2 PS 2
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以
d
Ax0 By 0 C A B
2 2
易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设P( x0 , y0 )，直线l : Ax By C 0
d
Ax0 By 0 C A2 B 2
直线 l2 : 2x y 2 0 相交于点M (2 ，) . 2
x
两条直线的交点：
设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0，
l2: A2x+B2 y +C2=0.
A1 x B1 y C1 0 若方程组 有唯一解( x0 , y0 ) A2 x B2 y C2 0
二、讲授新课：
设l1 : 3x 4 y 2 0, l2 : 2 x y 2 0
第2章 1.4 两条直线的交点优质课件 北师大版必修2课件
1.4 两条直线的交点
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
答案： (2, 4)
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程组求其交点坐标.
不为失败找理由，要为成功找方法.
又因为直线x+3y－5=0的斜率是－13 . 所以所求直线的斜率是3.
所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－ 10=0.
拓展探究：过定点的直线系方程
思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？
文字叙述： 取λ=0,1,…，得直线3x+4y-2=0，5x+5y=0，…方 程表示的图形为直线.作出图形可知，所有直线都过一 个定点，该点为M(-2,2)，为l1：3x+4y-2=0与 l2：2x+y+2=0的交点，即此方程为过定点M(-2,2) 的直线系方程.
1
直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点，则 A+B=_-_7_. 2
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：解方程组
x－2y+2=0， 2x－y－2=0，
得
x= 2， y=2.
所以l1与l2的交点坐标是（2，2）.
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
答案： (2, 4)
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程组求其交点坐标.
不为失败找理由，要为成功找方法.
又因为直线x+3y－5=0的斜率是－13 . 所以所求直线的斜率是3.
所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－ 10=0.
拓展探究：过定点的直线系方程
思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？
文字叙述： 取λ=0,1,…，得直线3x+4y-2=0，5x+5y=0，…方 程表示的图形为直线.作出图形可知，所有直线都过一 个定点，该点为M(-2,2)，为l1：3x+4y-2=0与 l2：2x+y+2=0的交点，即此方程为过定点M(-2,2) 的直线系方程.
1
直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点，则 A+B=_-_7_. 2
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：解方程组
x－2y+2=0， 2x－y－2=0，
得
x= 2， y=2.
所以l1与l2的交点坐标是（2，2）.
北师大版高中数学必修《两条直线的交点》优质课件1
因此，(1),(2) 化成同一个方程，表示同一直线，
l1, l2 重合。
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
练习:(3)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标
(1)l1 : 2x 3y 12, (2)l1 : 2x 6 y 4 0, (3)l1 : ( 2 1)x y 3,
C2
0
探究2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？
如果两条直线
和
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们
的方程组成的方程组
的解；
反之，如果方程组
A1x B1 y C1 0
A2
x
B2
y
C2
0
只有一个解，
那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x B1y C1 0
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离
(1)理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求 两条相交直线的交点坐标; (2)能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系. (两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一 次方程组有唯一解、无解和无穷多组解) （3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直 线位置关系.
l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B2 y C2 0
思考：(1)若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？ (2)若方程组有无数解，两直线应是什么位置关系？
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
高中数学北师大版必修二2.1.4【教学课件】《两条直线的交点》
������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ = ������ 若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则 ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ = ������
，令x＝0，得
������ ������＝ ������ ������������ ， ������＝ ������
������ ������������ ∴ ＝ ，∴k＝±6。 ������ ������
北京师范大学出版社| 必修二
思考：怎么求两条直线的交点？ 把直线方程联 立构成方程组 解方程组
即8x＋16y＋21＝0。
北京师范大学出版社| 必修二
（3） k为何值时，直线y＝x＋3k－2与直线y＝－x＋1的 交点在第一象限。
解析：解方程组
������＝������ + ������������ − ������ ������ ������＝ − ������ + ������ ������
两条直线相交 时，求出交点
根据方程组解的 情况判断两条直 线的位置关系
北京师范大学出版社| 必修二
例题讲解
例1 求下列两直线交点坐标，L1 ：3x+4y-2=0，L2：2x+y +2=0。
解：解方程组
������������＋������������－������＝������ ������������ + ������＋������＝������
������������(������ − ������) > ������ ������ ������������ + ������ > ������ ������
高中数学 2.1.4 两条直线的交点课件 北师大版必修2
故不论 m 取何值，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－ 1)y＝m－5 上即此直线过定点(9，－4)．
第三十页，共40页。
证法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数 m 都成立，则必有
x＋2y－1＝0， x＋y－5＝0，
解得yx＝＝－9，4.
所以无论 m 取何值，此直线恒过定点 P(9，－4)．
①若 l1，l2，l3 交于一点，由xx＋ ＋ay＋y＋a1＝＝00，， 解得yx＝＝1－，a－1，
第二十二页，共40页。
• 将l2，l3的交点(jiāodiǎn)(－a－1,1)代入l1的 方程，
• 解得a＝1，或a＝－2. • ②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1. • 当a＝1时，l1，l2重合． • ③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1. • 当a＝1时，l2，l3重合．
• 2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且 三条直线构成三角形，求参数满足的条件， 可以先找构不成三角形的条件，然后求其反 面．
第二十一页，共40页。
• 试求三条直线l1：ax＋y＋1＝0.l2：x＋ay＋1 ＝0.l3：x＋y＋a＝0构成(gòuchéng)三角形时 a满足的条件．
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相 交且不共点．
• [答案] A
• [解析] 选项A中的直线斜率与直线3x－2y＝0 斜率不相等，两直线相交(xiāngjiāo)．B和D 选项中的直线与3x－2y＝0平行．选项C中的 直线与3x－2y＝0重合．
第八页，共40页。
• 3．与直线y＝－2x＋3平行(píngxíng)且与直 线y＝3x＋4交x轴于同一点的直线方程为 ________．
第三十页，共40页。
证法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数 m 都成立，则必有
x＋2y－1＝0， x＋y－5＝0，
解得yx＝＝－9，4.
所以无论 m 取何值，此直线恒过定点 P(9，－4)．
①若 l1，l2，l3 交于一点，由xx＋ ＋ay＋y＋a1＝＝00，， 解得yx＝＝1－，a－1，
第二十二页，共40页。
• 将l2，l3的交点(jiāodiǎn)(－a－1,1)代入l1的 方程，
• 解得a＝1，或a＝－2. • ②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1. • 当a＝1时，l1，l2重合． • ③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1. • 当a＝1时，l2，l3重合．
• 2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且 三条直线构成三角形，求参数满足的条件， 可以先找构不成三角形的条件，然后求其反 面．
第二十一页，共40页。
• 试求三条直线l1：ax＋y＋1＝0.l2：x＋ay＋1 ＝0.l3：x＋y＋a＝0构成(gòuchéng)三角形时 a满足的条件．
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相 交且不共点．
• [答案] A
• [解析] 选项A中的直线斜率与直线3x－2y＝0 斜率不相等，两直线相交(xiāngjiāo)．B和D 选项中的直线与3x－2y＝0平行．选项C中的 直线与3x－2y＝0重合．
第八页，共40页。
• 3．与直线y＝－2x＋3平行(píngxíng)且与直 线y＝3x＋4交x轴于同一点的直线方程为 ________．
北师大版高中数学必修2：两条直线的交点_课件1
提示：(1)k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2平行；(2)k1＝k2 且b1＝b2时重合．特殊情况，当k1k2＝－1时，两直线垂 直；(3)k1≠k2时，l1与l2相交．
问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满 足什么关系？
由3y＝x－kx5，y－6＝0，
x＝3－65k， 得y＝3－6k5k.
又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点，
∴k－＋64＋3－65k＝0，
解得k＝－16.
故直线l的方程是y＝－16x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
直
理解教材新知
解
线
两
析
与
条
把
几 何 初 步直ຫໍສະໝຸດ 直握考点一
线 的
线
热
的
点
考点二
考
方 程
交
向
考点三
点
应用创新演练
引入平面直角坐标系后，可以用方程表示直线，并 且可以通过直线的方程来判断两直线平行或垂直，那么 怎样求直线相交时的交点坐标呢？
问题1：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎样 判断它们的位置关系？
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
得交
点P(－5,2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－23，
∴所求直线的斜率是32.
因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0， 解方程组2xx＋＋y＋y＋38＝＝00，， 得交点P(－5,2)． 把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满 足什么关系？
由3y＝x－kx5，y－6＝0，
x＝3－65k， 得y＝3－6k5k.
又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点，
∴k－＋64＋3－65k＝0，
解得k＝－16.
故直线l的方程是y＝－16x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
直
理解教材新知
解
线
两
析
与
条
把
几 何 初 步直ຫໍສະໝຸດ 直握考点一
线 的
线
热
的
点
考点二
考
方 程
交
向
考点三
点
应用创新演练
引入平面直角坐标系后，可以用方程表示直线，并 且可以通过直线的方程来判断两直线平行或垂直，那么 怎样求直线相交时的交点坐标呢？
问题1：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎样 判断它们的位置关系？
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
得交
点P(－5,2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－23，
∴所求直线的斜率是32.
因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0， 解方程组2xx＋＋y＋y＋38＝＝00，， 得交点P(－5,2)． 把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
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例2 求平行直线2x-7y +8=0和2x-7y -6=0的距离。
解： 在直线 2x 7 y 6 0 上取一点
P(3 ，) 0
y
则 P(3 ，) 到直线 2 x 7 y 8 0 0 的距离就是两平行线间 的距离 .
o
P
x
d
23 70 8 22 (7)2
14 14 53 . 53 53
By0 C Ax0 C xR , yS . A B
By0 C Ax0 C xR , yS . A B
PR x0 xR
Ax0 By0 C , A
PS y0 yS
Ax0 By0 C , B
A2 B2 Ax By C . 0 0 AB
两平行线 l1 : Ax By C1 0 ， l2 : Ax By C2 0 之间的距离 d ?
在直线l1 : Ax By C1 0 上任取一点P(x0 ，0) y 证明： y 则 P( x0 ， 0 ) 到直线 l2 : Ax By C2 0 y
设 l1 到 l2 的角为 ， 则
2、夹角：
k2 k1 tan 1 k2 k1
( k1k2 1 )
记夹角为，则
当直线 l1 l2 时，和l2的夹角是 . l1 2
k2 k1 tan | |. 1 k2k1
两条直线的夹角 的取值范围是 (0 ， ] 2 两条直线的到角 的取值范围是 (0 ， ) .
二、讲授新课：
设l1 : 3x 4 y 2 0, l2 : 2x y 2 0
3 x 4 y 2 0 解：方程组 2 x y 2 0
x 2 方程组的解是 y 2 .
l2 l1
y
M
O
几何意义 :
直线 l1 : 3x 4 y 2 0 与
0
x
30 6 C点坐标为 , ) ( 13 13
点到直线的距离
问题：已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
设A 0, B 0
设R( xR , y0 ), S ( x0 , yS )
R, S在直线 Ax By C 0上
的距离就是两平行线间 的距离 .
d
Ax0 By0 C2 A2 B 2
o P
x
Ax0 By0 C1 0 Ax0 By0 C1
| C2 C1 | 注意：两直线的一次项系数完全相同，若不 d A2 B2 同，需变成系数完全相同时才能用。
例3 与直线 x 2 y 1 0 平行且距离为 5 的直线方程。
作业： P54 11,12,13,14,15,16.
RS PR 2 PS 2
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以
d
Ax0 By当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设P( x0 , y0 )，直线 : Ax By C 0 l
d
Ax0 By 0 C A2 B 2
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
( 解：1) 由点到直线的距离公式 ，得
d 2 (1) 2 10 22 12
10 2 5 5
(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 (1) | 5 3 3
设与直线 x 2 y 1 0平行的直线 l：x 2 y C 0 解：
则由两平行线间的距离 公式，有
| C (1) | 5 C 1 5 5 2 2 1 2
C 5 5 1或C 5 5 1
故所求直线 l：x 2 y 5 5 1 0或x 2 y 5 5 1 0
7.3
平面内两直线位置关系(3) -----两条直线的交点和 点到直线的距离
一、复习回顾：
1、到角：
2
l2
1
l1
注： 1 ，2 (0 ， ) 且 1 2 .
已知直线的方程分别为 ：
l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 .
直线 l2 : 2x y 2 0 相交于点 M (2 ，) . 2
x
两条直线的交点：
设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0，
l2: A2x+B2 y +C2=0.
A1 x B1 y C1 0 若方程组 有唯一解 x0 , y0 ) ( A2 x B2 y C2 0
直线l1与l2相交于点 x0 , y0 ) (
说明：
1、若方程组有唯一解，则直线l1与 l2 相交 ； 2、若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 3、若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 .
例1、等腰直角三角形ABC的直角顶点C与顶点B 所在直线为2 x 3 y 6 0, 顶点A(1,2)，求C点坐标。
解： AC BC，且lBC : 2x 3y 6 0
设lAC : 3x 2 y m 0
将A点坐标代入得m 7
y
B
2
C 3
A
B
所以AC方程为： 2 y 7 0 3x
30 x 13 2 x 3 y 6 0 解方程组 得 3x 2 y 7 0 y 6 13