计算方法简明教程

导出求积公式的系数 n t (t − 1) L (t − i + 1)(t − i − 1) L (t − n) Ai = h ∫ dt n −i 0 i!(−1) (n − i )! b − a (−1) n −i n = ∫0 t (t − 1)L (t − i + 1)(t − i − 1)L (t − n)dt n i!(n − i )! 记 Ci( n ) (−1) n −i n = ∫0 t (t − 1)L (t − i + 1)(t − i − 1)L (t − n)dt i!(n − i )! (i − 0,1, L , n)
In − In
≤ (b − a )ε
∑C
k =0 n k =0
(n) k
= (b − a )ε
Ck( n ) ⋅ 1 ∑
k =0
n
= (b − a )ε
Ck( n ) ⋅ g ( xk ) ∑
b
( g ( x ) ≡ 1)
=ε
∫ g( x)dx
a
b
= ε ∫ dx = (b − a )ε
a
即
I n − I n ≤ (b − a )ε
Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的
(b − a )倍
即 ∀k ≤ n , Ck( n ) > 0时 , Newton − Cotes 公式是稳定的
事实上 ,当n < 8时，公式都是稳定的
若 Ck( n )有正有负 , 有
(b − a )ε
∑
k =0
n
C
(n) k
≥ (b − a )ε
2
(2) 2
∫
b
a
f ( x)dx ≈ (b − a )∑ Ck( 2 ) f ( xk )
b−a a+b = [ f (a) + 4 f ( ) + f (b )] 6 2
k =0 =0
二、Newton-Cotes公式的稳定性分析
考察Cotes系数
( Ck n ) n ( −1)n − k = ∫0 0∏n(t − j )dt n ⋅ k !⋅( n − k )! ≤ j ≤ j ≠k
k =0 n
( I n − I n = (b − a )∑ Ck n )ε k k =0
( I n − I n ≤ (b − a ) ∑ Ck n ) ε k k =0 n
n
≤ (b − a )ε
若 ∀k ≤ n , Ck( n ) > 0 , 有
∑
k =0
n
n
Ck( n )
ε = max{|ε k |}
取n = 1, 则x0 = a , x1 = b , h = b − a
Cotes系数为
1 C = − ∫ (t − 1)dt = 0 2 1 1 ( 1) C1 = ∫0tdt = 2
( 1) 0
1
于是
∫
b
a
b−a f ( x)dx ≈ [ f (a ) + f (b)] 2
2.Simpson公式
§8-4
等距节点的牛顿—柯特斯公式 等距节点的牛顿 柯特斯公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
设函数f ( x ) ∈ C[ a , b ]
将积分区间[ a , b ]分割为 n等份
各节点为
xi = a + ih , i = 0,1, L , n
则 Ai = (b − a)Ci( n ) 于是相应的插值型求积公式为
∫
b
a
f ( x)dx ≈ (b − a )∑ Ci( n ) f ( xi )
i =0
n
(2)
这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式
Ci( n )叫柯特斯系数.
在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式 1.梯形公式 梯形公式
只与积分区间[ a , b ]的节点x j的划分有关, 与函数f ( x )无关
其值可以精确给定 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似 值(计算值 )
( Ck n ) = (b − a )ε ∑ k =0
n
此时,公式的稳定性将无法保证 因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式
b−a 其中h = 为步长 n
如果作变量替换x = a + th, 那么由
Ai = ∫
b
a
( x − x0 ) L ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) L ( x − xn ) dx ( xi − x0 ) L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) L ( xi − xn )
b+a b−a 取n = 2 , 则x0 = a , x1 = , x2 = b , h = 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 = ∫ (t − 1)(t − 2 )dt = 4 0 6
C C
于是
(2) 1
−1 2 4 = ∫0 t(t − 2 )dt = 6 2 1 2 1 = ∫ (t − 1)tdt = 4 0 6
ε k = f ( xk ) − f ( xk ) 为误差
记Байду номын сангаас
( = (b − a )∑ Ck n ) f ( xk ) In k =0 n
为I n的近似值(计算值)
而理论值为
( I n = (b − a )∑ Ck n ) f ( xk ) k =0 n
I n与I n的误差为
I n − I n = (b − a )∑ Ck( n )[ f ( xk ) − f ( xk )]