高一下学期期中考试数学试题(集合与函数)
黑龙江省西北部八校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
2021—2022学年度下学期龙西北八校联合体期中考试高一数学试卷试题总分：150分；考试时间：120分钟；第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．设集合{}2|430M x x x =-+≥，{}2log 1N x x =≤，则集合M N ⋂＝（）A ．(,1]-∞B ．(]0,1C ．[1,2]D ．(],0-∞2．已知复数1i1iz +=-，以下结论正确的是（）A ．2022z 是纯虚数B ．|1|2z +=C ．1z z ⋅=-D ．在复平面内，复数i z z +⋅对应的点位于第三象限3．设,a b是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+ ，,2BC a b CD a b =+=- ，若,,A B D三点共线，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．-14．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在线段OB 上且13OE OB =，若(),AE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ=（）A ．29B ．13C ．1D ．23-5．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为5km ，8km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东70°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东50°方向上，则灯塔A 与B 的距离为（）A ．6kmB ．C ．7kmD ．6．已知ABC 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（）A ．若ABC 为等边三角形且边长为2，则2AB BC ⋅=B ．若“sin sin A B >”是“A B >”的充分不必要条件C ．若满足()()a b c a b c ab +-++=，则120C ∠=︒D ．若222sin sin cos 1A B C ++>，则ABC 为锐角三角形7．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-8．定义在实数集R 上的奇函数()f x 恒满足()()11f x f x -=+，且()0,1x ∈时，()142xf x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．52B ．52-C ．1D ．172-二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得不得分）9．下列命题中不正确的是（）A ．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱10．已知向量(2,1)a = ，(3,1)b =-，则（）A ．与向量a方向相同的单位向量是⎝⎭B ．()a b a+⊥C ．向量a 在向量b 上的投影向量是D ．25a b += 11．下列有关命题的说法正确的是（）A ．若集合{}2440A xkx x =++=∣中只有两个子集，则1k =B ．()2()lg 23f x x x =-++的增区间为(,1)-∞C ．若α终边上有一点(3,4)P -，则()π9sin cos π225αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c =，则（）A ．cos cos b A aB +=B ．ABC 周长的最大值为6C ．cos cos BA的取值范围为)+∞D ．AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为23+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →，b →满足2a →=，1b →=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则2a b →→+=______.14．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为__________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，2a cos C ＋c ＝2b ，则△ABC 面积的最大值是________．16．如图在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，过点M 的直线与线段OA ，OB 分别交于E ，F （不与端点重合）.设= OE pOA ，=OF qOB ，则p q +的最小值为________.四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知复数()()22233i m m z m m m m--=+-∈R ．（Ⅰ）当m 取什么值时，复数z 是纯虚数？（Ⅱ）当1m =时，求4izzz ++．18．已知()2,1a =r，b = (1)若//a b r r，求b 的坐标；(2)若()()52a b a b -⊥+ ，求a 与b 的夹角.19．在①sin B A =；②cos cos 2cos b C c B B +=；③sin c B =一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin A B A C +-=，b =______.20．在ABC 中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-且()cos cos 1cos2A B C C -+=-.（1）试确定ABC 的形状；（2）求a cb+的取值范围.21．在复平面内，O 是原点，OA ，OB 对应的复数分别为2cos 23i x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()22x i ++2cos 23x π⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，i 为虚数单位.设函数()f x OA AB =⋅ .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x m =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数1()xx f x a a=-（0a >且1a ≠）.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x R ∈上恒成立，求实数b 的取值范围；(3)若()312f =且221()2()xxh x a mf x a =+-在[)1,x ∞∈+上最小值为2-，求m 的值.1．B 【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M 、N ，再由集合的交集运算可得选项．【详解】解：由2430x x -+≥得()()130x x --≥，解得1x ≤或3x ≥，所以集合{}(][)2|43013M x x x =-+≥=-∞+∞ ，，，由2log 1x ≤得22log log 2x ≤，解得02x <≤，所以集合{}(]2|log 10,2N x x =≤=，所以(]01M N = ，，故选：B ．2．D 【分析】利用复数除法运算法则化简可得i z =，根据i 的幂运算的周期性、模长的定义、共轭复数定义和复数的乘法运算、复数对应的点坐标来依次判断各个选项即可.【详解】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z +++====--+对于A ，20222022450522i i i =1⨯+===- z ，∴2022z 不是纯虚数，A 错误；对于B ，1i+1+==z ，B 错误；对于C ，()2i i i 1z z ⋅=⋅-=-=，C 错误；对于D ，2i i i 1i z z +⋅=-+=-- ，i z z ∴+⋅对应的点为()1,1--，位于第三象限，D 正确.故选：D.3．D 【分析】由向量加法得BD ，由,,A B D 三点共线知AB ，BD共线，结合平面向量基本定理可解.【详解】因为,,A B C ，故存在实数λ，使得AB BD λ=，又2BD BC CD a b =+=- ，所以22a pb a b λλ+=- ，因为,a b不共线，故22p λλ=⎧⎨=-⎩，即1,1p λ==-.故选：D 4．A 【分析】由平面向量的线性运算用,AB AD 表示出A E，得出,λμ即可得结论．【详解】矩形ABCD 中，13OE OB=12221(1()33333AE AD DE AD DO AD DB AD AB AD AB AD =+=++=+=+-=+，所以23λ=，13μ=，29λμ=．故选：A ．5．C 【分析】在ABC 中，利用余弦定理求解.【详解】解：如图所示：在ABC 中，5,8,60CA CB C === ，由余弦定理得：222co 2s =+-⋅⋅AB A B A CB C C C C ，12564258492=+-⨯⨯⨯=，所以7AB =，故选：C6．C 【分析】A.利用平面向量的数量积定义求解判断；B.利用正弦定理判断；C.利用余弦定理判断；D.由222sin sin cos 1A B C ++>，转化为2220a b c +->，再利用余弦定理判断.【详解】A.因为ABC 为等边三角形且边长为2，所以222cos 23π⋅=⨯⨯=- AB BC ，故正确；B.由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C ===，则sin ,sin 22a b A B R R==，所以sin sin A B >等价于22a b R R>，即a b >，则A B >，故为充要条件，故错误；C.因为()()a b c a b c ab +-++=，即222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，因为(),C ∈0180，所以120C ∠=︒，故正确；D.因为222sin sin cos 1A B C ++>，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，所以222cos 02a b c C ab+-=>，则角C 为锐角，但角A ，角B ，不确定，故错误；故选：C 7．A 【分析】建立如图所示坐标系设(,)P x y ，根据数量积坐标公式即可求解最值．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=-- ，故()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+ 22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅ 取得最小值58-．故选：A ．8．B 【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．【详解】解： 奇函数()f x 恒满足(1)(1)f x f x -=+，(1)(1)f x f x ∴+=--，即(2)()f x f x +=-，则(4)(2)f x f x +=-+，即(4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，所以125533111115((4)()()(1)(1)()(4)(2)2222222222f f f f f f f =-=-=-=-+=--=-=-+=-+=-，故选：B ．9．BCD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断.【详解】对于A ，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面，故A 正确；对于B ，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B 错误；对于C ，若以直角三角形的斜边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥.故C 错误；对于D ，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱.故D 错误；故选：BCD.10．ABD 【分析】A 单位向量的定义求坐标；B 判断()0a b a +⋅=r r r 是否成立即可；C 由向量数量积的几何意义及投影向量的概念化简计算；D 向量模长的坐标计算判断.【详解】A ：由a方向相同的单位向量为55||a a ⎛ ⎝=⎭，正确；B ：(1,2)a b +=-，则()0a b a +⋅=r r r ，故()a b a +⊥ ，正确；C ：a 在b 上的投影向量是1||cos ,2||||||ba b b a a b b b b b ⋅<>⋅=⨯=-，错误；D ：2(4,3)a b +=-，则25a b += ，正确.故选：ABD 11．CD 【分析】给k 赋值判断集合中元素个数可解得相应子集个数，即可判断A ；利用复合函数的单调性判断B ；利用α终边所过点确定余弦值cos α，利用诱导公式化简判断C ；根据图像判断1cos 2y x =+周期性特点，并得到最小正周期判断出D.【详解】对于A 选项，{}2440A xkx x =++=∣中只有两个子集，可得A 中只有一个元素，当0k =时，{}1A =-也满足题意，故A 错误；对于B 选项，由2230x x -++>可得13,x -<<又∵223y x x =-++在(1,1)-上单调递增，由复合函数的单调性可知2()lg(23)f x x x =-++，的单调递增区间为(1,1)-，故B 错误；对于C 选项，由点(3,4)P -可得3cos 5α=，∴()()π9sin cos πcos cos =225αααα⎛⎫++=⋅-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，作出函数1cos 2y x =+的图像如图所示，由图像可知1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π.故D 正确；故选：CD 12．BD 【分析】若cos cos b A a B +=，利用余弦定理化简可得c =即可判断A ；由余弦定理结合均值不等式可判断B ；利用三角函数恒等变换的应用可得cos 1cos 2B A A =-+，根据正切函数的性质即可判断C ；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求)23AC AB A π⋅=++，进而根据正弦函数的性质可判断D ；【详解】对于A ，若cos cos b A a B +=，则可得22222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅，可得22c =，解得c 2c =，故A 错误．对于B ，由余弦定理得：()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===，则()()222343324a b a b ab a b +⎛⎫+-=≤=+ ⎪⎝⎭，所以4a b +≤，ABC 周长为46a b c c ++≤+=，所以ABC 周长的最大值为6，故B 正确；对于C，222cos()cos cos sin sin cos 1333cos cos cos 2A A AB A AA A πππ-+===-，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A 的取值范围为()(0,,+∞⋃-∞，所以cos cos B A的取值范围为(-∞，12)(2--⋃，)∞+，故C 错误；对于D，由正弦定理得，则sin sin sin 3c a b C A B ===，则b B =，cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= ，23B A π=-，2sin 3AC AB A A π⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sin cos A A ()121cos22cos22sin22A A A A A A ⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∵203A π<<，4023A π<<，52333A πππ<+<，则当232A ππ+=，即12A π=时，AC AB ⋅2，故D 正确；故选：BD.13【解析】先根据a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，2a →=得34a b →→⋅=，故2a b →→+==【详解】解：由于a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，2a →=，所以0a ab →→→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即34a b →→⋅=，所以2a b →→+====【点睛】本题考查向量模的求解，向量垂直的表示，考查运算能力，是基础题.14【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意，由29S r rl πππ=+=和2l r ππ=求解.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，因为圆锥的表面积为9π，所以29S r rl πππ=+=，又侧面展开图是一个半圆，所以2l r ππ=，联立求得r =，15．【分析】先由2cos 2a C c b +=求出3A π=，然后利用余弦定理结合基本不等式可得36bc，最后利用三角形面积公式即可求解【详解】由2cos 2a C c b +=，得2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C +==+，化简得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，2222cos 2a b c bc A bc bc=+-- 即36bc，11sin 3622ABC S bc A =⨯⨯ 当且仅当b ＝c ＝6时，取“＝”．故答案为：16．35+【分析】设OA a = ，OB b = ，OM xa yb =+，由已知条件结合向量的线性运算以及平面向量共线定理，求出,x y 的值，可得OM ，进而可利用a 、b 表示EM ，EF ，再根据EM ，EF共线即可求出,p q 满足的关系，利用基本不等式即可求p q +的最小值.【详解】设OA a = ，OB b = ，OM xa yb =+，则(1)(1)AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+ ，12AD OD OA a b =-=-+，因为A ，M ，D 三点共线，所以AM ，AD 共线，设AM t AD =uuu r uuu r 即(1)x a yb -+ 12t a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 所以112x ty t -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得21x y +=①，()1BM OM OB xa y b =-=+- ，13BC OC OB a b =-=- ，又C ，M ，B 三点共线，所以BM ，BC共线，设BM k BC = 即()113xa y b k a b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以131x ky k⎧=⎪⎨⎪-=-⎩可得：31x y +=②，联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1255OM a b =+ ，因为12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+⎪⎝⎭，EF OF OE qb pa =-=- ，因为EM ，EF 共线，设EM EF λ= ，即()1255p a b qb pa λ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以1525p p qλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去λ可得：25p q pq +=即125p q +=，所以112123()3555q p p q p q p q p q ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2125q p p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1525p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以p q +的最小值为35+.故答案为：35+.17．（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）20.【分析】（I ）利用复数为纯虚数的充要条件即可得出；（II ）利用复数的运算法则即可得出【详解】（Ⅰ）若z 为纯虚数，则2223030m m mm m ⎧--=⎪⎨⎪-≠⎩，解得1m =-．故当1m =-时，复数z 是纯虚数．（Ⅱ）当1m =时，42i z =--，∵()()42i 42i 20z z ⋅=---+=，∴2020204i 42i 4i izz z ===++--++-．18．(1)()4,2或()4,2--；(2)3π.【分析】（1）设()2,b a λλλ== ，利用向量的模长公式可求得实数λ的值，即可得出向量b 的坐标；（2）由已知可得()()520a b a b -⋅+= ，可求得cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围即可得解.(1)解：因为//a b r r，设()2,b a λλλ== ，则b === 2λ=±.因此，()4,2b =或()4,2--.(2)解：由已知可得a == ()()52a b a b -⊥+ ，则()()22525233150a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⋅-= ，可得5a b ⋅=，所以，1cos ,2a b a b a b ⋅<>==⋅，0,a b π≤<>≤ ，则,3a b π<>= .19．答案见解析.【分析】根据()sin sin sin A B A C +-=可求B 的大小.若选①：根据正弦定理角化边，由sin B A得b =，根据余弦定理可求a 和c ；若选②：根据余弦定理角化边，由cos cos 2cos b C c B B +=可得a 和B 的关系，再结合余弦定理可求a 和c ；若选③：由sin c B =c ，再根据余弦定理可求a .【详解】在ABC 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin A B A C +-=，∴()()sin sin sin A B A A B +-=+，化简得sin 2sin cos A A B =，在ABC 中，sin 0A ≠，∴1cos 2B =，又∵0πB <<，∴π3B =，又∵b =2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac +-=，若选①，∵sin B A =，即b =，又223a c ac +-=，∴1a =，2c =，故此时ABC存在，其周长为3若选②，∵cos cos 2cos b C c B B +=，∴2222222cos 22a b c a c b b c B ab ac+-+-⨯+⨯=，即12cos 212a B ==⨯=，又223a c ac +-=，∴2c =，故此时ABC 存在，其周长为3若选③，∵sin c B =4c =，又∵223a c ac +-=，∴24130a a -+=，该方程无解，∴三角形不存在.20．（1）直角三角形；（2）(.【分析】（1）根据正弦定理化简整理得到222b a c =+即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将a c b+表示成sin cos A A +，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.【详解】解：（1）由正弦定理得：a b ba b a+=-，所以22b a ab -=①因为()cos cos 1cos2A B C C -+=-，所以()()2cos cos 2sin .A B A B C --+=所以2sin sin sin A B C =，2ab c =②把②代入①得222222b a c b a c -==+即所以ABC 是直角三角形（2）由（1）知2B π=，所以,22A C C Aππ+==-所以sin sin cos 2C A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.根据正弦定理得sin sin sin cos sin 4a c A C A A A b B π++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭因为2,ac ab c a c <=<，所以0,4442A A ππππ<<<+<sin 1,1244A A ππ⎛⎫⎛⎫<+<<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a cb+的取值范围是(.21．（1）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（2）[1,2).【分析】由题设知AB OB OA =-，确定其坐标，应用向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式，可得()2sin(2)6f x x π=+.（1）根据正弦函数的单调区间，应用整体法求()f x 的单调递增区间即可；（2）将问题转化为y m =与()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，根据三角函数的性质有()[1,2]f x ∈-，进而可求m 的范围.【详解】由题设知：(2,cos(2))3OA x π=+ ，(22,2cos(2))3OB x x π=++ ，∴2,2)AB OB OA x =-=，则()22cos(2)cos 222sin(2)36f x OA AB x x x x x ππ=⋅=++==+ ，（1）由()f x 在222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈上单调增，∴()f x 在,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈上递增，即递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.（2）由题设知：2sin(2)6x m π+=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个根，而此时72666x πππ≤+≤，∴2sin(2)[1,2]6x π+∈-，即y m =与()f x 有两个交点，∴[1,2)m ∈【点睛】关键点点睛：（1）由向量减法的坐标表示求AB，进而根据向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式化简三角函数，进而研究其单调区间.（2）将问题转化为两个函数的交点问题，结合三角函数性质求参数范围.22．(1)()f x 为奇函数，证明见解析.(2)()3,5-.(3)2m =.【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；（2）由（1）得出()f x 是定义域为R 的奇函数，再判断出()1xxf x a a =-是R 上的单调递增，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解；（3）利用()312f =，可得到2a =，所以211()222222x x x x h x m ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令122xx t =-，则22()()2h x t m m =-+-，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出m 的值.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，又11()()xx x x f x a a f x a a---=-=-=-，∴()f x 为奇函数.（2）解：211(1)0a f a a a-=-=>，∵0a >，∴210a ->，1a >或1a <-（舍）.∴()f x 单调递增.又∵()f x 为奇函数，定义域为R ，∴2()(4)f x bx f x +>-，∴所以不等式等价于24x bx x +>-，2(1)40x b x +-+>，2(1)160b ∆=--<，∴22150b b --<35b -<<.故b 的取值范围为()3,5-.（3）解：13(1)2f a a =-=，解得2a =（2-舍），2222111111()222222222xx x x x x x x x x x x h x a m a a m a m a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令122xx t =-，∵1x ≥，∴32t ≥，222()22()2h x y t mt t m m ==-+=-+-，当32m ≥时，2min 22y m =-=-，解得2m =（2-舍），当32m <时，min 93224y m =-+=-，解得2512m =（舍），综上，2m =.。
广东省海丰县海城仁荣中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
r b
=2.
(1)若向量
ar
-
r kb
与
kar
-
r b
共线，求实数
k
的值；
( ) ( ) (2)若
ar
+
r b
×
ar
-
r 2b
=
-2
，求
ar
与
r b
的夹角q
的值.
( ) 20．已知 ar =
2 sin x, cos2 x
，
r b
=
(
3
cos
x, 2)
，
f
(x)
=
ar
r ×b
．
（1）求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间；
f
(
x)
=
ìx (1-
í î
sinp
x),
x,
0 £ x £ 1，则 1< x£2
f
æ çè
31 ö 6 ÷ø
=
___________.
四、解答题
17．在 VABC 中，角 A､B､C 的对边分别为 a､b､c，已知 3(a - c)2 = 3b2 - 2ac
试卷第31 页，共33 页
(1)求 cos B 的值； (2)若 5a = 3b ，求 sin A 的值.
<
logb
c
，故
B
不正确，D
正确.
故选：CD. 12．BCD 【分析】本题需要逐项分析，根据每个选项 所给的条件，具体分析得出结论.
【详解】对于
A：
a cos
B
=
b cos
A
，由正弦定理得
sin A cos B
安徽省安庆市望江中学-高一数学下学期期中试题(含解析)新人教A版
-安徽省安庆市望江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（•陕西）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令a=1，b=4代入选项中，分别求得 a ，，，b的值，进而可比较他们的大小解答：解：令a=1，b=4则=2，=，∵1＜2＜＜4∴．故选B．点评：本题主要考查了不等式的基本性质．对于选择题可以用特殊值法，可以简便解题过程．2．（5分）（•江西）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．解答：解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选B点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合A，B是解答本题的关键．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；等比数列．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解答：解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a ，=，故选B．点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．4．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a2•a4=12，a2+a4=8，则数列{a n}的通项公式是（）A．a n=2n﹣2（n∈N*）B．a n=2n+4（n∈N*）C．a n=﹣2n+12（n∈N*）D．a n=﹣2n+10（n∈N*）考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意列式求出公差，然后代入等差数列的通项公式求解．解答：解：由a2•a4=12，a2+a4=8，且d＜0，解得a2=6，a4=2．所以d=．则a n=a2+（n﹣2）d=6﹣2（n﹣2）=﹣2n+10．故选D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，如果给出了等差数列公差和第m项a m，则a n=a m+（n﹣m）d，是基础题．5．（5分）当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．解答：解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．点评：本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．6．（5分）等差数列{a n}满足a42+a72+2a4a7=9，则其前10项之和为（）A．﹣9 B．﹣15 C．15 D．±15考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得=9，由此求得a4+a7的值，再根据其前10项之和为S10==，运算求得结果．解答：解：∵等差数列{an}满足a42+a72+2a4a7=9，则有=9，∴a4+a7=±3．故其前10项之和为S10===±15，故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．7．（5分）△ABC中，BC=2，角B=，当△ABC 的面积等于时，sinC=（）A．B．C．D．考点：解三角形．专题：计算题．分析：先利用三角形面积公式求得AB，进而利用余弦定理求得AC的值，最后利用正弦定理求得sinC．解答：解：三角形面积为：sinB•BC•BA=××2×AB=∴AB=1由余弦定理可知：AC==∴由正弦定理可知∴sinC=•AB=故选B点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．在解三角形问题中，正弦定理和余弦定理是常用的方法，应强化训练和记忆．8．（5分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则可求得=2，利用正弦定理求得cosB，同时根据余弦定理求得cosB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．解答：解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，∴=2，由正弦定理可知=∴=∴cosB=，∴cosB==，整理得c=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选D点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成了边角问题的互化．9．（5分）对于任意a∈[﹣1，1]，函数f （x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|x＜1或x＞3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．解答：解：原题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，只需⇒⇒x＜1或x＞3．故选B．点评：本题的做题方法的好处在于避免了讨论二次函数的对称轴和变量间的大小关系，而一次函数在闭区间上的最值一定在端点处取得，所以就把解题过程简单化了．10．（5分）（•山东）设x，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：压轴题．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）．11．（5分）（•咸安区模拟）数列{a n}中，S n是前n项和，若a1=1，a n+1=（n≥1，n∈N），则a n =．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由题设条件可知a1=1，，化简可得，4a n=3a n+1，即，由此可知答案．解答：解：a1=1，，当n≥2时，S n =3a n+1，S n﹣1=3a n，∴a n=S n﹣S n﹣1=3a n+1﹣3a n，∴4a n=3a n+1，∴，∴a n=．故答案：．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．（5分）（•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=csinA，则的最大值为．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：根据正弦定理及a=csinA求得C．进而根据勾股定理可知c2=a2+b2，对化简整理得1+根据基本不等式得到的范围，进而得出答案．解答：解：a=csinA，得到==sinA．所以sinC=1，即C=90°．所以c2=a2+b2．==1+=1+=1+≤1+=2所以得最大值为故答案为．点评：本题主要考查正弦定理和基本不等式在解三角形中的应用．13．（5分）11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B 的距离为米，则旗杆的高度为30 米．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN•sin∠NAM求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠NBA=45°，∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，∴AN==20米∴在Rt△AMN中，MN=AN•sin∠NAM=20×=30米所以：旗杆的高度为30米故答案为：30．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．14．（5分）若数列{a n}满足a1，a2﹣a 1，a 3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n等于2n﹣1 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接把数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…的前n项求和即可得到答案．解答：解：由题意可知，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a 2）+…+（a n﹣a n﹣1）=．故答案为2n﹣1点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．15．（5分）若，已知下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b ；④；⑤a2＞b2；⑥2a ＞2b，其中正确的不等式的序号为①④⑥．考点：不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．专题：常规题型．分析：若，则a＜0，b＜0，且a＞b则①a+b为负数，ab为正数；②③⑤赋值来处理；④借助于均值不等式来处理；⑥由于a＞b，且y=2x为增函数，则2a＞2b解答：解：若，则a＜0，b＜0，且a＞b则①a+b＜0，ab＞0，故①正确；②令a=﹣2，b=﹣3，则显然，但|a|=2，|b|=3，故②错误；③由②得a＞b，故③错；④由于a＜0，b＜0，故则（当且仅当即a=b时取“=”）又a＞b，则，故④正确；⑤由②知，a2＜b2，故⑤错；⑥由于a＜0，b＜0，且a＞b，则2a＞2b，故⑥正确故答案为①④⑥点评：本题考查不等式的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，且，求△ABC的面积S．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题．分析：由已知条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+bc，再利用余弦定理求出cosA=，故sinA=，由求得，bc=8，由S=求出结果．解答：解：由已知条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+bc，∴bc=b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴cosA=，∴sinA=，由得bc•cosA=4，bc=8．∴S==2．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，两个向量的数量积的定义，求得cosA=，是解题的关键．17．（12分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．解答：解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.3x+0.2y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.3x+0.2y可得5z为直线z=0.3x+0.2y在y轴上的截距，截距最大时z最大．结合图象可知，z=0.3x+0.2y在A处取得最大值由可得A（200，100），此时z=80万故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件②由约束条件画出可行域③分析目标函数Z与直线截距之间的关系④使用平移直线法求出最优解⑤还原到现实问题中．18．（12分）（1）已知x ＜，求函数y=4x﹣2+的最大值（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：．考点：综合法与分析法(选修）；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）化简可得函数y=3﹣（5﹣4x+），而由基本不等式可得5﹣4x+的最小值为2，从而求得函数y=3﹣（5﹣4x+）的最大值．（2）由条件利用基本不等式可得，，，把这三个不等式相加在同时除以2，即可正得不等式成立．解答：解：（1）∵已知x ＜，函数y=4x﹣2+=4x﹣5++3=3﹣（5﹣4x+），而由基本不等式可得（5﹣4x）+≥2，当且仅当 5﹣4x=，即x=1时，等号成立，故5﹣4x+的最小值为2，故函数y=3﹣（5﹣4x+）的最大值为 3﹣2=1．（2）∵已知a＞0，b＞0，c＞0，∴，，，当且仅当a=b=c时，取等号．把这三个不等式相加可得，∴成立．点评：本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件以及不等式的使用条件，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*），在数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣2得：S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），两式相减可得a n=2a n﹣1（n≥2），再求得a1=2，可知数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求a n=2n；点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，可知b n+1﹣b n=2，又b1=1，从而可求得{b n}的通项公式；（2））T n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n①，2T n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1②，错位相减即可求得T n．解答：解：（1）由S n=2a n﹣2得：S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，即=2（n≥2），又a1=2a1﹣2，∴a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n．∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n+1﹣b n=2，∴数列{b n}是等差数列，∵b1=1，∴b n=2n﹣1；（2）T n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n①∴2T n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1②①﹣②得：﹣T n=1×2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=2+2×﹣（2n﹣1）×2n+1=2+2×2n+1﹣8﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）2n+1+6．点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等比关系的确定与错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m 的取值范围．解答：解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．（14分）（•山东）等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行9 8 18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）lna n，求数列b n的前n项和s n．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由表格可看出a1，a2，a3分别是2，6，18，由此可求出{a n}的首项和公比，继而可求通项公式（Ⅱ）先写出b n发现b n由一个等比数列、一个等差数列乘（﹣1）n的和构成，故可分组求和．解答：解：（Ⅰ）当a1=3时，不合题意当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意当a1=10时，不合题意因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，所以a n=2•3n﹣1．（Ⅱ）b n=a n+（﹣1）n lna n=2•3n﹣1+（﹣1）n[（n﹣1）ln3+ln2]=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）n nln3所以s n=2（1+3+…+3n﹣1）+[﹣1+1﹣1+1+…+（﹣1）n]（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n n]ln3 所以当n为偶数时，s n ==当n为奇数时，s n ==综上所述s n =点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和的方法，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个中档题．。
高一数学人教版必修一第一章《集合与函数概念》单元测试题(含答案)
三、解答题 ：每小题 12 分，共 60 分
16、设 A { x Z || x | 6} ， B 1,2,3 , C
3,4,5,6 ，求：
(题目有错漏，需修改，要么改为① A { x Z x 6} ，要么改为② C { 3,4,5} )
（ 1） A (B C ) ；（ 2） A C A (B C )
的元素 ( 1,2) 对应的 B 中的元素为（
A）
（A ） ( 3,1)
（ B） (1,3)
（ C） ( 1, 3)
（D ） (3,1)
5、下列各组函数 f ( x)与 g (x) 的图象相同的是（ D ）
（A ） f ( x) x, g( x) ( x ) 2
（B ） f ( x) x2 , g(x) (x 1) 2
第一章 《集合与函数概念》单元测试题
姓名：
班别：
学号：
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；
2
③方程 x 2 0 的实数解”中，能够
表示成集合的是 ( A )
（A ）② （ C ）②③
（ B）③ （ D）①②③
2、若 A x | 0 x 2 , B x |1 x 2 ，则 A B ( D )
元？
解： 设每天从报社买进 x 份，每月所获的利润为 f（ x），则
① 当每天购入少于或等于 250 份的报纸的时候，全部都卖光了，则
f（ x） =（ 1-0.9） *30*x
故 f （ x）在 x
x 0 的值域为
,2
综上得， f （ x）的值域为 2,
,2
19、中山市的一家报刊摊点，从报社买进《南方都市报》的价格是每份
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(解析版)
2023年下学期高一期中考试数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知U =R ，集合{A x y ==，{}N 12B x x =∈-≤，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}0,1 C.{}1,2 D.{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】根据Venn 图表示的集合计算.【详解】由书已知|2}{A x x =≥，{0,1,2,3}B =,{|2}U A x x =<ð，阴影部分集合为(){0,1}U A B = ð，故选：B.2.命题“0x ∃<，使得22x x +>”的否定为（）A.0x ∀<，22x x +> B.0x ∃≥，使得22x x +>C.0x ∀<，22x x +≤ D.0x ∃≥，使得22xx +≤【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词命题的否定形式，改量词、否结论即可判断出选项．【详解】由命题“0x ∃<，使得22x x +>”，则命题的否定为“0x ∀<，22x x +≤”．故选：C ．3.函数()221xf x x =-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误，故选：A.4.如图，把直截面半径为25cm 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：2cm ），则把y 表示为x 的函数的解析式为（）A.y x =B.y x =，050x <<C.y x =D.y x =050x <<【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立函数关系即可.【详解】如图，圆的直径250cm AC OC ==，矩形的边 c m AB x =.∵90ABC ∠=︒，∴由勾股定理，得22500cm BC x =-，∴矩形ABCD 的面积222500cm y AB BC x x =⋅=⋅-，又∵050AB AC <<=，∴050x <<.故选：B.5.函数()r f p =的图象如图所示，则函数()r f p =的定义域、值域分别是（）A.[]5,0-，[]2,5B.[]5,6-，[]2,5C.[][)5,02,6-⋃，[)0,∞+ D.[][)5,02,6-⋃，(),-∞+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.【详解】自变量p 可取{50p p -≤≤或}26p ≤<内的任意值，∴定义域为{50p p -≤≤或}26p ≤<.函数值范围为{25r r ≤≤或}0r ≥，即{}0r r ≥，∴值域为{}0r r ≥.故选：C.6.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学【答案】C 【解析】，的大小关系即可得出答案.【详解】102525==，105232==．∵2532<<又∵6339==，6328==><<．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.7.函数2y x =+的值域为（）A.(,8]-∞ B.(,8]-∞-C.[2,)+∞ D.[4,)+∞【答案】A 【解析】t =，化简函数为2246y t t =-++，结合二次函数的性质，即可求解.t =，则0t ≥，且23x t =-，则函数可化为2222(3)42462(1)88y t t t t t =⋅-+=-++=--+≤，所以函数的值域为(,8]-∞.故选：A.8.已知函数()f x 是定义在[)0,∞+的单调函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，都有()2f f x ⎡-=⎣，若关于x 的方程()2f x x k +=+恰有两个实数根，则实数k 的取值范围为（）A.92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意，设()t f x =()f x t =，结合()2f t =，求得()1f x =+，把方程转化为y x =-和1y k =-有两个交点，设m ()22g m m m =-++，结合二次函数的性质，得到()max 94g m =和()02g =，即可求解.【详解】因为函数()f x 是[)0,∞+的单调函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，都有()2f f x ⎡-=⎣，所以()f x 为定值，设()t f x =，可得()f x t =，又由()2f t =2t +=，解得1t =或2t =-（舍去），所以()1f x =，则方程()2f x x k +=+1x k =+，即1x k +-=，则关于x 的方程()2f x x k +=+1x k =-，即函数y x =和1y k =-有两个交点，设m 22x m +=，即22x m =-且0m ≥，可得()22g m m m =-++，当1[0,]2m ∈时，函数()g m 单调递增；当1[,)2m ∈+∞时，函数()g m 单调递减，所以()max 19(24g m g ==，且()02g =，当x →+∞时，()g m →-∞，要使得方程()2f x x k +=+恰有两个实数根，可得9214k ≤-<，解得1334k ≤<，即实数k 的取值范围为133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.R x ∀∈，0x x +≥B.“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件C.“0ab ≠”是“220a b +≠”的充要条件D.“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件【答案】ABD【分析】按x 分类讨论去绝对值判断选项A ；先求得不等式2a a >的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B ；先将0ab ≠和220a b +≠化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C ；先将110a b<<化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D.【详解】选项A ：当0x ≥时，20x x x +=≥；当0x <时，00x x +=≥，故有R x ∀∈，0x x +≥.判断正确；选项B ：由2a a >，可得1a >或a<0，则由1a >可得2a a >成立，但由2a a >不能得到1a >.则“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件.判断正确；选项C ：由0ab ≠可得0a ≠且0b ≠；由220a b +≠可得0a ≠或0b ≠；则“0ab ≠”是“220a b +≠”的充分不必要条件.判断错误；选项D ：由110a b<<可得0a b >>，则“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件.判断正确.故选：ABD10.已知()221x x af x +=-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞D.()3xf f >的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据奇函数的定义分析求解；对于B ：利用分离常数法结合指数函数单调性分析判断；对于B ：根据指数函数值域结合不等式性质分析判断；对于D ：根据()f x 的单调性分析求解.【详解】令210x -≠，解得0x ≠，可知()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，因为()221x x af x +=-是奇函数，则()()()()12122221102121212121----+++⋅++-=+=-==-=-----x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a ，可得1a =，故A 正确；因为()21212121x x xf x +==+--，可知21x y =-在(),0∞-上单调递增，且210x y =-<在(),0∞-上恒成立，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，故B 错误；因为()()211,00,x-∈-+∞ ，则()()1,10,21∈-∞-+∞-U x，即()()2,20,21∈-∞-+∞-U x，可得()()21,11,21+∈-∞-+∞-U x 所以()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；因为3x 均为正数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，由()3xf f >，可得1233<=x，解得12x <，所以()3xf f >的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，故D 正确；故选：ACD.11.若0a >，0b >，且41a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 有最大值116B.+2C.1aa b+有最小值5 D.2216a b +有最小值2【答案】AC 【解析】【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()24111444416a b ab ab +=⨯≤⨯=，当且仅当142a b ==时，等号成立，所以ab 有最大值116，故A 正确；对于选项B：因为24442a b a b a b +=+++++=，当且仅当142a b ==+≤，+，故B 错误；对于选项C ：144115a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+，当且仅当4b aa b =，即123a b ==时，等号成立，所以1aa b+有最小值5，故C 正确；对于选项D ：因为221624a b ab ≥+⨯，则()()2222221616244a bab ab a b +≥++⨯=+，所以()222411622a b a b +≥+=，当且仅当142a b ==时，等号成立，所以2216a b +有最小值12，故D 错误.故选：AC.12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数.对任意,R a b ∈，总有()()()f a b f a f b +=+，()213f -=，且0x <时，()0f x >恒成立.则（）A.()423f =-B.()f x 是偶函数C.()f x 在()0,∞+上单调递减D.122023202320243339f f f ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（注：()1122n n n +++⋅⋅⋅+=）【答案】ACD 【解析】【分析】求得()2f 的值判断选项A ；利用函数奇偶性定义判断选项B ；利用函数单调性定义判断选项C ；求得122023333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值判断选项D.【详解】由对任意,R a b ∈，总有()()()f a b f a f b +=+，令==0a b ，则()()()0000f f f +=+，则()0=0f ，令,a x b x ==-，则()()()f x x f x f x -=+-，则有()()()00f x f x f +-==，故()()f x f x -=-则()f x 是奇函数，故选项B 判断错误；又由()213f -=，可得()213f =-，则()()()()22421111333f f f f ⎛⎫=+=+=-+-=- ⎪⎝⎭，故选项A 判断正确；设任意()12,0,x x ∈+∞，12x x <，则()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，又120x x -<，则()120f x x ->，则()()12f x f x >，则()f x 在()0,∞+上单调递减.故选项C 判断正确；122023122023333333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122023120232024202310123323f f f ++⋅⋅⋅+⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1202310123f ⎛⎫=⨯⋅⎪⎝⎭，又由()111111213333333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得1239f ⎛⎫=-⎪⎝⎭则22023202420231012202310123991f ⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.集合{}0A =，{}0,1,2,3B =，A C B ≠⊆⊂，则符合条件的集合C 的个数为__________.【答案】7【解析】【分析】根据A C B ≠⊆⊂，列举求解.【详解】解：因为集合{}0A =，{}0,1,2,3B =，且A C B ≠⊆⊂，所以集合C 为：{}{}{}{}{}{}{}0,0,1,0,2,0,3,0,1,2,0,1,3,0,2,3，故答案为：714.若关于x 的不等式240x mx -+≥对[]1,4x ∈恒成立，则实数m 的范围是__________.【答案】(],4∞-【解析】【分析】根据题意，分离参数可得4m x x≤+在[]1,4x ∈恒成立，结合基本不等式即可得到结果.【详解】要使不等式240x mx -+≥对[]1,4x ∈恒成立，即4m x x≤+在[]1,4x ∈恒成立，因为44x x +≥=，当且仅当4x x =时，即2x =时取等号，所以4m ≤，即实数m 的范围是(],4∞-.故答案为：(],4∞-15.已知a ，0b >且3ab a b =++，则a b +的取值范围为________.【答案】[)6,+∞【解析】【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可.【详解】由题意,0a b >，且232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ab a b =⎧⎨=++⎩时，即3a b ==时等号成立，令0t a b =+>，则上式为：232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即24120t t --≥，解得6t ≥或2t ≤-（舍），所以a b +的取值范围为[)6,+∞.故答案为：[)6,+∞.16.已知函数()12,012,02x x x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩若存在实数k ，使得方程()f x k =有4个不同实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则k 的取值范围是_________；121234222x x x x x x +⋅+的值为__________.【答案】①.(]0,1②.14##0.25【解析】【分析】结合函数图像，即可求出k 的取值范围；12,x x 是方程122x k -=的两根，则可求得1211422x x +=，即112221224x x x x +=+，3x ，4x 是方程12x k x +-=的两个根，化简结合韦达定理得341x x =，进而可求121234222x x x x x x +⋅+的值.【详解】由()12,012,02xx x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，即()12,012,10212,12x x x x x f x x x ⎧+->⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-≤-⎪⎩由结合()f x 图象可知k 的取值范围是(]0,1，12,x x 是方程122x k -=的两根，即12112222x x k -=-=，故1211422x x +=，即112221224x x x x +=+，由题意得3x ，4x 是方程12x k x+-=的两个根，即方程()2210x k x -++=的两个根，所以341x x =，则12123421112244x x x x x x +⋅=⋅=+故答案为：(]0,1，14.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算：()1202321270.3 1.548--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若11223x x-+=，求3317x x x x --+++的值.【答案】（1）12-；（2）23【解析】【分析】（1）进行指数式运算可得；（2）将11223x x-+=两边同时平方可得到1x x -+的值，再将1x x -+平方可求出22x x -+的值，再用立方和公式将33x x -+分解，代入1x x -+、22x x -+的值，即可求出3317x x x x --+++的值.【详解】（1）原式232223133133112222222----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）因为11223x x-+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x x x x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x xx x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.18.已知全集为R ，集合{}211A x m x m =-≤≤+，322B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭.（1）若12m =，求()R A B ð；（2）若x B ∀∈R ð，x A ∈R ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）102x x ⎧⎫≤<⎨⎩⎭（2）314m ≤<或m>2【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合B ，再根据补集与交集的运算即可得；（2）由题意知A B ⊆，所以A =∅或A ≠∅，求出取值范围.【小问1详解】若12m =，则302A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，由322x -≥，解得122x ≤<，则122B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，则122B x x x ⎧⎫=<≥⎨⎬⎩⎭R 或ð，则()R 102A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭ð.【小问2详解】由题意知A B ⊆，当211m m ->+，即>2m 时，A =∅，符合题意；当211m m -≤+，即2m ≤时，A ≠∅，要满足A B ⊆，可得121122m m ≤-≤+<，解得314m ≤<，综上，实数m 的取值范围为314m ≤<或>2m .19.已知函数()24ax bf x x +=+是定义在()2,2-上的奇函数，且()115f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在()2,2-上的单调性，并用定义证明.【答案】（1）()24xf x x =+（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义()2,2-奇函数特征，()00f =，求出b 的值，又()115f =，求出a 的值，得到()f x 的解析式，并检验.（2）利用定义法证明函数单调性.【小问1详解】函数24ax bx ++是定义在()2,2-上的奇函数，则()00f =，即有0b =，且()115f =，则1145a =+，解得1a =，则函数()f x 的解析式：()24xf x x =+，22x -<<，经检验，()f x 是奇函数.【小问2详解】证明：设22m n -<<<，则()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++，由于22m n -<<<，则0m n -<，4mn <，即40mn ->，又()()22440m n ++>，则有()()0f m f n -<，则()f x 在()2,2-上是增函数.20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元)（1）写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩；（2）4千克，480元﹒【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值即可．【小问1详解】依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，∴()27530225,0275030,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩．【小问2详解】当02x ≤≤时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =，()f x ∴在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x ∴在[]0,2上的最大值为()2465f =．当25x <≤时，()25780301780304801f x x x ⎛⎫=-++≤-⨯= ⎪+⎝⎭，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．∵465480<，∴当4x =时，()max 480f x =．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．21.我们知道，函数()y f x =的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象是关于点(),P a b 的中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.（1）求函数()()121xf x x =∈+R 的对称中心；（2）函数()1g x m x=+，若对任意[]15,6x ∈，都存在[]20,2x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2213,,353010⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】【分析】（1）构造函数()()h x f x a b =+-，由()()0h x h x -+=列方程组，从而求得对称中心.（2）先求得()f x 在区间[]0,2上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得m 的取值范围.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(),a b ，则()()121x a h x f x a b b +=+-=-+的图象关于原点中心对称，因为()h x 的定义域为R ，所以()()1102121x ax ah x h x b b -++-+=-+-=++恒成立，即()()2122222220x ax a a b b b +-+-++--⋅=恒成立，所以212022220ab b b -=⎧⎨--⋅=⎩，解得012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】函数()()121xf x x =∈+R 在区间[]0,2上单调递减，其在区间[]0,2上值域为11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由题可知[]15,6x ∀∈，()111,52g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()1152g x ≤≤对[]5,6x ∈恒成立.由11152m x ≤+≤得11152m x ≤+≤或11125m x -≤+≤-；即111152m x x -≤≤-或111125m x x --≤≤--对[]5,6x ∈恒成立，所以133010m ≤≤或2235m -≤≤-，故m 的取值范围为2213,,353010⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【点睛】判断一个函数是否是奇函数，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后利用定义：()()f x f x -=-，或()()0f x f x -+=来确定函数是否是奇函数.对于存在性、恒成立问题，可以转化为值域问题来进行求解.22.已知函数()()1f x x m x =+，m ∈R .（1）若1m =-，写出函数()f x 在[]1,1-上的单调区间，并求()f x 在[]1,1-内的最小值；（2）设关于对x 的不等式()()f x m f x -<的解集为A ，且[]1,1A -⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，在区间11,22⎡⎤-⎢⎣⎦递增；最小值为14-（2）m <或0m >【解析】【分析】（1）先求得()f x 的解析式，然后求得()f x 的单调区间，并求得最值.（2）对m 进行分类讨论，根据不等式()()f x m f x -<的解集以及[]1,1A -⊆，列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】若1m =-，则()()22,0,1,0,x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-=⎨+<⎩()f x 在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增；()10f =，1124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x 在[]1,1-的最小值为14-.【小问2详解】由题可知()()f x m f x -<在区间[]1,1-恒成立，显然0m ≠，且()()1f x x m x =+为R 上的奇函数，①当0m >时，()f x 为R 上的增函数，此时恒有()()f x m f x -<，符合题意；②当0m <时，令0x =得：()()0f m f -<，所以()10m m m --+<，解得：1m <-，或者0m >（舍去）.（i ）[)1,0x ∈-时，()()1f x x mx =-+，()()()2f x m m x m x m -=-+-，()()()()()22231220f x m f x m x m x m x mx mx m x m m --=-+---+=-+-<，又1m <-，所以222210x mx m -+->，令()22221h x x mx m =-+-，则()()2212110h m m m -=++=+>，()2010h m =->，所以当12m<-时，即2m <-时，()0h x >恒成立，当21m -≤<-时，只要21022m mh ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得2m -≤<，所以m <.（ii ）(]0,1x ∈时，()2f x mx x =+，()()2f x m m x m x m -=-+-，∴()()()()()222320f x m f x m x m x m mx x m x m m --=-+--+=-+-<，∴2210mx m -+->，显然恒成立.综上所述，m 的取值范围为m <或0m >.。
云南省曲靖市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣33．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．34．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．25．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．211．若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线，则k的值是．14．计算﹣=．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值X围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f （x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，某某数m的取值X 围．2016-2017学年某某省某某市宣威九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据二倍角的正弦公式将sin15°cos15°化为sin30°，再进行求值．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选B．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求出tanα，根据二倍角求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（1，2），即x=1，y=2，∴tanα=．tan（）==故选：A．3．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】将式子展开计算即可．【解答】解： =1， =4， =1×2×cos120°=﹣1，∴则•（﹣2）=﹣2=1﹣2×（﹣1）=3．故选D．4．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，利用平面向量加法的三角形法及向量的模的几何意义即可求得|﹣|=||=，从而可得答案．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，如图：则|﹣|=|+|=||=，故选：C．5．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；93：向量的模．【分析】由向量的模为，可求出sinα的平方，代入cos2α=1﹣2sin2α 可求出cos2α 的值．【解答】解：∵向量的模为，∴+cos2α=，cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选B．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论．【解答】解：由于y=sinx+cosx=sin（x+），故它的最小正周期为2π，故排除A；由于y=cos4x﹣sin4x=（cos2x﹣sin2x）•（cos2x+sin2x）=cos2x，故它的最小正周期为π，且它是偶函数，故B满足条件；由于y=cos|x|=cosx，它的最小正周期为2π，故排除C；由于y==•tan2x，故该函数为奇函数，不满足条件，故排除D，故选：B．7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形法则得出结论．【解答】解： ====．故选C．8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由函数奇偶性的性质排除A，C，然后根据当x取无穷小的正数时，函数小于0得答案．【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，故选：D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象对称性，诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，故有f （π）=cos（2π+θ）=0，故有θ=kπ+，k∈Z，∴θ=，f（x）=﹣sin2x．在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，故当2x=﹣时，f（x）取得最小值是﹣1，故选：B．10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得•=，•=（+）•（﹣）=﹣2，及||=1，于是可求在上的投影==﹣2．【解答】解：∵向量，的夹角为，||=1，||=，∴•=||||cos=1××=，又=+， =﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣=1﹣3=﹣2，又=﹣2•+=1﹣2×1××+3=1，∴||=1，∴在上的投影为==﹣2，故选：C．11．若直线x cosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解．【解答】解：直线xcosα+ysinα﹣1=0，圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=，可知圆心为（1，sinα）．半径r=．圆心到直线的距离d=．可得：cos2a﹣cosα±=0，∵α为锐角，∴cosα=．∴sinα=．那么斜率k==﹣．故选：A．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得a=f（sin）=f（﹣sin），b=f（﹣cos），结合函数的奇偶性可得a=f（sin），b=f（cos），结合三角函数的定义分析可得0＜cos＜sin＜1＜tan，结合函数的奇偶性即可得答案．【解答】解：根据题意，sin=sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，则有c＞a＞b；故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线，则k的值是．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】2+k与k+共线，可得存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，根据平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵2+k与k+共线，∴存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，∴2=λk，k=λ，解得k=．故答案为：．14．计算﹣=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】将切化弦，通分，利用和与差公式换化角度相同，可得答案．【解答】解：由﹣====．故答案为：．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：把函数y=sinx+cosx=2sin（x+）的图象向左平移φ＞0个单位，所得的图象对应的函数的解析式为y=2sin（x++φ），再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，则m的最小值为，故答案为：．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值X围是[﹣3，]．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角，诱导公式化简，转化为二次函数即可求y的取值X围．【解答】解：函数y=cos2x+2cos（x+）=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2（sin2x+sinx+）+=﹣2（sinx+）2．当sinx=时，y可取得最大值为．当sinx=1时，y可取得最小值为sinx==﹣3．则y的取值X围是[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，si nφ+2），利用•=，可得cosφ+sinφ=，两边平方即可得出．（II）由|+|=，可得=，化为：cosφ=，0＜φ＜π．解答φ．利用cosθ=，即可得出．【解答】解：（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，sinφ+2），•=，∴cosφ（cosφ+2）+sinφ（sinφ+2）=，∴cosφ+sinφ=，两边平方可得：sin2φ=﹣．（II）∵|+|=，∴=，化为：cosφ=，∵0＜φ＜π．∴φ=．∴C．∴cosθ===﹣，∴θ=．即与的夹角为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方关系求出sinα，sinβ的值，结合两角差的正弦求得sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），结合角的X围求得α+2β的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，∵α，β为锐角，∴sinα=，sinβ=．∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=；（Ⅱ）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=，cos（α+β）==．∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ==．又0＜α+2β＜，∴α+2β=．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．（Ⅱ）函数f（x）≥0，结合三角函数的图象和性质，求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α．化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+cos2x++a=cos2x+sin2x+2+a=2sin（2x+）+2+a．（Ⅰ）∵sin（2x+）的最大值为1，最小值为﹣1．∴4+2a=﹣2，则 a=﹣3．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）﹣1．（Ⅱ）函数f（x）≥0，即2sin（2x+）﹣1≥0．得：sin（2x+）．∴≤2x+≤．k∈Z．解得：kπ≤x≤，故得使得函数f（x）≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤，k∈Z}．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻两条对称轴间的距离为．根据周期公式，可得ω，f（﹣x）=f（x），函数f（x）是偶函数，可得φ．即得f（x）的解析式；（Ⅱ）函数，将f（x）代入化简，求解函数y，结合三角函数的图象和性质，可得单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），化简可得：f（x）=2sin（ωx+φ）（Ⅰ）∵f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数．∴φ=，k∈Z．∵0＜φ＜π∴φ=．相邻两条对称轴间的距离为．即T=．∵T=．∴ω=2．故得f（x）=2f（x）=2sin（2x+）=2cos2x．（Ⅱ）函数，f（x）=2cos2x．∴y=2cos2x+2cos2（x+）=2cos2x﹣2sin2x=﹣2sin（2x﹣）令2x﹣，k∈Z．得：≤x≤∴函数y的单调减区间：[，]，k∈Z．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）切化弦，利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=，其中，转化思想构造出f（θ），即可求解．（Ⅱ）当≤x时，求出内层函数的取值X围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．化简可得：f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）=sin2x+sinxcosx+sin2（x+）=cos2x+sin2x+cos2x═cos2x+sin2x+=sin（2x+）．（Ⅰ）∴f（θ）=sin（2θ+）．∵sinθ+cosθ=，其中，∴1+sin2θ=，即sin2θ=．∴cos2θ=．∴f（θ）=sin（2θ+）=（sin2θ+cos2θ）+=（Ⅱ）当≤x时，可得： 2x+≤．当2x+=时，f（x）取得最大值为=．当2x+=时，f（x）取得最大值为=0．故得当≤x时，函数f（x）的值域为[0，]．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，某某数m的取值X 围．【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由函数的图象经过定点求得φ，由函数的最大值和最小值求出ω，可得函数的解析式．（2）条件即等价于，利用正弦函数的定义域和值域求得函数1﹣的最大值，可得m的X围．【解答】解：（1）角φ的终边经过点，，∵，∴．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3，∴．（2）当时，3x﹣∈[﹣，]，sin（3x﹣）∈[﹣，]，∴，于是，2+f（x）＞0，即mf（x）+2m≥f（x），等价于，由，得的最大值为，所以，实数m的取值X围是．。
高一数学期中测试题(基础)
高一数学（必修1）期中测试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）班级 姓名一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则Q C p U ＝（ ）（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,6,7 （D ）{}1,2,3,4,52．已知集合{}{}|47,|23M x x N x x x =-≤≤=<->或，则M N 为（A ）{}|4237x x x -≤<-<≤或 （B ）{}|4237x x x -<≤-≤<或（C ）{}|23x x x ≤->或 （D ）{}|23x x x <-≥或3. 下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是 （ ）A.y =(x )2B.y =33xC.y =2xD.y =xx 24．函数 x x y 3112-++=的定义域是 （ ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-31,21.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21.C ⎥⎦⎤ ⎝⎛31,21.D 5．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ ） （A ）16 （B ）8 （C ）－8 （D ）8或－86. 在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<7.下列函数是偶函数的是（ ）A. x y =B. 322-=x yC. 21-=xy D. ]1,0[,2∈=x x y 8. 三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）A b c a <<. B.c b a << C. c a b << D.a c b <<9. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A. 01ln 10==与eB. 31log 218218)31(-==-与 C. 3929log 213==与 D. 7717log 17==与10. 当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a x log ==与的图象是（ ）A B C D11.函数652-+-=x x y 的零点是（ ）A. —2 ，3B. 2 ，3C. 2 ，—3D. —2 ， —312.设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根在区间（ ）A.（1, 1.25）B.（1.25, 1.5）C.（1.5, 2）D.不能确定二、填空题（共4小题.每小题4分,共16分.）13、已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，则)9(f = ；14. 若 =+=-x x x 44,1log 43则15．当[]1,1-∈x 时，函数()23-=x x f 的值域为16.1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的年平均增长率为x ℅,2005年底世界人口为y(亿),那么y 与x 的函数关系式为三、解答题（本大共5小题，共74分.）17、已知集合A={}0652=+-x x x ，B={}01=-mx x ，且B B A = ，求由实数m 所构成的集合M ，并写出M 的全部子集。
高一(上学期)期中考试数学试卷
高一（上学期）期中考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{,}A x y =，集合{}22,2B x x =，且A B =，则x =_______ 2．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 坐标是___________3．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(0)f f π+=，则(1)f -=___________．4．方程42log 13x +=的解x =___________．5．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________6．若函数2245y x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数22y x =的图象，则向量a 的坐标为________. 7．在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．设a 是实数，若1x =是x a >的一个充分条件，则a 的取值范围是__________.9．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为__________． 10．已知0,0a b >>，且12223a b +=+，则2a b +的最小值为___________. 11．已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a x x x ≤-的解集为___________． 12．设,x y ∈R ，若|||4||||1|5x x y y +-++-≤，则23x y xy -+的取值范围为___________．二、单选题13．设a 、b 、c 表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，则使得“//a b ”成立的一个充分条件为（ ）A ．a c ⊥，b c ⊥B ．//a α，//b αC ．//a α，b αβ=，a β⊂D ．b α⊥，//c α，a c ⊥ 14．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①D ．①15．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．222a b +≥ D ．2b a a b+= 16．设C ={复数}，R ={实数}，M ={纯虚数}，全集U C =，则下列结论中正确的是（ ）A ．⋃=R M CB ．⋂=∅C R M C ．C C R M ⋂=D ．⋃=C C M R C三、解答题17．设全集为R ，已知301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}223B x a x a =-<<+． (1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．若不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立． （1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg ,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．21．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．参考答案：1．12【分析】根据A ＝B ，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解】解：因为集合A ：{x ，y }，B ：{2x ，2x 2}，且A ＝B ，当x ＝2x 时，x ＝0，此时A ＝{0，0}，B ＝{0，0}，不成立，舍去．所以x ＝2x 2，y ＝2x 解得x 12=或x ＝0（舍）． 当x 12=时，A ＝{12，1}，B ＝{1，12}满足条件． 所以A ＝{12，1}． 故答案为：12【点睛】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．()1,5【分析】根据指数函数的指数为0，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为1()4x f x a -=+，令10x -=，即1x =，所以11(1)45f a -=+=，即函数恒过点()1,5P ； 故答案为：()1,53．π-【分析】利用奇函数的性质有(1)(0)(1)0f f f +=--+，结合已知即可求值.【详解】由题意(0)0f =且()()f x f x -=-，则(1)(0)(1)0f f f π+=--+=，则(1)f π-=-.故答案为：π-.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．故答案为：4．5．()3,2--【分析】设方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，得到0051x <<，进而得到031a <+<，即可求解.【详解】设关于x 的方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，可得0051x <<，所以031a <+<，可得32a -<<，即实数a 的取值范围是()3,2--.故答案为：()3,2--.6．(1,3)--【分析】把函数式2245y x x =-+配方后，根据图象变换知可得．【详解】2245y x x =-+22(1)3x =-+，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得22y x =的图象．①(1,3)a =--．故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##52【分析】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ， 再根据题意求21CC ，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=，222log (1499)log 500C W W =+=， 所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.58．(),1-∞【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{}{}1|x x a ⊆>，由子集的定义求解即可.【详解】解：因为1x =是x a >的一个充分条件，则{}{}1|x x a ⊆>，所以1a <，则a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.9．)21 【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，∴{}n a 数列的各项和为()()22111lim lim =11n n n n q q q S q q →+∞→+∞+-+=--，其中()()1,00,1q ∈-， 又11q -<<且0q ≠，012q ∴<-<且10q -≠，()())2211112122=21111q q q q q q ⎡⎤--++⎣⎦∴==-+-≥---，当且仅当211q q-=-，即1q =∴数列{}n a 的各项和的最小值为)21.故答案为：)21 10．8 【分析】根据0,0a b >>，且12223a b +=+，将2a b +转化为()2224a b a b +=++-()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣，利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，且12223a b +=+， 所以()2224a b a b +=++-，()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣， ()2324244a b a b +⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,24834⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()422a b a b+=+,即1,6a b ==时，等号成立， 所以2a b +的最小值为8，故答案为：811．{|1x x ≥或10}2x ≤< 【分析】讨论0x <、102x ≤<、12x >分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设1(21)02121a a a x x x x x x x ----=≥--，又a 为奇数且0a >，则12,N a k k -=∈， 当0x <时，1210a a x x ---<，210x -<，则021a x x x -<-不满足题设； 当102x ≤<时，021a x x x ≤≤-成立； 当12x >时，不等式等价于1(21)1a x x --≥， 若112x <<时，10,211a x x -<-< ，即1(21)1a x x --<与题设矛盾；若1≥x 时，1,211a x x --≥，满足1(21)1a x x --≥；综上，不等式解集为{|1x x ≥或10}2x ≤<. 故答案为：{|1x x ≥或10}2x ≤< 12．[3,9]-【分析】利用绝对值三角不等式可得|||4||||1|5x x y y +-++-=，即04x ≤≤，01y ≤≤，利用23m x y xy=-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点，讨论3x =或2y =-、3x ≠研究m 的范围即可.【详解】|||4||||4||4|4x x x x x x +-=+-≥+-=，当04x ≤≤时等号成立，|||1||||1||1|1y y y y y y +-=+-≥+-=，当01y ≤≤时等号成立，所以|||4||||1|5x x y y +-++-≥，而|||4||||1|5x x y y +-++-≤，故|||4||||1|5x x y y +-++-=，此时04x ≤≤，01y ≤≤，令23m x y xy =-+中(,)x y ，与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤所表示的区域有公共点，当3x =或2y =-时6m =，而3[0,4]x =∈，故6m =满足；当3x ≠时，由62[0,1]3m y x -=-∈-得：6233m x -≤≤-，而04x ≤≤， 若34x <≤时60m ->，此时23(1)x m x ≤≤-，故69<≤m ；若03x ≤<时60m ->，此时233x m x ≥≥-，故36m -≤<；综上，3m -≤≤9.故答案为：[3,9]-【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得|||4||||1|5x x y y +-++-=确定x 、y 的范围，再将问题转化为23m x y xy =-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点求m 的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A ，由线面平行的性质可判断B ，由线面平行的性质可判断C ，由线面平行垂直的性质可判断D ．【详解】选项A ：当a c ⊥，b c ⊥时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①A 错误，选项B ：当//a α，//b α时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①B 错误，选项C ：由线面平行的性质定理，当//a α，a β⊂，b αβ=时，则//a b ，①C 正确，选项D ：当b α⊥，//c α时，①b c ⊥，①a c ⊥，则//a b 或a 与b 相交或异面，①D 错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以不能构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系； 对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，根据函数的定义，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++，判断函数的单调性，即可判断A ，再根据不等式的性质即可判断BC ，再利用基本不等式即可判断D.【详解】解：令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++， 因为121x y +=+在R 上递增，且1210x ++>，所以函数()f x 在在R 上递减，所以()()202020210f f >>，即0a b >>，所以11a b<， 故A 正确，B 错误； 因为2020202120212022212101,012121a b ++<=<<=<++， 所以222a b +<，故C 错误；因为2b a a b +≥， 当且仅当b a a b=，即a b =时，取等号，又a b >， 所以2b a a b +>，故D 错误. 故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对于任意复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，当0b =时z 为实数，当0b ≠时z 为虚数，当0,0a b =≠时z 为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A 项，并集中还少不是纯虚数的虚数，对于B 项，交集应该为R ，对于C 项，结果应该为虚数集，只有D 项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目. 17．(1){|13}x x <≤；(2)3a >.【分析】(1)解分式不等式可得集合A ，并求出A ，由1a =得集合B ，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由A B =R 可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1) 解不等式：301x x ->+，即(3)(1)0x x -+>，解得：1x <-或3x >，则{|1A x x =<-或3}x >， 因全集为R ，于是得{|13}A x x =-≤≤，当1a =时，{|15}B x x =<<， 所以{|13}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)知，{|13}A x x =-≤≤，因A B =R ，因此有：A B ⊆，于是得21233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得3a >， 所以实数a 的取值范围是：3a >.18．(]4,0-【分析】本题需要对0m =和0m ≠两种情况分别讨论. 当0m =时结论恒成立; 当0m ≠时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当0m =时，10-<成立;当0m ≠时，要使不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立,则二次函数开口向下, 即0m <,且最大值要小于0, 即和x 轴没有交点, 所以240m m ∆=+<, 解得40m -<<; 综上, m 的取值范围为(]4,0m ∈-.19．（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<， 即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20．（1）1()f x M x=∉，答案见解析；（2）3a ⎡∈⎣；（3）证明见解析；01x a =+． 【分析】（1）集合M 中元素的性质，即有()()()0011f x f x f +=+成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据()()()0011f x f x f +=+和对数的运算，求出关于a 的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用()()()0011f x f x f +=+和()22x f x x M =+∈，整理出关于0x 的式子，利用2x y =图象与函数y x=-的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若1(),f x M x=∈在定义域内存在0x ， 则20000111101x x x x =+⇒++=+方程无解，所以1(),f x M x=∉第 11 页 共 11 页 （2）由题意得2()lg 1a f x M x =∈+ 222lg lg +lg (2)22(1)0(+1)112a a a a x ax a x x ∴=⇒-++-=++ 当2a =时，12x =； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解的)(32,35a ⎡∈+⎣综上，3a ⎡∈⎣； （3）函数2()2,x f x x M =+∈001220000(1)()(1)2(1)23x x f x f x f x x +∴+--=++---00100=22(1)22(1),x x x x -⎡⎤+-=+-⎣⎦又函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a则010202(1)0x a a x -+=⇒+-=，其中01x a =+00(1)()(1),f x f x f ∴+=+即2()2x f x x M =+∈．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.6*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.8.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且22c =,则a b c +- 的取值范围为2622⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则abc b ++-(4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122ab bc ++-二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.202416*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.【答案】π2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.【答案】二3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.【答案】()54,4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.【答案】5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.【答案】126*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.【答案】105⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.【答案】18.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.【答案】()2sin x +π（也可化简为2)sin x -9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.【答案】100⎡-+⎣10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.【答案】993,022,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭也算对11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.【答案】4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且2c =,则a b c +-的取值范围为22⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则a b c b ++- (4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122a b b c ++-.【答案】(1)(2)(3)(4)二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 【答案】A14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.2024【答案】B16*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3【答案】B三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.【答案】（1）1712k =（2）k =18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.【答案】（1）,62k x k Z ππ=+∈（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3）526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】(1)()2222221,36f x x cos x sin x π⎛⎫=-+=+-⋅ ⎪⎝⎭ 分令262x k ππ+=π+,得对称轴为直线,62k x k Z ππ=+∈..6分（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（3）由()20f x +=得1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,由于[]130,2,2666x ,x ,πππ⎡⎤∈π+∈⋅⎢⎣⎦分所以7266x ππ+=或116π,故所求解集为5.426,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭分另解:由1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得2266x k ππ+=π-或526k ππ-,得6x k π=π-或,22k ππ- 分而[]0x ,∈π,所以56x π=或2π,所求解集为526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.【答案】（1）55,2A K ==30πω=6πϕ=-（2）y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.【解析】(1)如图,设简车与水面的交点为,M N ，连接OM ,过点P 作PB MN ⊥于点B ,过点O 分别作OD MN ⊥于点,D OC PB ⊥于点C ,则55,2A OM K OD ====.因为筒车转一周需要1分钟,所以26030ππω==,故30MOP t π∠=.在Rt OMD ∆中,12OD sin OMD OM ∠==,所以6COM OMD π∠=∠=,即6πϕ=-.(四个答案各2分)（2）盛水筒P 处于向下运动的状态 (3)分理由如下:553062y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当()734050,30662t ,t ,ππππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭,此时y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.【答案】(1)7AB =(2)()23,03f cos ,π⎡⎤θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦(3)18845x y +=【解析】(1)在AOB ∆中,由余弦定理222249AB OA OB OA OBcos AOB =+-⋅∠=,即7,2AB = 分(2)连接2,03AC ,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,在AOC ∆中,由正弦定理2OA R sin OCA =∠,则33,2214OA sin OCA R ∠== 分又02OCA ,π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则1314cos OCA ∠==,于是()33131414sin OAC sin OCA sin OCA cos cos OCA sin cos sin ∠=∠+θ=∠⋅θ+∠⋅θ=θ+θ则由正弦定理得132314OC Rsin OAC sin cos ⎫=∠=θ+θ=θ+θ⎪⎪⎝⎭ .所以()23,0.63OC f cos ,π⎡⎤=θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦ 分（定义域1分，注意格式）另解:()13222,0143OC Rsin OAC Rsin B arccos ,π⎛⎫⎡⎤=∠=π-θ-=θ+θ∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（3）设AB 与OC 交于点D ,当OC 为直径时,2OAC π∠=,此时13,214sin cos OCA cos sin OCA θ=∠=θ=∠= 分又由正弦定理可得5311,.21414OB sin BAO cos BAO R ∠==∠==于是()47,449sin ADO sin BAO sin cos BAO cos sin BAO ∠=θ+∠=θ⋅∠+θ⋅∠= 分因此由正弦定理得,694OA OD sin BAO sin ODA =⋅∠=∠ 分而由向量的共线定理可得存在()01,λ∈,使得()1OD OA OB =λ+-λ,且2R OC ODOD=⋅ 故()221881,.845R R OC xOA yOB OA OB x y OD OD ⎡⎤=+=λ+-λ+==⎣⎦分另解:22159,25,2OA OB OA OB ==⋅=- .由于此时22,OA AC xOA yOB OA OC OA OA ⊥+⋅=⋅= ,得1599,42x y -= 分同理,由OB BC ⊥得,22xOA OB yOB OC OB OB ⋅+=⋅= ,得1525252x y -+=.解得()2226915x,y ,⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此188.845x y += 分21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.【答案】（1）是（2）()1272g T =π（3）见解析【解析】(1)()4422x x sin x cos sin x cos +π⎛⎫⎛⎫+π+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2xy x cos =+是正弦周期函数.……过程、结论各2分（2）由()()()021sing x T sing T sing T +===，故()()02,22,222g x T m g T t m t Z ππ+=π+=π+∈ 、、分则由02T x T T <+<,且()y g x =严格增,得其中整数3,4m t ≥≥,下证4t =.若不然,5t ≥,则()2122g T π≥,由()y g x =的值域为R 知,存在()1212,2,x x T ,T x x ∈≠使得()1132g x π=,()2172g x π=,则()()()()1212121,0sing x sing x sing x T sing x T x T x T T ==-=-=<-<-<由()()()()()()121290,122g g x T g x T g T sing x T sing x T ππ=<-<-<=-=-=得120x T x T x -=-=,这与12x x ≠矛盾..4 分17π因此综上所述,()2,6217g T =π分（3）假设()y h x =不是周期函数,则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立.特别地,1A ≠.因为()()h x T h x +=不恒成立,所以存在0x R ∈,使得()()00h x T h x +≠.......反证法2分因为()()011A ,,∈⋃+∞,所以存在n Z ∈,使得()01n A h x <且()01n A h x T +<.其中若1A >,取n 为负整数;若01A <<,取A 为正整数..5 分此时,由正弦周期性得()()()()00sin h x na T sin h x na ++=+,即()()()()00n n sin A h x T sin A h x +=,综上,()y h x =是周期函数.另解:若1A =,则由()()h x a h x +=可知()y h x =为周期函数.2 分若01A <<,则对任意0x R ∈,存在正整数n ,使得()01n A h x ≤且()01n A h x T +≤.此时,()()()()()()()()0000n n sin A h x T sin h x na T sin h x na sin A h x +=++=+=.若1A >，则同理可证（取n 为负整数即可）..8 分综上,得证.。
华师大二附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题及答案
华师大二附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题（时间90分钟 满分100分 命题人：郑同 审核人：龚杰曾）一、填空题（每小题3分，共36分）１、扇形的半径为cm 1，圆心角为2弧度，则扇形的面积为________2cm ．2、已知角α的终边过点()12,5--P ，则=αcos ______．3、已知),2(,41)sin(ππααπ∈=-，则=α2sin _________. 4、已知α是锐角，则=+)tan 1(log 2cos αα ．5、化简：=--⋅+-⋅+-)2sin()cos()2sin()2cot()tan()sin(απααπαπαπαπ ． 6、若α是第三象限角，且1312)cos(sin cos )sin(-=+-+βαβββα，则=2tan α ． 7、在ABC ∆中，32,3,1π=∠==C c b ，则=∆ABC S ． 8、隔河测算B A ,两目标的距离，在岸边取D C ,两点，测得m CD 200=，︒=∠105ADC ，︒=∠15BDC ，︒=∠120BCD ，︒=∠30ACD ，则B A ,间的距离 m ．9、定义bc ad d c b a -=，则函数)(sin 1cos 4sin )(R x xx x x f ∈-=的值域为 ． 10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =的图像交于点2P ,则线段21P P 的长为____ ．11、已知函数12)(2+-=ax x x f ，存在)2,4(ππϕ∈，使得)(cos )(sin ϕϕf f =，则实数a 的取值范围是 ．12、设函数]),[(42cos 322sin 3cos 1224)(4234ππ-∈+++-+-=x x x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M __ __．二、选择题（每小题4分，共16分）13、已知k Z ∈，下列各组角的集合中，终边相同的角是 （ ）A ．2k π 与 2k ππ± B ．2k ππ+与4k ππ± C ．6k ππ+ 与26k ππ± D ．3k π 与 3k ππ+14、在ABC ∆中，若A B B A sin sin cos cos >，则此三角形一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定15、给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =16、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在]2,3[--上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，且βα<，则下列不等式关系中正确的是 （ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<三、解答题（本大题共48分）17、（本题6分）若2tan 1tan 1=+-A A ，求)4cot(A +π的值．18、（本题8分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （1）求ABC ∆的周长；（2）求()C A -cos 的值.19、（本题10分）已知函数()f x =223sin cos 2cos 1()x x x x R +-∈．(1)求函数()f x 的最小正周期及在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； (2)若06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．20、（本题10分）如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交与点A ,与钝角α的终边OB 交于点),(B B y x B ，设BAO β∠=.（1）用β表示；（2）如果4sin 5β=,求点),(B B y x B 的坐标； （3）求B B y x -的最小值.21、（本题14分）已知函数)1,0(112log )(≠>+--=a a x mx m x f a 是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合.（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）当1>a ，试判断函数)(x f y =的定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当),[b a A x =∈（A ⊂≠B ，a 是底数）时，函数)(x f 为),1[+∞，求实数b a ,的值．参考答案一、填空题（每小题3分，共42分）１、扇形的半径为cm 1，圆心角为2弧度，则扇形的面积为____１____2cm ．2、已知角α的终边过点()12,5--P ，则=αcos __135-____． 3、已知),2(,41)sin(ππααπ∈=-，则=α2sin ___815-______. 4、已知α是锐角，则=+)tan 1(log 2cos αα 2- ．5、化简：=--⋅+-⋅+-)2sin()cos()2sin()2cot()tan()sin(απααπαπαπαπ 1- ． 6、若α是第三象限角，且1312)cos(sin cos )sin(-=+-+βαβββα，则=2tan α 23- ． 7、在ABC ∆中，32,3,1π=∠==C c b ，则=∆ABC S 43 ． 8、隔河测算B A ,两目标的距离，在岸边取D C ,两点，测得m CD 200=，︒=∠105ADC ，︒=∠15BDC ，︒=∠120BCD ，︒=∠30ACD ，则B A ,间的距离 2200 m ．9、定义bc ad d c b a -=，则函数)(sin 1cos 4sin )(R x xx x x f ∈-=的值域为 ]4,4[- ． 10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =的图像交于点2P ,则线段21P P 的长为___32_ ． 11、已知函数12)(2+-=ax x x f ，存在)2,4(ππϕ∈，使得)(cos )(sin ϕϕf f =，则实数a 的取值范围是 )22,2( ．12、设函数]),[(42cos 322sin 3cos 1224)(4234ππ-∈+++-+-=x x x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 4 ．二、选择题（每小题4分，共16分） 13、已知k Z ∈，下列各组角的集合中，终边相同的角是 （ Ｂ ）A ．2k π 与 2k ππ± B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+ 与26k ππ±D ．3k π 与 3k ππ+ 14、在ABC ∆中，若A B B A sin sin cos cos >，则此三角形一定是 （ A ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．形状不确定15、给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ Ｂ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =16、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在]2,3[--上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，且βα<，则下列不等式关系中正确的是 （ Ｂ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ． (cos )(cos )f f αβ>C ．(cos )(cos )f f αβ<D ．(sin )(cos )f f αβ<三、解答题（本大题共48分）与钝角 的终边OB 交于点),(B B y x B .21（本题14分）已知函数)1,0(112log )(≠>+--=a a x mx m x f a 是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合.（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）当1>a ，试判断函数)(x f y =的定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当),[b a A x =∈（A ⊂≠D ，a 是底数）时，函数)(x f 为),1[+∞，求实数b a ,的值．。
南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。
泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(原卷版)
14. 幂函数 f x m2 m 1 x2m1 在 0, 上为减函数，则实数 m 的值为__________.
15. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x 1，则 f 1 ______.
ax 2, x 2
16.
命题 P :
f
x 2ax2
D. x 3 x 5
1
D.
4
A. f x x0 与 g x 1
B. f x x2 与 g x x3
x
C. f x x 1 x 1 与 g x x 1 x 1
D. f x x 2 与 g x (x 2)2
5. 已知 x x1 4 ，则 x2 x2 等于（ ）
20. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f x x2 2x ，
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（1）现已画出函数 f x 在 y 轴左侧的图象，请将函数 f x 的图象补充完整，并写出函数 f x x R 的
解析式和单调减区间；
（2）若函数 g x f x 4ax 3 x 1, 2，求函数 g x 的最大值.
是一个无理数），则 a,b, c 的大小关系为（ ）
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. c b a
二，多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
（2）求当 2023 年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x0 ，且 x0 0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱偶 函数”.若在定义域内存在实数 x0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱奇函数”. （1）判断函数 f x ex 1 是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)
杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。
莆田四中高一(集合与函数)月考试卷
莆田四中2011-2012学年度高一第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）命题人：翁建新 审核人：朱曙东 2011.10.9 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1. .图中阴影部分表示的集合是( )A. A ∩(C U B)B. (C U A)∩BC. C U (A ∩B)D. C U (A ∪B)2．下列四组中的函数()()f x g x 、，表示同一个函数的是( )A ． 0()1,()f x g x x == B. 2()1,()1x f x x g x x=-=-C. 24(),()f x x g x == D.3(),()f x x g x ==3已知{}1+==x y y M ，{}1),(2-==x y y x N ，则N M I 中的元素个数是（ ） A. 0 B. 1 C.2 D. 无穷多个4．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20112011b a+的值为( ) A. 0 B. 1 C.-1 D. 1或1-5．设f 、g 都是由A 到B 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f映射g则与)]1([g f 相同的是（ ）A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([f gD ．)]4([f g6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137. 若y =x 2+(2a －1)x +1在（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是 ( )A.),23[+∞-B.]23,(--∞ C.),23[+∞ D.]23,(-∞8. 若偶函数()y f x =在[5,3]--上是减函数，且有最大值6，则()f x 在[3,5]上 ( )A. 是增函数且图象过点(3,6)B. 是减函数且图象过点(3,6)C. 是增函数且图象过点(5,6)D. 是减函数且图象过点(5,6)9. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的三个函数，如下定义两个函数(f ∘g )(x )和(f ·g )(x )：对任意x ∈R ，(f ∘g )(x )＝f (g (x ))；(f ·g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是( )A ．((f ∘g )·h )(x )＝((f ·h )∘(g ·h ))(x )B ．((f ·g )∘h )(x )＝((f ∘h )·(g ∘h ))(x )C ．((f ∘g )∘h )(x )＝((f ∘h )∘(g ∘h ))(x )D ．((f ·g )·h )(x )＝((f ·h )·(g ·h ))(x )二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）11. 集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(∁U T ) =___ _； 12．函数1xy x-=的定义域为__ _； 13.已知函数⎩⎨⎧-≤+=)0(,2)0(,1)(2φx x x x x f ，若10)(=x f ，则x 的值为___ _；14．莆田四中高一某班共30人.其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ___ _；15.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]， 即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]； ②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④若a －b ∈[0]，则“整数a ，b 属于同一‘类’”．其中，正确结论的是 .三、解答题（本题共6小题，满分80分）16. （本小题满分13分）已知集合A={}71<≤x x ，B={x|2<x<10}，C={x|x<a }，全集为实数集R ． （1）求A ∪B ，(C R A)∩B ；（2）如果A ∩C ≠φ，求a 的取值范围．17. （本小题满分13分） 已知函数2()21f x x =-．（1）用定义证明()f x 在(,0]-∞上是减函数；（2）作出函数()f x 的草图，并写出函数()f x 在[1,2]x ∈-上的最值．18. （本小题满分13分）设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B （1）若{}2=B A I ，求实数a 的值； （2）若A B A =Y ，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆。
第01章 集合与函数的概念章末重难点题型(举一反三)-2019-2020学年高一数学必修一举一反三
姓名，年级：时间：第一章集合与函数的概念章末重难点题型【举一反三系列】【考查角度1 集合中元素的个数】【考情分析】给定一个或多个集合和一些限制条件，求出其中某个特定集合中元素的个数,一般为选择题难度不大。
【考法解读】结合题设条件，利用枚举法列举出所有元素，剔除重复元素即可确定集合中元素的个数.【例1】(2019春•衡水校级月考）已知集合A＝{0，1,2，3}，集合B＝{(x，y)｜x∈A，y ∈A，x≠y，x+y∈A｝,则B中所含元素的个数为( ）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】通过x的取值,确定y的取值，推出B中所含元素的个数．【答案】解：当x＝0时，y＝1，2,3;满足集合B．当x＝1时，y＝0,2；满足集合B．当x＝2时,y＝0，1；满足集合B．当x＝3时，y＝0．满足集合B．共有8个元素．故选:C．【点睛】本题考查集合的基本运算,元素与集合的关系，考查计算能力．【变式1—1】（2019•嘉兴模拟）若集合A＝｛1，2，3｝,B＝｛（x,y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A｝，则集合B中的元素个数为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】通过列举可得x，y∈A的数对共9对,再寻找符合题意的（x，y）,即为集合B中的元素个数．【答案】解：通过列举，可知x,y∈A的数对共9对,即（1，1），(1,2)，(1，3），（2，1），（2，2）,（2,3），(3，1），（3，2），（3，3）共9种，∵B＝｛（x，y)|x+y﹣4＞0，x,y∈A}，∴易得(2，3),（3，2)，（3，3)满足x+y﹣4＞0，∴集合B中的元素个数共3个．故选:D．【点睛】列举题目中的几种不同情况，注意做到不重不漏,考查学生的分析能力，属于基础题．【变式1-2】（2019秋•湖北校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)丨x ∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A｝，则B中所含元素的个数为（）A．6 B．12 C．16 D．20【分析】依题意,x∈A,y∈A，｜x﹣y|∈A，可求得集合B的元素个数,从而可得答案．【答案】解:∵A＝{1，2，3,4，5},B＝{(x,y)|x∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A},∴当｜x﹣y|＝1时，（1，2），（2，3)，（3，4)，（4，5），(2,1），(3，2），(4，3）,（5，4）;当|x﹣y|＝2时，（1，3），（2，4）,（3，5），（3，1)，(4，2)，(5，3）；当|x﹣y|＝3时，(1，4），（2,5）,（4，1)，(5，2），当｜x﹣y|＝4时，(1，5）,（5，1)B＝{（x,y)丨x∈A，y∈A,|x﹣y|∈A｝,中元素的个数是20个．故选：D．【点睛】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查排列组合的应用，考查分析运算能力，属于中档题．【变式1-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知A＝{1,2，3}，B＝{2,3，4,5},D＝｛(x，y）|x∈A∩B,y∈A∪B｝,则D中所含元素个数为（）A．8 B．10 C．16 D．25【分析】求出A与B的交集,确定出x,求出A与B的并集，确定出y，即可确定出D，做出判断．【答案】解：∵A＝{1,2，3｝,B＝{2，3，4,5｝，∴A∩B＝{2,3}，A∪B＝｛1,2，3,4，5｝，∵D＝{(x,y）｜x∈A∩B,y∈A∪B｝，则D中所含元素为（2，1）；（2，2）；（2,3）；(2，4）;（2，5）;（3，1）；（3，2)；（3,3）;（3，4）；（3，5)个数为10．故选：B．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【考查角度2 判断集合间的关系】【考情分析】给定两个集合，考查两个集合间的包含、相等关系，这类试题难度很小，一般为送分题.【考法解读】认真分析两集合中的元素,结合集合间的包含、相等的定义即可获解.【例2】(2019春•和平区校级月考）已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝，N＝｛x｜x ＞0}，则( ）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R【分析】利用集合的子集真子集关系，集合的基本运算可得正确选项．【答案】解：已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝＝｛x|1≤x≤2｝，N＝{x｜x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得:M⊆N，B正确;故选:B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合间的关系，比较基础．【变式2-1】已知集合M＝{x|x＝+,k∈Z｝，N＝｛x｜x＝+，k∈Z｝,则（) A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝∅【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【答案】解：M＝｛x|x＝+，k∈Z}＝{x｜，k∈Z｝,N＝{x|x＝+,k∈Z}＝｛x|,k∈Z}，∵k+2（k∈Z)为整数，而2k+1(k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系判断，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．【变式2-2】（2018秋•安庆期中)下列各组集合中,表示同一集合的是（）A．M＝｛(3,2）}，N＝｛(2,3）｝B．M＝｛3,2｝，N＝{2,3｝C．M＝{（x,y）｜x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1｝D．M＝｛1，2}，N＝｛（1，2）}【分析】根据题意，结合集合相等的意义，即其中的元素完全相同；依次分析选项，A中：M、N都是点集，但(2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，B中:M、N都是数集，都表示2，3两个数,是同一个集合,对于C:M是点集,而N是数集，则M、N是不同的集合，D中：M是数集，N是点集，则M、N是不同的集合,综合可得答案．【答案】解：根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合;对于B:M、N都是数集,都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点,而N是数集,表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合;对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集,则M、N是不同的集合，故不符合；故选：B．【点睛】本题考查集合的概念与集合相等的意义,解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质．【变式2-3】（2018秋•张家口期末）设集合P＝｛y|y＝x2+1），M＝｛x｜y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（)A．M＝P B．P∈M C．M⊊P D．P⊊M【分析】由函数的定义域及值域得:P＝，M＝R，即P⊊M，得解【答案】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝，M＝｛x|y＝x2+1｝＝R，所以P⊊M,故选：D．【点睛】本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题【考查角度3 集合间的运算】【考情分析】给你两个集合，考查两集合间的交、并、补或它们的综合运算的结果，这是高考中考查集合的最常见形式。
高一数学必修一 第一章《集合与函数概念》综合测试题(含答案)
第一章 集合与函数概念综合测试题一、选择题 1．函数y =）1111. (,) . [,) . (,) . (,]2222A B C D +∞+∞-∞-∞2．已知集合A 到B 的映射f ：x→y=2x+1，那么集合A 中元素2在B 中对应的元素是（ ）A ．2B ．6C ．5D ．8 3．设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=<若,A B ⊆则a 的范围是( )A ．2a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤ 4．函数1)2(++=x k y 在实数集上是减函数，则k 的范围是（ ）A ．2-≥kB ．2-≤kC ．2->kD ．2-<k5．全集U ＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A ＝{ 1，5, 8 }, B ={2},则U (C )A B =（ ）A ．∅B ．{ 0,3,6}C ． {2,1,5,8}D ．{0,2,3,6} 6．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．,xy x y x ==B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC．,y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==7．下列函数是奇函数的是（ ）A ．21x y = B ．322+=x y C ．x y = D ．)1,1(,2-∈=x x y 8．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ）A ．是减函数，有最小值0B ．是增函数，有最小值0C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值09．设集合{}22≤≤-=x x M ，{}20≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）10．已知f （x ）=20x π⎧⎪⎨⎪⎩000x x x >=<，则f [ f (-3)]等于 （ ）A ．0B ．πC ．π2D ．9二．填空题11. 已知2(1)f x x-=，则()f x = .14. 已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩，则[(1)]f f = .12. 函数26y x x =-的减区间是 .13．设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π-的大小关系是三、解答题14.设{}{}(),1,05,U U R A x x B x x C A B ==≥=<<求和()U AC B .15.求下列函数的定义域 （1）21)(--=x x x f （2）221)(-++=x x x f16．{}(){}a B B A a x a x x B x x x A 求若集合==-+++==+= 0112,04222的取值范围。
北京一零一2022-2023学年第二学期高一数学期中试题
北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学(本试卷满分120分,考试时间100分钟)命题：高一数学组审稿：贺丽珍一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.sin(−150◦)的值为( )(A)−12(B)12(C)−√32(D)√322.已知tan α=13,则tan 2α=( )(A)38(B)34(C)12(D)13.已知向量a =(1,−2),b =(x ,4),且a ∥b ,则|a −b |等于( )(A)5√3(B)3√5(C)2√5(D)2√24.下列函数中:①f (x )=cos x ·sin x ;②f (x )=cos x +sin x ;③f (x )=sin x cos x;④f (x )=2sin 2x .最小正周期为π的是( )(A)①②(B)②④(C)①③④(D)①②④5.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CE的中点,则# –AF =( )(A)34# –AB +14# –AD(B)14# –AB +34# –AD(C)12# –AB +# –AD(D)34# –AB +12# –AD6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2b cos C ,则△ABC 一定是( )(A)正三角形(B)直角三角形(C)等腰或直角三角形(D)等腰三角形7.已知角α的终边上有一点P (1,3),则sin(π−α)sin(3π2+α)的值为( )(A)3(B)−3(C)1(D)−18.已知实数α,β.“α+β=2k π,k ∈Z ”是”sin(α+β)=sin α+sin β”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件9.石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构,风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径约为86米,总高约100米,匀速旋转一周时间为18分钟,配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素,该摩天轮的示意图如图所示,游客从离地面最近的位置进入座舱,旋转一周后出舱.甲、乙两名同学通过即时交流工具发现,他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中,他们所在的高度之和的最大值约为( )(A)79米(B)157米(C)113米(D)189米10.已知对于任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α−β),设△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A −B +C )=sin(C −A −B )+12,面积S 满足1 S 3,记a ,b ,c为角A ,B ,C 所对的边.给出下列四个结论:①sin A sin B sin C =18;②4 a +b +c sin A +sin B +sin C 4√3;③8 abc 16√2;④ab (a +b )>8.其中正确结论的序号是( )(A)②③(B)①②④(C)①③④(D)①②③④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2022学年江西省景德镇一中高一(18)班下学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年江西省景德镇一中高一（18）班下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则()()11f f '-=（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．12-【答案】C【分析】根据曲线某点处的切线和曲线的关系，以及导数的几何意义求解即可. 【详解】如图所示，直线:l y k x b =⋅+过点()0,1-和()2,0，则1b =-，12k =， 则直线l 为112y x =-. 曲线()y f x =的导数为()f x '，则在1x =处的切线斜率()112f k '==，曲线()y f x =与直线l 的交点为切点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()112f =-则()()1111122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭.故选：C.3．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C ．55D ．510【答案】D【分析】取11A B 的中点Q ，连接,PQ AQ .先证明APQ ∠即异面直线BC 与AP 所成的角或其补角. 在三角形APQ 中，由余弦定理求出异面直线BC 与AP 所成角的余弦值. 【详解】如图，取11A B 的中点Q ，连接,PQ AQ .因为//BC PQ ，所以APQ ∠即异面直线BC 与AP 所成的角或其补角. 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,设12AC CC ==，则22111215,12AP AQ PQ B C ==+===， 在三角形APQ 中，由余弦定理得：()2222225155cos 2251AP QP AQAPQ AP QP+-+-∠===. 故选：D4．已知椭圆222:1(0y C x b b+=>，且1)b ≠与直线:l y x m =+交于M N ，两点，B 为上顶点，若||||BM BN =，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2(0)2，B ．2[1)2， C ．613⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， D ．603⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 【答案】C【分析】由直线方程与椭圆方程联立，结合条件和判别式即求. 【详解】设直线y x m ＝＋与椭圆2221y x b+=的交点为1122()()M x y N x y ，，，， 联立2221,y x m y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22220(1)2b x mx m b ＋＋＋－＝，所以12221m x x b +＋＝-， 221221m b x x b -+＝，()22222222414+10.()()()m b m b b b m ∆=>＝-+--设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为222,11m b m b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为||||BM BN =，所以直线BG 垂直平分线段MN ， 所以直线BG 的方程为y x b ＝－＋，且经过点G ， 可得221b mb +＝21m b b +＋，解得321b b m b +-＝. 因为22+10b m ->，所以2322101b b b b ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭+，解得303b <<， 因为22221b e b a=-=1-，所以613e <<. 故选：C. 5．已知函数()()2cos lg1xf x x x =++，则其图像可能是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除C D 、.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像. 【详解】()f x 的定义域为0x ≠,22cos()()xf x f x-====-所以()f x为奇函数，则C D、排除若0x>,且0x→，则cos1)0,()x x f x→→∴→+∞若0x<,且0x→，则cos1),()x x f x→→-∞∴→-∞f>，(0f-<，011<<，1)0<.故选：A【点睛】判断图像类问题，主要考虑以下几点：函数的定义域；函数的奇偶性；函数的单调性；图像中的特殊值.并且通常用到排除法.6．已知圆锥SO的母线长为面积为（）A．B．24πC．36πD．48π【答案】C【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径r=在Rt AOB 中，利用勾股定理可构造关于圆锥外接球半径R的方程，解方程求得R，根据球的表面积公式即可求得结果.【详解】设圆锥SO的底面半径为r=r=如图，SA是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心B在SO上，连接OA，AB，设圆锥的外接球的半径为R ，则AB SB R ==， 则()()222226222484OS SA OA =--=-，()222AB OA OS SB =+-，即(()22224R R =+-，解得：3R =，∴圆锥的外接球的表面积为24336ππ⨯=. 故选：C.7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，.A 为双曲线的右顶点，若四边形12MF NF 为矩形，且56MAN π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B 7C 21D 13【答案】D【分析】由四边形12MF NF 为矩形→122MN F F c ==，可设以MN 为直径的圆的方程为222x y c +=，设直线MN 的方程为by x a=，联立求出,M N ，进而求出,AM AN ，再对AMN 采用余弦定理即可求解.【详解】因为四边形12MF NF 为矩形，所以122MN F F c ==，（矩形的对角线相等）， 所以以MN 为直径的圆的方程为222x y c +=.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为b y x a =，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，所以(),N a b ，(),M a b --或(),N a b --，(),M a b . 不妨设(),N a b ，(),M a b --，又(),0A a ，所以()22224AM a a b a b =+++()22AN a a b b =-+=.在△AMN 中，56MAN π∠=， 由余弦定理得22252cos6MN AM AN AM AN π=+-⋅，即2222224434c a b b a b b =+++⨯+⨯，则22234b a b =⨯+，所以()222434b a b =+，则2212b a =，所以22113b e a=+=.故选：D【点睛】试题综合考查双曲线的方程与性质，考查考生灵活运用所学知识分析问题､解决问题的能力，体现理性思维､数学探索学科素养. 求解双曲线的离心率的方法：（1）公式法：直接求出a ，c 或找出a ，b ，c 三者中任意两个的关系，代入公式21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2）构造法：由已知条件得出a ，c 关于的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）通过特殊值或者特殊情况求离心率，例如，令1a =，求出相应c 的值，进而求出离心率，能有效简化运算.8．若函数()y f x =在定义域内的图像上的所有点均在直线y t =的下方，则称函数()y f x =为定义域内t 的“下界函数”.若函数()()=2x f x t x e --为定义域内()t t Z ∈的“下界函数”，则t 的最大值减去t 的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】依题意有()f x t <恒成立，即()max f x t <恒成立，利用导数求出函数的最值，即可得到()1max 2t f x e -=-，依题意即12t e t --<，令()12t g t e t -=--，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的草图，即可求出t 的值，从而得解；【详解】解：因为函数()()=2xf x t x e --为定义域内t 的“下界函数”，即有()f x t <恒成立，即()max f x t <恒成立，因为()()()=1x x xf x t x e e e x t '--=---⎡⎤⎣⎦所以当1x t <-时()0f x '>，当1x t >-时()0f x '<，即()f x 在(),1t -∞-上单调递增，在()1,t -+∞上单调递减，所以()()1max 12t f x f t e -=-=-，依题意即12t e t --<，令()12t g t e t -=--，则()11t g t e -'=-，因为()11t g t e -'=-在定义域上单调递增，且()10g '=，所以当1t <时()0g t '<，1t >时()0g t '>，所以()g t 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()20g ->，()10g -<，()20g <，()30g >，()g t 的函数图象如下所示：因为t Z ∈，所以1,0,1,2t =-，所以()max min 213t t -=--= 故选：B 二、多选题9．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A =“中靶”；事件B =“击中环数大于5”；事件C =“击中环数大于1且小于6”；事件D “击中环数大于0且小于6”，则错误的关系是（ ） A ．B 与C 互斥 B ．B 与C 互为对立C ．A 与D 互斥D ．A 与D 互为对立【答案】BCD【分析】根据互斥事件和对立事件的概念即可判断事件B 、C 的关系和事件A 、D 的关系.【详解】由题意知，事件B 、C 不会同时发生，但可能会同时不发生， 所以事件B 与C 为互斥事件，但不是对立事件；事件A 、D 会同时发生，所以事件A 与D 既不互斥也不对对立. 故选：BCD10．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C 表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是（ ）A．事件C发生的概率为110B．事件C发生的频率为110C．事件C发生的概率接近110D．每抽10台电视机，必有1台次品【答案】ACD【分析】根据概率与频率的关系，即概率的意义即可判断.【详解】事件C发生的频率为110，由于只做了一次实验，故不能得到概率为110或概率接近1 10；当然每抽10台电视机，必有1台次品也不一定发生.故B正确，ACD错误.故选：ACD11．已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为89的是（）A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球【答案】ACD【分析】把所有情况列举出来，找到符合要求的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为31279=，不为89；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为89；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为62279=，不为89；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为827，不为89.故选：ACD12．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输的概率是23D．乙不输的概率是12【答案】BCD【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1111236--=，故A 正确；设甲不输为事件A ，则事件A 是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以112()623=+=P A ，故B 错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为16，故C 错误；设乙不输为事件B ，则事件B 是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以115()326=+=P B ，故D 错误；故选：BCD 三、填空题13．已知向量(11)a =，，(34)b =-，，则向量a 在向量b 方向上的投影为______．【答案】15--0.2【分析】根据向量投影公式计算即可.【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为341cos ,55a b a a b b ⋅-===-， 故答案为：15-.14．如图所示的平行四边形ABCD 中，6042BAD AB AD E ∠=︒==，，，为DC 的中点，则AC AE ⋅=____________.【答案】18【分析】先用,AB AD 的线性组合表示出,AC AE ，然后根据向量的数量积运算结合向量模长以及夹角求解出AC AE ⋅的值.【详解】因为E 为DC 中点，所以1,2AC AB AD AE AB AD =+=+， 所以()22113222AC AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭，所以1311642418222AC AE ⋅=⨯+⨯⨯⨯+=，故答案为：18.15．如图，某几何体的平面展开图由4个小等边三角形组合而成，B 为CE 的中点，则在原几何体中AB 与CD 所成角的余弦值为______．【答案】36136 【分析】由题意作出正四面体的直观图，取DE 的中点F ，连接,BF AF ，则ABF ∠为AB 与CD 所成的角，由余弦定理可求得答案【详解】该正四面体的直观图如图所示，取DE 的中点F ，连接,BF AF ，则BF ∥CD ，12BF CD =所以ABF ∠为AB 与CD 所成的角， 设2AC =，则3,1,3AB BF AF ===，所以2223133cos 2623AB BF AF ABF AB BF +-+-∠===⋅, 所以原几何体中AB 与CD 所成角的余弦值为3616．关于函数π()sin 22)n 4(si f x x x =++，有下列命题： ①f (x )的图象关于点π(,0)4对称；②f (x )的图象关于直线π4x =对称； ③f (x )的最大值是3； ④f (x )的最小值是3-.其中所有正确命题的序号是___________. 【答案】②③【分析】对于①，将点π(,0)4的坐标代入验证即可；对于②，求出()2f x π-与()f x 比较，若()()2f x f x π-=则结论成立；对于③④，先对()f x 化简得2ππ()2sin ()2sin()144f x x x =+++-，然后利用二次函数的性质和正弦函数性质可判断【详解】因为)π(430f =≠，所以①错误；sin 22sin πππππ()()()()2224sin 22sin )4(f x x x x x f x -=-+-+=++=，所以②正确； π()sin 22)n 4(si f x x x =++πππππsin 22sin cos22sin 4244[()]()()()4x x x x =++-++++=-22ππππ12sin 2sin 2sin 2sin 44[()]()()44()1x x x x =--+=++++-+，当πsin 41()2x +=-时，f (x )取得最小值32-；当)in(1πs 4x +=时，f (x )取得最大值3，所以③正确，④错误.故答案为：②③. 四、解答题17．“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式式样、内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源、防治水污染、节约用水的意识，为了解活动开展成效，该市的某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70，75]，（75，80]，（80，85]，（85，90]，（90，95]，（95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并求这300名业主评分的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从评分在（90，95]和（95，100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5名业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在（95，100]的概率．【答案】(1)0.040，85；(2)710【分析】(1)根据所有小矩形的面积之和为1，求出a ，再根据中位数的定义求中位数；(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95)的有3人，评分在[]95,100有2人，利用古典概型的概率公式求出事件发生的概率.【详解】(1)第三组的频率为1(0.0200.0250.0300.0350.050)50.200-++++⨯=， 0.2000.0405a ∴== 又第一组的频率为0.02550.125⨯=，第二组的频率为0.03550.175⨯=，第三组的频率为0.200.∴前三组的频率之和为0.1250.1750.2000.500++=， ∴这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95)的人数与评分在[]95,100的人数的比值为3:2.∴采用分层抽样法抽取5人，评分在[90,95)的有3人，评分在[]95,100有2人. 不妨设评分在[90,95)的3人分别为123,,A A A ；评分在[]95,100的2人分别为12,B B ， 则从5人中任选2人的所有可能情况有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种.其中选取的2人中至少有1人的评分在[]95,100的情况有：{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共7种.故这2人中至少有1人的评分在[]95,100的概率为710P =.18．在①222b a c =+；②cos sin a B b A =；③sin cos B B +任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，________，3A π=，b =求ABC 的面积．【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得4B π=，再根据正弦定理，求得512a C π==，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】若选①：因为222b a c =+，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-===又因为(0,)B π∈，可得4B π=，又由3A π=，b =sin 5sin 12b Aa C A B Bππ====--=，则5sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ==+=+=， 所以ABC的面积为11sin 22ABC S ab C ===△. 若选②：因为cos sin a B b A =，由正弦定理，可得sin cos sin sin A B B A =， 又因为(0,)A π∈，可得sin 0A >，所以cos sin B B =，即tan 1B =， 由(0,)B π∈，可得4B π=，又由3A π=，b =sin 5sin 12b Aa C A B Bππ====--=，则5sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ==+=+=， 所以ABC的面积为11sin 22ABC S ab C ===△. 若选③：因为sin cos B B +=)4B π+sin()14B π+=，又因为(0,)B π∈，可得5(,)444B πππ+∈，所以42B ππ+=，所以4B π=， 又由3A π=，b =sin 5sin 12b Aa C A B Bππ====--=，则5sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ==+=+=， 所以ABC的面积为11sin 22ABC S ab C ===△. 19．已知O 为坐标原点，向量1OZ ､2OZ 分别对应复数1z ，2z ，且213(10)i 5z a a =+-+，22(25)()1z a a R ai =+-∈-，若12z z +是实数. (1)求实数a 的值；(2)求以1OZ ､2OZ 为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)3a = (2)118【分析】（1）由已知结合12z z +为实数求得a 的值，（2）求得1OZ 、2OZ 对应的点的坐标，再由12OZ OZ 的值计算夹角的正余弦，则可求面积． 【详解】(1)由213(10)i 5z a a =+-+，得 213(10)i 5z a a =--+，则21232[(10)(25)]i 51z z a a a a +=++-+-+-的虚部为0， 22150a a ∴+-=．解得：5a =-或3a =． 又50a +≠，3a ∴=．(2)由（1）可知13i 8z =+，21i z =-+．13(8OZ =，1)，2(1,1)OZ =-．∴1258OZ OZ =．所以125cos ,OZ OZ =， 所以1211sin ,146OZ OZ =所以以1OZ ､2OZ 为邻边的平行四边形的面积121211sin ,8S OZ OZ OZ OZ =⋅⋅= 20．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()312nn n nnb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n n T λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，231n n a =-；（2）23λ-<<. 【解析】（1）对递推关系两边取倒数得1131n na a +=+，再利用构造等比数列，即可得答案；（2）求出()12231nn n n n b a n n --⋅==，再利用错位相减求和，根据数据的单调性，可求得参数的取值范围； 【详解】（1）由13n n n a a a +=+得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列.所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n na =-. （2）()12231n n nn n b a n n --⋅==，所以0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，211111112(1)22222n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯. 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，所以1242n n n T -+=-， 所以12(1)42nn λ--<-. 令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增， 若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-. 综上所述23λ-<<.【点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系1n n a pa q -=+的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A B ，．(1)若AF BF BF AB -=-，求k 的值；(2)当2p =时，求证：在x 轴的正半轴上，存在唯一的点M ，使得AMB 是以AB 为斜边的直角三角形．【答案】(1)k =± (2)证明见解析.【分析】（1）可设过F 且斜率为k 的直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组，得到212122,py y y y p k+==-.由AF BF BF AB -=-,得到212y y =-.代入212122,py y y y p k+==-即可解得：k =±. （2）设(),0,0,M t t >由△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形,得到()21212120x x t x x t y y -+++=.把121212241,2,4x x x x y y k =+=+=-代入得到关于t 的方程224230t t k ⎛⎫ ⎪⎭-+-=⎝，判断出方程仅有一个正根，即可证明.【详解】(1)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，可设过F 且斜率为k 的直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,A x y B x y ，由222p p y k y xx ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩得2220p y y p k --=， 则212122,py y y y p k+==-. 因为AF BF BF AB -=-,所以AF BF BF AF BF -=--,得2AF BF =,则212y y =-.代入212122,py y y y p k+==-得：28k =，解得：k =±(2)设(),0,0,M t t >若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形,则MA MB ⊥,即·0MA MB =，则()()1122,,0x t y x t y --=⋅,即()21212120x x t x x t y y -+++=.易知直线l 的方程为())1(0y k x k =-≠,与22y px =消去y 可得：()2222220k x k p x k -++=易知,121212241,2, 4.x x x x y y k=+=+=- 因此2241240t t k ⎛⎫ ⎪⎭+⎝-+-=,即224230t t k ⎛⎫ ⎪⎭-+-=⎝，所以2242120k ⎛⎫ ⎪⎝⎭∆=++>,且-3<0因此，方程仅有一个正根，所以在x 轴的正半轴上，存在唯一的点M ，使得AMB 是以AB 为斜边的直角三角形．22．已知()ln (0)f x a x bx c a =++≠有极小值． (1)试判断a b ，的符号，求()f x 的极小值；(2)设()f x 的极小值为m ，求证244ac bm a a -+<．【答案】(1)0b >，0a <，极小值为ln a a f a a c b b ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)证明见解析.【分析】（1）求得函数()f x 的导函数()f x '，结合()f x 有极小值，判断出a ，b 的符号，求得()f x 的极小值.（2）利用作差法，首先化简244ac b m a a -+-为21ln 4a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，然后利用换元法，结合导数，证得21ln 04a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+<⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由此证得不等式244ac b m a a -+<成立.【详解】(1)∵()a a bx b x xf x +=='+，0x >. 又函数()()ln 0f x a x bx c a =++≠有极小值. ∴0b >，0a <，此时由()0a a bx b x xf x +=+=='可得ax b =-，()0,,0a x f x b ⎛⎫'∈-< ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递减，(),,0a x f x b ⎛⎫'∈-+∞> ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增，故()f x 的极小值为ln a a f a a c b b ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由题可知a m f b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴224444ac b a ac b m a f a a b a --⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭22ln ln 44a b a ba a c a c ab a b a⎛⎫⎛⎫=--++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln 4a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 令at b-=，()21ln 4t g t t =+，0t >.则()233112122t g t t t t -'=-=，令()0g t '=，得t =∴()g t 在⎛ ⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增.∴()1ln 02g t g ≥=+>⎝⎭⎝⎭，又0a <， ∴()0ag t <， ∴244ac b m a a-+<.。
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2007年下学期长沙市实验中学高一期中考试数学试题
高 班 姓名 记分
一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分，每小题有且仅有一个答案正确）
1.已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，
那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
)(A A B )(B B A )(C B C A C U U )(D B C A C U U
2．下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）
A 、（1）
B 、（1）、（3）、（4）
C 、（1）、（2）、（3）
D 、（3）、（4） 3．设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） A 、12
a >
B 、12
a <
C 、12
a ≥
D 、12
a ≤
4 . 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）
(A)0 (B)0 或1 (C)1 (D)不能确定 5.已知函数()则，x x x x x f ⎩⎨
⎧>+-≤+=1
,31
,1()=]2[f f （ ）
A.3 B,2 C.1 D.0
6．下面各组函数中为相同函数的是 （ ）
(A)1)(,)1()(2
-=-=
x x g x x f ( B)11)(,1)(2
-+=
-=
x x x g x x f
(C)2
2
)1()(,)1()(-=
-=x x g x x f (D)2
1)(,2
1)(2
2
+-=+-=
x x x g x x x f
7．如果函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5
（1） （2） （3）
（4）
8．函数y=(
2
1)2
x
+1
+2,(x<0)的反函数为（ ）
（A ）y=-
)2(1log
)2(2
1>--x x （B ）)2(1log
)2(2
1>--x x
（C ）y=-)2
52(1log
)2(2
1<
<--x x （D ）y=-)2
52(1log
)2(2
1<
<--x x
9．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为（ ） A. 2400元 B. 900元 Ｃ. 300元 D. 3600元
10．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是
（ ）（年增长率=年增长值/年产值） A ）97年 B ）98年
C ）99年
D ）00年
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
）
11、 集合M={a | a
-56∈N ，且a ∈Z}，用列举法表示集合M=_
12、()⎩⎨⎧>-≤+=,
0,2,0,12x x x x x f 若()10=x f ,则 x= .
13、化指数式N a x
= 为对数式，则=
x .
14、函数x
2y =与函数x
--2
y =的图像关于 对称
15、函数)5lg()(-=x x f 的定义域是
三、解答题:( 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
)
16、(本题满分12分)求值:;2lg 5lg 100lg 20lg 5lg 50lg 2lg -+ 0099
98
97
96
(年）
2004006008001000
（万元）
17.（本小题满分12分）
已知A ={1，2，x 2－5x ＋9}，B ={3，x 2
＋ax ＋a }，如果A ={1，2，3}，2 ∈B ，求实数a 的值.
18.（本小题满分13分）
已知M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}. （Ⅰ）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.
19、（本题满分12分）求函数()5
142
2
-+
-=x x x f 的定义域.
解:
20、（本题满分13分）已知函数()[],5,3,21∈-+=x x
x x f
（1）判断函数的单调性,并证明; （2）求函数和最大值和最小值. 解:
21、（本题满分13分）
如图,已知底角为450的等腰梯形ABCD,底边BC 的长为7,腰长为 22 ,当一条平行于AB 的直线L 从左至右移动时,直线L 把梯形分成两部分,令BF=x,
,并画出大致图象.
解: C
2007年下学期长沙市实验中学高一期中考试
参 考 答 案
一、1、C ；2、B; 3、D ；4、B ；5、B ；6、D ； 7、A; 8、D; 9、C;10、 B ；
二、11.｛4,3,2,-1｝,12. -3. 13．N x a
log =；14.y 轴；15.}{5/>x x
三、
16、 (本题满分12分)
解:原式=2lg 5lg 2)54lg(5lg )225(lg 2lg -⨯+⨯ =2lg 5lg 2)5lg 2lg 2(5lg )2lg 5lg 2(2lg -+++ =2lg 5lg 2)5(lg 5lg 2lg 2)2(lg 5lg 2lg 222-+++ =1)10(lg )5lg 2(lg 22==+
17. 解：由A ={1，2，x 2
－5x ＋9}＝{1，2，3}，知x 2
－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3， 又2 ∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2，当x ＝2时，a =3
2-，当x ＝3时，a =4
7-
.
故a =3
2-
或4
7-
.
18. 解：（Ⅰ）由于M ⊆N ，则21521211a a a a -≥+⎧⎪
≤-⎨⎪-≥+⎩
，解得a ∈Φ.
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a ＋1＞2a －1，有a ＜2；
②当N ≠Φ，则21521211a a a a -≤+⎧⎪
≥-⎨⎪-≥+⎩
，解得2≤a ≤3，
综合①②得a 的取值范围为a ≤3.
19、.{
}
5,,52,25,5<<≤-≤<-
-<x x x x x 或或或
20、.（1）略;
（2）最大值为-2,最小值为-4.
21、 （1）()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<--
≤<=73,4710,30,22
x x x x y
（2）图形如右。