材料力学课件4(10)

纵对称面
平面弯曲—— 变形后轴线在 外力作用面内 对称弯曲—— 外力作用在纵对 称面内，变形后 轴线也在其中
A
对称轴
Me
F1 F2 B
变形后轴线
FB FA
静定梁简图：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
（2）求解弯曲内力
截面法： 外力为平面一般力系
内力上该面内的力与力偶
∑F ∑M
y
=0 =0
m m Fn
Fs M
垂直于杆轴 作用面位于外力所在纵向平面 m M
2qa 2qa2 2qa2
例4-8 吊车梁简化为简支梁，AB=l，两轮对梁的作 用力均为F，CD=a。试求最大弯矩与最大剪力
A F F C D B
解：设AC=x，最大弯矩在C或D处
F FA = (2l − 2 x − a )，M C = FA x l dM C l a = 0 ⇒ 极值，x = − dx 2 4 F a 2 M C = (l − ) ，而M D = M C − Fa 2l 2 F a 2 故M max = (l − ) 2l 2
A B
60°
解: 纯弯曲，曲率半径 ρ ≈
ρ
h2
= 239mm θ y y 正应变 ε = ，正应力 σ = E
L
ρ
σ max = E
ρ
= 352MPa
例4-11 简支梁，受均布力q，梁长L。试求最大正应 力 q
A (1)矩形 截面 y h b z (2)⊥形 y 1 截面 y2 B y z
解：弯矩图
最大剪力在C左侧或D右侧
dFA Fa ≠ 0 ⇒ 极值，x = 0，FA = 2 F − dx l Fa Fa 而FB = ，FS ,max = 2 F − ，x = l相同 l l
l 1 特例：a << l，x ≈ ，M max = Fl 2 2 x = 0，FS ,max = 2 F
— 中间 — 两端
（3）内力变化的规律
y q(x) Fs x F1 F2 M dx M+dM Fs+dFs q
平衡
dFs =q ∑ Fy = Fs − ( Fs + dFs ) + qdx = 0 dx dM dx ∑ M C = M + dM − M − Fs dx − qdx ⋅ 2 = 0 dx = Fs
剪力等于零处弯矩达到极值 积分
M = Wz
≤ [σ ]
max
强度计算的问题：校核、选择截面尺寸、确定许用荷载
注意情况：
中性轴不是对称轴时
σ t max ≠ σ c max , 不宜用Wz
梁材料为脆性材料时， [σ t ] ≠ [σ c ]
z
σ 强度条件分为 σ t max ≤ [σ t ] ， c max ≤ [σ c ]
对于等直梁，若z是对称轴，则仅需考虑 | M |max 若z不是对称轴，则需考虑 Mmax与 Mmin
弯曲截面系数，单位：m3
1
b
bh 3 矩形截面： I z = 12
bh 2 ， Wz = 6
h
o y
z
πD 4 圆截面： I z = 64
πD 3 ， Wz = 32
D
o y
z
（2）梁横力弯曲时横截面上的正应力
剪力 切应力 剪切变形 横截面翘曲 平面假设不成立 横向外力 挤压应力 影响正应变与正应力的分析结果
横截面绕垂直于力偶作用面的轴转动、 保持平面且垂直于轴线 平面假设 上层缩短、下层伸长 中间层长度不变 ——中性层 o1o2 中性轴 z
b ' d ' − bd ( ρ + y )Δθ − Δx y = = 截取微段Δx： 正应变ε = Δx ρ bd
——横截面上点的正应变沿中性轴z方向不变、 沿高度y轴方向线性变化
例4-4 简支梁，集中力偶Me，AC=a，BC= b， AB=L。 试作剪力与弯矩图。
A Me C B
剪力图 弯矩图
b Me L
a Me L
思考：P139- 4-1, 8
Me FS = L Me AC：M = x L Me BC：M = x − Me L 习题4-1(b,c,h)
Me L
练习：P142- 习题4-2(c,h)
例4-9 外伸梁，受均布力q，AD=BE=a，DE =l。 试求a多少时最大弯矩最小 q BE C DA 解：反力 FA= FB = 1 ql，最大弯矩在A、B或C处 2
1 2 1 1 1 2 M A = − qa ，M C = ql ( l − a ) − ql 2 2 2 8 1 2 1 = ql − qla 8 2
3. 梁横截面上的正应力、正应力强度条件
纯弯曲—— Fs = 0 ， M ≠ 0 横力弯曲—— Fs ≠ 0 ， M ≠ 0
（1）梁纯弯曲时横截面上的正应力
弯曲试验 直梁平面内纯弯曲 o Me a c b a' c'd b' d' 变形规律：轴线由直变曲 Me y z x C
ρ Δθ
y b' o1 • Δx o2 d'
内力：
刚架、曲杆——轴力、扭矩、剪力和弯矩 ——轴力、剪力和弯矩
平面刚架与曲杆（外力也作用在该平面内）
内力图：轴力图与剪力图标注正负，弯矩图画在受拉侧
例4-7 BC=a，AB=2a。试作刚架的内力图
B q A C
解：反力 FC=2qa，FAx=−2qa，FAy=−2qa 2qa 轴力：BC段，FN=0 AB段，FN=2qa 剪力：BC段，FS=−2qa AB段，FS=qx 2qa 弯矩：BC段，M＝2qax AB段，M＝2qa2−qx2/2
MC = WZ MB = WZ
(2) ⊥形截面：z轴不对称
M C y1 M C y2 c 截面C拉应力 σ = ，压应力 σ C = Iz Iz M B y2 M B y1 c t 截面B拉应力 σ B = ，压应力 σ B = Iz Iz t t σ t ,max = max{σ C , σ B } 整梁
分析MA、 MC随a变化→ MC=- MA 达到极小 解之得 若使MA/MC =-γ 又如何？
2 −1 3− 2 2 2 a= l，M max = ql 2 8
思考：P139- 4-2, 3, 4, 5, 6 习题4-10, 11, 12 练习：P143- 习题4-3(a, j), 4(c), 14, 15(b, e)
进一步分析表明：
梁的跨高比越大，用纯弯曲正应力公式计算的结果越接近 横力弯曲的正应力 矩形截面简支梁，承受均布荷载 跨高比大于5时，最大正应力的误差小于1%
My σ= Iz
可用于计算横力弯曲的正应力
例4-10 薄钢尺，宽与厚分别为b=25mm，h= 0.8mm， 长L=250mm，两端作用力偶弯成60°圆弧，E= 210GPa 。试求最大正应力
A y (1)矩形 截面 h b z (2)⊥形 y 1 截面 y2 MB F1 C B F2 D y z
解：弯矩图
MC
截面C、B弯矩达到极值MC、MB
(1)矩形截面：z轴对称
截面C最大拉应力等于压应力 σ C ,max 截面B最大拉应力等于压应力 σ B ,max 整梁 σ max = max{σ C ,max , σ B ,max }
1 2 解：反力 FB = 2qa，FA = 0，M A = qa (顺时针) 2
剪力图
qa
C qa
B
AC段：q<0，斜直线，FSC=-qa BC段： q=0，水平直线，B处，集中力，跳跃 BD段： q=0，水平直线，D处，集中力F，跳跃
弯矩图：
1 qa2 2
qa2 C B
A处，集中力偶MA，跳跃。 AC段， q<0，凹向上 抛物线， MC=0， A处极值 BC、BD段：q=0，FS正负，斜直线， B处， FB致尖角。 讨论：P143习题4-5,6,7
ΔFs = ∫ qdx ， ΔM = ∫ Fs dx
x1 x1 x2 x2
q 均布力 剪力图上斜直线 弯矩图上抛物线 无力 剪力图上水平线 弯矩图上直线 F 集中力 Me 集中力偶 剪力图上无变化 弯矩图上有突变 Me 剪力图上有突变 弯矩图上有尖角
例4-5 试作简支梁的内力图
A F C a l F D a B F
qL2 8
中间截面 M max
qL2 = 8
(1)矩形截面：中性轴z对称 上下层 M max 3qL2 σ max = = 2
Wz 4bh
(2) ⊥形截面：中性轴z不对称 上层 σ c ,max 下层 σ t ,max
M max y1 = Iz M max y2 = Iz
思考：截面的合理性
例4-12 外伸梁，C与D处受力F1、F2，AC= BC= L1，BD= L2。试求最大正应力
胡克定律（线弹性）
正应力 σ = Eε = E
y
ρ
M
——横截面上的正应力线性分布 沿中性轴 z 方向不变，在中 性轴上为零，离中性轴越远 越大 空间平行力系σ 的合力偶矩为弯矩 M E ES z FN = ∫ σdA = ∫ ydA = =0
A
σ
o
ρ
A
ρ
中性轴z过形心 EI yz E M y = ∫ σdA × z = ∫ yzdA = =0
o
x
弯矩图
o M
x
图线始终在受拉侧
剪力最大值 | Fs | max ， 弯矩最大值 | M | max
例4-1 悬臂梁，集中力F。试作剪力与弯矩图。
F A x L B
解：截面法 ，内力方程
FS ( x) = − F，M ( x) = − Fx
F A M FS
剪力图
F
弯矩图