数学归纳法证明。PPT课件
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数学归纳法完整版课件
∴当a≤1时，ln(1＋x)≥
ax 1＋x
恒成立(当x＝0时等号成立).
当a>1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，
∴ln(1＋x)≥1a＋xx不恒成立. 综上可知，a的取值范围是(－∞，1].
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；
解 已知f(x)≥ag(x)恒成立， 即 ln(1＋x)≥1a＋xx恒成立. 设 φ(x)＝ln(1＋x)－1a＋xx(x≥0)， 则 φ′(x)＝1＋1 x－1＋a x2＝x＋1＋1－x2a， 当a≤1时，φ′Байду номын сангаасx)≥0(当x＝0，a＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增. 又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
《数学归纳法》课件
《数学归纳法》课件
一、教学内容
本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。具体内容包括：
1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。
2. 数学归纳法的步骤：
(1) 验证当n=1时，命题是否成立；
(2) 假设当n=k时，命题成立；
(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。
二、教学目标
1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学难点与重点
重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
难点：如何运用数学归纳法证明命题。
四、教具与学具准备
教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
五、教学过程
1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。
2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。
3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。
6. 作业设计：
题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
答案：略。
题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。
数学归纳法 课件
[证明] (1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两个区域， 又12×(12＋1＋2)＝2，
∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把 平面分割成了12(k2＋k＋2)个区域．那么当 n＝k＋1 时，k＋1 条直线中的 k 条直线把平面分成了12(k2＋k＋2)个区域，第 k ＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
数学归纳法完整PPT课件
常采用下面的方法来证明他们的正确性这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法用框图标表示就是验证nn时命题成立证明nk1时命题也成立命题对从n开始所有的正整数n都成立例1例1如果是一个等差数列那么对亍一切nn都成立
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
则当n=k+1时，1+3+5…+（2k-1)+[2(k+1)-1]
= k 2 + [2(k+1)-1]
= (k + 1)2
\ 当n=k+1时，等式也成立。
由（1）和（2）知，等式对.任何n Î N * 都成立。
9
练习
一，课本第95页练习1，2。 二，试着归纳本节课所学内容。
.
10
小结
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可； 2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中
.
12
.
13
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
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1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
则当n=k+1时，1+3+5…+（2k-1)+[2(k+1)-1]
= k 2 + [2(k+1)-1]
= (k + 1)2
\ 当n=k+1时，等式也成立。
由（1）和（2）知，等式对.任何n Î N * 都成立。
9
练习
一，课本第95页练习1，2。 二，试着归纳本节课所学内容。
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10
小结
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可； 2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中
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12
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13
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
数学归纳法PPT教学课件
基础步骤是检查等式是否在n=1时成立。
归纳步骤是假设等式在n=k时成立，并基于这个假设证明等式在n=k+1时也成立 。
数学归纳法的分类
第一类数学归纳法
适用于证明一个等式对所有正整数都成立。
第二类数学归纳法
适用于证明一个等式对所有正整数都成立，但需要额外的假设。
数学归纳法的应用
用于证明正整数的 性质。
科学实验
在科学实验中，数学归纳法被 用于总结实验数据，推导出科
学规律。
工程设计
在工程设计中，数学归纳法被 用于优化设计方案，提高工程
效率和质量。
THANKS
谢谢您的观看
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
归纳步骤是假设等式在n=k时成立，并基于这个假设证明等式在n=k+1时也成立 。
数学归纳法的分类
第一类数学归纳法
适用于证明一个等式对所有正整数都成立。
第二类数学归纳法
适用于证明一个等式对所有正整数都成立，但需要额外的假设。
数学归纳法的应用
用于证明正整数的 性质。
科学实验
在科学实验中，数学归纳法被 用于总结实验数据，推导出科
学规律。
工程设计
在工程设计中，数学归纳法被 用于优化设计方案，提高工程
效率和质量。
THANKS
谢谢您的观看
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
《数学归纳法》课件PPT
多米诺骨牌全倒下，需要哪些条件呢？
多米诺骨牌与数学归纳法相似之处
多米诺骨牌
数学归纳法
第一步 第一块骨牌倒下 证明n=1时命题成立
第k块倒下时， 假设n=k时命题成立
第二步
第K+1块也会倒下
证明n=k+1时命题 也成立
结论
骨牌全部倒下
命题对所有正整数 都成立
多米诺骨牌与数学归纳法相似之处
多米诺骨牌
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) ·（2k+1k)+(21k+2)
= 2k·1·3·…· (2k-1) ·(2k+1) ·2 = 2k+1·1·3·…·(2k-1) ·[2(k+1)-1]=右边， 即当n=k+1时等式也成立.
由①②可知，对一切n∈N* ,原等式均成立.
课堂总结
（1）数学归纳法是一种完全 归纳的证明方法，适用于与自然 数有关的数学问题
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
数学归纳法 课件
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
当 n＝2 时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得 a2＝a6.
当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得 a3＝1a2.
(2)猜想：an＝nna＋1(n∈N*) 证明：①当 n＝1 时，由(1)知等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即 ak＝kka＋1，则当 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)， 所以 ak＋1＝k＋1ak＋2＝k＋1[ka＋1＋1]. 即当 n＝k＋1 时，等式成立． 结合①②得 an＝nna＋1对任意 n∈N*均成立．
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
当 n＝2 时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得 a2＝a6.
当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得 a3＝1a2.
(2)猜想：an＝nna＋1(n∈N*) 证明：①当 n＝1 时，由(1)知等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即 ak＝kka＋1，则当 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)， 所以 ak＋1＝k＋1ak＋2＝k＋1[ka＋1＋1]. 即当 n＝k＋1 时，等式成立． 结合①②得 an＝nna＋1对任意 n∈N*均成立．
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
数学归纳法PPT课件
几何级数是一种特殊的数列，其求和公 式也可以通过数学归纳法进行证明。
VS
详细描述
几何级数是一种特殊的数列，其求和公式 可以通过数学归纳法进行证明。通过归纳 法的应用，我们可以证明几何级数的求和 公式，从而在实际应用中直接使用该公式 进行计算。
二项式定理的证明
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一， 其证明过程也可以利用数学归纳法进 行推导。
总结词
数学归纳法在数列求和中的应用广泛，通过归纳法可以证明 数列求和的公式，简化计算过程。
详细描述
在数列求和的过程中，我们经常遇到一些复杂的求和问题， 如等差数列、等比数列等。数学归纳法可以帮助我们证明这 些数列的求和公式，从而在实际计算中直接使用这些公式， 大大简化了计算过程。
几何级数求和
总结词
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
VS
详细描述
几何级数是一种特殊的数列，其求和公式 可以通过数学归纳法进行证明。通过归纳 法的应用，我们可以证明几何级数的求和 公式，从而在实际应用中直接使用该公式 进行计算。
二项式定理的证明
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一， 其证明过程也可以利用数学归纳法进 行推导。
总结词
数学归纳法在数列求和中的应用广泛，通过归纳法可以证明 数列求和的公式，简化计算过程。
详细描述
在数列求和的过程中，我们经常遇到一些复杂的求和问题， 如等差数列、等比数列等。数学归纳法可以帮助我们证明这 些数列的求和公式，从而在实际计算中直接使用这些公式， 大大简化了计算过程。
几何级数求和
总结词
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
数学归纳法ppt课件
A.k2+1 B.（k+1）2
4 2 ( k 1 ) ( k 1 ) C. 2 D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵当n=k时，左边=1+2+3+…+k2，
当n=k+1时，
左边=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2， ∴当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上
那么当n=k+1时，
1 1 1 1 1 2 4 4 6 68 2k (2k 2) 2(k 1)[2(k 1) 2]
k 1 4(k 1) 4(k 1)(k 2) k ( k 2) 1 (k 1) 2 4(k 1)(k 2) 4(k 1)(k 2) k 1 , 4[(k 1) 1]
a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.
（2）假设n=k(k∈N+)时， ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，
则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
即当 = +1时，等式也成立.
∗
由(1)和(2)可知， = + − 对任何 ∈ 都成立.
探究新知
使用前提
用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：
(1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确；
基础性
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
证明: (1)当 =1时,左边= ,右边= +0× = ,命题成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ )时, 等式成立, 即
= + −
那么+ = + = [ + − ] +
归纳假设
目标
= + = + [( + ) − ]
右边= × × + × × + =
= ，等式成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ )时,等式成立,即 + + ⋯ + = + +
那么 + + ⋯ + + +
=
+ + +( + )
∗
由(1)和(2)可知， = + − 对任何 ∈ 都成立.
探究新知
使用前提
用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：
(1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确；
基础性
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥ n0 )时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
证明: (1)当 =1时,左边= ,右边= +0× = ,命题成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ )时, 等式成立, 即
= + −
那么+ = + = [ + − ] +
归纳假设
目标
= + = + [( + ) − ]
右边= × × + × × + =
= ，等式成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ )时,等式成立,即 + + ⋯ + = + +
那么 + + ⋯ + + +
=
+ + +( + )
用数学归纳法证明不等式 课件
若这k 1个正数a1 , a2 , ak , ak1 都相等.则它们都
是1.其和为k 1,命题成立.
请结合下
若这k 1个正数a1 , a2 , ak , ak1
面的证明,
不全相等.则其中必有大于1的数, 回味这样
也有小于1的数(否则与a1a2 ak1 讨论的作
1矛盾).不妨设a1 1, a2 1.
证明 1当n 2时,由于x 0得 1 x2 1 2x x2 1 2x,不等式成立.
2假设当n kk 2时不等式成立,即有 1 xk 1 kx.
当n k 1时,
1 x k1 1 x1 xk 1 x1 kx 1 x kx kx2 1 k 1x.
所以当n k 1时不等式成立.
③
则① ③ 就得到②.
由a1 1, a2 1得a1 1a2 1 0,
即a1 a2 a1a2 1.于是目标得证.这 就是说,当n k 1时命题成立.
由1, 2可知, 对一切正整数n, 如果n
个正数a1, a2, , an的乘积a1a2 an 1, 那么它们的和a1 a2 an n.成立.
例4 证明: 如果nn为正整数个正数a1, a2, , an的乘
积a1a2 an 1,那么它们的和a1 a2 an n.
分析 这是与正整数密切相关的不等式,它的形式 简洁和谐.用数学归纳法证明它时, 应注意利用n 个 正数的乘积为1的条件,并对什么是归纳假设和由它 要递推的目标心中有数.
《数学归纳法》课件
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
PART 04
数学归纳法的注意事项
REPORTING
初始条件的验证
总结词
验证初始条件是数学归纳法的重要步骤，它 确保了递推的基础是正确的。
3
20世纪以来，数学归纳法在数论、组合数学、概 率论等领域得到了广泛的应用，并不断完善和丰 富。
数学归纳法的应用场景
数列问题
数学归纳法在证明数列的性质和 通项公式等方面有广泛应用，如 等差数列、等比数列等。
组合数学问题
组合数学中的很多问题可以通过 数学归纳法进行证明，如排列组 合、二项式定理等。
其他问题
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
二项式定理的证明
总结词
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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三、原理分析
可 以 看,使 出所 有 骨 牌 都 倒 下 件的 有条 两:个
1第一块骨牌倒; 下 2任意相邻的两 ,前块一骨块牌倒下一一 定块 导 倒下 .其中 ,条件 2事实上就是一系 个 :当 递第 k推 块关
倒下,相 时邻的 k第 1块也倒 . 下
只要保 1,2证 成,立 那么所有的以 骨全 牌部 一
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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总结上述过程, 我们用了两个步骤: 第一步, 证明n 1时命题成立,从而奠定了命题成 立的一个起点;第二步,先作归纳假设,然后 证明"由前向后"的递推关系.由这两步保证: 对于从起点向后的所正有整数n N,命题 都成立.
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2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
《数学归纳法》课件ppt
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n＝k时
命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
定理等加以证明
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ） .
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2，
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n＝k时
命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
定理等加以证明
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ） .
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2，
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
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可知不论有多少块骨牌， 都能全部倒下。
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
对于数列an,已知a1=1,an+1=1+ aann(nN*),
猜想其通项公式为an=n 1,怎样证明?
证明：(1)当 n=1时 a1=1成 立
(2)假设n=k时猜想成立即 a k
1
1 k
则n=k+1时,ak+1
ak 1ak
1k1
1 k1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
例:证明凸n边形内角和为 (n2)•180 中，
初始值应该从几取？ 初始值应取3
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
凑假设
= ( 1 k 1) (k1)k (2) 3
=
1(k1)k11k12
3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 nN，命题正确。
2.已知 f(n) 1 1 ... 1 n1 n2 3n1
则f(k1)f(k)
答案 1 ： 1 1 1 3K 23K 33K 4K 1
课堂小结
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用
D. n=4时该命题成立
练习巩固
1.用1 + 数a + 学a 2 归+ . 纳. . + 法a n 证 1= 明：1 1 - - a a n 2a ≠ 1 , n N *
在验证 n=1成立时，左边计算所得的
结果是（ C ） A．1
B. 1 + a
C．1+a+a2
D.1+a+a2+a3
例1.用数学归纳法证明
=k2+(2k+1)=(k+1
所以等式也成立。
)2Βιβλιοθήκη Baidu
综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
练问习题：情境某一个命题当n=k (k∈N )时成立， 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 n=5时该命题不成立，那么可推得（C）
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
n=1时，左边=1，右边=0，左边 =右边 证假明设：n假=k设时n等=k式时成等立式，成即立，即
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k2
当n=k+1时, 代入得
1 3 5 ( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) ( k 1 ) 2 ,
所以等式也成立。 综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
1 2 2 2 3 2 n 2 （ nn 1 （ )2 n 1 ） （ n N ） 6
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
练习.用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
证明:
1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n2(nN*)
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2
当n=k+1时, 代入得
1+1 3 +3 55 + ……+ ( （2 k 2 k1 -) 1 )( +2 k ( 21 k) + 1( k ) 1 ) 2 ,
1 多米诺骨牌游戏的原理 a n n 这个猜想的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k时猜想成立，
（2）若第k块倒下时， 即 则相邻的第k+1块也倒下。
ak
1 k
，则当n=k+1时猜想
1
也成立，即 ak 1 k 1 。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则ak1ak d
a1(k1)dd
凑 假 a1 kd a1(k1)1d
∴当设n=k+1时，结论也成立.
凑结论
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
例2.用数学归纳法证明:
1 ×1×2×3 3
=2.
命题成立
2)假设n=k时命题成立,即
1
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
k(k1)(k2) 3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 . .k ( .k 1 )(k1)k (2)
从n=k到n=k+1有什么变化
＝
1
k(k1)(k2) + 3
(k1)k (2)
2.3数学归纳法(1)
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？
对 问于 题数 列 2:an,已 知 a11， an11 an ann1,2,..
猜 想 其 通 项 公 式
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
an
1 n
有限步骤
考察对象 无限
…
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
已知数列 an,a1=1,an+1=1+ aa nn(nN*),