数学归纳法证明。PPT课件
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4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法完整PPT课件
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
数学归纳法 课件
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出 “n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子 写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核 心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N*) [证明] (1)当 n＝2 时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＞56.
则当 n＝k＋1 时，k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k1＋1＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
…
＋
1 3k
数学归纳法证明。
数学归纳法可 以分为两种： 直接数学归纳 法和间接数学 归纳法。
直接数学归纳 法是假设命题 对某个正整数 成立证明命题 对下一个正整 数也成立。
间接数学归纳 法是假设命题 对某个正整数 不成立证明命 题对下一个正 整数也不成立。
数学归纳法的原理
单击此处添加标题
基本思想：通过证明一个命题对n=1成立然后假设对n=k成立推导出对 n=k+1也成立从而证明命题对一切正整数n都成立。
数学归纳法的应用
证明数学定理：如等差数列、 等比数列的求和公式等
解决数学问题：如求最大公约 数、最小公倍数等
证明数学猜想：如哥德巴赫猜 想、费马大定理等
解决实际问题：如计算π的值、 求解最优化问题等
数学归纳法的证明步骤
初始步骤
归纳步骤
确定命题：明 确要证明的命
题
基础步骤：证 明命题在n=1
时成立
数学归纳法在证明中的应用
证明等式成立
数学归纳法：一种证明数学命题的方法 步骤：假设命题对n成立证明命题对n+1也成立 应用：证明等式、不等式、数列等数学问题 示例：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2
证明不等式成立
数学归纳法：一种证明数学命题的方法通过证明一个命题对某个初始值成立然 后假设对某个值成立证明对下一个值也成立从而证明对所有值都成立。
费马小定理：对于任意正整数n和任意整数如果和n互质那么^n-1可以被n整除。 证明思路：使用数学归纳法假设n=k时命题成立证明n=k+1时命题也成立。 证明过程：首先证明n=1时命题成立然后假设n=k时命题成立证明n=k+1时命题也成立。 结论：通过数学归纳法可以证明费马小定理成立。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
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1 多米诺骨牌游戏的原理 a n n 这个猜想的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k时猜想成立，
（2）若第k块倒下时， 即 则相邻的第k+1块也倒下。
ak
1 k
，则当n=k+1时猜想
1
也成立，即 ak 1 k 1 。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
凑假设
= ( 1 k 1) (k1)k (2) 3
=
1(k1)k11k12
3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 nN，命题正确。
2.已知 f(n) 1 1 ... 1 n1 n2 3n1
则f(k1)Байду номын сангаас(k)
答案 1 ： 1 1 1 3K 23K 33K 4K 1
课堂小结
2.3数学归纳法(1)
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？
对 问于 题数 列 2:an,已 知 a11， an11 an ann1,2,..
猜 想 其 通 项 公 式
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
an
1 n
有限步骤
考察对象 无限
…
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
已知数列 an,a1=1,an+1=1+ aa nn(nN*),
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2
=k2+(2k+1)=(k+1
所以等式也成立。
)2
综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
练问习题：情境某一个命题当n=k (k∈N )时成立， 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 n=5时该命题不成立，那么可推得（C）
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
1 2 2 2 3 2 n 2 （ nn 1 （ )2 n 1 ） （ n N ） 6
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
练习.用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
证明:
1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
n=1时，左边=1，右边=0，左边 =右边 证假明设：n假=k设时n等=k式时成等立式，成即立，即
D. n=4时该命题成立
练习巩固
1.用1 + 数a + 学a 2 归+ . 纳. . + 法a n 证 1= 明：1 1 - - a a n 2a ≠ 1 , n N *
在验证 n=1成立时，左边计算所得的
结果是（ C ） A．1
B. 1 + a
C．1+a+a2
D.1+a+a2+a3
例1.用数学归纳法证明
可知不论有多少块骨牌， 都能全部倒下。
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
对于数列an,已知a1=1,an+1=1+ aann(nN*),
猜想其通项公式为an=n 1,怎样证明?
证明：(1)当 n=1时 a1=1成 立
(2)假设n=k时猜想成立即 a k
1
1 k
则n=k+1时,ak+1
ak 1ak
用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则ak1ak d
a1(k1)dd
凑 假 a1 kd a1(k1)1d
∴当设n=k+1时，结论也成立.
凑结论
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
例2.用数学归纳法证明:
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k2
当n=k+1时, 代入得
1 3 5 ( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) ( k 1 ) 2 ,
所以等式也成立。 综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
1k1
1 k1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
例:证明凸n边形内角和为 (n2)•180 中，
初始值应该从几取？ 初始值应取3
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用
1 ×1×2×3 3
=2.
命题成立
2)假设n=k时命题成立,即
1
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
k(k1)(k2) 3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 . .k ( .k 1 )(k1)k (2)
从n=k到n=k+1有什么变化
＝
1
k(k1)(k2) + 3
(k1)k (2)
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n2(nN*)
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2
当n=k+1时, 代入得
1+1 3 +3 55 + ……+ ( （2 k 2 k1 -) 1 )( +2 k ( 21 k) + 1( k ) 1 ) 2 ,
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k时猜想成立，
（2）若第k块倒下时， 即 则相邻的第k+1块也倒下。
ak
1 k
，则当n=k+1时猜想
1
也成立，即 ak 1 k 1 。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
凑假设
= ( 1 k 1) (k1)k (2) 3
=
1(k1)k11k12
3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 nN，命题正确。
2.已知 f(n) 1 1 ... 1 n1 n2 3n1
则f(k1)Байду номын сангаас(k)
答案 1 ： 1 1 1 3K 23K 33K 4K 1
课堂小结
2.3数学归纳法(1)
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？
对 问于 题数 列 2:an,已 知 a11， an11 an ann1,2,..
猜 想 其 通 项 公 式
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
an
1 n
有限步骤
考察对象 无限
…
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
已知数列 an,a1=1,an+1=1+ aa nn(nN*),
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2
=k2+(2k+1)=(k+1
所以等式也成立。
)2
综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
练问习题：情境某一个命题当n=k (k∈N )时成立， 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 n=5时该命题不成立，那么可推得（C）
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
1 2 2 2 3 2 n 2 （ nn 1 （ )2 n 1 ） （ n N ） 6
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
练习.用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
证明:
1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对 一切正整数n均成立。
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
n=1时，左边=1，右边=0，左边 =右边 证假明设：n假=k设时n等=k式时成等立式，成即立，即
D. n=4时该命题成立
练习巩固
1.用1 + 数a + 学a 2 归+ . 纳. . + 法a n 证 1= 明：1 1 - - a a n 2a ≠ 1 , n N *
在验证 n=1成立时，左边计算所得的
结果是（ C ） A．1
B. 1 + a
C．1+a+a2
D.1+a+a2+a3
例1.用数学归纳法证明
可知不论有多少块骨牌， 都能全部倒下。
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
对于数列an,已知a1=1,an+1=1+ aann(nN*),
猜想其通项公式为an=n 1,怎样证明?
证明：(1)当 n=1时 a1=1成 立
(2)假设n=k时猜想成立即 a k
1
1 k
则n=k+1时,ak+1
ak 1ak
用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则ak1ak d
a1(k1)dd
凑 假 a1 kd a1(k1)1d
∴当设n=k+1时，结论也成立.
凑结论
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
例2.用数学归纳法证明:
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k2
当n=k+1时, 代入得
1 3 5 ( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) ( k 1 ) 2 ,
所以等式也成立。 综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
1k1
1 k1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
例:证明凸n边形内角和为 (n2)•180 中，
初始值应该从几取？ 初始值应取3
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用
1 ×1×2×3 3
=2.
命题成立
2)假设n=k时命题成立,即
1
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
k(k1)(k2) 3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 . .k ( .k 1 )(k1)k (2)
从n=k到n=k+1有什么变化
＝
1
k(k1)(k2) + 3
(k1)k (2)
❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n2(nN*)
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2
当n=k+1时, 代入得
1+1 3 +3 55 + ……+ ( （2 k 2 k1 -) 1 )( +2 k ( 21 k) + 1( k ) 1 ) 2 ,