2004年高考试题全国卷3

2004年高考试题全国卷3
文史类数学试题（人教版旧教材） （内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区）
第I 卷(A)
一、选择题：
（1）设集合(){}
2
2,1,,M x y x
y x R y R =
+=∈∈，(){}
2
,0,,N x y x
y x R y R =
-=∈∈，则集
合M N 中元素的个数为（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4 （2）函数sin
2
x
y =的最小正周期是（ ） A.
2
π
B. π
C. 2π
D. 4π (3) 记函数13x
y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ）
A. 2
B. 2-
C. 3
D. 1-
(4) 等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）
A. 81
B. 120
C.
D. 192
(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）
A.20x -=
B.40x -=
C.40x +=
D.20x +=
(6) 6
1x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）
A. 15
B. 15-
C. 20
D. 20-
(7) 设复数z 的幅角的主值为
23
π2
z =（ ）
A. 2--
B. 2i -
C. 2+
D. 2i
(8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为1
2
y x =±
，则双曲线的离心率e =（ ）
A. 5
B.
C.
D. 54
(9) 不等式113x <+<的解集为（ ）
A.()0,2
B.()()2,02,4-
C.()4,0-
D.()()4,20,2--
(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
(11) 在ABC ∆中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）
A.
B.
C.
3
2
D.(12)4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12 种
B. 24 种 C 36 种 D. 48 种
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
⒀函数y =__________.
⒁用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为2
R
，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为__________. ⒂函数1
sin cos ()2
y x x x R =-
∈的最大值为__________. ⒃设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x -4y -10=0的距离的最小值为__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ⒄（本小题满分12分）解方程4x -2x +2-12=0.
⒅（本小题满分12分）已知α为锐角，且tg α=12，求sin 2cos sin sin 2cos 2ααα
αα
-的值.
⒆（本小题满分12分）设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且2
329S S =,
424S S =，求数列{a n }的通项公式.
⒇（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
(21)(本小题满分12分) 三棱锥P-ABC 中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，P A =PB =PC =3. (1)求证 AB ⊥BC ；
(II)如果 AB=BC=
PBC 与侧面P AC 所成二面角的大小．
C
(22)（本小题满分 14 分）设椭圆
2
211
x y m +=+的两个焦点是 F 1(-c ,0), F 2(c ,0)(c >0)，且椭圆上存在点P ，使得直线 PF 1与直线PF 2垂直．
(I)求实数m 的取值范围．
(II)设l是相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于点Q.
若2
2
||
2
||
QF
PF
=PF2的方
程．
2004年高考试题全国卷3
文史类数学试题（人教版旧教材）
（内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区）
参考答案
一、选择题：
1.B
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.A 8.C 9.D 10.C 11.B 12.C
二、填空题：
14.3:16
16.1
三、解答题：
17.解：设2x=t(t>0)则原方程可化为：t2-4t-12=0
解之得：t=6或t= -2(舍)
∴x=log26=1+log23
∴原方程的解集为{x|x=1+log23}.
18.解：∵
1
2
tgα=,α为锐角
∴cosα=
∴
2
sin2cos sin sin(2cos1)1 sin2cos22sin cos cos22cos4ααααα
αααααα
--
===
19.解：设数列{a n}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得：
21111(33)9(2)464(2)a d a d a d a d ⎧+=+⎨
+=+⎩. 解之得：149
8
9a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 100a d =⎧⎨=⎩（舍） 1484
(1)(1)(21)999
n a a n d n n ∴=+-=
+-⨯=-.
20.解：设温室的长为xm ，则宽为
800
m x
，由已知得蔬菜的种植面积S 为： 8001600
(2)(4)80048S x x x x =--=--+
4008084()648x x =-+≤(当且仅当400
x x
=即x =20时，取“＝”).
故：当温室的长为20m , 宽为40m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648m 2.
21.⑴证明：取AC 中点O , 连结PO 、BO .
∵P A ＝PC ∴PO ⊥AC 又∵侧面P AC ⊥底面ABC ∴PO ⊥底面ABC
又P A ＝PB ＝PC ∴AO ＝BO ＝CO ∴△ABC 为直角三角形 ∴AB ⊥BC
⑵解：作OD ⊥PC 于D , 连结BD
∵AB=BC=
AB ⊥BC,AO=CO ∴BO ⊥AC, 侧面P AC ⊥底面ABC ∴BO ⊥侧面P AC, ∴BD ⊥PC
∴∠BDO 为侧面PBC 与侧面P AC 所成二面角的平面角. ∵AB=BC=
AB ⊥BC,AO=CO ∴
∴PO OC
OD PC
⋅==∴tg ∠
BDO=
BO OD =∴∠BDO=3
π
即侧面PBC 与侧面P AC 所成二面角为
3
π
.
22.解：⑴∵直线PF 1⊥直线PF 2
∴以O 为圆心以c 为半径的圆：x 2+y 2=c 2与
椭圆：
2
211x y m +=+有交点.即222
2211x y c x y m ⎧+=⎪
⎨+=⎪
+⎩
有解
又∵c 2=a 2-b 2=m +1-1=m >0
∴22
21
01m x a m m
-≤=<=+ ∴1m ≥
C
⑵设P (x 0,y 0),Q (x 1,y 1)
∵准线l
的方程为：2a x c ==
∴x 1
. ∵22
00220011
x y m
x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪
+⎩ ∴22
01m x m -=
∵2120||||QF x c PF c x -==- ①
将0x =
22||||QF m PF ==
由题设
22||
2||
QF PF =
，得：2m =.
将0x =
代入①，化简得：22||||QF m PF ==
由题设
22||
2||
QF PF =
，得：2m m =2.
从而002
x y c ==±=得到直线PF 2
的方程为：2)(y x =±。