沪科版九年级 第二十一章 二次函数用待定系数法求
巧用待定系数法求二次函数的解析式
数学篇解法荟萃求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.一、设一般式求函数的解析式若题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，可以设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正确的函数解析式.例1已知二次函数图像经过了D（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c（a≠0），将D 、E 、F 的坐标代入可得ìíîïï-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîïïa =1,b -5,c =-6,由此可得，此二次函数的解析式为：y =x 2+5x -6.评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.例2已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2-2；∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．巧用待定系数法求二次函数的解析式甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳32数学篇例3已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），设抛物线解析式为y =a (x -3)2-2，将点（1，0）代入得a =12，∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52．评注：设顶点式求解二次函数解析式，需要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.三、设交点式求函数的解析式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为A (x 1,0)、B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.例3二次函数的图象过点A（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；2∴可设其解析式为：y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）和B （x 2,0），那必然存在ax 21+bx 2+c =0，即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32；6.5；7.3或65或545；8.16；9.证明过程略．10.解：由题意得：∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：PO =9.2，解法荟萃。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。
它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。
本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。
首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。
它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。
求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。
这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。
这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。
此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。
这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。
在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。
通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。
由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。
用待定系数法求二次函数的解析式教案
用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。
沪科版-数学-九年级上册-利用待定系数法求二次函数解析式
初中-数学-打印版
利用待定系数法求二次函数解析式
难易度：★★★★
关键词：二次函数解析式的求法
答案：
二次函数的解析式有以下几种形式：一般式：（用法：给出三
点坐标可利用此式来求）顶点式：（用法：给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求）交点式：
（用法给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、
时可利用此式来求：）在求解析式时一般都是考虑待定系数法，先设出解析式，再将满足题意的条件代入解出待定系数。
在设解析式时根据给定的条件选择解析式的形式。
【举一反三】
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）
典题：二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
思路导引：此题给出的已知条件既无顶点坐标，又无与x轴的交点坐标,所以设二次函数的解析式为，然后把满足题意的条件代入解之得。
标准答案：由题得：a=2
c=-6解之得b=4
10=4a+2b+c c=-6
所以二次函数的解析式为
初中-数学-打印版。
沪科版-数学-九年级上册-22.3二次函数的图象和性质 巧用待定系数法求二次函数关系式
巧用待定系数法求二次函数关系式求二次函数关系式是中考中常见的一类题型，同时很多与二次函数有关的问题中都能涉及到．对于这类题，我们通常用待定系数法求解．如何简捷地运用待定系数法求解呢？下面介绍三种常用的方法．例1．已知抛物线y =ax 2+b x +c(a ≠0)满足以下条件，求函数关系式：(1)图像过A(0，1)，B(1，2)，C(2，-1)；(2)图像顶点是(-2，3)且过(-1，5)点；(3)图像与x 轴交于(-2，0)，(4，0)两点且过点(1，-92)． 分析：(1)已知抛物线上三点的坐标，把三点坐标代入一般式y =ax 2+b x +c(a ≠0)中，即可得到a 、b 、c 的三元一次方程组，即可求出a 、b 、c ，得到关系式．(2)本题告诉我们抛物线的顶点，可设顶点式y =a (x -h)2+k(3)本小题告诉我们抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)解：(1)设二次函数是y =ax 2+b x +c(a ≠0)，则12421c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得：231a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)设二次函数是y = y =a (x -h)2+k ，其顶点为(h ，k)．所以y =a (x +2)2+3，将(-1，5)代入，5=a (-1+2)2+3，所以a =2．所以y =2(x +2)2+3=2x 2+8x +11．(3)设二次函数是y =a (x -x 1)(x -x 2)，所以y =a (x +2)(x -4)．所以-92=-9a ，所以a =12．所以y =12(x -1)2-92=12x 2-x -4． 例2．已知二次函数，当x =4时有最小值-3，且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数关系式．分析：因为二次函数当x =4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x =4，抛物线开口向上．图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x 轴另一个交点的坐标为(7，0)．方法一：因为抛物线的对称轴是x =4，抛物线与x 轴的一个交点为(1，0)，由对称性可知另一点为(7，0)，抛物线y =ax 2+b x +c 通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a ，b ，c 的三元一次方程组，可解出a ，b ，c 来．方法二：由于二次函数当x =4时有最小值-3，又抛物线通过(1，O)点，所以2242434011b a ac b aa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=-⎨⎪⎪=++⎪⎩由上面的方程组解出a ，b ，c ．方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数为y =a (x -h)2+k ，其中h=4，k=-3即有y =a (x -4)2-3，式中只有一个待定系数a ，再利用抛物线通过(1，0)求出a 来．即0=a (1-4)2-3得出a =13．所以二次函数关系式为y =13(x -4)2-3． 方法四：由于抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=1，x 2=7．可以采用双根式y =a (x -x 1)(x -x 2)，其中x 1=1，x 2=7，即有y =a (x -1)(x -7)．式中只有待定系数a ，再把顶点(4，-3)代入上式得：-3=a (4-1)(4-7)，a =13，所求二次函数关系式为y =13(x -1)(x -7)=13x 2-83x +73．。
二次函数表达式的确定PPT课件(沪科版)
随堂小测
1.如图，在平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
注意
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、
y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过
前三者是顶点式的特殊情势.
y
y
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1O
-1
-2
3 2
x
4 .
1 2 x
随堂小测
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是
2
2
6
1
AC1 CC1
4
2
1
1
2 4.5 5 2 2
2
2
2
1
1
-3 -2 -1O
3 4.5
-1
2
7.5
C
B
B1 A
6 C1 x
新知探究
1、 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)在同一平
面直角坐标系的图象可能是（ A）
求： (1) 抛物线的表达式；
(2)顶点A的坐标．
解： (1)把 B(3，0) 、C(0，3） 代入 = − + + ，
=
解得 ቊ
．
=
故抛物线的表达式为 = − + + ；
(2) = − + + = − − + + + =− −
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》教案、教学设计
九年级的学生已经在之前的学习中掌握了二次函数的基本概念、图像及其性质，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对于用待定系数法求二次函数解析式这一内容，虽然在理论上有一定的认知，但在实际操作中，可能仍存在以下问题：对于待定系数法的理解不够深入，难以灵活运用；在求解过程中，对于参数的选择和方程组的建立可能存在困难。此外，学生对于将实际问题抽象为二次函数模型的能力有待提高。因此，在教学过程中，应注重引导学生理解待定系数法的原理，通过实例分析，培养学生的建模能力和解决问题的策略。同时，关注学生的个体差异，给予不同层次的学生有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
4.分层教学，关注个体差异
针对不同层次的学生，设置不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，加强对学困生的辅导，帮助他们克服困难，提高自信心。
5.及时反馈，巩固提高
在教学过程中，及时了解学生的学习情况，对学生的疑问进行解答，巩固所学知识。通过课堂练习、课后作业等形式，检验学生的学习效果，促使学生主动复习，提高知识掌握程度。
（二）讲授新知，500字
1.教师讲解待定系数法的原理，通过具体实例解释如何将实际问题抽象为二次函数模型，并引导学生理解待定系数法的基本步骤。
2.分步骤讲解待定系数法的求解过程，强调参数的选择和方程组的建立，让学生掌握求解二次函数解析式的方法。
3.结合课本例题，教师示范解题过程，强调注意事项，提醒学生关注细节。
6.拓展延伸，激发创新
在学生掌握基础知识的基础上，适当拓展延伸，引导学生探索二次函数在其他领域的应用，如物理、几何等，培养学生的创新意识和综合运用能力。
7.总结反思，提升素养
在教学结束时，组织学生进行总结反思，回顾学习过程，总结用待定系数法求二次函数解析式的关键步骤，提升学生的数学素养。
待定系数法求二次函数
待定系数法求二次函数待定系数法求二次函数是特别有用的，也是很常用的。
一、待定系数法的定义待定系数法是根据给定条件，构造一个形如ax2+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为未知的系数，条件可以是一个定值，也可以是两个不等的定值，或者点的坐标。
二、待定系数法的步骤1. 将给定条件拆分成ax2+bx+c=0的三个未知数a,b,c；2. 用给定条件来确定其中的三个未知数a,b,c；3. 根据第二步得出的三个系数来求解这个二次方程，得出最终的解。
三、待定系数法的几种应用1. 将给定定值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知定值m，构造ax2+bx+c=m的二次方程，待定三个系数a，b，c，以及定值m，根据拉格朗日定理，有2a+b=m，a+b+c=0，可求得a=-b，c=-2b，进而求解最终的二次方程；2. 将给定不等值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知不等值m和n，构造ax2+bx+c=m和ax2+bx+c=n的二次方程，待定三个系数a，b，c，由拉格朗日定理得2a+b=m+n，a+b+c=0，可求得a=(m+n)/2，b=-(m+n)/2，c=-m-n，故可得最终的二次方程；3. 将给定点的坐标表示成ax2+bx+c=0：例如，已知A(x1,y1)和B(x2,y2)，构造ax2+bx+c=0的二次方程，待定三个未知数b，a，c，令y1=ax12+bx1+c=0，y2=ax22+bx2+c=0，求得a=(y2-y1)/(x2-x1)，b=(x2y1-x1y2)/(x2-x1)，c=y1-ax12-bx1，故可得最终的二次方程。
四、总结用待定系数法来求解二次函数是一种特别有效的方法，当给出它们给定条件时，不管是一组定值，还是两个不等的定值，还是点的坐标，都可以很容易地解决构造成ax2+bx+c=0的二次方程，最后得出二次方程的解。
初中数学沪科版九年级上册二次函数表达式的确定
1 (2 4.5) 5 1 2 2 1 3 4.5
2
2
2
7.5
解：设y ax2 bx c,依据题意得：
c 1 4a 2b c 0 1 a 1 b c 0 4 2
a 1
解得：b
3 2
c 1
二次函数为y x2 3 x 1 2
例5已知二次函数的顶点坐标为（ 2,1），且交y轴于（0,4）； 求这个二次函数的表达式
方法一：设y ax2 bx c，依据题意得：
二次函数为y 1 (x 2)(x 4) 1 (x2 2x 8) 1 x2 1 x 1
8
8
84
二次函数y 1 x2 1 x 1 1 (x 1)2 9
84
8
8
顶点坐标：（1， 9） 8
（2）二次函数y 1 x2 1 x 1 1 (x 1)2 9
84
8
8
列表： x
… -2
2、2a
b
0;3、4a
2b
c
0;4、若（
5，y1
)，（5 2
，y2
)是抛物线
1 3
∙
x2
例 上+ x4两+、43点如，图则所y1示10
y2;其中正确的有 是二次函数y ax2
bx
10
c图像，过点（
1，0），
且
8
顶点在第一象8限.下列说法正确的是
；（1）a 0；
（2）a b c 06 ；（3） b 0
4x
8
20
y
1 2
x
1
15
10
5
O
A5
2
10
解得：xy11
22；xy22
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
新沪科版九年级上册初中数学 21-2-3二次函数表达式的确定 教学课件
D
A.y=x2+2
B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= -．2 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其表达式
为 y=-7(x-3)2+4. .
(2)令y＝0，通过解该பைடு நூலகம்程来求二次函数的图象与x轴
的交点坐标．
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新课讲解
解：(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－4)，
∴设其表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点(0，－2)，
∴－2＝a－4，∴a＝2. ∴二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－4. (2)令y＝0，则2(x－1)2－4＝0，
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
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新课讲解
例1 如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)， (2，7)三点，
试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
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当堂小练 4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1, 0),(3, 0),(1, 5). 解：（1）选用一般式求表达式：
（2）选用交点式求表达式：
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拓展与延伸
1.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其表
数学沪科版九年级(上册)21.5.1反比例函数
为
y 100 x 0
x
.
新知探究
方法归纳
反比例函数模型在物理学中应用最为广泛，一定条件 下，公式中的两个变量可能构成反比例关系，进而可以构 建反比例函数的数学模型.列出反比例函数表达式后，注意 结合实际问题写出自变量的取值范围 y k （k≠0） x
用待定系数法求反比例函数
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.5.1 反比例函数
教学目标
1.理解并掌握反比例函数的意义及概念.（重点） 2.会判断一个函数是否是反比例函数.(重点) 3.会求反比例函数的表达式．（难点）
复习导入
问题1：某村有耕地200 hm2,人口数量x逐年发生变化，该村 人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有着什么样的函数关系 呢？
I 随着R的增大而变小,随着R 的减小而变大.
（3）变量I 是R的函数吗？为什么？
是，当R确定一个数值的 时候，I有唯一的数值与其
对应.
新知探究
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成
y k （k为常数, k≠0) x
的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数. 其中x是自变量不能为0，常数k（k≠0）称为反比例函数的反比 例系数.
x
2
（3）把y=12 代入y=- 12 ，得12=- 12 ，x=-1.
x
x
总结
新知探究
例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa是它的受
力面积S m2的反比例函数，如图.
p
（1）求p与S之间的函数表达式；
（2）当S=0.5时，求p的值.
解：（1）设 p k（k≠0），
1000
S
因为函数图象过点（0.1，1000），
沪科版九年级数学上册《21.4 二次函数的应用》 课件
(2) 当 x＝450－100＝350(m)时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
当 x＝450－50＝400(m)时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m). 2500
答：距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直
因为篮筐在第一象限，所以x＝1.5.
当y＝2.25时，2.25 1 x2 3.5 ，解得x＝±2.5.
5
因为运动员在第二象限，所以x＝－2.5.
故该运动员距离篮筐中心的水平距离为 1.5－(－2.5)＝4(m)．
课堂小结
1.抛物线形建筑物问题：几种常见的抛物线形建筑物 有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类问题 的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐 标系，结合问题中的数据求出函数表达式，然后利 用函数表达式去解决问题．
球出手时离地面的高度 为2.25 m，则他距离篮 筐中心的水平距离l是 多少？
解：(1)因为抛物线 y 1 x2 3.5 的顶点坐标为(0，3.5)， 5
所以球在空中运行的最大高度为3.5 m.
(2)在
y
1 5
x2
3.5中，当y＝3.05时，3.05
1 5Hale Waihona Puke x23.5
，
解得x＝±1.5.
(1)若以桥面所在直线为x轴，拋物线的对称轴为y轴， 建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的 函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直 钢索的长．
解：(1)根据题意，得拋物线的顶点坐标为(0，0.5)， 对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得 81.5＝a·4502＋0.5.
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沪科版九年级第二十一章二次函数
21.2.3 用待定系数法求二次函数解析
2016 年9 月2 7
一.知识回顾
1、已知抛物线y=ax2+bx+c
当x=1时，y=0，则a+b+c=_____
经过点（-1,0），则_________
经过点（0,-3），则__________
经过点（4,5），则___________
对称轴为直线x=1，则_________
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______，
代入得y=______________
对称轴为直线x=1，则___________
代入得y=______________
3、求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
二．新课引入
二次函数常用的几种解析式
一般式y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
规律：用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
三．例题分析
例题1 ：已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
c=-3 ，16a+4b-3=5，
∴所求二次函数为：y=x2-2x-3
例题2：已知抛物线的顶点为（1，－4），
且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
变式1 、已知抛物线当x=1，y最值=-4，且过点（0，－3），
求抛物线的解析式？（顶点式求解析式）
变式2、已知一个二次函数的图象过点（0, -3）（4, 5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式.
（顶点式求解析式）
变式3、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4, 5）
对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式.
（一般式求解析式）
例３如图，直角△ABO的两条直角边OA、OB的长分别是1
和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的
位置，求过C、B、A
（1
（2
（3
x 待定系数法：
应根据题目中的隐含条件
求出点的坐标。
四.反馈练习
已知二次函数
的图像如图所示，求其解析式.
五．归纳小结
1.二次函数常用解析式？
（顶点式，一般式，交点式）
2.求二次函数解析式的一般方法？
（已知图象上三点坐标，通常选择一般式;已知图象的顶点坐
标（对称轴或最值），通常选择顶点式;已知图象与轴的两个交点的横坐标通常选择交点式.）
3.求二次函数解析式的常用思想？
(转化思想，解方程或方程组)
六、布置作业
1、必做题：
选做题：
2、拓展延伸：数学是来源于生活又服务于生活的.
小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。
小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？。