现代控制理论实验指导书 学生版

t=Tintial:dt:Tfinal 表示仿真时间段为[Tintial,Tfinal]，仿真时间步长为 dt t=Tintial:Tfinal 表示仿真时间段为[Tintial,Tfinal]，仿真时间步长 dt 缺省为 1 t=Tfinal 表示仿真时间段为[0,Tfinal]，系统自动选择仿真时间步长 dt 若时间数组缺省(没有指定)，表示系统自动选择仿真时间区间[0,Tfinal]和仿真时间步长 dt。 （2）阶跃响应函数 step( )，可用于计算在单位阶跃输入和零初始状态(条件)下传递函数模型 的输出响应，或状态空间模型的状态和输出响应，其主要调用格式为
如果线性定常连续系统的状态空间表达式为
x Ax Bu
y Cx Du
且初始状态为 x(0) ，那么状态方程解的拉氏变换式为
x(s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 Bu(s)
其解为
x(t) e At x(0) t e A(t ) Bu( )d 0
其中零输入响应为 e At x(0) 或 L1{(sI A)1}x(0)
2、在 Matlab 中计算如下系统在[0,10s]内，周期 T=3s 的单位方波输入下的状态响应和输出 响应，绘制输入信号、状态响应和输出响应曲线。
x
0 2
13x 10u ， y 1
1x
初始状态 x 0
1 2
（1）思路：获得系统状态空间模型；生成输入方波信号；产生系统的状态响应和输出响应。 （2）程序：
实验三 小车倒立摆控制系统仿真实验
一、实验设备
计算机、Mtalab 软件
二、实验目的
1、进一步熟悉 Matlab 使用环境，初步掌握 Matlab 仿真工具； 2、学会建立和分析系统状态空间模型，实现对小车倒立摆伺服系统的仿真控制。
三、实验原理说明
1、车载单倒立摆系统原理图如图 1 所示。长度为 l,质量为 m 的单倒立摆，用铰链安装 在质量为 M 的小车上,小车受执行电机控制，在水平方向施加控制力 u，相对参考系产生位 移 x。为简化问题并保留车载倒立摆实质不变，忽略摆杆质量、执行电机惯性以及摆轴、轮 轴、轮与接触面直接的摩擦及风力。若不给小车施加控制力，倒立摆会向左或向右倾倒，是 一个不稳定系统。对系统控制的目的是：当倒立摆出现摆角 θ 后能通过小车的水平运动使 倒立摆保持在垂直位置。
sysd=c2d(sys,Ts) sysd=c2d(sys,Ts,method) 其中，Ts 为采样周期；method 为离散化方法选择变量，可以为‘zoh’，‘foh’，‘tustin’， ‘matched’等，分别对应于基于 0 阶和 1 阶保持器的离散化法、双线性法和零极点匹配法。 ‘zoh’表示精确离散法，采样系统的输入信号采样后将通过 0 阶保持器。
信号pulse。 所有信号的幅值为 1。 （6）在 MATLAB 中，连续系统和离散系统的状态空间模型都用 MATLAB 提供的函数 ss ( ) 建立。函数 ss ( )不仅能用于建立系统的状态空间模型，也能用于将系统的传递函数模型和 零极点增益模型转换为状态空间模型。该函数的调用格式如下：
G ss(A, B,C, D) 返回连续系统的状态空间模型 G 。
step(sys,t)
[y,t] = step(sys,t)
[y,t,x] = step(sys,t) 其中，对第 1、2 种调用格式，sys 为传递函数模型变量或状态空间模型变量；对第 3 种方式，sys 为状态空间模型变量。t 为指定仿真计算状态响应的时间数组，可以缺省。 （3）初始状态响应函数 initial( )，主要是计算状态空间模型(A,B,C,D)的初始状态响应，其 主要调用格式为
四、实验内容与步骤
1、已知系统为
x
0 2
1 3
x
0 1u
y 1 1x
1 初始状态为 x(0) 1 ，试求系统在初始状态作用下的状态响应和输出响应，并绘制状态
响应曲线和输出响应曲线。 （1）程序
A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.5:10; x0=[1;-1]; [yo,t,xo]=initial(sys,x0,t); plot(t,xo,'*',t,yo,'-') （2）运行结果：
num/den = 2 s + 10
-----------------------------
0.05 s^3 + 0.6 s^2 + 3 s + 10
a = -12.0000 -6000
0
0
0 1.0000
0
b= 1
0
0
c = 0 40 200
d= 0
五、思考题
2、实验要求：建立系统数学模型和状态空间模型，实现对系统的仿真控制，使以小车
位置 x 作为输出的闭环系统具有极点： 1 j 3,5,5,5
运行结果:
z=
-4.3028
-0.6972
p=
-1.6506 + 0.0000i
-0.1747 + 1.5469i
-0.1747 - 1.5469i
k=
1
A=
-2 -3 -4
100
010
B=
1
0
0
C=
153
D=
0
4、例 2：已知 SISO 系统的状态空间表达式为
x1 0 1 0 x1 1
clear close all clc A=[0 1;-2 -3];
B=[0;1];C=[1 1];D=[]; x0=[1;2]; sys=ss(A,B,C,D); [u,t]=gensig('square',3,10,0.1) [y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0); plot(t,u,’red’,t,x,’green’,t,y,’blue’)
initial(sys,x0,t) [y,t,x] = initial(sys,x0,t) 其中 sys 为输入的状态空间模型；x0 为给定的初始状态；t 为指定仿真计算状态响应的 时间区间变量(数组)。 第 1 种调用格式的输出格式为输出响应曲线图，第 2 种调用格式的输出为数组形式的输 出变量响应值 y，仿真时间坐标数组 t，状态变量响应值 x。 （4）任意输入的系统响应函数 lsim( )，用于计算在给定的输入信号序列(输入信号函数的采 样值)下传递函数模型的输出响应，或状态空间模型的状态和输出响应，其主要调用格式为 lsim(sys,u,t,x0) [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) 其中，sys 为传递函数模型变量或状态空间模型变量；t 为时间坐标数组；u 是输入信号 u(t)对应于时间坐标数组 t 的各时刻输入信号采样值组成的数组，是求解系统响应必须给定 的。 （5）信号生成函数 gensig( )，gensig( )的调用格式为 [u,t] = gensig(type,tau) [u,t] = gensig(type,tau,Tf,Ts) 其中，type 为选择信号类型的符号串变量; tau 为以秒为单位的信号周期; Tf 和 Ts 分别为产生信号的时间长度和信号的采样周期。 gensig 函数可以产生的信号类型 type 为正弦信号sin、方波信号square、周期脉冲
x Ax Bu
y
Cx
D
x Rn u Rm y Rp
(1.1)
其中 A 为 n×n 维系数矩阵、B 为 n×m 维输入矩阵 C 为 p×n 维输出矩阵，D 为传递阵， 一般情况下为 0，只有 n 和 m 维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间 的关系如式(1.2)示。
G(s) num(s) C(sI A)1B D
(1.2)
den(s)
式(1.2)中， num(s) 表示传递函数阵的分子阵，其维数是 p×m; den(s) 表示传递函数阵的按
s 降幂排列的分母。
四、实验内容与步骤
1、采用 MATLAB 编程，求系统的传递函数阵或状态空间表达式。 2、在 MATLAB 下调试程序，并检查是否运行正确。 3、例 1：已知 SISO 系统的传递函数为
x2
0
0
1
x2
3
u,
x3 4 3 2 x3 6
（1）将其输入到 MATLAB 工作空间；
（2）求系统的传递函数。
（3）程序：
clear
close all
clc
x1
y 1
0
0
x2
x3
A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
B=[1;3;-6];
C=[1 0 0];
0 1.0000 5.0000 3.0000
den =
1.0000 2.0000 5、给定系统的开环传递函数为
3.0000
4.0000
G(s)
10(0.2s 1) s(0.1s 1)(0.5s
1)
用 MATLAB 编 程 求 得 单 位 负 反 馈 系 统 的 状 态 空 间 方 程 。（ 提 示 ： 函 数 [numc,denc]=cloop(num,den,sign)做单位负反馈，先求单位负反馈系统的传递函数，再求系统
D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) %或[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
%状态空间表达式转换成传递函数的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u)
%对多输入系统，必须具体化 u，即指定第 n 个输入；单输入系统可忽略 u
（4）运行结果：
num =
实验一 利用 MATLAB 分析系统状态空间模型
一、实验设备 计算机，MATLAB 软件。
二、实验目的
1、熟悉 MATLAB 编程环境和基本语法，了解控制系统工具箱的常用函数； 2、通过编程、上机调试，掌握系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。