控制工程 第4章_系统的瞬态响应与误差分析
机械控制工程基础第4章系统的瞬态响应与误差分析
C(t)
n 1
2
exp(nt) sin(d t).
(4 34)
(2) 临界阻尼 1
响应函数 C(s) G(s)R(s)
2 n
(s n )2
拉氏逆变换 c(t) n2t exp(nt)
(4 35) (4 36)
（3） 过阻尼 1
C(s)
2 n
(s n n 2 1)(s n n 2 1)
M
p
C(t p ) C() C()
100%
C(t p ) 1
exp( ) 1 2
可见，超调量仅与阻尼比有关。
（4）调整时间ts
对欠阻尼二阶系统，瞬态响应为
C
(t
)
1
exp(n2t 1 2
)
sin(d
t
arctan
1 2
), t 0.
(4 28)
其包络线方程为 f (t) 1 exp(nt) / 1 2
s
2 n
)(s
)
a1 y a0 y b0 x （2）对应方程 a2 y a1 y a0 y b0 x
a3y a2 y a1 y a0 y b0 x
(4 39)
（3）单位阶跃响应
C(s) G(s)R(s)
2 n
1,
(s 2
2n s
2 n
)(s
)
s
令 ，作拉氏逆变换，得 n
B 2 4mk 2m
n2
k m
,
2 n
B m
G(s) 1
n2
k
s
2
n
s
2 n
(4)二阶系统的标准形式及方块图
G(s)
Xo(s) Xi(s)
控制工程基础-总结(4)
考试题型：
第一部分（40分）：
填空题（20分） 、选择题 （20分）
第二部分（60分）：
1、用部分分式法求原函数
2、数学模型 3、方框图简化 4、时域分析法 5、频域分析法 6、系统稳定性判定
注意：
大题一定要有求解 过程，关键步骤一定 要出现！
7、稳态误差的计算
2j
cos 1 (e j e j )
2
7
第2章 拉斯变换的数学方法
控制工程基础总结
拉氏变换的定理
L f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
L f (t a) easF(s)
L eat f (t) F (s a)
L f (at) 1 F ( s )
aa
L
df (t dt
时间响应：系统在输入信号作用下其输出随时间变化 的规律。时间响应分为两部分：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到 最终状态的响应过程，又称动态过程、瞬态过程。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。即 稳态响应是瞬态过程结束后仍然存在的时间响应。
18
第4章 系统的时域分析
传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身 的结构参数有关，与外界输入无关。
11
第3章 系统的数学模型
第3章控系制统工的程数基学础模总型结
传递函数的典型环节
比例环节：K 1
积分环节： s
一阶微分环节：Ts+1
二阶振荡环节：
1
T 2s2 2Ts 1
微分环节：s
二阶微分环节： T 2s2 2Ts 1
控制工程基础总结
➢ 一阶系统的时间响应
控制工程基础课程考核知识点.
《控制工程基础》课程考核知识点：第1章绪论考核知识点：（一）机械工程控制的基本含义1.控制论与机械工程控制的关系；2.机械工程控制的研究对象。
（二）系统中信息、信息传递、反馈及反馈控制的概念1.系统信息的传递、反馈及反馈控制的概念；2.系统的含义及控制系统的分类。
第2章控制系统的数学模型考核点：（一）数学模型的概念1.数学模型的含义；2.线性系统含义及其最重要的特征——可以运用叠加原理；3.线性定常系统和线性时变系统的定义；4.非线性系统的定义及其线性化方法。
（二）系统微分方程的建立1.对于机械系统，运用达朗贝尔原理建立运动微分方程式；2对于电气系统运用克希霍夫电流定律和克希霍夫电压定律，建立微分方程式；3.简单液压系统微分方程式的建立。
（三）传递函数1.传递函数的定义；2.传递函数的主要特点：（1）传递函数反映系统本身的动态特性，只与本身参数和结构有关，与输入无关；（2）对于物理可实现系统，传递函数分母中S的阶数必不少于分子中S的阶次；（3）传递函数不说明系统的物理结构，不同的物理系统只要它们的动态特性相同，其传递函数相同；3.传递函数零点和极点的概念。
（四）方块图及系统的构成1.方块图的表示方法及其构成；2.系统的构成（1）串联环节的构成及计算；（2）并联环节的构成及计算；（3）反馈环节的构成及计算；3.方块图的简化法则（1）前向通道的传递函数保持不变；（2）各反馈回路的传递函数保持不变；4.画系统方块图及求传递函数步骤。
（五）机、电系统的传递函数1.各种典型机械网络传递函数的计算及表示方法；2.各种典型电网络及电气系统传递函数的计算及表示方法；3.加速度计传递函数计算；4.直流伺服电机驱动进给系统传递函数计算。
.第3章控制系统的时域分析考核知识点：（一）时间响应1.时间响应的概念；2.瞬态响应和稳态响应的定义。
（二）脉冲响应函数1.脉冲响应函数的定义；2.脉冲响应函数与传递函数的关系；3.如何利用脉冲响应函数求系统在任意输入下的响应。
系统的瞬态响应与误差分析
稳态响应：t T 瞬态响应：Tet T
xi (t) t
➢ 一阶系统单位速度响应的特点
t
x0 (t)
xo (t) t T Te T , t 0
xi (t)
T T
经过足够长的时间(稳态时，
如：t 4T)，输出增长速率近似 0 与输入相同，此时输出为：t –
t t 4T
T，即输出相对于输入滞后时
Xi (s) G(s) X0(s)
凡是能够用一阶微分方程描述的系统。
典型形式：G(s) 1 Ts 1
极点（特征根）：-1/T
一、一阶系统的单位阶跃响应
1
X
i
(s)
1 s
s 1 T
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts 1
1 s
1 s
T Ts
1
t
xo (t) 1 e T , t 0
t
xo (t) 1 e T , t 0
间T；
系统响应误差为： e(t) xi (t) xo (t) T (1 et T ) e() T
三、 一阶系统的单位脉冲响应
x0 (t)
1 T
斜率： 1 T2
0.368 1 T
Xi (s) 1
X o (s)
G(s)
1 T
s
1
1 T
xo
(t)
1 T
t
eT
,
t0
t
0T
➢ 一阶系统单位脉冲响应的特点
重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。 难点：二阶系统时域响应的数学表达式。
时间响应
任一系统的时间响应都是由瞬态响应或 稳态响应两部分组成。
《机械工程控制基础》题库
机械工程控制基础复习题第一章绪论1、以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较（)。
A．开环高B。
闭环高C。
相差不多D。
一样高1、系统的输出信号对控制作用的影响（).A．开环有 B.闭环有 C.都没有D。
都有1、对于系统抗干扰能力（）。
A．开环强B。
闭环强C。
都强D。
都不强1、下列不属于按输入量的变化规律分类的是（ ).A．恒值控制系统B。
计算机控制系统C。
随动控制系统 D.程序控制系统1、按照系统传输信号的类型可分成（）.A．定常系统和时变系统B.离散控制系统和连续控制系统 C.线性系统和非线性系统 D.恒值系统和程序控制系统1．按照控制系统是否设有反馈作用来进行分类，可分为______和______。
答案：开环控制系统闭环控制系统1．对一个自动控制系统的最基本要求是，也即是系统工作的首要条件。
答案：稳定稳定性1．对控制系统性能的基本要求一般可归结为稳定性、___________和___________.答案：快速性准确性1、控制论的中心思想是,通过，和反馈来进行控制。
答案：信息的传递加工处理1．什么是反馈(包括正反馈和负反馈）?根据反馈的有无，可将控制系统如何分类？答案：（1)反馈是指输出量通过适当的检测装置将信号全部或一部分返回输入端，使之与输入量进行比较。
如果反馈信号与系统的输入信号的方向相反,则称为负反馈;如果反馈信号与系统的输入信号的方向相同，则称为正反馈。
（2）根据反馈的有无，可将控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统。
1.何为闭环控制系统?其最主要的优点是什么？答案：闭环控制系统就是反馈控制系统，即输出量对控制作用有影响的系统。
其最主要的优点是能实现自我调节，不断修正偏差,抗干扰能力强。
1．简述“自动控制”和“系统”的基本概念.答案：（1）所谓“自动控制”就是在没有人直接参与的情况下,采用控制装置使被控对象的某些物理量在一定精度范围内按照给定的规律变化。
（2)所谓“系统”，即具有某一特定功能的整体。
机械工程控制基础教学大纲
机械工程控制基础教学大纲《机械工程控制基础》课程教学大纲一、本课程性质、地位和任务性质：《机械工程控制基础》是机电一体化专业本科段计划规定必考的一门专业基础课。
其目的在于使考生能以动态的观点而不是静态的观点去看待一个机械工程系统。
地位和任务：其从信息的传递、转换和反馈角度来分析系统的动态行为；为采用控制的观点和思想方法解决生产过程中存在的问题以及为了使系统按预定的规律运动，达到预定的技术指标，实现最佳控制打下基础；也为后续课程以及从事机电一体化系统设计打下理论基础。
二、课程教学的基本要求：1、深刻理解并熟练掌握采用集中参数法建立机、电系统的数学模型；拉普拉斯变换在工程中的应用；传递函数与方块图的求得、简化和演算等。
2、深刻理解闻熟练掌握典型系统（特别是一阶系统）的时域和频域特性。
3、掌握判别线性系统稳定性的基本概念和常用判据的基本方法，并能判别系统的稳定性。
4、了解系统识别的基本原理及相应的方法。
5、掌握线性系统性能指标以及相应的系统综合校正的方法。
三、本课程与其他课程的关系学习本课程之前考生应具有一定的数学、力学和电工学基础，同时应具有一定的机械工程基础知识，以便使考生顺利掌握机械工程教学模型的建立以信相应的运算。
四、教学实数分配表适用专业章节序号章节名称课堂讲授其它（练习）小计机电一体化专业一绪论122二拉普拉斯变换的数学方法6三系统的数学模型6四系统的瞬态响应与误差分析6五系统的频率特性6六系统的稳定性5七机械工程控制系统的校正与设计4合计342256五、大纲内容第1章绪论一、教学目的：通过本章学习了解机械控制工程的基本概念，它的研究对象及任务。
了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类。
本章中介绍的一些技术上的名词术语、定义等以后章节会经常用到需要熟记。
二、教学内容：1、机械工程控制的基本含义2、机械工程系统中信息传递、反馈以信反馈控制的概念3、本课程特点及内容简介三、教学重点：1、机械工程控制的基本含义。
大学控制工程基础课件第4章6系统误差分析
算法误差
01
模型误差
建立的数学模型可能无法完全准 确地描述实际系统，导致算法计 算结果偏离真实值。
02
计算方法误差
03
数据处理误差
使用的计算方法可能存在近似和 简化，导致算法计算结果偏离真 实值。
数据处理过程中可能存在舍入误 差、插值误差等，影响算法计算 结果的准确性。
03
系统误差的检测与识别
直接测量法
硬件层面的误差抑制
硬件设备精度提升
采用高精度传感器、测量仪器等硬件设备，从源头上减小系统误 差。
设备校准与维护
定期对硬件设备进行校准和维护，确保设备处于良好的工作状态。
冗余设计
通过增加测量通道、使用多个传感器等方式实现硬件层面的冗余设 计，提高测量精度和可靠性。
软件层面的误差抑制
数据滤波算法
采用合适的数据滤波算法，如卡尔曼滤波、中值滤波等，对测量数 据进行处理，减小随机误差和异常值对结果的影响。
02
常见系统误差源
测量装置误差
传感器误差
由于传感器老化、温度变化、物理磨损等原因， 导致测量结果偏离真实值。
仪表误差
测量仪表的精度和线性度可能影响测量结果的准 确性。
信号调理电路误差
信号调理电路中的放大器、滤波器等元件可能引 入噪声和失真，影响测量精度。
信号源误差
01
02
03
信号源失真
信号源产生的信号可能存 在波形失真，影响测量结 果的准确性。
详细描述
比较测量法是一种常用的系统误差检测方法。通过将被测量的值与其他已知准确 度高的标准量进行比较，可以检测出被测量是否存在系统误差。这种方法需要选 择合适的高准确度标准量，并确保比较的公正性和准确性。
第4章 系统的瞬态响应与误差分析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 绪论 拉普拉斯变换的数学方法 系统的数学模型 系统的瞬态响应与误差分析 系统的频率特性 系统的稳定性 机械工程控制系统的校正与设计 做笔记+自学180小时 2课时，7-2 8课时，7-2，10-4，11-2 10课时，11-6，12-4 8课时，12-4，13-4 8课时，13-4，14-4 8课时，14-4，16-4 4课时 ，16-4
刻苦钻研教材，认真做好作业，主动争取帮助，依靠自己学通。
第4章
系பைடு நூலகம்的瞬态响应与误差分析
一．响应的基本概念及一阶系统的时间响应
1.响应的基本概念
系统时间响应：机械工程系统在外加激励下，其输出量随时间变化 的函数关系。由瞬态响应和稳态响应组成。 瞬态响应：系统在外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应 过程。其反映系统的动态性能。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。其偏离系统希望 值的程度可用来衡量系统的精确程度。
3. 瞬态响应的性能指标： 单位阶跃响应c(t )达到其稳态值的50%所需的时间。 单位阶跃响应c (t )从稳态值的10%上升90%所需的时间（过阻尼系统）， 或从0上升到100%所需的时间（通常用于欠阻尼系统）。 (3) 峰值时间t p： 单位阶跃响应c (t )超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。 (4) 超调量M p： 单位阶跃响应第一次越过稳态值而达到峰值时，对稳态值的偏差与 稳态值之比的百分数。 (5) 调整时间t s： 单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差范围所需的时间。 允许的误差用达到稳态值的百分数来表示，通常取5%或2%。 M p 表征了系统的相对稳定性，td，tr 及t s 表征了系统的灵敏性。
【本章小结】 【课后作业】
机械控制工程基础第四章习题解答
题目：线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的 称为频率响应。
答案：稳态响应 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。
答案：正弦输入、s=ωj题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是【 】 A ． ωωj s s G j G ==)()( B ． [])()(t F s G ω=C ． [])()(t L s G ω=D ． [])()(t F j G ωω=分析与提示：令传递函数中ωj s =即得频率特性；单位脉冲响应函数的拉氏变换即得传递函数；单位脉冲响应函数的傅立叶变换即为频率特性。
答案：B题目：以下说法正确的有 【 】 A ．时间响应只能分析系统瞬态特性B ．系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数C ．时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性D ．频率特性没有量纲E ．频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移 分析与提示：时间响应可分析系统瞬态特性和稳态性能；频率特性有量纲也可以没有量纲，其量纲为输出信号和输入信号量纲之比。
答案：B 、C 、E题目：通常将 和 统称为频率特性。
答案：幅频特性、相频特性题目：系统的频率特性是系统 响应函数的 变换。
答案：脉冲、傅氏 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。
答案：正弦输入、s=ωj题目：已知系统的单位阶跃响应为()()0,8.08.1194≥+-=--t e et x t to ，试求系统的幅频特性和相频特性。
分析与提示：首先由系统的输入输出得到系统传递函数；令s=ωj 即可得到频率特性，进而得到幅频特性和相频特性。
答案：由已知条件有()()918.0418.11,1+++-==s s s s X ss X o i 传递函数为()()()()()9436++==s s s X s X s G i o 则系统的频率特性为()()()9436++=ωωωj j j G其中，幅频特性为()()22811636ωωωω+⋅+==j G A相频特性为()94940ωωωωωϕarctgarctgarctgarctg-=--= 题目：系统的传递函数为2.03)(+=s s G ，则其频率特性是【】A ． 2.03)(+=s j G ωB ． 2.03)(+=ωωj GC ． 04.03)(2+=ωωj GD ． )2.0(04.03)(2ωωωj j G -+=答案：D题目：一阶系统的传递函数为11)(+=s s G ，在输入)30cos(4)(-=t t x i 作用下的稳态输出是【 】A ． )15cos(4)(-=t t x oB ． )15cos(22)( -=t t x oC ． )15cos(22)( +=t t x oD ． )15cos(4)( +=t t x o 分析与提示：系统的传递函数为21111)(ωωωω+-=+=j j j G ，幅频特性，相频特性分别为()211ωω+=A ，()()ωωϕ-=arctg输入信号频率为1的单频信号，其稳态输出为同频率的单频信号，输出信号幅值()2241111=⋅+=A ，相位为o o arctg 15130=-答案：B题目：频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的 或“跟踪能力” 答案：复现能力题目：频率特性实质上是系统的 的Fourier 变换。
第四章 系统的瞬态响应与误差分析
根据线性叠加原理,将0到t的各个时刻的脉冲响应叠 加，则得到任意函数x(t)在t时刻的时间响应函数y(t)。
y(t ) lim x( k ) g( t k ) x( ) g( t )d
t n k 0 0
n
y(t ) x( ) g (t )d
二阶微分环节：
延迟环节：
T 2 s 2 2Ts 1
1 Ts 1
e s
5
第四章 系统的瞬态响应与误差分析
§4.1 时间响应
§4.2 一阶系统的时间响应
§4.3 二阶系统的时间响应
§4.4 高阶系统动态分析
§4.5 瞬态响应的性能指标
§4.6 系统误差分析
本章学习要点：
§4.1 时间响应
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
§4.1 时间响应
常用的典型输入信号 名称 时域表达式 复数域表达式
第2章 拉斯变换的数学方法
拉普拉斯变换的定义
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
0
典型时间函数的拉普拉斯变换
L 1(t ) L t 1 s 1 s2 1 s3 n! s n 1 L (t )
at L e
欧拉公式
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
控制工程第4章
对应关系，瞬态分量的衰减速度虽系统极点在复 平面上位置的不同而不同。
t
T 2T 3T 4T 5 T
第 4章 控制系统的瞬态响应
2一阶系统的单位阶跃响应
y(t) 1 e tT
机械工程控制基础
（2） 随时间的延续，瞬态响应从初始值0开始以指数规律单调上升，但上升
速率愈来愈小，响应曲线愈来愈平缓。输入量与输出量之差随时间的增 大而变小，当时间趋于无穷时，瞬态过程结束，稳态过程开始，此后系 统输出以稳态响应1而复现输入。
y(t) 1 e tT T
其变化率为指数衰减函数，它的值总为正，且随时间的增大 而变小，表明响应曲线是单调上升的，但上升速率随时间增 大而变小，响应曲线也愈来愈平缓。
例如，系统从接收到控制信号开始到稳定工作状态这一时间历程中的响 应和当扰动消失后系统重新恢复到原稳定工作状态这一时间历程中的响 应便是瞬态响应。
瞬态响应包含系统稳定性、响应速度和阻尼情况等信息，这些信息反映 了系统的动态行为，这种动态行为称为系统的动态特性。以满足系统功 能要求为评价准则，系统动态特性的好坏决定着系统动态品质的优劣。
1
稳态分量；第二部分是指数衰减函数的
负值，其幅值随时间t的增大不断衰减直
至为0，称为瞬态分量。（e=2.7183） 0.632
r (t)
瞬态分量衰减的快慢取决于衰减系数1/T，而 1/T的大小又取决于时间常数T的大小。显然系 统时间常数愈小，衰减系数就愈大，瞬态分量 就衰减的愈快，因而瞬态响应分量持续时间就 愈短，系统的响应速度就愈快。反之亦然。 T愈小，1/T愈大，极点至虚轴愈远， 瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量
2 二阶系统的单位阶跃响应
北京邮电大学810控制工程基础2019年考研专业课初试大纲
2019年北京邮电大学考研专业课初试大纲810控制工程基础一、考试目的《控制工程基础》课程考试旨在考核自动控制基本概念的基础上，注重考核学生对于基本概念和定理的理解与掌握、熟练的基本运算能力和运用自动控制相关知识分析解决简单的实际问题的能力。
二、考试内容第一章自动控制系统的一般概念理解和掌握自动控制系统的基本术语和基本概念，理解和掌握负反馈控制原理，能确定控制系统的被控对象、被控量和给定量。
掌握绘制系统方框图的方法。
了解自动控制系统的组成和分类，及对自动控制系统稳、准、快三方面的基本要求。
第二章控制系统的数学模型了解数学模型的概念、表达方式，掌握一般物理系统微分方程的列写。
熟悉拉氏变换的定义、性质，常见的简单时间函数的拉氏变换式，可根据拉氏变换的性质求解较复杂时间函数的拉氏变换和拉氏反变换。
理解并掌握传递函数的概念、性质。
理解典型环节的概念。
熟悉典型环节的传递函数。
理解并掌握控制系统结构图的运算法则、相加点和分支点的移动法则以及简化方法。
掌握控制系统的前向通道传递函数、反馈通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数、偏差信号传递函数的定义和求法。
理解并掌握控制系统信号流图及梅逊公式。
第三章控制系统的时域分析了解控制系统的典型输入信号，及时域响应指标定义。
熟悉并掌握一阶系统的瞬态响应及性能指标。
熟悉二阶系统的瞬态响应分析及其与极点之间的关系，重点掌握二阶系统的瞬态响应指标与参量z、w n间的关系及计算。
理解系统稳定性概念以及稳定的充分必要条件。
重点掌握判断稳定性的代数判据及应用。
能运用劳斯-赫尔维茨稳定判据判定系统的稳定性。
了解稳态误差的概念、定义、类型。
理解并掌握系统稳态误差的计算方法及用终值定理计算稳态误差的前提条件。
理解并掌握系统类型与静态误差系数的关系。
掌握控制系统稳态误差的计算。
理解并掌握各静态误差系数的计算，动态误差系数的计算，特别是非单位反馈系统稳态误差的计算。
第四章控制系统的根轨迹分析法掌握根轨迹的基本方程和根轨迹绘制的基本条件与思路。
机械工程控制基础(修订本)_陈康宁(4章答案)
2 n 4 ， 2n 5
-1 解得： n 2 rad·s （负根舍掉） ，
5 4
这是一个过阻尼二阶震荡系统，有两个不相等的负实数极点： s1 ( 2 1)n 4 ，
s2 ( 2 1)n 1 ，所以，该单位阶跃响应为
E (s)
s(s 1)(10s 1) R(s) 10( s 1)(10s 1) 3 2 10s 11s s 10 s(10s3 11s 2 s 10) 10(s 1)(10s 1) 1 s(10s3 11s 2 s 10)
利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为
3 3
峰值时间： t p
1 1 0.5
0.5 10.52
2
2 3 3.628(s) 3
1 2
最大超调量： M e p
e
e
0.163 16.3%
调整时间（用近似公式） ：
ts
ln100 ln ln 1 2
n
ln100 ln ln 1 0.52 6.279(s) ( 5) 0.5 1 8.112(s) ( 2)
习 题
4-1 √设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
求这个系统的单位阶跃响应。 解法 1：系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）
4 s(s 5)
4 G( s) 4 4 s ( s 5) 2 4 1 G ( s) 1 s 5s 4 ( s 1)(s 4) s( s 5)
4-3
√设有一闭环系统的传递函数为
n2 Y (s) 2 2 X ( s ) s 2n s n
第4章 时域响应及误差分析
第4章 时域响应及误差分析4.1 引言对控制系统的性能作理论分析和研究的第一步便是建立数学模型。
一旦建立起系统的数学模型，便可以用不同的方法分析系统的性能。
在古典控制理论中，常用的分析方法有时域分析法、频率响应法和根轨迹法。
时域分析法亦称时间（域）响应分析，在数学上是指，在确定线性定常系统的传递函数)()()(s X s Y s G =后，假设)(s X 为一些标准的复数域信号（由时域信号求出），以拉普拉斯反变换的方法，求解线性定常系统的微分方程，即系统的输出信号)]()([)(1s X s G L t y -=随时间变化的表达式或响应曲线，以分析和评价系统的性能，如快速性、稳定性和精确性等。
典型线性定常系统的时域响应与典型时域输入信号之间存在一定的关系，为对实验结果作出必要预测并验证理论的正确性，在此之前作出必要的理论或解析分析是必要的。
时域响应是指在典型输入信号作用下系统的输出量或信号，从零初始状态到稳态的整个响应历程。
评价这一历程长短的指标是过渡时间或稳态响应时间s t 。
在s t t <之前的响应通常称瞬态响应或过渡响应，在s t t >之后的响应称稳态响应。
或者简言之，时域响应包括瞬态响应和稳态响应两部分。
对系统常加的输入信号通常一些典型时域信号，如脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号，系统相应的响应称脉冲响应、阶跃响应和斜坡响应。
本章的重要任务之一是对一阶、二阶及高阶系统的时域响应进行理论分析，以得出系统的时域响应指标（如上升时间r t ，第一峰值时间p t ，过渡时间s t ，超调量p M ）与系统参数之间的关系，重点研究二阶系统的时间响应。
实验表明，高阶系统的时域响应通常可以用二阶系统的时间响应来近似。
稳定性和精确性是系统的重要特性和评价指标。
由于实际物理系统存在储能元件和惯性，当输入量作用系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，并在达到稳态之前通常表现为瞬态阻尼振荡过程。
控制工程基础_第四章
二．频率特性的求法
频率特性的求法有三种
１．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入 ，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的 复数比即得系统的频率特性。 ２．根据传递函数求取，将传递函数G(s)中的s用j替代 ，即为频率特性G(j)。 ３．通过实验测得。
它描述了稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的 变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的相位之差随频 率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统频率特性，记作 G(j)。频率特性G(j)是频率的复变函数，是一个矢量。
Y ( s ) p ( s ) G ( s ) X ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) 1 2 n
X s
2 2
于是输出量的拉氏变换为
X Y ( s ) G ( s ) X ( s ) 2 2 ( s ps ) ( p ) ( s p ) s 1 2 n p ( s )
y ( t X X G ( j ) aY ( s ) ( s j ) G ( s ) ( s j ) s 2 j
X X G ( j) a Y ( s ) ( s j) G ( s ) ( s j) s j s j 2 2 s 2 j
频率特性分析方法具有如下特点：
可通过分析系统对不同频率的稳态响应获得系统动态 特性。 频率特性有明确物理意义，可用实验方法获得。
这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节， 具有非常重要的意义。即使对于能用分析法建模系统，也可 通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。
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1 3.一阶系统 G ( s) (惯性环节)的单位脉冲响应 Ts 1
r( t )
4-2 一阶系统的时间响应
单位脉冲响应：输入为单位脉 冲信号时系统的零状态响应。
(1) t 0 单位脉冲信号
单位脉冲信号的拉氏变换为
R( s) ( s) L[ (t )] 1
单位脉冲响应的拉氏变换为
R(s) ＋ E(s) 1 －
比例环节与惯性环节串联
C(s)
R(s)
Ts
(a)
C(s) 1 Ts 1 (b)
典型一阶系统1/(Ts+1)（归一化K=1）的方块图
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4-2 一阶系统的时间响应
dx(t ) B kx(t ) f (t ) 例1 dt 1 X (s) 1 K k G( s) F ( s ) Bs k B s 1 Ts 1 k
T= 0 T= 0.1 T= 0.5 T=1 T= 2
c( t )
0.6 0.4 0.2 00
2
4
6 t (s)
8
10
12
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4-2 一阶系统的时间响应
一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线
c(t) 1
误差带2%
t dc(t ) 1 T e dt t 0 T
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4-1 时间响应
瞬态响应 ctr(t) ：对稳定的系统，瞬态响应是指时 间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0
的那部分响应。 教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初 始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指 的是稳定状态之前的整个时间响应过程。 稳态响应 css(t) ：是指当时间趋于无穷大时系统的 输出状态。 时间响应c(t)：c(t) = ctr(t) + css(t) 对不稳定的系统，分不出稳态响应和瞬态响应。 因此，稳态响应和瞬态响应的概念对不稳定系统 没有意义。
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4-2 一阶系统的时间响应
单位阶跃响应的拉氏变换为
1 1 1 T 1 1 C ( s) G (s) R(s ) Ts 1 s s Ts 1 s s 1 T
对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)
稳态响应 瞬态响应
t T t T
c(t ) 1(t ) e
1 e
(t≥0)
当T=0时，时域响应(零状态响应)为 c(t)=1 (t≥0) 系统变为零阶系统(比例环节)，零阶系统为理想系统。
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4-2 一阶系统的时间响应
一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线
Unit Step Response for H(s) = 1 / (Ts + 1) 1 0.8
1 t /T lim g (t ) lim e T 0 T 0 T
f(t)—力 k B x(t)—位移
比例-惯性环节
K=1/k，T=B/k。
U o ( s) 1 / Cs 1 1 例2 U i ( s ) R 1 / Cs RCs 1 Ts 1 ui(t)
T RC，K 1
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R C
惯性环节
uo(t)
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4-2 一阶系统的时间响应
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引言
系统的稳定性 稳定性是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡 状态的能力。系统在受到外界扰动作用时，其被控 制量 y(t) 将偏离平衡位置，当这个扰动作用去除后 ，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡 状态，则该系统是稳定的。 系统的准确性 准确性是指系统的控制精度，一般用稳态误差来衡 量，如用系统稳定后的实际输出与希望输出之间的 差值或输入量与反馈量的差值或其它定义方法。 系统的快速性 快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除 这种偏差的快慢程度。
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4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其微
分方程的一般形式为
c(t)—输出；r(t)—输入。
dc(t ) dr (t ) a1 a0c(t ) b1 b0 r (t ) dt dt
dc(t ) 常见形式 a1 a0c(t ) b0 r (t ) dt dc(t ) 化成通用形式 T c(t ) Kr (t ) dt b0 a1 T ，叫时间常数； 式中 K ，称为静态增益； a0 a0
=0.4 =0.7 =1 =2
理想输出
0.2
0
0
t (s)
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引言
对系统性能的分析可以采用不同的方法进行。本 章到第6章的内容就是介绍这些不同的方法。本章
是在时间域上分析系统的动态性能；第5章是在频 率域上分析系统的动态性能；而第6章则是针对系 统的稳定性进行分析。这三章内容是本课程的核 心内容。前三章都是为这三章作准备的，而第七 章则是这三章的应用。
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稳态响应
4-1 时间响应
ent 1 2 sin(d t arctan 1 2
瞬态响应
y(t ) 1
) (t 0) ( 1)
d n 1 2
y(t)
1
=0.4
稳态响应
0
二阶系统 H ( s )
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准确性。
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求系统时间响应的方法：
4-1 时间响应
求解微分方程：直接求解或利用拉氏变换求解，可 得到系统全响应； 利用传递函数求解：只能得到系统的 0 初始条件下 的响应（对线性因果系统而言即是零状态响应）； 因为传递函数是在初始条件为 0 的情况下得到的。 本章主要利用此方法，过程如下： Y (s) x(t) 系统 y(t) G (s) 输出 输入 X (s) X(s) G(s) Y(s)
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1. 时间响应的概念
2. 脉冲响应函数(或权函数)
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4-1 时间响应
1. 时间响应的概念 系统在输入量激励下，其输出量随时间变化的函
数关系称之为系统的时间响应。通过对时间响应 的分析可揭示系统本身的动态特性。 如二阶系统（震荡环节）在欠阻尼（ ζ ＜ 1) 情况 下的单位阶跃响应（输入为单位阶跃信号时的时 间响应）为
2 1 c( t ) 1 e n t sin 1 2 n t arctan 1 2
1
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4-1 时间响应
1. 时间响应的概念 利用时间响应对系统的动态特性（稳定性、准确
性、快速性等）进行分析称为时域分析法。 系统分析常用的典型输入信号（或函数）：简谐 信号（即正弦或余弦信号）、脉冲信号、阶跃信 号、斜坡信号、加速度信号（或称抛物线信号 at2 ）等。其中，简谐信号用在频域分析中，其 它信号（斜坡信号除外）则是在本章介绍的时域 分析中使用。这些典型信号形式简单，在试验中 也容易获得（往往是近似的），也能反映系统的 实际工况。 分析不同系统对同一典型输入信号的响应即可对 不同系统的性能进行比较。
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4-1 时间响应
线性定常系统时间响应的组成
根据响应的性质和来源的不同，可将时间响应分 解成如下形式：
时间响应=稳态响应+瞬态响应(对稳定的系统而言) 时间响应=零状态响应+零输入响应 时间响应=强迫响应+自由响应 时间响应=微分方程的特解+齐次方程的通解
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95.03%
86.5%
98.2%
99.3%
1 斜率 T
63.2%
t 0
1 T
t
0
一阶系统
T
2T
3T
4T
5T
G(s) 1/ (Ts 1) 的单位阶跃响应曲线
结论：这种一阶系统（惯性环节）的时间常数 T 越 小，响应越快（惯性越小），动态特性越好，所以 T称为一阶系统的特征参数。
2014年3月5日9时29分
2014年3月5日9时29分
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引言
二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
2
2 2 2 二阶系统 G ( s) n / ( s 2n
1.6 1.4 1.2 c(t) 1 0.8 0.6 0.4
=0
允 差 带
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本章主要内容
时间响应及时间响应的求法； 常见系统对典型输入信号的时间响应；
系统在时间域上的动态性能指标；
系统响应的误差分析。
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本章作业
P97～P98 习题 4-1 4-2 4-4
本章作业第5周星期三交。 今天交第3章作业。
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2 2 n / ( s 2 2n s n ) 的单位阶跃响应曲线
nt
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4-1 时间响应
对稳定的线性定常系统来说，瞬态响应随时间的增加而
逐渐减小，所以也有人称其为暂态响应或过渡响应。瞬 态响应除了与输入信号有关外，还与系统初始状态有关 。系统初始状态不同，瞬态响应也不同。瞬态响应对控 制系统往往是有害的，可能造成系统不稳定，并带来控 制误差。所以要尽量减小和缩短瞬态响应过程。瞬态响 应反映了系统的相对稳定性和响应的快速性。 对稳定的线性定常系统来说，稳态响应只是由输入信号 引起，而与系统初始状态无关。因为初始状态由于能量 有限，所以它引起的响应总要衰减到 0，因此，初始状 态引起的响应属于瞬态响应（但不等于瞬态响应，因为 输入量也能引起瞬态响应）。稳态响应反映了系统响应的