2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
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高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
一般方程x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
E＝F＝0
|b|＝r |a|＝r
D2－4F＝0 E2－4F＝0
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注 意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平 面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的 问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定 理等可简化过程．
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形 不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1） 可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（ ）配方得（x 1 D 2 ) (y
2
E 2
)
2
D E 4F
2 2
(2)
4
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2
y 2x 4y 6 0____
2
2
y 2ax b
2
2
0________
1 1的 圆 .
2 2
( 2 )圆 心 为 ( 1, 2 ), 半 径 为
(3)当a, b不同时为0时，圆心为(a, 0), 半径为 a b 的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
C O ①
A x
化简得 x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 1 的点的轨迹，求此曲 2 线的方程，并画出曲线。
y
M
2 2
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习： 求过三点
A ( 0 , 0 ), B ( 6 , 0 ), C ( 0 ,8 ) 的圆的方程
2 2
.
设圆的方程为
x y Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
6
2
6D F 0
北师大版 高中数学 必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高中数学 2.2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2
第二十三页，共36页。
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
北师大版数学必修二：2.2.2圆的一般方程ppt课件
= -95
所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
1
2
3
4
5
解法 2:由 A(1,12),B(7,10),得
1
AB 的中点坐标为(4,11),k AB=- ,
3
那么AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
3--1 = 0
=1
联立
,得
,
=
2
+ -3 = 0
探求三
易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得
- + 5 + + 26 = 0,
-2-2 + + 8 = 0,
5 + 5 + + 50 = 0,
= -4,
解得 = -2,
= -20.
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
2
2
D +E -4F=0
x2+y2+Dx+Ey
D
E
2
2
D
E
2
2
表示点 - ,表示以 - ,-
+F=0
2
2
D +E -4F>0
为
圆心,以
1
2
D2 + E 2 -4F为半
径的圆
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,那么k的取值范围是
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
北师大版高中数学必修二课件：2.2.2圆的一般方程
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0
2
2
+ E
- 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径)
展开
(x-a)2+(y-b)2 =r2
3. 求圆的方程的方法（几何法和待定系数法）
当堂检测
4,则D,E,F分别等于
( A )4 ,- 6 ,3
( C ) - 4 ,6 , - 3
( B ) - 4 ,6 , 3
( D )4 ,- 6 ,- 3
检
D
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x - a) + ( y - b) = r
2 2 2 2 2
(或 x + y + D x + Ey + F = 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程） 15
( x - 1) + ( y - 2 ) = - 1
不是圆
思考3:将方程 x
2
+ y + Dx + Ey + F = 0
2
配方，并且
判断它在什么条件下表示圆？并指出圆心和半径. 配方得： (x +
D 2
2
思
) + (y +
2
E 2
) =
2
D + E - 4F 4
2
+ Dx + Ey + F = 0
2
2
+ E
- 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径)
展开
(x-a)2+(y-b)2 =r2
3. 求圆的方程的方法（几何法和待定系数法）
当堂检测
4,则D,E,F分别等于
( A )4 ,- 6 ,3
( C ) - 4 ,6 , - 3
( B ) - 4 ,6 , 3
( D )4 ,- 6 ,- 3
检
D
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x - a) + ( y - b) = r
2 2 2 2 2
(或 x + y + D x + Ey + F = 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程） 15
( x - 1) + ( y - 2 ) = - 1
不是圆
思考3:将方程 x
2
+ y + Dx + Ey + F = 0
2
配方，并且
判断它在什么条件下表示圆？并指出圆心和半径. 配方得： (x +
D 2
2
思
) + (y +
2
E 2
) =
2
D + E - 4F 4
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
高中数学北师大版必修二2.2.2【教学课件】《圆的一般方程》
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，
求它的外接圆的方程，并求其外心坐标。
解析：法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，
整理得 ������������ + ������ + ������������ = ������ 解之得 ������ = ������
北京师范大学出版社 | 必修二
（2）圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
为圆的一般方程。
注意：圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下特征： ①x2项和y2项的系数相等，且不为零。 ②是二元二次方程且没有xy这样的二次项。 ③参数D、E、F满足D2＋E2－4F>0。
∴AB ∵BC
的边中的点垂为直(平－分1，线－的3方)，程斜为率������ −为������������=������������������=(������−−−���������������+−���)
即x－7y＋10＝0。
������ ������ ������ = ������
∴BC 边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)，即2x＋y＋7＝0。
������ − ������������ + ������ + ������ = ������
������ = −������
������������ + ������������ − ������ − ������������ = ������
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
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可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.
1 1 2 ∴圆心坐标为( ，－ )，半径为 . 2 2 2 (2)原方程可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝a2. ∴圆心坐标为(－a，a)，半径为|a|.
[研一题] [例2] 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，
－1)，C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
[自主解答] 法一：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， ∵此圆过 A、B、C 三点， 12＋32＋D＋3E＋F＝0， 2 2 ∴－1 ＋－1 －D－E＋F＝0， －32＋52－3D＋5E＋F＝0， ∴圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－2＝0. D＝4， 解得E＝－4， F＝－2，
已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部， 求a的取值范围．
[错解]
∵点A在圆外，
∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2. [错因] 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般
式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表 示圆时，需D2＋E2－4F＞0，所以，本题除了点在圆外的 条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．
[悟一法] 待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出 圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D，
E，F，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用
设圆的一般方程的方法．
[通一类] 2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 4＋4＋2D－2E＋F＝0， 由题意，得25＋9＋5D＋3E＋F＝0， 9＋1＋3D－E＋F＝0， D＝8， 解之得E＝－10， F＝－44， 所以所求圆的方程为 x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
[正解] ∵点 A 在圆外，
a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0， ∴ －2a2＋－32－4a2＋a＞0，
a＞2， 9 9 ∴ 即 2＜a＜ ， 4 a＜4， 9 ∴a 的范围是 2＜a＜ . 4
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 1－a2＋3－b2＝r2， －1－a2＋－1－b2＝r2， ② 则 －3－a2＋5－b2＝r2. ③
a＋2b－2＝0， ②－①、③－①得 2a－b＋6＝0，
①
解得 a＝－2，b＝2.∴r2＝10. ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
[小问题·大思维]
1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？ 提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备
什么条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0； ③D2＋E2－4AF>0.
1 法三：AB 的中垂线方程为 y－1＝－ (x－0)， 2 1 BC 的中垂线方程为 y－2＝ (x＋2)，联立解得圆心坐标 3 为(－2,2)． 设圆半径为 r，则 r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
－1－3 5－3 1 法四：由于 kAB＝ ＝2，kAC＝ ＝－ ， 2 －1－1 －3－1 ∴kAB·AC＝－1，∴AB⊥AC， k ∴△ABC 是以 A 为直角的直角三角形， ∴外接圆圆心为 BC 的中点，即(－2,2)， 1 半径 r＝ |BC|＝ 10， 2 ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.