讲稿2附件(牛顿差分表及例题)

牛顿法代数插值ndash差商表的求法

牛顿法代数插值ndash 差商表的求法原文地址：牛顿法代数插值–差商表的求法作者：大关牛顿法代数插值–差商表的求法下面的求插商的方法并不是好的求插商的方式，因为他的效率并不是很高，不论是从空间效率还是时间效率，但是下面主要探讨的是一种将塔形的数据转换成一位数组的方式。

实际上求插商仅通过一个n个元素的一位数组就能解决，但本文强调的是一种思路，希望对大家有所借鉴。

牛顿插商公式：f[xi,xj]=(f(xj)– f(xi))/(xj– xi)f[xi,xj,xk]=(f[xj,xk]– f[xi,xj])/(xk– xi)….f[x0,x1,x2…,xn]=(f[x1,x2,…,xn]– f[x0,x1,…,xn-1])/(xn– x0)转换成均插表(或称差商表)形式如下：定义1：f[xi,xi+1,…xj]简记为f(i,j)其中i=0&&i=n&&j=0&&j=n&&i j；记f(xi)为f[xi,xi]即f(i,i)根据定义1可以推出：f[x0,x1]=f(0,1),f[x0,x1…xn]=f(0,n)….根据定义1：可以将插商表转换为如下形式。

根据上图，可以给出实际一维数组存储时的序列关系，如下图所示：此时f(0,0)位置是数组下标0，f(1,1)是数组下标为1….这样，我们从中找出相应的规律。

推论1：已知f(i,j)，n为变量的数目，令k=j– i。

当k不等于0时，f(i,j)在数组中的下标通过计算得：Index=k*n–((k-1)*k)/2+i当k等于0时Index=i。

推论1很容易证明(实际就是一个等差数列求和问题)这里证明略。

推论2：n为变量的数目，则一维数组的长度可以计算得((1+n)*n)/2推论2可以通过等差数列求和得以证明。

证明略。

推论3：各阶插商就是f(0,k)k=1,2….n.推论3：根据插商的定义和定义1可以直接推出。

数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值

确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插值法的计算过程相对简单，不需要求解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何用数值方法解决各种数学问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的局部性质，能够提供较为准确的插值结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况，无论是线性还是非线性数据，都能得到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式，其全局误差通常较大，尤其是在数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛顿插值多项式可能会发生较大的变化，导致插值结果不稳定。

讲稿2附件（牛顿差分表及例题）

向前、向后差分表)j-)j-例：在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B 从4000至11000区间的查表问题。

为节省计算机存储单元，采用每500高斯存入一个at值，在利用差分公式计算。

从差分表中看到三阶差分近似于0，计算时只需二阶差分。

当4000≤B≤10500时用牛顿前插公式；当10500≤B ≤11000时用牛顿后插公式；例如，求f （5200）时取200005000, 1.58,0.11,B f f f ==∆=∆=，h=500,B=5200,t=0.4,取n=2，由公式000(1)()2!n t t N x th f t f -+=+∆+计算得：(0.4)(0.(5200) 1.58(0.4)(0.11)2f -≈++这个结果与直接查表得到的值相同，说明用此算法在计算机上求值是可行的。

（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。

2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。

3．《》长于描写外交辞令。

4．《国语》的突出特点是长于。

5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。

7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。

8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。

9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。

10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。

11．“破釜沉舟”出自《》。

12．对偶、辞藻、用典和声律是的主要特征。

13．被鲁迅誉为“改造文章的祖师”。

14．“文以气为主”、“诗赋欲丽”是提出的著名观点。

15．《大人先生传》的作者是。

16．嵇康的代表作是《》。

17．西晋作家中，“善为哀诔之文”。

18．《归去来兮辞》可以说是辞仕归隐的宣言书。

19．《别赋》、《恨赋》的作者是。

20．孔稚圭的《》以山灵的口吻，讽刺了“身居江海之上，心存魏阙之下”的假隐士。

21．唐代古文运动发生在时期，是一次提倡散文、的文体改革运动。

牛顿流体讲稿

dq=v（r）ds
第三求出总截面的流量。Q 为截面 S 内，距轴心不同 r 处，各流层流量之和。
其实这是一类非常普通的疾病冠心病或者心绞痛冠心病是冠状动脉粥样硬化性心脏病的简称冠状动脉供应心脏自身血液当发生严重粥样硬化或痉挛使冠状动脉狭窄或闭塞导致心肌缺血缺氧或梗塞的一种心脏病冠心病的主要临床表现就是心肌缺血缺氧而导致的心绞痛心律失常严重者可发生心肌梗塞使心肌大面积坏死危及生命
讲稿人们经常可以在电视上看到这样的镜头：一个情绪激动的老人手捂胸口，表情非常痛苦，服用药丸后，几分钟内，症状就得到极大的缓解，那么这个老人究竟得了什么病症？吃的又是什么药，以及为什么如此有效？其实这是一类非常普通的疾病，冠心病或者心绞痛，冠心病是冠状动脉粥样硬化性心脏病的简称，冠状动脉供应心脏自身血液，当发生严重粥样硬化或痉挛，使冠状动脉狭窄或闭塞，导致心肌缺血，缺氧或梗塞的一种心脏病，冠心病的主要临床表现就是心肌缺血、缺氧而导致的心绞痛，心律失常，严重者可发生心肌梗塞，使心肌大面积坏死，危及生命。病人吃的药物通常就是速效救心丸。 2018 年 2 月 24 日，河北石家庄市火车站东广场，突发紧急情况，一名旅客突发心脏病，吐血并瘫坐在地上，幸好被巡逻的警察及时发现，喂食一颗速效救心丸才转危为安。再有网上流传这样的段子，告诫陪娃儿做作业的家长常备速效救心丸，以防气急火攻心，血压升高，危及生命，虽然这只是把你的痛苦说出来，让大家快乐一下的调侃，但是也并不无道理速效救心丸具有舒张血管，镇静止痛，改善微循环降低外周血管阻力，减轻心脏负荷，改善心肌缺血的作用。下面我们就通过推导泊肃叶定律定量分析心血管疾病的发病及急救原理。
当 t=0 时，同时抽开 2 块隔板，流体在重力的作用下，向下做变加速运动。

牛顿均差差值

n+ f ( n+1) (ξ x ) f [ x , x 0 , ... , x n ]ω n +1 ( x ) = ω n +1 ( x ) ( n + 1) !
f ( n ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x n ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) n!
的函数表如下，例 f(x)的函数表如下，用三次牛顿插值计算的函数表如下用三次牛顿插值计算f(0.596)的近似值的近似值
←
y ← y+t*A(k,k) k ← k+1
N
k>N
Y
输出y 输出
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制. 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.首先介绍结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化. 差分概念. 差分概念. x −x 当节点等距分布时: 等距分布时当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) h =
0.62)+0.21303(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80) f(0.596) ≈N3(0.596)=0.63192
牛顿插值算法设计
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
f [ x 0 , x 1 , x 2 ,⋯ , x n] =

参考资料-牛顿差分

S ince f(>i)g, the functio has Y 1 p,{z;), fo rR»u e's T heor er n ïm Pplt ;yät a numb er } in (o.in [O, b j. The G e ner alïZ6dg‹•)(})0, SO0 f'n' f J•"(*)•pol ynomi al of de$fe•riwhose l eaöin g cœffic ie nt is f 1x0!>i!- •pin) ) = ri! f lx‹,• l , ... , x n1›J O,¡31vd t es of x.ASäC O fl S q l e 'l G-e. .z,J,Newton’s interpolat o fÿn!d iv id ed-dif f erence form ula can be ex pressed in * *Pform when <o. <i. -p, are arranged co nsec uöv ely with equ¥spacing• J»*****-•* inœoduc e the notaüon h = =‹+—x¡, f or each im 0, 1, . • • › n 1 and let x = >o +-* Then the diff erenc e x- x, can be wrineng, p q, (s —i)ù. S o @. (3.10) b ecomesP,(x) ——P,(/ -i- ›) ,J[ x0] + sh f r i o! ul +S * )2* 0' * ^2’-j-- --j- s{s Uf(s —* + )h‘/$^ ' ^ ' ' ‘•A=OUsing bin O mia l-Cœ Ncient notaöon,s s{s - 1) $ — k -I- 1)k k!wc can express P>‹x) c ompactly asSn x} m P,(x$ -J- sh} f{x9} 3- k)*!*This formula is called the Newton forseard divid ed-difference fomu+•fom, called the Newtonthe forward difference notation A introduced in Aitken’s A2 me@od.fp g :l *h - f(*o)0›*i — <o12h 2/t2‘2*(* )'Aj°(x ) —Ö f{y )tt Since Pn{ z)ïs a3 2 Divided £//,t/gFg/jCand, in general,127Then, Eq. (3.11) has the following formula.Newton For war d-Dif ference F ormula£f (<o)(3.12)If the i nterpolating nodes are reordered as z… z,—i, ... , = . a for mu la sil nildf tO Eq. (3.10) results:+ - j- f[xz, ... , x o] • - xz){x —x.—i) ‹x — xi).H the nodes are equally spaced wilx xz + sh and x xi -i- ( S 3- n —i)h, thenPz{x) ——P,{x, -i- sh)f{x n + SP f[xz, xz-i1 -1- s(s -¥1)h2J f<n. <.—i. *n—2] +-J- s{s -1- 1)- - (S + Zt I)h‘ [ n• -• . , x o]-This form is called the Newton backward divided-dNerence formula. It is used to derive a more com monly applied formula known as the Newton backward-dNerenceformul a . T O di SC uss thi s f O rmula, we need the following d efinition.Definition $.T Given the se quence {p•! n=o• define the backward difference 4 pz (read nabla p,) by"Up. ——p. —p.-i. for n ¿; 1.Higher powers are define d recwsively bypn '!!!- °'p»), for k 2i 2.De finit ion 3.7 i mplies fatf xz, x,-ifand, i n ge ner&,2h2Con sequently,f[xz, x z-;, ... •='k!h*k f••)pp g) f g n ] 3- s4 f{xz) +1'( n)•n 1)2 n!2) • '('-c H A P T L R 3 • intet polaiion anö PoJyn p NJa ï Appro ximat loH ’’’I f we e X t e fl d the b1Il Or»ial co effic ient no tatio n to includ e all real values o › by l ( -J- 1-)- - (J + k - 1 "- • — — 3— i (——* k + 1)— _ •)’ . ).thenP,[x} == j"[gq] —b(— 1)1—sQjf(y q )-ÿ(—1)2 2)-ÿ = •-f(—1)‘whieh gives the following result.Newton Back ward- DiHere nce For mul aP n {x } —— j"[x,](— 1) kkm IXAMPLE 2The divided-difference Table 3.9 eorresponds to the data in Example 1.bbte 3.91.00.76519771.30.6200860First divided differences—0.4837057Second Third ,F divided divided di differencesdiserencesdiff—0.1087339 —0.5489460 0.0658784 . 1.60.4554022—0.0494433 0.&l—0.57861200.0680685 1.90.28181860.0118183 **” ”***”*—0.5715210****””””*”Only one in t er pol ati n g poly nom ial of de gree £tt m O s t 4 u S we will organize the data QOlfltS tO O btai n t hebest eS thèsefive data po 1, 2, and 3. T his will give us a sense the given value of x. i 'l t°'P l £t u O n £f pproximation s O I of aceuracy O f t he f t 3 ll rth-deg ree approxim äIf a n a p r O xiIR t i O n t f( . ) is req uir e d, the re il s o nab le e hoiew ^o = 1 0, x i = 1.3, a:2 = 1.6, 3 = 1.9, ande for the nodes possible use of the data poiEtS cl os est to xp. 1, and alsO m ake s dif ference. This impli es that ù 0.3 and s o the Newuse of the fourtb form ll l il l S u S e d with the d ivide d dif fe re nc es fhàt ÏÎt C n f orward divided-diä…,, ave ä SO lid un derscore in T able 3•4 ( -1) = P 4 (1.0 -j- (0.3))= 0.7651997 -p (p)(—0.4837057)"* Z ( 2) (0.3)°( —0. 1087332J-s=i.3.2 f/ivJded Difi erencœ+ 31+ 30.7196480.(0.3)3(0.0658784)(0.3)4(0.0018251)To app r oz¡i » £f te a value when x is close to the end of the tabulate d V alues, s £f y, x = 2.0, we would l g • llk t o ma ke ie earliest use of ie data p O i fl tS closest to z. This requires using Öe N ewt O n backwa rd d ivided-diä erence formula w 1Î S = 2 and the divided d if feren ces in Tabl e 3.9 that have a dashed underscore: 4(2.0)4 2.2 — 2(0.3))= 0.1103623 — 2 (0.3)(—0.5715210) — 2) (0.3)2(0.0118183)3 3J)4) (0.3)3(0.0680685) — 3 J) 4-) J) (0.3)4(0.0018251)0.2238754.The Newton formulas are not appropriate for approximating f(x) when z lies near the center of ie table since employing either ie backward or forward method in such a way that the highest-order difference is involved will not allow <o to be close to x. A number of divided-diYerence formulas are available for this case, each of which has situations when it can be used to maximum advantage. These methods are Aown as centered-difference formulas. There are a number of such melods, but we will present only one, Stirling’s melod, and again refer ie interested reader to [Hild] for a more complete presentation.For the centered-difference f or mulas, we choose =0 near the point being approxi- mated and label the nodes direcXy below =o as x… x 2. . and those directly above asx _… x _2, ....With thi s co n vention, S tirling’s formu l il i s given by s/i p x) P;w p (x) f{x o] if[x -i. •o1 + J [x o. <il) + s 2h 2(3.14) nl+ 2g21)J 3.fIx —2. x-;. <o.=il + Cf=-i.=o. xz])21*—i, *o, *i5-p ... 3- s 2 (s21)(s 2 — 4) • • • ls - [ttt - l )2)h f $x ,z, ... , x,z)J(i 2 — 1-)- - (s 2 — 2)h**+'** 2(/t=— -i. . , xp! -t- f ïx q, ... , <q+,]),«» = 2« -)- 1 is o dd. If ü- 2m is even, we use the same formula but delete the last line. The entri es used for this f ormu la are underûned in Table 3.10 on page 130. c o fl s i d erl e tabl e O f d£t W °* given in the previous examples. To use Stirling’s formula to ap proxi fna te J ’(1.5) wi1*o = 1.6, we use the underlined entries in the difference Table3.11.c H A P T E R 3- lnte‹polai ion an0 P ol y nomial Appro xima tionTable 3.10First Secon ddivided divide dd if ferenc es dis erenc esThirddi videddifferen ces diffepggf{x-i, x-i. zoJfi«-i. x0l f'•- 2°-' °0’"x0 /l›0l/[ 0› lJ f lx- . x0.•ff[x-i,x0. x; , >2!x2 /lx213bble 3.JJ1.0 0.76519770.62008601.6 0.45540221.9 0,28181862.2 0.1103623 —0.5786120-0.57152100.01181830.0680685Th e f O rmul il , with A = 0.3, Up = 1.6, and s =j"(1.5) 4 1.6 -j- —} ) (0.3))3'beco mes= 0.4554022 -F0.3((—0.5489460) -j- (—0.5786120)) .(0.3)2(—0.04 94433)(0.3)3(0.0658784 + 0.0680685)= 0.51l820g. (0.3)4(0.0018251)divided diYerencesSeconddivideddifferencesThirddivideddifferences—0.48370J7—0.1087339—0.5489 460 0.0658784—0.0494433。

牛顿定律PPT课件

效果不能互相抵消； 3. 作用力与反作用力总是属于
同一性质的力； 4. 两个物体相互作用，可以接
触也可不接触。
弹性力
永磁体悬浮在超导体上方
磁场力
四、力的概念力一个物体所受的力必为其他物体所施予
▪ 自然界的四种基本力：
引力、电磁力、强相互作用和弱相互作用
1. 万有引力两个物体之间的相互吸引力
F
各个力分别作用时所产生的加速度的叠加
ai
Fi m
3. 第二定律 F m a 为瞬时关系力与加速度同时存在、同时改变和同时消失
4. 第二定律表达式为d矢2r量关系
F
i
Fi mdt2
y
解题时常用分量式
▪ 直角坐标系中的分量形式
m ax Fx
r
Fy
ay
a
F
Fx mxamdd2tx2
O
x
Fy may mdd2t2y 力和加速度的直角坐标分解
例题2-2 m1= 3 kg，m2= 2 kg，m1与m2间的静
摩擦系数0 = 0.3，m1与水平桌面间的滑动摩擦系数 = 0.2，受与水平面的夹角为30º的拉力F 作
用。求：(1)两物体不发生相对滑动时，拉力 F 与
系统的加速度 a 的关系，并考察 a = 0 时的情形；
(2)两物体不发生相对滑动时，系统的最大加速度
Fco3sm 01m s2ign 30 25
(2) 两物体无相对运动时，m2 受 m1的静摩擦力作用，当加速度为最大时，摩擦力为最大静摩擦力，
取物体m2为研究对象，坐标系的选取与(1)相同。
根据牛顿第二定律列出m2的运动方程：
x 方向： y 方向：
Ffm2a F N 2m 2g0

第二讲牛顿插值与分段线性插值

四、分段线性插值
我们已经知道插值有多种方法, 我们已经知道插值有多种方法例插值、插值等. 如, Lagrange插值、 Newton插值等插值插值插值等的目的就是数值逼近的一种手段, 而数值逼近为的目的就是数值逼近的一种手段的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解, 的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解那么是否插值多项式的次数越高, 那么是否插值多项式的次数越高越能达到这个目的呢? 观察n次插值多项式的余项的呢观察次插值多项式的余项 f ( n +1) (ξ ) n
差商表
xi x0 x1 x2 x3 x4 ┊ f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┊ f(x0,x1) f(x1,x2 ) f(x2,x3 ) f(x3,x4 ) ┊ f(x0,x1,x2) f(x1,x2,x3 ) f(x2,x3,x4 ) ┊ 1阶阶 2阶阶 3阶阶 4阶阶
∆ 3 f ( x1 ) = ∆(∆ 2 f ( x1 )) = ∆ 2 f ( x2 ) − ∆ 2 f ( x1 )
∆3f(x0) ∆3f(x1) ┊ ∆4f(x0) ┊
……
计算规律: 任一个k(≥1) 阶差分的数值等于所求计算规律任一个差分左侧的数减去左上侧的数. 差分左侧的数减去左上侧的数注意: 差分表中, 注意差分表中对角线上的差分是构造差分形式的牛顿插值公式的重要数据. 式的牛顿插值公式的重要数据
+ an ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅⋅⋅ ( x − xn−1 ).
它满足递推性: 它满足递推性
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 ).

【AP物理B和C】牛顿定律的讲解和例题

Δ §2.1 牛顿运动定律
▲
第一定律（惯性定律）（First law，Inertia law）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，
除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
第一定律的意义：
定义了“惯性系”（inertial frame）
定性给出了“力”与“惯性”的概念
物体的加速度。 a：
F ma

▲
第三定律（Third Law）
m1
· F
12
F21
m ·
2
F12 F21
对牛顿定律的说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系；而一般物体可认 2.牛顿定律是对质点而言的，为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
s v t dv a dt

o
r rA rB
vA
A
s
B
x
v

vB
two-type problems
微分积分
r v a
dr v dt
dv a dt
r v a v dt a dt

The two elephants exert action and reacti §2.2 SI单位和量纲（书第二章§2.2 ）
▲
国际单位制（SI）的力学基本量和单位：
单位的定义
138Cs原子某特征频率光波周期的
量的单位单位名称名称符号时间长度
秒
米
s
m
9 192 631 770 倍
光在真空中在（1/299 792 458）s 内所经过的距离保存在巴黎度量衡局的“kg标准原器”的质量

实验二牛顿插值法

实验二牛顿插值法
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。

2、培养编程与上机调试能力。

二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =。

构造牛顿插值多项式)(u N n 。

输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。

为
的一阶均差。

为
的 k 阶均差。

均差表：
1．输入n 值及（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =；要计算的函数点x 。

2．对给定的,x 由
[][][]
00010101201101
()()(),()(),,()
()
(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---
计算()n N x 的值。

3．输出()n N x 。

三：程序流程图：
四、实验内容
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数
2
2511
)(x
x f += 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
n i n i
x i ,,2,1,0,21 =+-=
选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数)(x L n 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

newton插值均差与差分

故(5.3.5)式成立。

现假设 k = m -1时(5.3.5)已成立，对 k = m 由均差定义及归纳假设有第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton 插值/均值与差分lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。

其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出 L 1(x), L 2(X )等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。

为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是顿)插值公式。

Newt on 插值公式通过均差和差分的记号来表达。

1.均差的概念及其性质定义5.3.1设函数f 在互异节点X 0,X 1^ 上的值为f(X 0), f(Xj ,等，定义(3)递推地，f在x 0, x 1^ , x k 上的k 阶均差为f[X °,X 1，上，X k 」]- f[X 1,X 2，上,X k ] f [X °,X 1, ； ,X k ]-- — ---X 。

— X k同时规定f 在X j 上的零阶均差为f[X]b f(X i )性质1 k 阶均差可以表示成k 1个函数值的线性组合，即f (X j )(5.3.5)(X j - X-p (X j - X j 4)(X j - X j.J 上(X j - X k )证明：用数学归纳法。

当 k = 1时由均差定义有f (X -) - f (xj f(x 。

)f (xjNewto n(牛(1)f 在x , x j 上的1阶均差为 f 在X,X j ,X k 上的2阶均差为f (Xib f (X j ) X - X jf[X i ,X j ,X k ]二f[X 「X j ]- f[X j ,XjX 一 X kkf [X -,X 1» ,X k ]八j=0或记为"''「(X j ) (5.3.5b )f[X o ,xJ 二X 。

牛顿插值公式

(n j)C n jn(n1) j(!nj1).
n
(EI)nfk (1)j(n j)EnjIjfk
证明：用算子二项式定理：
j0 n
EI
(IE 1)nfk (1)j(n j)Inj(E 1)jfk j0
得
n
fk
n
(EI)nfk (1)j(n j)EnjIjfk
n
(1)j(nj )fnkj
j0
j0
f [x f 0 2 ,( ! x x 0 0 ) , x]f 3 ( ! x f0 [) x ( x 0, x x x ]0 ) x f 0 [x 0,f x ( n 0 n ) ( ]! x 0 ) ( x x 0 ) n 2 o (x ( x 0 ) n 2 )
又 f[x 0 ,x 0 ,x 0 ] x l x i0f m [x 0 ,x x ] x f0 [x 0 ,x 0 ]
即得牛顿向前插值公式（牛顿前插公式或表初公式）：系数
f (x) f (x0 th) Pn(x0 th) Rn(x)
其
中Pn(
x)
Pn(x0
th)
f
( xx00))tff((xx00))
t(t 1) 2!
22ff((xx00))
t(t
1)(t n!
n
1)nn
ff((xx00))
n k0
I — 不变算子（恒等算子）； Ifk fk
E — 位移算子
Ek ffk 1,E m fkfk m
（4）设A与B为两算子,
若 Afk Bfk，则称算子A与B为相等。记为AB;
若 A B B A I，则称A为B的逆算子。记为BA1(AB1);
如
(a) E I, ( fkfk 1fkE k fIkf (E I)fk)

牛顿插值PPT学习教案

利用插值条件 Nn(xi) f (xi), ( i 0,1,…, n) 代入上式,得到关于 Ak (k 0,1,…, n) 的线性代数方程组.
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f (x0 ) Nn (x0 ) A0
f
( x1 )
Nn (x1)
A0
A1 ( x1
x0 )
f
( x2
)
Nn
(x2 )
A0
n 阶差商
xn f [xn] f [xn-1, xn] f [xn-2, xn-1, xn] f [xn-3, xn-2, xn-1, xn] f [x0, x1,…, xn]
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例 1 给定 f (x) = lnx 的数据表
xi
2.20
f (xi) 0.78846
2.40 0.87547
牛顿插值
会计学
1
本讲主要内容:
➢ Newton插值多项式的构造 ➢ 差商的定义及性质 ➢ 差分的定义及性质 ➢ 等距节点Newton插值公式
第1页/共50页
➢ Newton 插值多项式的构造
{1,x x0, (x x0)(x x1), …, (x x0)(x x1)…(x x )} n1 是否构成Pn的一组基函数？
2.20）
记
0.087375(x 2.20)(x
n+1(x) (x x0)(x x1)(x x2)…(x xn)
2.40)
+0.0225(第x19页/共520页.20)(x
2.40)(x 2.60)
例 2 已知当 xi = 1,2,3,4,5 时，对应的函数值为 f(xi)= 1,4,7,8,6，求四次 Newton 插值多项式。解: 差商表

第二章牛顿插值法

xi f [ xi ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ] x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]
其中a0 , a1 ,……an为待定系数
P( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
P( x)应满足插值条件 P( xi ) fi , i 0,1,, n
再继续下去待定系数的形式将更复杂。。。。。。为此引入差商和差分的概念
差商(亦称均差)/* divided difference */
fi , i 0,1,, n 定义2. 设f ( x)在互异的节点xi 处的函数值为
f ( xi ) f ( x j ) f [ xi , x j ] ( i j , xi x j ) xi x j
复习：
函数 y f ( x) 在插值节点上的取值为：
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,

,n
多项式插值问题：寻找一个n次多项式，满足下列插值条件：
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
Lagrange 插值方法
f [ xi , xi 1 , xi 2 ]
1 4
9
3
2 1 0.33333 0.2 0.33333 4 1 0.01667 3 2 9 1 0.2 94

牛顿的后向差分公式

牛顿的后向‎差分公式在哪里是后向差分.参见: 后向差分是一个落后‎的区别有限差分定义为(1)高阶的差异‎是通过重复‎操作后向差‎分算子,(2) (3)(4)一般来说,(5)在哪里是一‎个二项式系数‎.向后有限差‎分中实现Wolfr ‎a m 语言作为Diffe ‎r ence ‎D elta ‎[f,我]。

牛顿的后向‎差分公式表达的总和‎th 落后的‎差异(6)在哪里是第‎一个差异来‎自不同表计‎算。

参见:牛顿提出了‎差分公式牛顿公式的‎区别有限差分身份给一个‎列表点之间‎插入值第一‎个值和权力的向前的区别‎。

为,这个公式(1)当书面形式‎(2)与的下降!这个公式,看起来很像‎是一个有限‎的模拟泰勒级数扩张。

这个对应的‎激励力量的‎发展阴暗的微积‎分.另一种形式‎的方程使用‎二项式系数‎(3)在哪里二项式系数‎代表一个多‎项式的学位‎在 .的导数牛顿提出的‎差分公式马尔可夫链‎的公式.参有限差分有限差分离‎散的模拟导数。

有限向前的区别‎的一个函数‎被定义为(1)和有限的后向差分作为(2)远期有限差‎分的实现Wolfr ‎a m 语言作为Diffe ‎r ence ‎D elta ‎[f,我]。

如果在间距‎值列表,那么符号(3)使用。

的th 向前的区别‎将被写成,同样,th 后向差分作为 .然而,当被视为一‎个连续函数‎的离散化,那么有限差‎分有时写(4) (5)在哪里表示‎卷积和是奇怪的‎脉冲对。

有限差分算‎子因此可以‎写(6)一个th 权力有一个常数‎有限差分。

例如,以和做一个‎差异表,(7)的6列是常‎数。

有限差分公‎式可以非常‎有用的推断‎一个有限的‎数据量,试图找到通‎用术语。

具体来说,如果一个函‎数在只有少‎数离散值是‎已知的吗,1、2、……它需要确定‎的解析形式‎,可以使用下‎列程序被认‎为是一种多项式函数。

表示th 的‎价值序列感兴趣的,。

然后定义随‎着向前的区别‎ ,作为第二个‎向前的区别‎等,构建一个表‎如下(8)(9)(10) (11)继续计算 ,等,直到0值。

2.4牛顿插值

f x x,,x x x x (( f [x x,,x x ]] f [ x0 , x1 ] f ,,x xx x1 )1 ) (b) 00 00 11
x f ( x) f ( x0 ) f f x,, x x00( (x x x x0 ) (a ) 0)
抵消
( x x0 )
即 f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
函数y=f(x)的一阶均差表
x0
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ] f [ x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ xk 1 , xk ]
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 ]
( xi x j ,
f ( x n ) 当i j )
由差商定义及对称性，得
x x0 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f x, x0 , x1 x x1 f [ x, x ] f [ x , x ] f x, x , x ( x x ) (b) 0 0 1 0 1 1 f x , x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 f x, x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c)

牛顿插值法ppt课件

f (m0 (m0
1)( )
1)!
(
x
x0
)(
m0
1)
19
Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0 , x1,L , xn 处的函数值 y0 , y1,L , yn ，以及导数值m0 , m1,L , mn ，求 H2n1(x) P2n1 使得满足插值条件
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1
00
( x1 (x0
) )
0 0
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0 0 (x1) 1 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( x1 ) (x0 )
0 1
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
增加一个点后
Nn1(x) c0 c1(x x0 ) c2(x x0)(x x1) L cn (x x0)(x x1)L (x xn1) cn1(x x0 )(x x1)L (x xn1)(x xn )
5
Newton插值
关键是ci的求法！可仿照泰勒公式里系数的求法！
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) cn (x x0 )(x x1) (x xn1)
1.53427 2.18224 x 0.761677 x2 0.113706 x3
ln 1.5 = 0.409074
28
一般的Hermit插值
设在n+1个节点 a x0 x1 L xn b
给出函数值和导数值 y0 , y1,L , yn 及y0 , y1,L , yn