2020版数学(理)新攻略大一轮课标通用精练：第二章 2-第二节函数的单调性与最值含解析

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2020届高三理数一轮讲义：2.2-函数的单调性与最值(练习版)

2020届高三理数一轮讲义：2.2-函数的单调性与最值(含解析)

第2节函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x解析对于A，y1＝1x在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0，＋∞)上是增函数.答案 A3.(必修1P31例4改编)函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.解析函数y＝2x－1在[2，3]上是减函数，当x＝2时，y＝2x－1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2018·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数解析如f(x)＝x3，则y＝1f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A错；则y＝|f(x)|在R上无单调性，B错；则y＝－1f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C错.答案 D5.(2019·石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A. f(m)>f(1)B. f(m)<f(1)C. f(m)≥f(1)D. f(m)≤f(1)解析因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1). 答案 A6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).答案 D考点一确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2019·东北三省四校质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4] C.[－4，4)D.[－4，4]解析令t ＝x 2－ax ＋3a ，则y ＝log 12t (t >0)，易知t ＝x 2－ax ＋3a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增. ∵y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，∴t ＝x 2－ax ＋3a 在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t >0， ∴2≥a2，且4－2a ＋3a ≥0，∴a ∈[－4，4]. 答案 D(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性. 解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性.解法一设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 考点二求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________.解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数，所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2. (2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－3<0；当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案(1)C(2)022－3规律方法求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练2】(1)(2019·郑州调研)函数f(x)＝x－1x2在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是()A.3116 B.2 C.94 D.114(2)(2018·邵阳质检)定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析(1)易知f(x)＝x－1x2在[1，4]上是增函数，∴M＝f(x)max＝f(4)＝2－116＝3116，m＝f(1)＝0.因此M－m＝3116.(2)画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.答案 (1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x<0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________. 解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1] C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)由f (x )是奇函数，得a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25).又log 25>log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上是增函数，所以a >b >c .(2)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a ≤1，g (x )＝ax ＋1， g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0，综上可知0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D[思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x .基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32B.－83C.－2D.2解析易知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上是减函数，∴f (x )max ＝f (－2)＝2－12＝32. 答案 A2.(2019·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数. 答案 C3.(2019·兰州一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).答案 C4.函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A.(1，2) B.(－1，2) C.[1，2) D.[－1，2)解析函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0.∴m 的取值范围是[－1，2).答案 D5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( )A.2B.4C.6D.8解析设t ＝f (x )－2x ，则f (t )＝6，且f (x )＝2x ＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t ＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，且f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6.答案 C二、填空题6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________. 解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的递减区间是[0，1).答案 [0，1)7.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 答案 [1，＋∞)8.(一题多解)(2019·成都诊断)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______.解析法一在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象，依题意，h (x )的图象如图所示的实线部分.易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.答案 1三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1).(1)求方程f (x )＝0的解.(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.解 (1)由⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，得－3<x <1. ∴f (x )的定义域为(－3，1).则f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，x ∈(－3，1)，令f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，解得x ＝－1±3∈(－3，1).故f (x )＝0的解为x ＝－1±3.(2)由(1)得f (x )＝log a [－(x ＋1)2＋4]，x ∈(－3，1)，由于0<－(x ＋1)2＋4≤4，且a ∈(0，1)，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意可得log a 4＝－1，解得a ＝14，满足条件.所以a 的值为14.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.答案 D12.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2在区间(－∞，1)上有最小值，所以函数f (x )的对称轴x ＝a 应当位于区间(－∞，1)内，即a <1，又g (x )＝f （x ）x ＝x ＋a x －2a ，当a <0时，g (x )＝x ＋a x －2a 在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g (x )min >g (1)＝1－a >0；当a ＝0时，g (x )＝x 在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g (x )min >g (1)＝1：当0<a <1时，g (x )＝x ＋a x －2a ，g ′(x )＝1－a x 2>1－a >0，此时g (x )min >g (1)＝1－a ；综上，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.答案 D13.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x <0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，所以－x 2－2x ＋3<3，所以f (x )在R 上单调递减，所以由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，所以2(a ＋1)<a ，a <－2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2). 答案 (－∞，－2)14.已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2. ∴x的取值范围是(－∞，2).。

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.2函数的单调性与最值课件

由 f'(x)<0 得 1- 2 <0,即 x2<a,解得 0<x< .
所以 f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数.
-20-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.函数单调性的判断可以根据根本函数的单调性和复
合函数单调性判断方法(同增异减)判断.
2.用定义法证明函数的单调性根本步骤:①取值(任取x1,x2∈D,
2 2-3.
关闭
2 2-3
解析
答案
-11知识梳理
双击自测
自测点评
1.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如
1
函数y= 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整
个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写或用“和〞连
接,不能用“∪〞连接,也不能用“或〞连接.
,
-1 在区间(-2,2)上单调递减,函数 y=ln x 是定义域内的
+2
2-
单调递增函数,由复合函数的单调性可知函数 f(x)=ln2+ 单调递减,
符合题意.故选 D.
-18-
考点一
考点二
考点三
(2)讨论函数f(x)=x+

(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
解:(方法一:定义法)
设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2,
递减区间是(
)
A.(-∞,-3)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)
关闭
当x=2时,y=loga5>0,∴a>1.

2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编第二章函数 Word版含解析.doc

第二章函数第一节函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无题型11 同一函数的判断——暂无题型12 函数解析式的求法题型13 函数定义域的求解题型14 函数值域的求解第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是．解析易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．解析由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况．在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分．且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点，因而方程解的个数为8个．故填8．第三节二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟，即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =时取等号），()h x=222x x +=…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ．解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x+>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=⨯-，即93.28x =，所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x =，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x =-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.2 函数的单调性与最值

§2.2 函数的单调性与最值最新考纲 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案 24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)， ∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,1)解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．答案 2解析当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)． (2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案 (－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案 [－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎫θ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案 [3，＋∞)解析函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案 {y |y ∈R 且y ≠3}解析 y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B. 思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋d ax ＋b (ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c答案 D解析根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 (2018·四川成都五校联考)设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则f (x )<0的解集是( ) A ．{x |－3<x <0或x >3} B ．{x |x <－3或0<x <3} C ．{x |x <－3或x >3} D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，f (－3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝0，解得f (3)＝0. ∵函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数， ∴当0<x <3时，f (x )<0；当x >3时，f (x )>0. ∵函数f (x )是奇函数，∴当－3<x <0时，f (x )>0；当x <－3时，f (x )<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案 (－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4＋a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，23解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x答案 A解析函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)答案 B解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是() A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数．∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<1－2a <1，0<a<1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] 答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1. 由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9．记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案 6解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0. (1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案 D 解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2. ∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

新攻略大一轮课标通用精练：第二章 2-第二节函数的单调性与最值 Word版含解析

第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为( )A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案 B 设t=x2-2x-3,由t≥0得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)答案 A 依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1)=f(3).3.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )A.-1B.1C.6D.12答案 C 由已知可得,当-2≤x≤1时, f(x)=x-2,此时f(x)递增,当1<x≤2时, f(x)=x3-2,此时f(x)也递增,又在x=1处f(x)连续,∴f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.4.(2019陕西联考)已知函数f(x)=对任意的x1≠x2都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.(-∞,3)C.(3,+∞)D.[1,3)答案 D 由(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在R上单调递减,所以解得1≤a<3.故选D.5.函数y=-x(x≥0)的最大值为.答案解析令t=,则t≥0,y=t-t2=-+,当t=,即x=时,ymax=.6.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.答案 [0,1) 解析易知g(x)=画出g(x)的图象如图所示,其递减区间是[0,1).7.若函数f(x)=在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为,则a= . 答案 4解析易知f(x)=在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a]⊆(0,+∞),∴f(x)=在[2,a]上也是减函数, ∴f(x)max =f(2)=, f(x)min =f(a)=, ∴+=,∴a=4.8.已知函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在上的值域是,求a 的值.解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 2>x 1,则x 2-x 1>0,x 1x 2>0, f(x 2)-f(x 1)=-=-=>0,∴f(x 2)>f(x 1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)∵f(x)在上的值域是,f(x)在上单调递增,∴f=, f(2)=2.易得a=.9.判断并证明函数f(x)=ax 2+(其中1<a<3)在x ∈[1,2]上的单调性. 解析 f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下:设1≤x 1<x 2≤2,则f(x 2)-f(x 1)=a +-=(x 2-x 1),由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4, 易得1<x 1x 2<4,-1<-<-.又1<a<3,所以2<a(x 1+x 2)<12, 所以a(x 1+x 2)->0,故f(x 2)-f(x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1),故当a ∈(1,3)时, f(x)在[1,2]上单调递增.B组提升题组1.(2019山东青岛模拟)若f(x)=-x2+4mx与g(x)=在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是( )A.(-∞,0)∪(0,1]B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,+∞)D.(0,1]答案 D 函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=的图象由y=的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].故选D.2.(2018甘肃肃南调研)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.答案(-,-2)∪(2,)解析因为函数f(x)=ln x+2x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<.3.已知函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值. 解析f(x)=x+,当a>1时,a->0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,∴g(a)=f(0)=.当0<a<1时,a-<0,此时f(x)在[0,1]上为减函数,∴g(a)=f(1)=a.当a=1时, f(x)=1,此时g(a)=1.∴g(a)=∴g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,∴当a=1时,g(a)取最大值1.4.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,则f(x 1)-f(x 2)=-=.因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=-=.因为a>0,x 2-x 1>0,又由题意知f(x 1)-f(x 2)>0, 所以(x 1-a)(x 2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.。

(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第二章2第二节函数的单调性与最值课件理

(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)⑤ 单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的 ⑥ 单调区间 . ▶点拨 1.函数的单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意性;二是有
大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.
为
答案 (0,4]
.
解析任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,
2 x12 a x2 a x2 x1 x1 x2 a 由已知条件,得f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)+a× =(x1-x2)× <0 x1 x2 x1 x2 ;x2时,x1x2>a恒成立. 又x1x2>4,a>0,所以0<a≤4. 即实数a的取值范围是(0,4].
✕
)
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性. ( ✕ ) ✕ )
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).
(
✕
)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函
+1|的单调递增区间为(1- 2 ,1)和(1+ 2 ,+∞),单调递减区间为(-∞,1- 2 ) 和(1,1+ 2 ).
2 2
方法技巧
判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_2函数的单调性与最值课件理新人教A版

[答案] B
解得4≤a＜8，故选B.
名师点拨函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f” 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
x－122－14x＜0.
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在0，12上单调递增． [答案] B
方法2 利用单调性定义判断函数的单调性【例2】讨论函数f(x)＝x2a－x 1(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性． [解析] 设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21 ＝ax1x22－x12－ax11－xa22x－2x112＋ ax2 ＝axx221－－x11xx221－x2＋11.
图象分析函数的性质．题，又有解答题
1．增函数、减函数
[基础梳理]
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自
变量x1，x2. (1)增函数：当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数； (2)减函数：当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(1)对于任意x∈I，都有 f(x)≥M (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.2含解析

§2.2　函数的单调性考情考向分析　以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示　对∀x 1，x 2∈D ，>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 22．写出对勾函数y ＝x ＋(a >0)的增区间．a x提示　(－∞，－]和[，＋∞)．a a题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(　×　)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(3)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)1x(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　)题组二　教材改编2．[P40练习T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P54测试T6]若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案　10解析　函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－的抛物线，要使函数y ＝5x 2m 10＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－＝－1，m 10∴m ＝10.题组三　易错自纠4．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．答案　f (－3)>f (－π)解析　由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数，又－3>－π，∴f (－3)>f (－π)．5．函数的单调递减区间为________．212log (4)y x =-答案　(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．答案　－6解析　由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是，[－a 2，＋∞)令－＝3，得a ＝－6.a 2题型一　求函数的单调区间1．函数的单调递减区间为________．212log (231)y x x =＋＋答案　(1，＋∞)解析　由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为∪(1，＋∞)．(－∞，12)令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈∪(1，＋∞)．(－∞，12)则，12log y t =∵t ＝2x 2－3x ＋1＝22－，(x －34)18∴t ＝2x 2－3x ＋1的一个单调递增区间为(1，＋∞)．又是减函数，12log y t =∴函数的单调递减区间为(1，＋∞)．212log (231)y x x =＋＋2．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．答案　[－1,0]，[1，＋∞)解析　由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．3．函数的单调增区间为________．2213x x y -æö÷ç=÷ç÷çèø答案　(－∞，1]解析　易得函数的定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝u 在(－∞，＋∞)上为减函数，(13)∴的单调增区间为(－∞，1]．2213x x y -æöç=ççèø4．设函数f (x )＝Error!g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．答案　[0,1)解析　由题意知g (x )＝Error!该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．题型二　判断函数的单调性命题点1　证明函数单调性例1 求证：f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 证明　设x 1>x 2>0，则()()12121211(e e )e e x x x x f x f x æöç-ççèø＋＋＋＋121212e 1(e e )e x x x x x x ++æö-÷ç÷×ç÷÷çèø＋＋∵x 1>x 2>0，1212e e 0e 10x x x x \>>＋＋＋＋＋∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 引申探究如何用导数法求解本例？解　f ′(x )＝e x －，1e x ∵x >0，∴e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 命题点2　讨论函数单调性例2 判断函数f (x )＝(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．ax x 2－1解　任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝.a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 2－1)由－1<x 1<x 2<1得>0，(x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 2－1)∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上单调递减；同理，当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增．思维升华证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f (x 1)－f (x 2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性．跟踪训练1 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋(其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．1x解　函数f (x )＝ax 2＋(1<a <3)在[1,2]上单调递增．1x证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax ＋－ax －21x 2211x 1＝(x 2－x 1)，[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－<－.1x 1x 214又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－>0，1x 1x 2从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．题型三　函数单调性的应用命题点1　比较函数值的大小例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．(－12)答案　b>a>c解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ＝f ，且2<<3，所以b>a>c.(－12)(52)52命题点2　解函数不等式例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案　(－，－2)∪(2，)55解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.55命题点3　求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ改编)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________．答案　3π4解析　∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin，2(x－π4)∴当x －∈，即x ∈时，π4[－π2，π2][－π4，3π4]y ＝sin 单调递增，(x －π4)f (x )＝－sin 单调递减，2(x －π4)∴是f (x )在原点附近的单调减区间，[－π4，3π4]结合条件得[0，a ]⊆，∴a ≤，即a max ＝.[－π4，3π4]3π43π4(2)已知函数f (x )＝Error!若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案　(1,2]解析　由题意，得12＋a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的12取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．答案　[－12，＋∞)解析　若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立．当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图象的对称轴为x ＝－<0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，且有g (x )>0，符合题意；当a <0时，12a需满足g (x )图象的对称轴x ＝－≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－，则－≤a <0.12a 1212综上，a ≥－.12思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝Error!满足对任意x 1≠x 2，都有>0成立，那么a 的取f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2值范围是________．答案　[32，2)解析　对任意x 1≠x 2，都有>0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以Error!解得≤a <2.32故实数a 的取值范围是.[32，2)(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不等式(12)19(log )0f x >的解集为________________．答案　Error!解析　由题意知，f ＝－f ＝0，(－12)(12)f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴或，191(log )2f x f æö÷ç>÷ç÷çèø191(log )2f x f æöç>-ççèø∴或，191log 2x >191log 02x -<<解得0<x <或1<x <3.13∴原不等式的解集为Error!.1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(1,3)上是________函数．(填“增”“减”)答案　减解析　作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(1,3)上是减函数．2．函数的单调递增区间为________．212log (6)y x x ＋＋＋＋答案　(12，3)解析　由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则12log y t=，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.(12，3)3．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ，b ＝f ，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c (log 215)(log 24.1)的大小关系为________________．答案　a >b >c解析　∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ＝f ＝f (log 25)．(log 215)(－log 215)又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案　[－14，0]解析　当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－≥4，1a 1a解得－≤a <0.14综上，实数a 的取值范围是.[－14，0]5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．a x ＋1答案　(0,1]解析　f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.6．已知函数f (x )＝Error!则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　充分不必要解析　若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由c ＝－1能得出c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知函数f (x )＝Error!当x 1≠x 2时，<0，则a 的取值范围是________．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2答案　(0，13]解析　当x 1≠x 2时，<0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2∴f (x )是R 上的减函数．∵f (x )＝Error!　∴Error!∴0<a ≤.138．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案　(134，＋∞)解析　依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－2＋(－1≤x ≤2)，(x －32)134当x ＝时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ＝，因此a >.32(32)1341349．若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ＝Error!由图象知(图略)，若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a ≥0.10．设函数f (x )＝Error!若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)解析　作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝(x ≠a )．x x －a(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明　当a ＝－2时，f (x )＝.x x ＋2设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝－＝.x 1x 1＋2x 2x 2＋22(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解　设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－x 1x 1－a x 2x 2－a＝.a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝Error!(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解　(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝Error!(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k ≤－2或k ≥6.2－k 22－k 2即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )＝Error!若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案　(－2,1)解析　∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )＝Error!不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案　(－∞，－2)解析　二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为x 2＋1____________．答案　(14，＋∞)解析　由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >，14∴原不等式的解集为.(14，＋∞)16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．22解　(1)由Error!得<x<2或－2<x<－.22∴原不等式的解集为(－2，－)∪(，2)．(2)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数，∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)＝1，∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1,1]，需满足Error!即Error!解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

2020届高考数学一轮复习通用版讲义导数与函数的单调性

第二节导数与函数的单调性一、基础知识批注——理解深一点函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.二、常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(二)选一选1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D∵f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)解析：选A函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，得0<x<1，故f (x )的单调递减区间为(0,1)．3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.(三)填一填4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________．解析：f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .令f ′(x )>0，解得x >2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：[－3， 3 ]考点一利用导数研究函数的单调性[典例] 已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a ∈R 且a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． [解] f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)， ①当a <0时，f ′(x )>0恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，由f ′(x )＝ax －1ax2>0，得x >1a ；由f ′(x )＝ax －1ax2<0，得0<x <1a ， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．[解题技法] 讨论函数f (x )单调性的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )，并求方程f ′(x )＝0的根；(3)利用f ′(x )＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x )的正负，由符号确定f (x )在该区间上的单调性．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[题组训练] 1．函数f (x )＝e x －1x ＋1在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．解析：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ≠－1}． ∵f (x )＝e x －1x ＋1，∴f ′(x )＝e x ＋1(x ＋1)2>0. ∴f (x )在定义域内为增函数．答案：增2．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a ∈R 且a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax ＋2x ＝2x 2＋a x.①当a >0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2(负值舍去)，当0<x <－a2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减；当x >－a2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述，当a >0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ －a 2，＋∞上单调递增．考点二利用导数求函数的单调区间[典例] (2018·湘东五校联考节选)已知函数f (x )＝(ln x －k －1)x (k ∈R)．当x >1时，求f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝1x ·x ＋ln x －k －1＝ln x －k ，①当k ≤0时，因为x >1，所以f ′(x )＝ln x －k >0，所以函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间． ②当k >0时，令ln x －k ＝0，解得x ＝e k ，当1<x <e k 时，f ′(x )<0；当x >e k 时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是(1，e k )，单调递增区间是(e k ，＋∞)．综上所述，当k ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k >0时，函数f (x )的单调递减区间是(1，e k )，单调递增区间是(e k ，＋∞)．[解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．[提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．[题组训练]1．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0)解析：选D 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．2．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内单调递减；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内单调递增．故f (x )的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．考点三函数单调性的应用[典例] 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，则g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． [变透练清]1.[变条件]本例(2)变为：若g (x )在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a 的取值范围．解：∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ∴x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0，g ′(－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解得a ≤－3. 即实数a 的取值范围是(－∞，－3]．2.[变条件]本例(2)变为：若g (x )的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a 的值．解：∵g (x )的单调递减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3.[变条件]本例(2)变为：若g (x )在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a 的取值范围．解：由1知g (x )在(－2，－1)内为减函数时，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．若g (x )在(－2，－1)内为增函数，则a ≥x ＋2x 在(－2，－1)内恒成立，又∵y ＝x ＋2x 在(－2，－2)内单调递增，在(－2，－1)内单调递减，∴y ＝x ＋2x 的值域为(－3，－22)， ∴实数a 的取值范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g (x )在(－2，－1)上不单调时，实数a 的取值范围是(－3，－22)． [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，所以f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2．已知函数f (x )＝x 2(x －m )，m ∈R ，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C ∵f ′(x )＝3x 2－2mx ， ∴f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2，由f ′(x )＝3x 2＋4x ＞0，解得x ＜－43或x ＞0，即f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)． 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.4．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A.5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增；由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．(2019·百校联盟联考)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 由题意知f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ＋a )≥0在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立，即a ≥－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立，∵x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，1)，∴a ≥1，故选D. 7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6，得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11) 8．函数f (x )＝ln x －x1＋2x在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x (1＋2x )2＝4x 2＋3x ＋1x (1＋2x )2.∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数．答案：增9．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：对f (x )求导可得f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x (x >0)．令f ′(x )＝2x 2－5x ＋2x＝(2x －1)(x －2)x >0(x >0)，解得x >2或0<x <12.综上所述，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) 10．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________(用“<”表示)．解析：由偶函数的定义知函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f ′(x )≤0. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)．答案：f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π211．已知函数f (x )＝1－ln x ＋a 2x 2－ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x ＋2a 2x －a ＝2a 2x 2－ax －1x ＝(2ax ＋1)(ax －1)x . ①若a ＝0，则f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a >0，则当x ＝1a 时，f ′(x )＝0，当0<x <1a 时，f ′(x )<0；当x >1a 时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． ③若a <0，则当x ＝－12a时，f ′(x )＝0，当0<x <－12a时，f ′(x )<0；当x >－12a时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递增． 12．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋3.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋12x 2＋3，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝－1x ＋x ＝x 2－1x.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x ＞0，得0＜x ＜1. 所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．(2)法一：因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝ax＋x ＋a ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a ≥0，即(x ＋1)(x ＋a )≥0在(0，＋∞)上恒成立．因为x ＋1＞0，所以x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围是[0，＋∞)．法二：因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝ax ＋x ＋a ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，因为Δ＝(a ＋1)2－4a ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋12≤0，g (0)≥0，即a ≥0，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)．B 级——创高分自选1．(2018·广东一模)已知函数y ＝f (x )e x 在其定义域上单调递减，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选A ∵函数y ＝f (x )e x 在其定义域上单调递减， ∴⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ≤0在定义域上恒成立，且不恒为0，即f (x )≥f ′(x )恒成立．结合图象知A 正确．2．(2018·南昌摸底)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A ．4f (－2)<9f (3)B ．4f (－2)>9f (3)C ．2f (3)>3f (－2)D ．3f (－3)<2f (－2)解析：选A 设g (x )＝x 2f (x )⇒g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]，则当x >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，易得g (x )是偶函数，则4f (－2)＝g (－2)＝g (2)<g (3)＝9f (3)，故选A.3．已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－2,3)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a >0，即f (x )在R 上单调递增；若a>0，令e x－a≥0，解得x≥ln a.即f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增，因此当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R，当a>0时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞)．(2)存在实数a满足条件．因为f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立，所以a≥e x在(－2,3)上恒成立．又因为－2<x<3，所以e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，在(－2,3)上f′(x)＝e x－e3<0，即f(x)在(－2,3)上单调递减，所以a≥e3.故存在实数a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2,3)上单调递减．。

2020届高考数学(理)复习课件：第二单元§2.2函数的单调性与最值

(2)已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,
12
则关于 x 的不等式 f(2x-1)<f
1 3
的解集是
2,3
.
【解析】(2)由题意知
2��-1 2��-1
≥ <
013 ,,解得12≤x<23.
答案解析
题型四求函数的最值(值域)
【例 4】已知函数 f(x)=2x-��(a∈R)的定义域为(0,1]. (1)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的值域; (2)求函数 y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.
答案解析
2.函数 f(x)=log0.5(x2-4)的单调递增区间为 (-∞,-2) .
【解析】函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因
为函数 y=f(x)由 y=log0.5t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成,又
y=log0.5t 在(0,+∞)上单调递减,t=g(x)在(-∞,-2)上单调
域,均应考虑定义域.
点拨
【追踪训练 4】若函数 f(x)=��1-1在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是13, 则 a+b= 6 .
【解析】由题意知 f(x)在[a,b]上为减函数,
∴
��(��) = 1,
��(��)
=
1 3
即 ,
1
��-1 1
B.b<a<c D.c<a<b
【解析】(1)由
f(x)是奇函数得 a=-f