永州市东安一中届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)

合集下载

高三第二次模拟考试数学试题(理).doc

高三第二次模拟考试数学试题（理）时间120分钟总分150分命题人：曹干铁审校人：王立象等第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么A P (·)()A P B =·)(B P如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=球，其中R 表示球的半径．球的体积公式343V R π=球，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数2log (1)()1(1)xx f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，它的反函数为1()y f x -=，则1(2)f --A ．3-B ．1-C ．14D ．2 2．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于A . 4 B. 3 C. 2 D. 1 3．已知平面γβα,,，直线m l ,，点A ，有下面四个命题： ①若A m l =⊂αα ,，则l 与m 必为异面直线； ②若//,//l l m α，则//m α；③若,,//,//l m l m αββα⊂⊂，则//αβ； ④若,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥。

其中正确命题的个数是( )。

A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设2:f x x →是集合A 到B 的映射，如果{}1,2B =,则AB 等于A . {}1 B. ∅ C. ∅或{}2 D.∅或{}15．若条件p ：14x +≤，条件q ：2<x <3，则q ⌝是p ⌝的A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件6.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A,B,C 所对的边，60A ∠=︒,1b =,ABC ∆的面积ABC S ∆=,则sin sin sin a b cA B C++++的值等于AB ．CD． 7．从6人中选出4人分别到莽山、韶山、衡山、张家界4个旅游景点游览，要求每个景点有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲、乙两人不去莽山景点游览，则不同的选择方案共有 A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 8．如图：在△ABC 中，1tan22C =，0AH BC ⋅=，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为（）A ．2B ． 3C ．2D ．39．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 A ．1433 B ．2633 C ． 2733 D ． 323310．一次研究性课堂上，老师给出一个函数()()1xf x x R x=∈+,四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时各给出了一个命题：（1）甲：函数()f x 的值域为()1,1-（2）乙：若12x x ≠,则有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦ （3）丙：关于x 的方程()()2213120f x a f x a ---+=（a 为常数且102a <<）的所有实数解的和与a 有关（4）丁：若规定()()1f x f x =，()()()1n n f x ff x -=，则()1n x f x n x=+对任意*n N∈恒成立上述四个命题正确的有A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．已知圆22670x y x +--=与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p =12．若61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的第五项等于152 , 则231111lim nn x x x x →∞⎛⎫++++⎪⎝⎭= A BCH13．某学校对学生身高进行统计. 所有学生的身高数近似服从正态分布(160,25)N ，已知所有学生中身高在153cm 以下的人数为202人，则该校学生总人数约为人（用整数作答）.14．正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,若图中三角形(正四面体的截面)的面积是，则该球球面面积为15.设O 为坐标原点，()1,2A ,若(),P x y 的坐标满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则cos OP AOP ∠的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量)1),3(cos(π+=x ，)21),3(cos(-+=πx ，)0),3(sin(π+=x ，函数 b a x f ⋅=)(， c a x g ⋅=)(.（1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．17．（本小题满分12分）10个实习小组在显微镜下试测一块矩形芯片，测得其长为m m m μμμ31,30,29的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为m μ19m μ20m μ21的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形芯片的长与宽分别为随机变量ξ和η，周长为μ。

湖南省永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学(理科)试题(含解析)

湖南省永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设复数z 满足21z i=+，则z 的共轭复数为 A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --2．已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则 A ．{}13A B x x =<<IB ．A B φ=IC ．{|3}A B x x =<UD ．{}1A B x x =>U3．执行右图所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为 A ．2 B ．3C ．4D ．54．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是 A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变 B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10 kg 5．已知数列113221,,,,n n a a a a a a a -L 是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于 A ．8B ．32C ．64D ．1286．某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10．现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是A ．15B ．715C ．815D ．457．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=LA ．2-B ．0C ．2D ．20208．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值第4题图第3题图-2B AO y ππ2x-112第9题图A ．56π-B ．65π C ．6π-D ．6π9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略不计） A ．14B ．14πC ．21414ππ++ D ．2116116ππ++10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π11．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A ．23B ．54C ．53D ．3212．数列｛a n ｝满足a n ＋1＋a n ＝11-n +（-1)n ，且0＜a 6＜1．记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时n 为 A ．11B ．12C ．11或13D ．12或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为．14．已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=u u u r u u u r．15．已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =u u u r u u u r，则|AB|= ．16．已知函数22,1,()1|1|,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<=⎨--≤≤⎩（1）若t ＝1，且)(x f 值域为[-1，3），则实数a 的取值范围为．（2）若存在实数a ，使)(x f 值域为[-1，1]，则实数t 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．第10题图17．（12分）在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为求CD ；（2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=，求CD ．18．（12分）在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值．19．（本题满分12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，⋅uu u r uuu rOP OM 为定值．第18题图ADFB20．（本题满分12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （N n *∈且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（N k *∈且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．21．（12分）已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明：（1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为22x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥．永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．10x y --= 14．2- 15．16316．(1)[1,3]（2分）; (2) (1]-（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………3分在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BDB =+-⋅⋅⋅∴ CD = ………………………………………………………………6分（2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sincos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……8分 Q cos BCA ∠=，cos DCA ∠=， ∴sin BCA ∠=，sin DCA ∠=， ∴ sin BCD ∠=………………………………………………………10分在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠， ∴ sin sin BD BCD BCD⋅==∠ ………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BD AEF 面，BCD AEF EF =面面I ，BD ⊂所以//BD EF ，因为BD CD ⊥，所以CD EF ⊥．又因为AE ⊥面BCD ，CD BCD ⊂面，所以CD AE ⊥，而EF AE E =I ，（第18题图）所以CD AEF ⊥面，又CD ACD ⊂面，所以AEF ACD ⊥面面． ………………6分（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ．连接DE ，在BCD ∆中，=2BD CD =，BE EC =，BD CD ⊥，所以DE BC ⊥，且BC =，DE = 又因为AE BCD ⊥面，DE BCD ⊂面，BC BCD ⊂面，所以AE DE ⊥，AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中，DE 2AD =，所以AE = 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标为(0,0A，(B，D，C ，因为//BD EF ，E 为BC 的中点，所以F 为CD的中点，即F ，设平面ABDBA =u u u r ，，由m BAm BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即(,,)0(,,)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩ur u u u r ，整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =-，得1x =，1y =-，则(1,1,1)m =--u r ．……10分因为 22AF =u u u r，所以sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯u r u u u ru r u u u r故直线AF 与平面ABD所成交的正弦值为3． ……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆Γ过点，∴22211a b +=，① ………2分又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+，令x =m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k --=+，∴2122412k x k-=+，1124(2)12k y k x k =+=+，所以222244(,)1212k k P k k-++， ……………………………………………………8分 ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r mk k k m k OP OM m k m k k k k ，…10分要使⋅uu u r uuu rOP OM 与k 无关，只须12=m，此时⋅uu u r uuu r OP OM 恒等于4. ∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x =m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ，所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ，要使⋅uu u r uuu rOP OM 与0x 无关，只须12=m，此时4⋅=uu u r uuu r OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）如果4n =，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -． ………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ，由已知得1E n ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-, ()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n nE p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--…………………5分要减少检验次数，则1E ξ>2E ξ，则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->，1(1)np n->，即111()n p n <-， ………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，则由（2）知11,1k ξ=+，21,1k ξ=+， ()12()()11kE E k k p ξξ==+--，12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+-- ………………10分②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，,m ξK ， 11,1k ξ=+，21,1k ξ=+，,1,1m k ξ=+L ，且检验总次数12m ξξξξ=+++L ，()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ，()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L ()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ，所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--． …………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x ∈（0,1）时，f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0，函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0，f (1)＝3>0，所以存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0．…4分 (2) 当x ∈（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令t =2-x , x =2-t ，x ∈（1，2），t ∈（0，1），1(2)(1)ln(1)tg t te t t --=-++, t ∈（0，1） ……………………6分记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++，t ∈（0，1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++． ……………………8分由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，f (t )<0，h ′(t )＞0，当t ∈(x 0，1)时，f (t ) >0，h ′(t ) <0．故在(0，x 0)上h (t )是增函数，又h (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，h (t )>0，所以h (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，1)上h (t )为减函数，由h (x 0)>0，h (1)＝12－ln 2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，1)，使h (t 1)＝0， ……………………………………………10分故存在唯一的t 1∈(0，1)，使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1，2)，使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0，1)时，1＋t >0，故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<2． …………………………………………12分 22．（本小题满分10分）解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则212sin sin()1=)242ONOMπααρπαρ+=-+，由02πα<<，有32444πππα-<-<，当sin(2)=14πα-时，ONOM的最大值为2．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤xxf得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+5225252xxxx，解得1-≥x∴不等式52)(+≤xxf的解集为[)+∞-,1．………………………5分（2）Θ23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=xxxxxfxfxg当且仅当3≥x时等号成立，∴2=M，………………………7分∴22211123Ma a a aa a a+=+=++≥=．当且仅当21aa=，即1=a时等号成立．………………………10分。

2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)

2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题 1．设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（） A ．1i - B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +.故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2．已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（） A ．{}13A B x x ⋂=<< B ．A B φ⋂= C ．{|3}A B x x =<U D ．{}1A B x x ⋃=>【答案】A【解析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可. 【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =U .故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3．执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg【答案】D【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可. 【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5．已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -L 是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（） A ．8 B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a a a a a a ====,故32441123842164a a aa a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6．某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（） A ．15B ．715C ．815D ．45【答案】C【解析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可. 【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （）A ．2-B ．0C ．2D ．2020【答案】B【解析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-. 故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++L ,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==. 故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=.故选：B 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（）A ．56π-B ．56π C ．6π-D ．6π 【答案】D【解析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（）（保温带厚度忽略不计）A．14B．14πC．221414ππ++D．22116116ππ++【答案】D【解析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可.【详解】由题,作''AP B D⊥于P.根据题意可知'B P宽为带宽的四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4APπ=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】A【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可. 【详解】由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.故外接球直径为222+2=22.故外接球表面积22224482S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11．如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．23B ．54C ．53D 32【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b ca b θ==+，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==．故选：C. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12．数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（）A ．11B ．12C ．11或13D ．12或13【答案】C【解析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可. 【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111n n n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦. 故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤. 故11n =或13n =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.二、填空题13．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________．【答案】10x y --=【解析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题,1'yx=,设切点为()00,lnx x,则在切点处的切线斜率为1x,又切线过点(0,1)-,故0000ln(1)11xxx x--=⇒=.故切点为()1,0.故切线方程为()101101x yy x-=---=⇒.故答案为：10x y--=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14．已知AB为圆O的弦，若||=2AB，则OA AB⋅=u u u r u u u r_________．【答案】2-【解析】根据数量积的几何意义求解即可.【详解】由题, 作OC AB⊥于C.则()cosACOA AB OA AB OAB OA ABAOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2AB AC=-⋅=-u u u r故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15．已知以F为焦点的抛物线C：24y x=上的两点A、B满足3AF FB=uu u r uu r，则|AB|=________．【答案】163【解析】根据3AF FB=uu u r uu r可求得直线AB的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图.设FB m =uu r ,由3AF FB =uu u r uu r,可得：3AF m =uuu r ,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC V 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为)31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16．已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________．（2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________．【答案】[1,3] (21]-【解析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可. 【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况.由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=-（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]- 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型.三、解答题17．在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=CD ．【答案】（1）CD 23=（26【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可. 【详解】解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ Q 5cos 5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=∴21cos 25sin BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin DCA DCA -∠∠==∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18．在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可. 【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面I ,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥．又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EF AE E =I , 所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ．连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,2,0)D ,2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =u r,2,0,2)BA =u u u r ,2,2,0)BD =u u u r,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩u u u v v u u u vv , 整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--u r ．因为22(2)22AF =u u u r ,所以2sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯u r u u u ru r u u u r 故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为23．【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅uu u r uuu r为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代2,1)入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅uu u r uuu r ,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅uu u r uuu r,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值. 【详解】解：（1）椭圆Γ过点(2,1),∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,② 联立①②得2,2a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r mk k k m k OP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅uu u r uuu r 恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ,∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx , 要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=u u u r u u u u r .∴2m = 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20．某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()n p n<-（3）①()()2221k E k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可. 【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21．已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明：（1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11t g t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明. 【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为22222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值．【答案】（1）sin()24πρθ+=2）2+12【解析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()24πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()214=)2422ON OM πααρπαρ+=-+,由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM 的最大值为2+12．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23．已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥．【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）Q ()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+= 当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =, ∴322221111233Ma a a a a a a a a a+=+=++≥⋅⋅=．当且仅当21a a =,即1a =时等号成立．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。

【数学】湖南省永州市东安一中2015届高三第二次模拟考试(理)

湖南省永州市东安一中2015届高三第二次模拟考试（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}01x x A =<<，{}1x x B =≥，则正确的是（） A ．{}01x x A B =<< B ．A B =∅ C ．{}01x x AB =<< D ．A B =∅2、()()2311x y -+的展开式中2xy 的系数是（）A ．6-B ．3-C ．3D ．6 3、已知i 为虚数单位，若数列{}n a 满足：1a i =，且()()111n n i a i a +-=+，则复数5a =（） A ．i - B ．1- C ．i D ．1 4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A ．3 B ．4 C ．6D ．125、已知空间中的直线l 和两个不同的平面α、β，且l α⊄，l β⊄．若αβ⊥，则命题:p “l β⊥”是命题:q “//l α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设函数()21220f x x x =-+，()()()g x f x f x =+，则()()()1210g g g ++⋅⋅⋅+=（）A ．0B ．9C ．12D ．187、设随机变量ξ服从正态分布()2,μσN ，若方程240x x ξ++=没有实根的概率是12，则μ=（）A ．1B ．2C ．4D ．不能确定8、已知x ，y 满足21x y x x y y e e ⎧≤+⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则1x y -+的取值范围是（）A ．[]2,2-B ．[]1,2-C ．[]2,e -D ．[]1,e -9、过双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的上顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若C 2A =AB ，则双曲线的离心率是（）A B ．4 C D ．310、把函数()2cos f x x x =在()0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排列为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，⋅⋅⋅，则对任意正整数n 必有（）A ．102n n x x π+-<-< B ．112n n x x π+<-<C ．12n n x x ππ+<-< D ．132n n x x ππ+<-<二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分．） 11、已知在直角坐标系x y O 中，圆C 的方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 2cos 40ρθρθ+-=．若l 与C 相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的面积是．12、若对任意实数x 有31x x a ---≤恒成立，则实数a 的取值范围是．13、如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，点C 在O 的劣弧AB 上，且C 130∠A B =，则∠P = ．（二）必做题（14~16题） 14、如图程序框图若输入18P =，则输出结果是． 15、从抛物线24x y =上一点P （第一象限内）引x 轴的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，若F 5P =，则直线PM 、x 轴与抛物线围成的图形面积是． 16、将函数()sin cos 22f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0ϕ>）的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象．()1则ϕ的最小值是；()2过Q ,08π⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与函数()f x 的两个交点M 、N 的横坐标满足08x πM <<，84x ππN <<，则Q Q ON⋅O -MO⋅O 的值是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()I 求()f x 在区间[]2015,2016ππ上的取值范围； ()II 若()12f α=，求7sin 46πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 18、（本小题满分12分）2014年2月开始西非爆发了大规模的埃博拉病毒（Ebola virus ）疫情．到目前为止，该病毒已导致感染病例超过2万人，死亡近8000人．2014年9月，世卫组织（WHO ）称某国科学家正在研究针对埃博拉病毒的两种疫苗（δ-疫苗和σ-疫苗）：用若干个试验组进行对比试验，每个试验组有4只猕猴，并将猕猴编号，其中每组①②号注射δ-疫苗，而③④注射σ-疫苗，然后观察疗效．若在一个试验组中，注射δ-疫苗有效的猕猴的只数比注射σ-疫苗有效的猕猴的只数多，就称该试验组为“控制组” ．设每只猕猴注射δ-疫苗有效的概率为23，注射σ-疫苗有效的概率为12． ()I 求一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效的概率；()II 若观察三个不同的试验组，用ξ表示这三个试验组中“控制组”的个数，求ξ的分布列及其数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为菱形，D 60∠BA =，Q 为D A 的中点，D PA =P =，D 2A =PB =．()I 求证：Q D B ⊥P ；()II 点M 在线段C P 上，且Q C M ⊥P ，求Q C M -B -的余弦值．20、（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足()11122nn n n a a -+=-⨯+，10a =．()I 求4a 的值，并证明数列{}2n a 是等比数列； ()II 求数列{}n a 的前n 项和n S ．21、（本小题满分13分）在平面直角坐标系x y O 中，椭圆22221x y a b+=的右焦点为()F ,0c（0a b c >>>），短轴的一个端点为P ，已知F ∆PO O 到直线F P 的距()I 求椭圆的方程；()II 过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若直线OA ，OB 与直线4x =分别交于M ，N 两点，线段MN 的中点为R ，线段AB 的中点为Q ，证明：直线RQ 过定点．22、（本小题满分13分）已知()2ln xf x ax x-=++．()I 若函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，求实数a 的最小值；()II 若1x ∃，221,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≥-成立，求实数a 的取值范围．参考答案。

湖南省永州市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷

湖南省永州市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知为等比数列的前项和，，则（）A．12B．24C．48D．96第(2)题如图是的大致图象，则的解析式可能为（）A．B．C．D．第(3)题已知全集，集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数（）有两个零点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(6)题椭圆的长轴长与焦距之差等于（）A．B．C．D．第(7)题已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件第(8)题在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（）A．5B．C．2D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题某车间加工某种机器的零件数与加工这些零件所花费的时间之间的对应数据如下表所示：个10203040506268758189由表中的数据可得回归直线方程，则以下结论正确的有（）A．相关系数B．C．零件数的中位数是30D．若加工60个零件，则加工时间一定是第(2)题已知抛物线：，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点，则（）A．抛物线的准线为B．C．D．的最小值为4第(3)题设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．以为直径的圆与轴相切D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标y 0，则y 0>2是|MF |>2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知的图像过点，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．3. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款，某地统计了近五年来查处的酒后驾车和醉酒驾车共200人，如图，这是对这200人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，下列说法正确的是（）A ．在酒后驾车的驾驶人中醉酒驾车比例不高因此危害不大B ．在频率分布直方图中每个柱的高度代表区间内人数的频率C ．根据频率分布直方图可知200人中醉酒驾车的约有30人D ．这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为4. 已知三点都在以为球心的球面上，两两垂直，三棱锥的体积为，则球的表面积为( )A．B．C．D．5. “”是“函数为奇函数”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件6.，，大小关系正确的是（）A．B．C．D．7.若复数是实数，则实数（）A．B ．0C ．1D ．28. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像A．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9. 正方体的棱长为3，E ，F 分别是棱，上的动点，满足，则（）A ．与垂直B ．与一定是异面直线C ．存在点E ，F ，使得三棱锥的体积为D ．当E ，F 分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（）A ．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B ．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C ．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D ．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是11. 已知圆，过点直线与圆交于两点.下列说法正确的是（）A．的最小值为B．C．的最小值为D ．线段中点的轨迹为圆12.如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（）A．B．C．D．13. 已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝，过BD 1作平面α分别交棱AA 1，CC 1于E ，F ，则四边形BFD 1E 面积的最小值为________.14. 已知，，，，，若，则的值为______15. 在平面直角坐标系xOy 中，角θ是以O 为顶点，Ox 轴为始边，若角θ的终边过点，则的值等于____________．16. 已知，．(1)讨论的单调性；(2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：）17.在锐角中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，已知，求：(1)A 的大小；(2)的取值范围．18. 某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形为亲水木平台区域（四边形是矩形，A ，D 分别为的中点，米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C分别在平台区域边界上（不含端点），且设计成，另一段玻璃桥满足．(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为，宽度、连接处忽略不计）．19. 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于．20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200(1)填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82821. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步量性别0~20002001~5005001~8008001~10000>10000男12368女021062(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型懈怠型总计男女总计附：，0.100.050.0250.0102.7063.841 5.024 6.635(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.。

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟试卷

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=（）A . {x|x＞0}B . {x|x＞1}C . {x|1＜x＜2}D . {x|0＜x＜2}2. （2分） (2015高二下·哈密期中) 复数z= ，则|z|=（）A . 1B . ﹣1+iC .D . 1﹣i3. （2分）一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个数为（）A . 150B . 200C . 500D . 6004. （2分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥B D.沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）条件p：且，条件q：且，则条件p是条件q的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高二上·宣化期中) 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i≤2011B . i＞2011C . i≤1005D . i＞10057. （2分） (2017高二下·南昌期末) 六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知动点M的坐标满足，则动点M的轨迹方程是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 以上都不对9. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 函数f（x）= ﹣cos2（﹣x）的单调增区间是（）A . [2kπ﹣，2kπ+ ]，k∈ZB . [2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈ZC . [kπ+ ，kπ+ ]，k∈ZD . [kπ﹣，kπ+ ]，k∈Z10. （2分）已知函数的图像在点A(1，f(1))处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则直线的倾斜角为（）A .B .C .D .12. （2分）方程的根所在区间为（）A . (-1,0)B . (0,1)C . (1,2)D . (2,3)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·纳雍期中) 函数的图像一定经过定点为________．14. （1分） (2016高一下·宜春期中) 在等差数列{an}中，a2+a6= ，则sin（2a4﹣）=________．15. （1分）(2017·嘉兴模拟) 若非零向量满足，且，则向量与的夹角为________．16. （1分）如图，在棱长均相等的正四棱锥P﹣ABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2017高二上·河北期末) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos （B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．18. （15分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和频率分布直方图：（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在[25，55]小时的学生体育运动的平均时间；19. （10分） (2018高二上·宜昌期末) 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，过的中点作平面∥ ，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20. （10分） (2019高三上·瓦房店月考) 已知 .（1）若恒成立，求的取值范围.（2）证明：当时， .21. （10分）(2018·绵阳模拟) 如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．22. （10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）解不等式|x﹣2|+|x+1|≥5．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2023届湖南省永州市高三第二次适应性考试(二模)数学试题含答案

永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,1,0,1,2A A B A B =⋂=⋃=，则集合B =（）A.{}0,1B.{}0,2 C.{}1,2 D.{}12.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 12i z -=+，则在复平面内复数z 对应的点在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.“α是锐角”是14πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设D 为ABC 所在平面内一点，3AD AB =，则（）A.32CD CA CB =-B.32CD CA CB =+C.23CD CA CB=-- D.23CD CA CB=-+ 5.若存在常数,a b ，使得函数()f x 对定义域内的任意x 值均有()()22f x f a x b +-=，则()f x 关于点(),a b 对称，函数()f x 称为“准奇函数”.现有“准奇函数”()g x 对于x R ∀∈，()()4g x g x +-=，则函数()()sin 21h x x x g x =++-在区间[]2023,2023-上的最大值与最小值的和为（）A.4B.6C.7D.86.如图，12,F F 为双曲线的左右焦点，过2F 的直线交双曲线于,B D 两点，且223F D F B =，E 为线段1DF 的中点，若对于线段1DF 上的任意点P ，都有11PF PB EF EB ⋅≥⋅成立，则双曲线的离心率是（）C.27.已知数列18371,212n n n n a n b n --=-+=-，若对任意的()()*,0n n n N a b λλ∈--<，则实数λ的取值范围是（）A.118,25⎛⎫⎪⎝⎭B.518,85⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.111,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.511,83⎛⎫⎪⎝⎭8.如图，在三棱锥A BCD -中，45ABC ∠= ，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD 所成最大角的正弦值是104时，PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（）A.105 B.64 C.155 D.106二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最大值为1B.直线3x π=是()f x 图象的一条对称轴C.()f x 在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.已知O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，下列说法正确的有（）A.线段AB 长度的最小值为4B.过点()0,1M 与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线OA 交抛物线的准线于点D ，则直线DB 平行x 轴D.AOB 可能为直角三角形11.如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 在平面α内，其余各顶点均在平面α的同侧，已知顶点D B ､到平面α的距离分别是1和2.下列说法正确的有（）A.点C 到平面α的距离是3B.点1C 到平面α的距离是4C.正方体底面ABCD 与平面α夹角的余弦值是23D.AB 在平面α内射影与1AD 所成角的余弦值为10512.已知2.86,ln ln 0.35,,ln ln a b c c d d a b c d a b====-<<，则有（）A.2a b e +<B.2c d e+>C.1ad <D.1bc >三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是__________.14.512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是__________.15.三个元件,,a b c 独立正常工作的概率分别是112,,323，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒123,,T T T 中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.16.对平面上两点A B ､，满足()1PA PBλλ=≠的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点,A B 是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知()()()1,0,4,0,0,3A B D ，与,A B 两点距离比是12的点P 的轨迹方程是22:4C x y +=，则2PD PB +的最小值是__________；最大值是32PA PD -的__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且向量()2,m b a c =-与向量()cos ,cos n A C =共线.（1）求C ；（2）若c ABC = 的面积为32，求a b +的值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,2n n S a a +=-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,,11,,11n n a n b n n n n n ⎧⎪=⎨+-+⎪-+⎩是奇数是偶数求数列{}n b 的前10项和10T .19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，60,PA ABP AE AE PA ∠===⊥.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若F 是线段PD 上的动点（不含线段端点），当平面AEF 与平面PAB 的夹角为30 时，求线段PF 的长度.20.（本题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是22，且过点()2,1P.（1）求C 的方程；（2）过点P 的直线12,l l 与C 的另一个交点分别是,A B ，与y 轴分别交于,M N ，且,MO ON PQ AB =⊥于点Q ，是否存在定点R 使得RQ 是定值？若存在，求出点R 的坐标与RQ 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现感染症状）或呈隐性（无感染症状）的概率都是12，体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显性与呈隐性的传染性相同，且人感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙丙三位专家要当面开个小型研究会，其中甲来源地人群的感染率是12，乙来源地人群的感染率是13，丙来源地无疫情，甲乙两人体质很好，丙属于易感人群，参会前三人都没有感染症状，只确定丙未感染.会议期间，三人严格执行防疫措施，能隔断23的病毒传播，且会议期间不管谁感染，会议都要如期进行，用频率估计概率.（1）求参会前甲已感染的概率；（2）若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率；（3）若参会前甲已感染，而乙､丙均未感染，设会议期间乙､丙两人中感染的人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与期望.22.（本题满分12分）已知函数()()22,xtx x t f x t R e ++=∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0x >时，()3222ln 220xtx x tx exx x x ++-++-≤，求实数t 的取值范围.永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案A C A D B D B C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ABC AC ACD BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1014．4015．4916．5部分小题答案8．解：由于,Q AB ∈过Q 作AB 的垂面QEF ，如图可知,,AB QE AB QF ⊥⊥过AB 作平面BCD 上的垂面ABM ,如图，即面ABM ⊥面BCD ，可得BM 与EF 的交点即为满足条件的P 点，（第11题图二）（第11题图一）从而QPB ∠为PQ 与面BCD 所成角的最大角，故10sin 4QPB ∠=. 平面QEF ⊥平面ABC ，过P 作PHQE ⊥于H ，连接BH ，可知EQP ∠就是PQ 与平面ABC 所成角，在Rt QEP ∆中，90EPQ ∠=︒，cos QP EQP QE∴∠=，且QEB ∆为等腰直角三角形，则QB QE =.tan cos ,QBP EQP ∴∠=∠而10sin 42QPB QPB QBP π∠=∠+∠=，15tan QBP ∴∠=15cos EQP ∴∠=11．解：如图建系，AB ＝（3，0，0），AD＝（0，3，0），(3,3,0)AC.设平面α的法向量m＝（a ，b ，c ），依题知：||2||||1||AB AD m m m m ⋅=⋅=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得(2,1,2)m =，所以点C 到平面α的距离||3||AC m d m ⋅== ，所以1C 到平面α的距离是5，故A 对B 错；平面ABCD 与平面α夹角的余弦值是||23||||n n m m ⋅=，C 对．因为点(0,0,3)B 到平面α的距离为2，3m =，所以AB 在面α内射影向量是2524,,3333m t AB ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1AD＝(0，3，3)，所以t 与1AD 夹角的余弦值是105-，所以AB 在平面α内射影与AD 1所成角的余弦值为105，D 对．正确答案ACD ．方法二：由勾股定理，易得点C 到平面α的距离是3，A 对；如图一延长BD 交面α于点M ，易知DM ＝BD =32在△AMD 中，∠ADM ＝135o ,由余弦定理求得AM ＝35，（第11题图三）过D 作DN ⊥AM 于N ，由面积法求得DN 5如图二延长D 1D 交面α于点E ，过D 作DH ⊥EN 于H ，则DH ⊥面α于H ，Rt △EDH 中，DN 5，DH ＝1，HN 5EH ＝52，ED ＝23，ED 1＝22393＋＝，故D 1到平面α的距离是3，C 1到平面α的距离是5，B 错；正方体底面ABCD 与平面α夹角的平面角为∠DNE ，cos ∠DNE =23,C 对；如图三，分别过B ，D 1作BP ⊥面α于P ，D 1Q ⊥面α于Q ，过B 作BF//PQ 交D 1Q 于F ，BP ＝2，D 1Q ＝3，D 1B ＝33，PQ ＝BF 26AP 5，D 1P 35由余弦定理求得118+53510cos 52532D AP =∠=⨯⨯，则AB 在平面α内射影AP 与AD 1所成角的余弦值是105，D 对．正确答案ACD ．12．解：构造函数()ln x f x x =，()=ln g x x x ，2ln 1()ln x f x x'-=，()f x 在区间()1e ，上递减，在区间(,+)e ∞上递增，ln 1()=x g x '＋，()g x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1e⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+上递增，由极值点偏移知A 错B 对，1＜a <e <b ，c <1e<d ＜1，1()f x＝1()g x -，1()f d＝1()g d -，11<<,1<<e a e d，()f x 在区间()1e ，上递减，1()f d ＝1()g d -＝2.857＜2.86＝f (a )，1d>a ，ad ＜1，()f x 在(,+)e ∞上递增，1()f c ＝1()g c -，1>,>e b e c ，1()f c＝1()g c -＝2.857＜2.86＝()f b ，1b c <，1bc >，选BCD ．16．解：依题知｜PB ｜=2|PA |，2|PD |+|PB |＝2|PD |＋2|PA |≥2｜AD ｜＝210设点D 关于圆C 对应的阿波罗点为E （0，m ），依题知点（0，2），（0，－2）分别到点E ，D 的距离之比为22+323+2m mλ'=-－＝，求得43m =，23λ'＝，E （0，43），|PE |=23|PD |，3|PA |－2|PD |＝3（|PA |－23|PD |）＝3（|PA |－|PE |）≤3｜AE ｜=5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）解：（1）∵向量(2,)m b a c =- 与向量(cos ,cos )n A C =共线，∴(2)cos cos 0b a C c A --=，…………………1分即(2sin sin )co s sin co s 0B A C C A --=，…………………2分∴2sin cos sin (+)sin B C A C B ==，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =，…………………4分又∵()0,C π∈，∴3C π=．…………………5分（2）由已知1sin 2ABC S ab C ∆=………………6分42ab ==，所以2ab =．………………7分由余弦定理得222cos 33a b ab π+-=，即225a b +=，联立2ab =………………8分解得21a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=⎩，………………9分所以3a b +=．……………10分18．（本题满分12分）解：（1）当2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，即有12n n a a +=，……………1分所以2n ≥时232n n a -=⨯，……………2分因为12a =不符合上式，……………4分所以数列{}n a 的通项公式为22,132,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.……………6分（2）由（1）知，当n 是奇数时,n n b a =，记{b n }的前10项的奇数项和为T 奇，则13579T a a a a a =++++奇35723(2222)512=++++=；……………7分当n 是偶数时,222+11222(1)411+22(1+1(1)(1)111n n n n n b n n n n n n n -+-+====+---+-+-，（或者1112121122()111111n n n n n b n n n n n n +--++-=+=+=+--+-+-+），……………9分记{b n }的前10项的偶数项和为T 偶，则11111111120252(1)10335577991111T =⨯+-+-+-+-+-=+偶，……………11分所以数列{}n b 的前10项和10205762512101111T T T =+=++=奇偶.（注：写成952311也可）……………12分19．（本题满分12分）解：（1）由题可知四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，所以2,90AB BE ABE =∠=︒，……………1分又5AE =，2222554AB BE AB AE +===，所以2AB =，……………2分又23PA =，60ABP ∠=︒，由余弦定理可得:4PB =．……………3分222AB AP PB ∴+=，即AB PA ⊥，……………4分又AE PA ⊥且AE AB A = ，PA ABCD ∴⊥平面，……………6分（2）由(1)知AP AB AD 、、两两垂直．以B 为原点，AP AB AD 、、所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，0)，E(0，2，1)，)00,32(，P ，(0,2,0)B ，)2,0,0(D ，于是(0,21)AE = ，，)0,0,32(=AP ，(23,0,2)PD =- ，……………7分设0,1PF PD λλ=∈，（），则232302AF AP PF AP PD λλλ=+=+= （，，），……………8分设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00A E n A Fn ⋅⋅⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩2033)20y z x z λλ⎧⎪⎨⎪⎩+=+=，令1y =，则λλ332,2-=-=x z ，)2,1,332(--=λλn ，………9分可知平面PAB 的一个法向量(0,0,1)m =，………10分所以23|cos ,|||2||||2533m nm n m n λλ∙<>==+-（）解得13λ=或者1λ=-（舍去）．………11分又224PD PA AD =+=，所以43PF =，即当平面AEF 与平面PAB 所成的夹角为30︒时，段PF 长度为43.………12分20．（本题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：2222+1x y a b=的离心率是22，所以22112b e a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即a 2b ，………………………2分因为2222+12x y bb=过点P （2,1），有2241+12bb=，………………………3分联立a 2b 解得6a =，3b =，故椭圆C 的方程是22+163x y =．………………………5分法二：因为椭圆C ：2222+1x y a b =的离心率是22，所以22c a =，………………………1分联立222a b c =+可得a 2b ，………………………2分因为2222+12xyb b =过点P （2,1），所以2241+12bb=，………………………3分联立a 2b 解得6a =，3b =，故椭圆C 的方程是22+163x y =．………………………5分（2）依题意，直线AB 存在斜率，设直线AB 方程是y kx b =+，联立22+163xy=，消去y 得，()222124260kxkbx b +++-=，()()222216426120k b b k ∆=--+>设A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2241+2kb k-＝，x 1x 222621+2b k-＝，………………………6分直线PA ：1111(2)2y y x x ----＝，令x =0，得1122+12M y y x =－-，同理2222+12N y y x =－-，依题意知+0M N y y =，即12122222++2022y y x x =－－--，………7分122112(1)(2)+(1)(2)+(2)(2)0y x y x x x =－-－---，122112(1)(2)+(1)(2)+(2)(2)0kx b x kx b x x x =－－-－－---，1212(12)+(21)(+)+40k x x k b x x b --=-，………8分22(12)(26)+(21)(4)+4(1+2)0k b k b kb b k ---=-－，整理得226230b kb k b ++++-=，即()()3210b k b ++-=，………9分若210k b +-=，则直线AB 过点P （2，1），不合题意，舍去，………10分若30b +=，则直线AB 过点（0,－3），令D （0,－3），则点Q 在以PD 为直径的圆上，……………11分所以当R 为PD 的中点，即以PD 为直径的圆的圆心时，|RQ |等于圆的半径，故存在定点()1,1R -，使得|RQ |.……………12分21．（本题满分12分）解：甲，乙，丙第i 轮次感染分别记为事件A i ，B i ，C i ()*N i ∈,且参会前的感染为第1轮感染，无症状记为事件E .（1）依题意，参会前甲已感染事件1A 即是无症状感染事件A 1|E ，……………1分所以P (A 1）＝P (A 1|E )=1()()P A E P E ……………2分111221113222⨯+⨯=＝……………4分（2）丙感染记为事件F ，111111()1326()=(|)2115()53326P B E P B P B E P E ⨯==+⨯＝＝，14()5B P ＝，……………5分则2112211223|+(|)+F C A B C C A B B C C =，2112211223()(|+(|)+)P F P C A B C C A B C C =21121211212132(|)()(|)(|)+((|)()(|)P C A P B P C B P C A P B P B A P C A P C B =＋11124121++35335333=⨯⨯⨯⨯59135=，…………6分病毒由乙传染丙记为事件M ＝121223+B C B B C C ，P (M )＝121223(+)P B C B B C C 1211212132()(|)+()(|)(|)(|)P B P C B P B P B A P C A P C B ＝114121+535333=⨯⨯⨯⨯17135=，……………7分丙感染是因为乙传染的事件即为M |F ，1717135(|)5959135P M F ==．故丙感染是因为乙传染的概率是1759．……………8分（3）X 的取值为0，1，2．P (X ＝0)＝P (22B C )224339=⨯=，……………9分P (X ＝1)＝P (223223+B C C C B B )1221228+33333327=⨯⨯⨯⨯=，……………10分P (X ＝2)＝P (22223223++B C B C C B B )111211217++3333333327=⨯⨯⨯⨯⨯=，……………11分X 的分布列为：X 012P49827727()=+81422272727E X ∴=．……………12分22．（本题满分12分）解：（1）由2(2)()xtx x t f x e ++=，可得2(22)2(1)(2)()xxtx t x tx tx t f x e e -+-+---+-'==，………1分①当t=0时，()()21exx f x --'=，由()0f x '>得1x <，由()0f x '<得1x >，故()f x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减；………2分②当0t ≠时,令()0f x '=，可得()0f x '=的两根分别是1和21t-，i ）当0t >时，211t >-，由()0f x '>，得211x t-<<，由()0f x '<，得21x t<-或1x >故()f x 在区间21,1t-（）上单调递增，在区间2(,1t-∞-和(1,)+∞上单调递减.………3分ii ）当0t <时，211t<-由()0f x '>，得1x <或21x t>-，由()0f x '<，得211x t<<-.故()f x 在区间211(t-，上单调递减，在区间,1)-∞（和2(1,)t -+∞上单调递增.………4分综上所述，当t=0时，()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减；当0t >时，()f x 在区间21,1t-（）上单调递增，在区间2(,1t-∞-和(1,)+∞上单调递减；当0t <时，()f x 在区间211t -（，）上单调递减，在区间(,1)-∞和2(1,)t-+∞上单调递增.………………………………………5分（2）由3222(ln 22)0x tx x tx e x x x x ++-++-≤，0x >，可得：3222(ln 22)xtx x txx x x x e++≤++-，即222ln 2x tx x t x x e x++≤++-，………6分构造函数2()ln 2g x x x x=++-，则原不等式转化为0x >时，()()f x g x ≤恒成立.2222122(2)(1)()1x x x x g x x xxx+-+-'=+-==，………7分当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g ==，………8分①当0t <时，()f x 在211()t-，上单调递减，在区间(,1)-∞和2(1,)t-+∞上单调递增，又222(1)1t f ee+=<<，且当x 趋向正无穷时，()f x 的值趋于0，故()()f x g x ≤成立；………9分②当t =0时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故max 2()1f x e =<，又()min 1g x =，故()()f x g x ≤成立；……10分③当0t >时，()f x 在2(1,1)t-单调递增，在2(,1)t-∞-和(1,)+∞上单调递减，i )若02t <<，则210t-<，当01x <<时，则()0f x '>，当1x >时，则()0f x '<，所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以max 22()(1)t f x f e+==又因为()1g x ≥，()()f x g x ≤恒成立，所以221t e+≤，解得22e t -≤，所以202e t -<≤，………11分ii )若2t >，则2011t <-<，由（1）可知()f x 在21,1t-（）单调递增，在2(,1t-∞-和(1,)+∞上单调递减，此时有22(1)1t f e+=>，()()f x g x ≤不恒成立所以2t >不符合题意.综上，实数m 的取值范围为2,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.………12分。

湖南省东安县第一中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷 PDF版含答案

高三数学试卷参考答案
!!(!解析本题考查三角函数的诱导公式考查运算求解能力! 因为)*+!%%%,-)*+./%,0.$&%,-)*+$&%,-$)*+&%,-$12)!%,-"
所以12)!%,-$"!
#!3!解析本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法考查运算求解能力! 因为 #-$4%"!54$-$.#所以 ##$-$.%"!#!
因为&!$'"-#!-12)!$'"-$
! #
"#$
. #
-#!-12)'-$
! #
"#$
. #
-&!'"#所
以
&!'"的
图
象
关
于
直
线
!'"-$槡##得-12)'--!@
槡.$#槡#
#
-!@!槡##$!"#则方程&!'"-$槡#在!%#"内有四个
根#且各根之和为
#
0:-#!故所有真命题的序号是!
4
%
!
#
.
5
.:. !%%%
::! !%%%
!&9 !%%%
#; !%%%
……………………………………………………………………………………………………………… !%分 64-.0!.%-!9%!…………………………………………………………………………………………… !#分
!9!解(!!"因为)*+7-.!槡:#!#所以12)7-@ 槡!$)*+#7-@!槡;:!………………………………………… !分

湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BA B D C C B D B A CC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．10x y --= 14．2- 15．16316．(1)[1,3]（2分）; (2) (1]-（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅∴4BC = …………………………………………………………………3分在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅∴CD =………………………………………………………………6分（2） BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin coscos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠……8分cosBCA ∠=cos DCA ∠=， ∴sin BCA ∠=，sin DCA ∠=， ∴ sin BCD ∠= ………………………………………………………10分在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CD BD B BCD=∠， ∴ sin sin BD B CD BCD⋅==∠ ………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BD AEF 面，BCD AEF EF =面面所以//BD EF ，因为BD CD ⊥，所以CD EF ⊥．又因为AE ⊥面B CD ，CD BCD ⊂面，所以CD AE ⊥，而EF AE E = ，所以CD AEF ⊥面，又CD ACD ⊂面，所以AEF ACD ⊥面面． ………………6分（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ．连接DE ，在BCD ∆中，=2BD CD =，BE EC =， BD CD ⊥，所以DE BC ⊥，且BC =DE =，又因为AE BCD ⊥面，DE BCD ⊂面，BC BCD ⊂面，所以AE DE ⊥，AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中，DE ，2AD =，所以AE =如图，以点E 为坐标原点，分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，各点（第18题图）坐标为(0,0A，(B，D，C ，因为//BD EF ，E 为BC 的中点，所以F 为CD的中点，即F ，设平面ABDBA =，，由m BA m BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即(,,)0(,,)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩ ，整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =-，得1x =，1y =-，则(1,1,1)m =-- ． (10)分因为 AF =，所以sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯ 故直线AF 与平面ABD ． ……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆Γ过点，∴22211a b+=，① ………2分又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，② 联立①②得2,a b == ∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+，令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k --=+，∴2122412k x k -=+，1124(2)12k y k x k =+=+，所以222244(,)1212k k P k k-++， ……………………………………………………8分 ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++ m k k k m k OP OM m k m k k k k ，…10分要使⋅ OP OM 与k 无关，只须12=m ，此时⋅ OP OM 恒等于4. ∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++ y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ，所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+= m x m x m OP OM mx ，要使⋅ OP OM 与0x 无关，只须12=m ，此时4⋅= OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）如果4n =，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=- ∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ，由已知得1E n ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111n P n p ξ=+=-- ∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +-- …………………5分要减少检验次数，则1E ξ>2E ξ，则1(1)n n n n p >+-- ∴(1)1n n p ->，1(1)np n ->，即111(n p n <-， ………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，则由（2）知11,1k ξ=+，21,1k ξ=+， ()12()()11k E E k k p ξξ==+--，12ξξξ=+()1212()()()()2221k E E E E k k p ξξξξξ=+=+=+-- ………………10分②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，,m ξ ， 11,1k ξ=+，21,1k ξ=+，,1,1m k ξ=+ ，且检验总次数12m ξξξξ=+++ ， ()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-= ，()()111,1,2,,k i P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,k i E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1k k k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+-- ，所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1k m k mk p +--． …………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x ∈（0,1）时，f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0，函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0，f (1)＝3>0，所以存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0．…4分(2) 当x ∈（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----,令t =2-x , x =2-t ，x ∈（1，2），t ∈（0，1），1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++, t ∈（0，1）……………………6分记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++，t ∈（0，1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++． ……………………8分由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，f (t )<0，h ′(t )＞0，当t ∈(x 0，1)时，f (t ) >0，h ′(t ) <0．故在(0，x 0)上h (t )是增函数，又h (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，h (t )>0，所以h (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，1)上h (t )为减函数，由h (x 0)>0，h (1)＝12－ln 2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，1)，使h (t 1)＝0， ……………………………………………10分故存在唯一的t 1∈(0，1)，使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1，2)，使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈ (0，1)时，1＋t >0，故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<2． …………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则211=)42ON OM ρπαρ=-+，由02πα<<，有32444πππα-<-<，当sin(2)=14πα-时，ON OM的最大值为． ………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤x x f 得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+52252052x x x x ，解得1-≥x∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1． ………………………5分（2） 23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=x x x x x f x f x g当且仅当3≥x 时等号成立，∴2=M ， ………………………7分∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a =，即1=a 时等号成立． ………………………10分。

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学(理科)试题(带答案解析)

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）试题注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足21z i=+，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i -- 2．已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则 A ．{}13A B x x =<<I B ．A B φ=IC ．{|3}A B x x =<UD ．{}1A B x x =>U3．执行右图所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为 A ．2 B ．3C ．4D ．54．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10 kg5．已知数列113221,,,,n n a a a a a a a -L 是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于A ．8B ．32C ．64D ．1286．某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10．现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是第4题图第3题图第9题图A ．15B ．715C ．815 D ．457．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L A ．2- B ．0 C ．2 8．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为A ．56π-B ．65πC ．6π-D ．6π9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略不计） A ．14 B ．14π C ．221414ππ++ D ．22116116ππ++10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A ．8πB ．6πC ．D ．823π11．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A ．23B ．54C ．53D ．3212．数列｛a n ｝满足a n ＋1＋a n ＝11-n +（-1)n，且0＜a 6＜1．记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时n 为A ．11B ．12C ．11或13D ．12或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为．14．已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=u u u r u u u r ．第10题图-2B A O yππ2x -11215．已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =u u u r u u u r，则|AB|= ．16．已知函数22,1,()1|1|,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<=⎨--≤≤⎩（1）若t ＝1，且)(x f 值域为[-1，3），则实数a 的取值范围为．（2）若存在实数a ，使)(x f 值域为[-1，1]，则实数t 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为CD ；（2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=CD ．18．（本题满分12分）在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值．19．（本题满分12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，⋅uu u r uuu rOP OM 为定值．20．（本题满分12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （N n *∈且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检第18题图 ADF C E B验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（N k *∈且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．21．（本题满分12分）已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明：（1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为22x y t =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．10x y --= 14．2- 15．16316．(1)[1,3]（2分）; (2) (1]-（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………3分在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅∴ CD = ………………………………………………………………6分（2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……8分Q cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=，∴sin BCA ∠=，sin DCA ∠=，∴ sin BCD ∠=………………………………………………………10分在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，∴ sin sin BD BCD BCD⋅==∠ ………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BD AEF 面，BCD AEF EF =面面I ，BD BCD ⊂面所以//BD EF ，因为BD CD ⊥，所以CD EF ⊥．又因为AE ⊥面BCD ，CD BCD ⊂面，所以CD AE ⊥，而EF AE E =I ，所以CD AEF ⊥面，又CD ACD ⊂面，所以AEF ACD ⊥面面． ………………6分（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ．连接DE ，在BCD ∆中，=2BD CD =，BE EC =，BD CD ⊥，所以DE BC ⊥，且BC =，DE =又因为AE BCD ⊥面，DE BCD ⊂面，BC BCD ⊂面，所以AE DE ⊥，AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中，DE =2AD =，所以AE = 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标为(0,0A ，(B ，D ，C ，因为//BD EF ，E 为BC 的中点，所以F 为CD 的中点，即F ，设平面ABDBA =u u u r ，，由m BAm BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即(,,)0(,,)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩ur u u u r ，整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =-，得1x =，1y =-，则(1,1,1)m =--u r ．……10分因为 22AF =u u u r ，所以sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯u r u u u ru r u u u r故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． ……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆Γ过点，∴22211a b+=，① (2)分又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（第18题图）（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+，令x =m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k --=+，∴2122412k x k-=+，1124(2)12k y k x k =+=+，所以222244(,)1212k kP k k -++， ……………………………………………………8分∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uuu r uuu r mk k k m kOP OM m k m k k k k ，…10分要使⋅uu u r uuu r OP OM 与k 无关，只须12=m ，此时⋅uu u r uuu r OP OM 恒等于4.∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x =m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ，所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ，要使⋅uu u r uuu rOP OM 与0x 无关，只须12=m，此时4⋅=uu u r uuu r OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）如果4n =，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -． ………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ，由已知得1E n ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-, ()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n nE p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--…………………5分要减少检验次数，则1E ξ>2E ξ，则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->，1(1)np n->，即111()n p n <-， ………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，则由（2）知11,1k ξ=+，21,1k ξ=+， ()12()()11kE E k k p ξξ==+--，12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+-- ………………10分②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，,m ξK ，11,1k ξ=+，21,1k ξ=+，,1,1m k ξ=+L ，且检验总次数12m ξξξξ=+++L ，()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ，()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L ()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ，所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--． …………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x ∈（0,1）时，f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0，函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0，f (1)＝3>0，所以存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0．…4分 (2) 当x ∈（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令t =2-x , x =2-t ，x ∈（1，2），t ∈（0，1），1(2)(1)ln(1)tg t te t t --=-++, t ∈（0，1） ……………………6分记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++，t ∈（0，1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++． ……………………8分由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，f (t )<0，h ′(t )＞0，当t ∈(x 0，1)时，f (t ) >0，h ′(t ) <0．故在(0，x 0)上h (t )是增函数，又h (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，h (t )>0，所以h (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，1)上h (t )为减函数，由h (x 0)>0，h (1)＝12－ln 2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，1)，使h (t 1)＝0， ……………………………………………10分故存在唯一的t 1∈(0，1)，使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1，2)，使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0，1)时，1＋t >0，故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<2． …………………………………………12分 22．（本小题满分10分）解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则212sin sin()1=)42ON OM πααρπαρ+=-+，由02πα<<，有32444πππα-<-<，当sin(2)=14πα-时，ON OM． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤x x f 得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+52252052x x x x ，解得1-≥x∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1． ………………………5分（2）Θ23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=x x x x x f x f x g当且仅当3≥x 时等号成立，∴2=M ， ………………………7分∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a =，即1=a 时等号成立． ………………………10分。

湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题

一、单选题1.如图，在长方体中，，M ，N 分别为棱，的中点，有以下判断：①AM ，NB 是异面直线；②平面ADM ；③直线BN与所成角的大小为60°；④二面角的大小为．其中所有正确的判断是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④2. 已知三点都在以为球心的球面上，两两垂直，三棱锥的体积为，则球的表面积为( )A．B．C．D．3. 已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5. 设复数满足，则（）A．B ．1C．D ．26. 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，平面，底面是高为的等腰梯形，，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．7. 若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，3）D ．（﹣1，3）8.如图，已知正方体的棱长为，则下列结论中正确的是（）①若是直线上的动点，则平面②若是直线上的动点，则三棱锥的体积为定值湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、解答题③平面与平面所成的锐二面角的大小为④若是直线上的动点，则A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④9. 已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（）A．的图象关于对称B ．为偶函数C．D ．不等式的解集为10. 小学实验课中，有甲、乙两位同学对同一四面体进行测量，各自得到了一条不全面的信息：甲同学：四面体有两个面是等腰直角三角形；乙同学：四面体有一个面是边长为1的等边三角形.那么，根据以上信息，该四面体体积的值可能是（）A．B．C．D．11.函数，（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（）A．B．C．D．12. 已知函数，其中.对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期小于B．函数在内不一定取到最大值C．D ．函数在内一定会取到最小值13. 一个圆锥的底面面积是S ，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是__________．14.已知等差数列的前项和为，若则________15. 设函数f (x )=ln，则函数g (x )= f ()+ f ()的定义域_____________.16.已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线AB 过定点．17. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，且，E 为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥体积的最大值.18. 已知(1)当时，求单调区间；(2)当时，恒成立，求的取值范围；(3)设，，证明：．19. 如图所示，已知椭圆：，⊙：，点是椭圆的左顶点，直线与⊙相切于点.（1）求椭圆的方程；（2）若⊙的切线与椭圆交于两点，求面积的取值范围.20. 由于受到新型冠状病毒影响，很多快餐企业遭受损失，如图为3月份某知名快餐企业的家实体店月度经济损失（单位：元）统计图．（1）经济损失在的有多少家门店；（2）估计家实体店月度经济损失的众数和中位数；（3）估计家实体店经济损失的平均数和方差．21. 已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0．(1)求C的标准方程．(2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．。

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟考试试卷

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是 1+2i，﹣2+i，﹣1﹣2i，那么第四个复数是（）A . 2﹣2iB . ﹣1+iC . 2﹣iD . ﹣1﹣i2. （2 分）设集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,2,4,7}，则＝（）A.UB . {1,3,5}C . {3,5,6}D . {2,4,6}3. （2 分）为了了解小学生近视情况，决定随机从同一个学校二年级到四年级的学生中抽取 60 名学生检测视力，其中二年级共有学生 2400 人，三年级共有学生 2000 人，四年级共有学生 1600 人，则应从三年级学生中抽取的学生人数为（）A . 24B . 20C . 16D . 184. （2 分） (2019·潍坊模拟) 执行下边的程序框图，如果输出的值为 1，则输入的值为（）第 1 页共 13 页A.0 B. C . 0或 D . 0或1 5. （2 分） (2020·茂名模拟) 剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.（）A.B.第 2 页共 13 页C.D. 6. （2 分） (2017 高二上·湖北期末) 袋中有 8 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，现从中任取 3 只球，以 ξ 表示取出的 3 只球中最大号码与最小号码的差，则 E（ξ）=（） A.4 B . 4.5 C.5 D . 5.57. （2 分） (2019 高三上·汕头期末) 已知，则（）A.B. C.D. 8. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 双曲线 A.1的焦点到其渐近线的距离为（）B. C.2第 3 页共 13 页D. 9. （2 分）若 x2＋xy＋y2＝1 且 x、y∈R，则 n＝x2＋y2 的取值范围是（） A . 0＜n≤1 B . 2≤n≤3 C . n≥2D . ≤n≤210. （ 2 分） (2020 高一上 · 大庆期末 ) 已知函数（），把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数A.，则，且满足的一条对称轴为B.C. D.11. （ 2 分）已知点，三角形，则（），的外心轨迹为曲线，直线上有两个动点，始终使为曲线在一象限内的动点，设，，A.B.C.D.12. （2 分） (2019 高二下·蕉岭月考) 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的第 4 页共 13 页坐标为，则的最小值是（）A. B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·新余期末) 已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（λ∈R），则的最小值为________．14. （1 分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9 展开式中，x3 项的系数为________．15. （ 1 分） (2018· 南阳模拟 ) 在锐角,且的面积,则中，分别为角所对的边，满足的取值范围是________．16. （1 分） (2019·广州模拟) 有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.三、解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2016 高三上·黄冈期中) 设数列{an}为等差数列，且 a5=14，a7=20，数列{bn}的前 n 项和为Sn ， b1= 且 3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若 cn=an•bn ， n=1，2，3，…，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，Tn＜m 对 n∈N*恒成立，求 m 的最小值．18. （10 分） (2017 高一上·山西期末) 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计数据（xi ， yi）（i=1，2，3，4，5）由资料知 y 对 x 呈线性相关，并且统计的五组数据得平均值分别为，，若用五组数据得到的线性回归方程 =bx+a 去估计，使用 8 年的维修费用比使用 7 年的维修费第 5 页共 13 页用多 1.1 万元，（1）求回归直线方程；（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？19. （10 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB⊥平面 PAC，∠APC=90°，AB=1，AC= 是 CE 的中点，N 点在 PB 上，且 4PN=PB．， E 是 AB 的中点，M（1）证明：平面 PCE⊥平面 PAB；（2）证明：MN∥平面 PAC20. （10 分） (2016 高二上·绍兴期末) 已知圆 C：x2+（y﹣1）2=5，直线 l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有有两个不同的交点 A、B；（2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． 21. （10 分） (2017·武邑模拟) 已知函数 f（x）=x﹣ax（a＞0，且 a≠1）．（1）当 a=e，x 取一切非负实数时，若，求 b 的范围；（2）若函数 f（x）存在极大值 g（a），求 g（a）的最小值．22. （10 分）过两点 A（3﹣m﹣m2 ， ﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）的直线的倾斜角为 135°，求 m 的值．23. （10 分） (2016 高三上·浦东期中) 已知函数 f（x）=x|x﹣a|的定义域为 D，其中 a 为常数；（1）若 D=R，且 f（x）是奇函数，求 a 的值；（2）若 a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数 f（x）的最小值是 g（a），求 g（a）的最大值；第 6 页共 13 页（3）若 a＞0，在[0，3]上存在 n 个点 xi（i=1，2，…，n，n≥3），满足 x1=0，xn=3，x1＜x2＜…＜xn，使 |f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|= ，求实数 a 的取值．第 7 页共 13 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 13 页16-1、三、解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、第 9 页共 13 页18-1、 18-2、19-1、第 10 页共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、。

湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 以下各组两个函数是相同函数的是（）A．B．C．D．2.已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（）.A ．2B ．1或2C ．2或3D ．3或43. 甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”甲同学解答过程如下：解：由，得.因为，所以.所以.乙同学解答过程如下：解：因为，所以.则在上述两种解答过程中（）A ．甲同学解答正确，乙同学解答不正确B ．乙同学解答正确，甲同学解答不正确C ．甲、乙两同学解答都正确D ．甲、乙两同学解答都不正确4. 已知函数，当（为自然常数），函数的最小值为，则的值为（）A ．B．C．D．5. 若，则的值是（）A．B．C．D ．26. 已知，，，则（）A．B．C．D．7.已知数列满足，，则下列四个结论中，正确的是（）A．B ．数列的通项公式为C．D ．数列为递减数列8. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和C ．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m 到达处，再次测量旗杆顶端的仰角9. 已知向量，．则________；10. 已知函数有以下四个结论，其中正确的有______.（填写所有你认为正确的序号）湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题(高频考点版)湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题(高频考点版)四、解答题①的周期为；②的图象关于直线对称；③的最大值为；④在上与直线有三个交点.11.在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为__________.12.函数的图象的对称中心是______，不等式的解集是______.13. 证明不等式 ().14. 已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围．15. 已知复数为虚数单位）(1)若复数在复平面上对应的点落在第四象限，求实数的取值范围;(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．16. 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（1）求a 的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．。

湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题

一、单选题1.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2.已知集合，，则等于（）A．，B．，C．D．，3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4. 已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M 于A ，B ，C ，D 四点，且，则M 的离心率为（）A．B．C．D．6. 一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，若已知第一支是好的，则第二支也是好的概率为( )A．B．C．D．7. 如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（）A ．直线与直线可能异面B．三棱锥的体积保持不变C ．直线与直线所成角的大小与点的位置有关湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题D ．直线与直线所成角的最大值为8. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．9.函数在区间上的最大值（）A ．125B ．25C．D．10. 已知集合，，则（）A．B．C．D．11. 给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A ．若线段，则向量B．若向量，则线段C ．若向量与共线，则线段D ．若向量与反向共线，则12.已知函数，则下列结论正确的是（）A．的最大值为1B．的图象关于点对称C ．在上单调递增D ．存在，使得对任意的都成立13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则下列结论正确的是（）A．B ．身高落在内的人数为50人C ．若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取17人．则身高在的学生选取的人数为4人D ．若将学生身高由高到低排序，前的学生身高为级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是级14. 已知圆，直线l过点，且交圆O 于P ，Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．的最小值为6C ．使为整数的直线l 共有9条D ．使为整数的直线l 共有16条15.已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______.16. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______．17.已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题八、解答题18. 已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，且有公共的焦点，，则___________.若为两曲线的一个交点，则___________.19. 已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为______.设线段为底面圆的一条直径，一质点从出发，沿着圆锥的侧面运动，到达点后再回到点，则该质点运动路径的最短长度为______.20. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．21. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．22. 画出方程的曲线．23.年月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一人，高二人，高三人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取名志愿者，参加为期天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取人去粘贴宣传标语，设这人中含有高二学生人，求随机变量的分布列；（3）食堂每天约有人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．24. 已知数列，，，，．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n 项和；(2)求数列的前n 项和．25. 已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.甲每天生产的次品数/件01234对应的天数/天4020201010乙每天生产的次品数/件0123对应的天数/天30252520九、解答题（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望.26. 已知，均为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求的值．。

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟考试试卷

湖南省永州市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一下·仙桃期末) 真子集有（），集合，集合A . 2个B . 3个C . 4个D . 8个2. （2 分）已知是虚数单位，若（m+i)2=3-4i，则实数 m 的值为（）A . -2B.，则集合的C. D.2 3. （2 分）已知 p：“x2+ y2 +2x=F 为一圆的方程（F∈R）”，q：“F>0”，则 p 是 q 的（） A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件4. （2 分）设函数 A.若有三个不等实数根，则的范围是（）第 1 页共 14 页B.C.D.5. （2 分）定义在上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①f(x)=x2②f(x)=2x③④f(x)=ln|x|则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为（）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④6. （2 分） (2019·东北三省模拟) “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量。

年，某企业连续年累计研发投入搭亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使（）A.年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B.年至年研发投入增量相比年至年增量小C . 该企业连续年研发投入逐年增加第 2 页共 14 页D . 该企业来连续年来研发投入占营收比逐年增加7.（2 分）已知三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（，），，，且平面A. B. C. D.8. （2 分） (2017·湘潭模拟) 已知函数 f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中 φ∈（0，下列关于函数 g（x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）），则A . g（x）在区间[﹣]上的最小值为﹣1．B . g（x）的图象可由函数 f（x）向上平移 2 个单位，在向右平移个单位得到．C . g（x）的图象可由函数 f（x）的图象先向左平移个单位得到．D . g（x）的图象可由函数 f（x）的图象先向右平移个单位得到．9. （2 分） (2019·天津模拟) 执行下边的程序框图，输入，则输出 S 的值为（）第 3 页共 14 页A. B. C.D. 10. （2 分） (2018 高三上·寿光期末) 已知抛物线为坐标原点，设，的斜率为，，则与直线的值为（）相交于、两点，A.B.C.D.11. （2 分） (2020 高二上·遂宁期末) 设题为假命题的是（）是两条不同的直线，A.若，则；B.若面，面，，则面是两个不同的平面，下列四个命第 4 页共 14 页C.若D.若，，则，则.12. （ 2 分） (2020· 江西模拟 ) 设函数，若不等式在定义域上是单调函数，且对恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·浙江期中) 已知向量 ________．，的夹角为，则________，14. （1 分） (2020 高一下·宁波期中) 在等差数列中，，此数列前 30 项的绝对值之和为________..则________；15. （1 分）已知，则函数在上恰有两个零点的概率为________.16. （1 分）已知双曲线曲线的标准方程是________三、解答题 (共 7 题；共 70 分)的离心率为 2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双17. （10 分） (2017 高一下·宜春期末) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a= ，cosA=，B=A+（1）求 b 的值；第 5 页共 14 页（2）求△ABC 的面积．18. （10 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面 ABC 是等腰直角三角形，且斜边 AB=2 点 D 为 AB 的中点，点 E 在线段 AA1 上，AE=λAA1（λ 为实数）．，侧棱 AA1=3，（1）求证：不论 λ 取何值时，恒有 CD⊥B1E；（2）求多面体 C1B﹣ECD 的体积． 19. （10 分） (2016 高三上·重庆期中) 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如图显示．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求 a，b 的值．（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放 50 元的代金券，潜在消费人群每人发放 100 元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购者中抽取 10 人，并在这 10 人中随机抽取 3 人进行回访，求此三人获得代金券总和 X 的分布列与数学期望．20. （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C: + = 一个等边三角形．求椭圆 C 的标准方程第 6 页共 14 页1 的焦距为 2，一个顶点与两个焦点组成21. （10 分） (2017 高二下·微山期中) 已知 f（x）=﹣x3+ax，其中 a∈R，g（x）=﹣ ＜g（x）在（0，1]上恒成立．求实数 a 的取值范围．x ，且 f（x）22. （10 分） (2020·莆田模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）若点 P 的直角坐标为，曲线交于两点，求的值.（t 为参 .23. （10 分）对数函数（且函数.已知函数，其反函数为．）和指数函数（且）互为反（1）若函数定义域为，求实数的取值范围．（2）若为定义在上的奇函数，且时，．求的解析式．（3）定义在上的函数，如果满足：对任意的，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中为函数的上界.若函数，当探究函数在上是否存在上界，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.时，第 7 页共 14 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、第 8 页共 14 页15-1、 16-1、三、解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、 17-2、第 9 页共 14 页18-1、18-2、 19-1、第 10 页共 14 页19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。