高考考案数学理科第一轮复习课件10.4互斥事件、独立事件与条件概率

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2025年高考数学一轮复习第十一章 -第四节相互独立事件、条件概率与全概率公式【课件】

，

∴ 在第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为 | =
选B.

=

= . .故
5.（多选题）下列说法正确的有(
AB
)

A. | ≥
B. | =
C.0 < | < 1
D. | = 0
[解析] 由条件概率公式 | =
3
6
1
2
2
6
1
3
1
6
∴ = = ， = = ， = ，∴ = ⋅ ，∴ 事件与相
互独立.
［对点训练1］掷一枚正方体骰子一次，设事件为“出现偶数点”，事件为
B.相互独立

，所以

=
C.对立

.又

=
D.无法判断

，所以事件A与事件B不对立.又

= ，所以事件A与B相互独立.故选B.
1
5
1
3
1
4
3.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是，，，则此密码能被译
出的概率是( C )
A.
1
60
B.
2
5
3
5
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白
球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
解
5
“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则
8
4
“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，

高三数学第一轮复习(高考教练)考点81 等可能事件、互斥事件、独立事件的概率(理科)课件

理科数学
第十章
排列、组合、二项式定理、概率统计与复数
考点81 等可能事件、互斥事件、独立事件的概率
知识要点
基础自测
典例示范
互动演练
方法总结
不可能事件和随机事件必然事件
不可能事件
必然事件可能发生也可能不发生
事件A的概率
这个常数
可能性都相等
不可能同时发生的任何两个都是互斥事件
互斥事件 1
事件A、B分别发生的概率的和 1
发生的概率没有影响
每个事件发生的概率之积每个事件发生的概率的积
也都相互
都不依赖于其他各次试验的结果发生或不发生
0.75
B
B
D
Байду номын сангаас

届高三一轮数学理复习互斥事件独立事件与条件概率讲课文档

第二十五页，共38页。
(2)设 E＝{从第一个盒子中取到标有字母 A 的球}，F＝ {从第一个盒子中取到标有字母 B 的球}，R＝{第二次取到的球是红球}，
则 P(E)＝170，P(F)＝130，P(R|E)＝12，P(R|F)＝45，则所求概率为 P(R)＝P(R|E)·P(E)＋P(R|F)·P(F)＝12×170 ＋45×130＝15090.
第十五页，共38页。
解析：(1)由于每人参加其中一个社团的概率是14，所以，甲、乙两人都参加 C 社团的概率为14×14＝116. (2)总的可能情况为 4×4×4＝64(种)，但由于三人中任何两人都不在同一社团的总数为 4×3×2＝24(种)，所以，甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率 1－2644＝58.
(2)记“一病人被治愈”为事件 A，则 P(A)＝0.8，则至少有 6 人被治愈的概率为：
P＝P10(6)＋P10(7)＋P10(8)＋P10(9)＋P10(10) ＝C610×0.86×0.24＋C710×0.87×0.23＋C810×0.88×0.22＋ C910×0.89×0.2＋C1100×0.810 ＝0.97.
第三十七页，共38页。
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B＝A3∪A4，
由于 A3 与 A4 互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34(13)3(23)＋C44(13)4＝19，所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)略．
第二十七页，共38页。
解析：(1)设 A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}．
①P(A)＝1500＝0.05. ②根据条件概率的定义计算，需要先求出事件 AB 的概率．

高考总复习数学精品课件第11章第4节事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A

1∪A2∪…∪An=Ω,且
P(B)= ∑ P(Ai)P(B|Ai)
P(A )>0, i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有____________________.我们称
i
=1
这个公式为全概率公式.
指的是对目标事件B有贡献的全部原因
20
20
摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过 1 万人次的条件下,随后一天接
纳顾客量超过 1 万人次的概率是( D )
7
9
4
7
A.10
B.10
C.5
D.9
解析设“某天接纳顾客量超过 1 万人次”为事件 A,“随后一天的接纳顾客量超
7
9
7
()
7
20
过 1 万人次”为事件 B,则 P(A)= ,P(AB)= ,所以 P(B|A)=
1.事件的相互独立性
事件 A 与事件对任意的两个事件 A 与 B,如果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则
B 相互独立
称事件 A 与事件 B 相互独立,简称为独立
性质
若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与, 与 B,与也都
相互独立
2.条件概率
条件概率
的定义
条件概率
的性质
当P(A)=0时,我们不定义条件概率
5.(人教B版选择性必修第二册4.1.3节练习A第5题)加工某一零件需经过三
道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为
1 1 1
, ,
70 69 68
3
影响,则加工出来的零件的次品率为__________.

高考一轮复习理科数学课件条件概率与事件的相互独立性

独立性检验思想引入
独立性检验是指通过样本数据来推断总体中的两个事件是否相互独立的一种统计方法。如果两个事件相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
在实际问题中，我们往往无法直接判断两个事件是否相互独立，这时就需要通过独立性检验来进行判断。独立性检验的基本思想是通过比较样本数据中两个事件同时发生的频率与它们各自发生的频率的乘积是否有显著差异来判断它们是否相互独立。
判定方法
对于n个事件，要判定它们是否相互独立，需要验证其中任意k(2≤k≤n)个事件同时发生的概率是否等于这k个事件各自发生的概率之积。
实际生活中应用举例
抽奖游戏
在抽奖游戏中，每次抽奖的结果通常被认为是相互独立的。即前一次抽奖的结果不会影响后一次抽奖的结果。
天气预报
在天气预报中，不同地区的天气状况通常被认为是相互独立的。即一个地区的天气状况不会影响另一个地区的天气状况。
实例分析
拓展思考
通过具体的医学诊断案例，计算敏感度和特异度，并评估诊断方法的准确性。
探讨如何提高医学诊断的敏感度和特异度，减少误诊和漏诊的可能性。
天气预报中降水概率预测
降水概率预测介绍
说明天气预报中降水概率预测的方法和意义。
条件概率在降水概率预测中应用
分析条件概率在降水概率预测中的具体作用，以及如何利用历史气象数据进行预测。
乘法公式及其应用
乘法公式是条件概率的一个重要性质，它表示两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在前一个事件发生的条件下的概率的乘积。即P(AB)=P(A)P(B/A) 。
乘法公式在概率论中有着广泛的应用，例如在计算多个事件同时发生的概率、求解复杂事件的概率等问题中都可以使用乘法公式进行简化计算。

事件的相互独立性条件概率与全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习

相互独立事件的概率
典例2 （双空题）（2023 · 天津卷）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为,, .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为__.
题组3 走向高考
5.（2023 · 全国甲卷）某地的中学有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( ) .
A
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
解析记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则 ,，同时爱好两项的概率，所以 .故选A.
掌握
2023年新高考Ⅰ卷
★★☆
逻辑推理数学运算
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
命题分析预公式，常与数列交汇，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点.预计2025年高考的命题情况变化不大，全概率公式属于比较新的考点，应加强对相关模型的理解以及训练
C
A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84
解析设事件表示“甲正点到达目的地”，事件表示“甲乘动车到达目的地”，事件表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知,, , . 由全概率公式得 .故选C.
利用全概率公式解题的思路1. 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件；2. 求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率；3. 代入全概率公式计算.【注意】要区分和 .
4.（人教A版选修③P52 · 练习T1改编）现有12道单选题，某同学对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.若该同学从这12道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为___.

高考数学理科一轮复习湘教版第12单元第69讲互斥事件的概率、独立事件的概率与条件概率

1
PD
1
C41C61 C83

4. 7
评析：分析求解有关复杂事件的概率的常用途径是：①依据某标准将复杂事件分拆为彼此互斥的若干个简单事件；②依据“正难则反” 的思想，将问题转化为其对立事件的概率．
素材1：一个口袋里共有7个白球4个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？
3人中只有1人被选中的概率
P3 P( ABC + ABC + ABC)
2 (1 3) (1 1) (1 2) 3 (1 1)
5
4
3
54 3
(1 2) (1 3) 1 5 .
5
4 3 12
3人均未选中的概率为P4
1
P1

P2

则所求事件的概率P P A+ B P A P B
1 1 1，故选C. C24 C24 3
方法2：事件“取出2个球颜色相同”的对立事件为“取出2球的颜色为1红1黑”，则所求
事件的概率P 1 C12C12 1 4 1 .
C24
63
易错点：2个球颜色相同即为2个红球或2个黑球，求解时误认为两种情况同时发生而视为独立事件，导致错误．
都不依赖于其他各次试验的结果；
⑩Pn k Ckn pk 1 p n-k ；二项分布公式
题型一互斥事件、对立事件及概率
例1.盒中装有标有数字1, 2, 3, 4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
1 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； 2 抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
1 求3人都同时被选中的概率； 2 问3人中有几人被选中的情况最易出现？

互斥事件与相互独立事件(高三复习)(PPT)2-2

2．互斥事件有一个发生的概率
设、是两个互斥事件，那么表示这样一个事件：在同一试验中，其中有一个发生就表示它发生．那么事件的概率是一个必然事件，它的概率等于1。
又由于A与 A 互斥，我们得到 P(A+A)＝P(A)＋P(A )＝1
对立事件的概率的和等于1
P（ A ）＝1－P（A）
；股票知识股票知识
在一个温暖的下午，我看见一位白发苍苍的老奶奶，她摔倒在坚硬的道路上，鲜血染红了裤脚，钻心的疼痛，使她流出无助的眼泪，痛苦的呻吟引来周围人好奇的目光。我突然明白助人为乐，快乐别人，更快乐自己。伸出我们的双手吧，去帮助哪些需要帮助的人，让我们的生活更加美好。我赶紧跑了过去，小心翼翼的扶起她，看着她的表情，我心里非常的难受，仿佛被什么抓了一下。老奶奶感激地说：“谢谢你，你真是一个善良的孩子。”我微笑着说：“不用谢，助人为乐是我应该做的。”听了我的话，老奶奶也露出了灿烂的笑容。

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

§10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1　小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2　(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2　(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3　(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3　(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。

事件的相互独立性与条件概率、全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习

3.全概率公式
一般地，设，，⋯ ，是一组两两互斥的事件，
∪ ∪ ⋯ ∪ = ,且 > , = ,2,⋯ ,,则对任意的事件 ⊆ ，

∑ ∣
有 =⑧_________________.
=
我们称上面的公式为全概率公式.
−

+ −

= −

+ − ,故C不正确;对于D，
发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或
0,1,0或1,0,0或0,0,0，则此方案的概率
= −

+ −

= −
相互独立事件不一定互斥.
2.条件概率
（1）概念：一般地，设，为两个随机事件，且 > ,我们称②

| =

_______________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称
条件概率.
（2）两个公式
①利用古典概型： |

=③______.
|

=

=

,

=

=

，由条件概率

.

方法二（样本点数法）：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有
× = 个样本点， = × = ， = × = ，
所以 | =

=

=

.
注意 | 和 | 的区别.
1.事件的关系与运算
（1），都发生的事件为；，都不发生的事件为.

高考数学一轮第2讲互斥事件、独立事件与条件概率理

【例题展示】甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙、丙做对的概率分别为 m，n(m＞n)，且三位学生是否做对相互独立．记 ξ 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
4.将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出
现 k＋1 次正面的概率，那么 k 的值为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由 Ck5(21)k(21)5－k＝Ck5＋1(12)k＋1·(12)5－k－1，即 Ck5＝Ck5＋1， k＋(k＋1)＝5，k＝2.
5.在某段时间内，甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨
【跟踪训练 2】一台机床有13的时间加工零件 A，其余时
间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为130，加工零件 B
时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为(
)
11
7
A.30
B.30
7
1
C.10
D.10
解析：加工零件
A
停机的概率是1× 3 ＝ 1 ，加工零件 3 10 10
B
停机的概率是(1－13)×25＝145，所以这台机床停机的概率是110
的概率为 0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，
则这段时间内两地都下雨的概率是( D )
A．0.12
B．0.88
C．0.28
D．0.42
解析：因为甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨的概率为 0.4，所以甲地和乙地同时下雨的概率是 P＝(1－0.3)(1 －0.4)＝0.42.
一互斥事件、对立事件及概率
解析：则 B＝－B 1·B3＋B1·B2·－B 3＋B1·－B 2，则 P(B)＝P(－B 1·B3＋B1·B2·－B 3＋B1·－B 2) ＝P(－B 1·B3)＋P(B1·B2·－B 3)＋P(B1·－B 2) ＝P(－B 1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(－B 3)＋P(B1)P(－B 2) ＝14＋18＋14＝58.