【名师导学】高考数学一轮总复习 4.24 解斜三角形课件理

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解斜三角形学习课件

则△ABC 的面积等于( )
3 A. 2
3 B. 4
C. 23或 3
D.
23或
3 4
[解析] 由正弦定理sibnB＝sincC解得 sinC＝ 23，故 C＝ 60°或 120°；当 C＝60°时，A＝90°，△ABC 为 Rt△，S△ABC ＝12bc＝ 23；当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰△，S△ ABC＝12bcsinA＝ 43，故选 D。
三角形的最小内角是( B )
A.60° B.45° C.30° D.以上答案都错
由正弦定理
a sin
A
=
b sin
B
=
c ssinB，c=2RsinC,
所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2∶ 6∶( 3 +1).
因为a为最小值，所以A为最小内角.
3
解析：a2 = b2 + c2 2bc cos A
=1 3 21 3 3 =1 2
a 1
2．(2010·广东一模)在△ABC 中，三边 a、b、 c 所对的角分别为 A、B、C，若 a2＋b2－c2 ＋ 2ab＝0，则角 C 的大小为___________．
解析： cos C a2 b2 c2 2ab 2
2ac a2＋2ba2b－c2＝－2ab＋c
∴a2＋c2－b2＝－ac ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－2aacc＝－12
∴B＝23π.
(2)由 b2＝a2＋c2－2accosB 可得
b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)
∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3
S△ABC＝12ac·sinB＝3
解：
(1)由正弦定理得

年高考第一轮复习数学解斜三角形

年高考第一轮复习数学解斜三角形It was last revised on January 2, 2021解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ；① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ；② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =51B.AB ·＞0 +tan B +tan C ＞0=3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ +3 C.232++3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =acb c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决解：利用余弦定理，由a 2=b（b +c），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】（2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为° ° °°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° =14，b =16，A =45°=12，c =15，A =120°解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224Ra －224Rc ）=（a－b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围. 解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =axsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10， ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10 =）（αα-︒⋅45sin sin 100 =）（αααsin 22cos 22sin 100- =）（αα2cos 1422sin 42100-- =2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C . 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +CB C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abc b a ca b a c cb 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。

高考理科数学第一轮总复习-解斜三角形及其应用举例PPT优质课件

解：由ba＝ccoossAB，得 acosA＝bcosB，所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2，所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
2
• 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
• 3.△ABC中,已知 sinA :sinB :sinC 1 :1 : 2,且
S△ABC1 = ( )2 • A. 2
，A 则B B C B C C A C A A B的值C是
2
B.
• C. -2
D. - 2
• 解：△ABC中，已知
• 别 (1)为若aC、=b、 c，，则且角a=A1=，__c_=___3 _ _._；
• (2)若A=
3
6
，则边b=____2或__61___.
•
解: (1)由正弦定理
a sin
A
sincC得,
sin
A
又a＜c，所以A＜C，所以A= .
a sin C c
1. 2
• (2)同理由
a
c 得,
sin
• tanA=-tan(B+C).
( 2 ) s i n A c o s B C ,c o s A s i n B C ,t a n A c o tB C . 2 22 22 2
• 1.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的( C) • A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
• (2010•山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= 2 ，b=2 ， sinB+cosB= ，则角A的大小为 __________2 ．

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.4 简单的三角恒等变换

2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第四章　三角函数与解三角形§4.4　简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝＝＝ .(3)公式T 2α：tan 2α＝ .2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α－11－2sin 2α2.常用的部分三角公式(1)1－cos α＝，1＋cos α＝ .(升幂公式)(2)1±sin α＝ .(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝ .(降幂公式)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )√√√√√2.若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于√√第二部分√思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.命题点1　给角求值例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；命题点2　给值求值√命题点3　给值求角思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值.跟踪训练2　(1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于√∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，当cos α＝0 时，等式成立，此时sin 2α＝0；√∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝ sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，第三部分√12345678910111213141516。

高考数学总复习解斜三角形精品课件大纲人教版

用正弦定理或余弦定理把已知条件转化成纯
角度关系或纯边的关系，结合特殊三角形的
性质判定．
例2 已知在△ABC 中，A，B，C 为三个内角，
a，b，c
分别为对应的三条边，π＜ 3
C＜π2且a－b
b
＝sinA 的形状．
【思路分析】把a，b化为角的形式，利用角的关系判定．
直角三角形
钝角三角形
(2)边角互化利用正、余弦定理把所给条件中的角转化为边，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (3)化边为角利用正、余弦定理把所给条件中的边都化为角，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
2．余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC与勾股定理c2＝ a2＋b2有什么关系？提示：当C＝90°，即c为Rt△ABC的斜边时， c2＝a2＋b2－2abcosC就是勾股定理，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况．
课前热身答案：C
答案：D
答案：D
4．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝ ________.
方法技巧
方法感悟
1．解斜三角形的四种常见类型及一般解法
2.判断三角形形状的常见题型及解法如下．如例 (1) 在 △ ABC 中，给定三角形的三边 a 、 b 、 c(a<b<c)或三边的比，判断三角形的形状，由余弦定理可知：
a2＋b2－c2的符号
＋
0
－
△ABC的形状
锐角三角形
名师预测
＝5 ， 13
cos∠ADC＝35，求

高考数学第1轮总复习第24讲解斜三角形课件理 (广东专版)

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题．
1．正弦定理及变式 c 2 R； 1 ① sinC ，c 2 R sin C； 2 a 2 R sin A，b ② a b sin B ， sin C ③ 3 sin A ， 2R 2R 4 sin A:sin B:sin C: a:b:c. ；
)
3 3× BC AC BCsinB 2 【解析】由正弦定理得＝， AC＝＝＝ 1 sinA sinB sinA 2 3 3，故选 A.
1 2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么 3 AC 等于( A．6 C．3 6 ) B．2 6 D．4 6
【解析】AC＝ AB2＋BC2－2AB· BCcosB ＝＝6. 1 6 ＋4 －2×6×4×3
4 给出答案．
【要点指南】 b ①； ② 2 R sin B； sinB c ③ ；④a 2 c 2 2ac cos B； 2R a 2 b2 c2 1 ⑤ ；⑥ ac sin B 2ab 2
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30° ，B＝60° ，则 AC 等于( A．3 3 3 C. 2 B. 3 D ．2 3
1 ＝－x4＋24x2－16 4 1 ＝ 128－x2－122 . 4
2x＋x>2 由三边关系，得x＋2> 2x 2x＋2>x
，
解得 2 2－2<x<2 2＋2. 故当 x＝2 3时，S△ABC 取最大值为 2 2.
【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后再利用三角形的面积公式和函数性质求解．

高考数学复习课件-解斜三角形应用举例

整理课件
8
正弦定理和余弦实定际理测在量中有许多应:用
(1)测量距离.
整理课件
9
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
最大角度
BC2 AB2 AC2 2ABACcosA
1.952 1.402 21.951.40cos6620
3.571
BC1.89(m)
C
答：顶杆BC约长1.89m。
整理课件
A
18
B
正弦定理和余弦实定际理测在量中有多应:用
(2)测量高度.
整理课件
19
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
1.2.1 应用举例
整理课件Biblioteka 1基础知识复习1、正弦定理 a b c 2R sin A sinB sinC (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
整理课件
2
整理课件
整理课件
13
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ,
∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
asin( )
asin( )
AC
sin180 ( ) sin( )

2014届高考数学一轮复习第24讲《解斜三角形》热点针对训练理

第24讲解斜三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝3，B ＝5π6，则b ＝( A ) A.7 B ．27C ．37D ．7解析：由余弦定理，得b ＝1＋3－2×1×3cos 5π6＝7. 2.(2012·某某市第一次调研)在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( C ) A.π4或3π4 B.3π4C.π4D.π6解析：由正弦定理得sin C ＝AB sin A BC ＝22，又BC ＝3，AB ＝6，所以A >C ，则C 为锐角，所以C ＝π4，故选C. 3.(2013·某某质检)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( A )A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析：由题意可得12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝32，即12AB ·BC ·32＝32，所以AB ·BC ＝2. 再由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2，所以AB 2＋BC 2＝5，所以(AB ＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝5＋4＝9，所以AB ＋BC ＝3，所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋3，故选A.4.(2012·某某市第三次调研)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值X 围是( C )A ．(1,2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)解析：若满足条件的三角形有两个，则应32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝AB sin C＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.5.(2013·某某市五区县期末)在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝ π6 .解析：由正弦定理得sin 2A sin A ＝b a，得2sin A cos A sin A ＝31，即cos A ＝32，故A ＝π6. 6.(2013·某某省某某市)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则△ABC 的面积等于 3 3 .解析：由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋16－132×3×4＝12，所以sin A ＝32，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×4×32＝3 3. 7.(2012·某某省某某市测评)△ABC 中，如果(a ＋b ＋c )·(b ＋c －a )＝3bc ，那么A 等于 π3. 解析：(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝[(b ＋c )＋a ][(b ＋c )－a ]＝(b ＋c )2－a 2＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3. 8.(2012·某某省莱州第一次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值X 围．解析：(1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝54ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0<cos B <1，得p 2∈(32，2)，由题设知p >0，所以62<p < 2. 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac . (1)求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)由已知a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×35×45＝6425. (2)因为b ＝2，所以a 2＋c 2＝65ac ＋4，又因为a 2＋c 2≥2ac ，所以2ac ≤65ac ＋4，所以ac ≤5，所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×5×45＝2. 所以△ABC 的面积的最大值为2.。

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第二课时解三角形的综合问题

外,再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.

-
-
=
=

=

+
+ ( -) +- - +
=

2

=4cos B+ -5≥2
=

·

-5

的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,

所以 sin[ -(A+B)]=sin B,

且 0<A+B<,

所以 0<B<,0<-(A+B)<,

所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+

=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得

高考数学一轮总复习第24讲解斜三角形课件理新人教A版

A．3 3
B. 3
3 C. 2
D．2 3
第十页，共46页。
【解析】由正弦定理得sBinCA＝sAinCB，AC＝BCsisniAnB＝3×1
3 2＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3 3，故选 A.
第十一页，共46页。
2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝13，那么
AC 等于( )
A．6
B．2 6
C．3 6
对角，试判断△ABC 的形状．
第二十四页，共46页。
【解析】设方程两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1 ＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.
由题意，bcosA＝acosB，由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB，所以 sin(A－B)＝0，又－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B，所以△ABC 为等腰三角形．
第四十一页，共46页。
备选(bèi xuǎn)例
题如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD 交 AC 于 E，AB＝2. (1)求 cos∠CBE 的值； (2)求 AE.
第四十二页，共46页。
【解析】(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，
又 DC＝AC＝BC，
算的正确性；
4 给出答案．
第七页，共46页。
【要点指南】
①； b ②2Rsin B； sinB
③ c ；④a2 c2 2ac cos B； 2R
⑤ a2 b2 c2 ；⑥ 1 ac sin B
2ab
2
第八页，共46页。
第九页，共46页。
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30°，B＝60°，则 AC 等于( )

高考数学一轮总复习 4.24 解斜三角形课件理

【解析】(1)由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C，
所以cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a＝2sinsCin－Bsin
A，
即 sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin
Acos B，
第十七页，共33页。
即有 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，即 sin C＝2sin A，所以ssiinn CA＝2. (2)由(1)知ssiinn CA＝2，所以有ac＝2，即 c＝2a，又因为周长为 5，所以 b＝5－3a，由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accos B，即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×14，解得 a＝1，所以 b＝2.
面积，若
S
＝
1 4
(a2
＋
b2)
，
则
△ABC
的形状是
____等__腰__直__角__三__角__形_______．
【解析】∵S＝12absinC(C 是 a，b 两边的夹角)，
∴12absinC＝14(a2＋b2)，
又 0<sinC≤1，a2＋b2≥2ab(当 a＝b 时，取等号)，
∴12ab≤14(a2＋b2)＝12absinC≤12ab，
∴a∶b∶c＝sin B∶sin B∶sin C＝2∶ 6∶( 3＋
1)，∴a 为最小边，∴A 为最小内角，
设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k，
∴cos A＝（ 6）2×2k2＋6×（（3＋3＋1）1）2kk2－2 22k2＝ 22.故
选 B.
第二十五页，共33页。
4．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°，

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质第1课时三角函数的图象与性质一课件

数学
01
基础知识自主回顾
02
核心考点深度剖析
03
方法素养助学培优
04
高效演练分层突破
一、知识梳理
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
函数定义域
值域
函数的最值
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
R
R
{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
则 3tan x－
3>0，即
tan
x>
3 3.
所以π6＋kπ<x<π2＋kπ，k∈Z.
答案：π6＋kπ，π2＋kπ，k∈Z
2．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为__________．解析：要使函数有意义，需 sin x－cos x≥0，即 sin x≥cos x. 解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)，故原函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)．答案：2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
R
最大值 1，当且
最大值 1，当且
仅当__x_＝__2_k_π___ _＋__π2_，__k_∈__Z_；
仅当__x_＝__2_k_π_，__ ___k_∈__Z____；
无最大值和最小值
最小值－1，当最小值－1，当且且仅当_x_＝__2_k_π_－__π2_，仅当_x_＝__2_k_π_－__π_，
【迁移探究 2】 (变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin2x－π3，试讨论 f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解：令 z＝2x－π3，易知函数 y＝sin z 的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z. 设 A＝－π4，π4，B＝x|－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4. 所以，当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，又因为π4－－π4＝π2<T，所以 f(x)在区间－π4，－1π2上单调递减．