常量与变量的相互转化

转化常量与变量的角色

漳浦一中 杨跃民 363200

我们知道,常量即固定不变的已知量,变量即变化着的未知量.但变量与常量的地位是相对的,灵活、正确处理变量与常量角色的相对关系对问题的解决有着天壤之别，极具神奇的艺术魅力.在数学问题的解决中，常常会碰到常量与变量关系处理的现象.改变审视的角度,灵活变换它们的角色，有时将常量看成变量,而将变量当作常量,将能起到出奇制胜的作用.正确处理常量与变量的角色转化是一种重要的数学思想方法和解题策略，是一门具有高层品味的科学艺术，在数学问题的解决中占有重要的地位，教学中我们绝不可低估它的作用.它是一种有动态、带逆向思维特性和综合艺术品性的解决问题的上策或良策.尤其是随着新课程的实施及高考模式的改革，高考的数学试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用，它着眼于知识点新颖巧妙的有机组合，试题新而不偏奇，活而不过难；着眼于合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查；着眼于对数学思想方法、数学能力与素质的考查.因此，数学问题解决的教学中要注意自觉克服绝对化的僵化思维，充分挖掘数学问题中潜在的有机结合而形成的特殊性和简单性，尽力打破常规，克服思维定势，灵活处理数学问题中的常量与变量角色的相对性.引导培植学生综合全面的优秀思维品质和良性的分析问题和解决问题的能力，构建学生科学探究、自主学习的能力的框架体系.

一、巧理对称关系式问题中量间角色的平等性

对称关系式中，量间的地位是平等的，处理时有一定的困难，但当把式中量间角色的平等性加以剥离, 有的量成为常量，有的量成为变量，使它们成为不平等，处理时常常能起到奇妙的效果.

例1：设a>0,x 、y 、z ∈R,x+y+z=a,222z y x ++=2

a ,求x 、y 、z 的取值范围. 分析 该问题中x 、y 、z 均为变量,地位均等,条件中的两式都是轮换对称式,相结合消去z 得到()2

22y x a y x --++=2

a ,将此式中的变量x 当作常量看待,整理成关于

变量y 的一元二次方程得2y +(x-a)y+(2

x -ax)=0,因为该方程有实根

∴△=()2

a x --4(2

x -ax)≥0⇒32

x -2ax-2

a ≤0

将x 看成变量,则此式是关于x 的一元二次不等式,解得-

3

a

≤x ≤a

同理可得-

3a ≤y ≤a, -3

a

≤z ≤a. 例2：在ΔABC 中,求证:cosA+cosB+cosC ≤2

3

.

分析 该问题中A 、B 、C 都是变量,地位均等, 该求证式是轮换对称式. ∵在ΔABC 中, A+B+C=π，∴当令y=cosA+cosB+cosC 时， 可得y=2cos 2B A +cos 2

-B A +1-2sin 22C

= -2sin 2

2C +cos 2

-B A sin 2C +1 ∴2sin

22C - 2cos 2

-B A sin 2C +y-1=0 ① 将①式的sin 2C 看成变量, y 、cos 2

-B A 看成常量, 则①式即为关于sin 2C 的二次方程. ∵sin

2

C

为实数, ∴①有实数根 ∴Δ=(2 cos

2

-B A )2

-8(y-1)≥0 ∴y ≤1+21cos 22-B

A ≤1+21=23

当且仅当A=B=C=

3

π

等号成立.

故 cosA+cosB+cosC ≤2

3

.

这里我们把sin 2

C

看作变量其余的看成常量,使问题转化为一元二次方程有解问题加以解决.

二、巧换方程问题中常量与变量的角色着装

某些带有参数的方程问题，循着问题中对常量与变量的设定去处理，有时是很复杂，甚至是无法解决问题的.方程问题中的常量（参数或具体数值）与变量的地位并非是一成不变的，它们是具有相对性的，若能打破常规，对问题中常量与变量的角色着装加以巧妙置换，常常会发现问题的处理变得豁然开朗起来，其过程也是极其简单.

例3：已知关于x 的方程m 2

x -2(m-3)x+m-2=0中的m 为负整数，试求使方程的解至少有一个为整数时的m 值.

分析 这里x 是变量，m 为常量,按常规求出x=

()m

m

m 493-±

-，再对m 分类讨

论，但十分繁琐.如果置换方程中变量x 与常量m 的角色，将原方程视为关于变量m 的方程，则有()2

1-x m=2－6x ，x≠1，故m=

()

2

162--x x

.因m 为负整数，故m≤－1，∴2－

6x≤－()2

1-x ，即2

x －8x+3≤0.解得4－13≤x≤4+13，且x≠1，∴x 的整数值

为2，3，4，5，6，7，代入m=

()

2

162--x x

中进行验算，得到m 值为－10，－4.

例4：解方程: x 3

+23x 2

+3x+3-1=0.

分析 直接按x 是变量求解方程，显然难度极大，若适当转换角色，则求解十分容易.令3=a ，将a 看成作变量,x 看作常量.则原方程化为关于a 的方程：

x 3

+2ax 2

+2

a x+a-1=0

即x 2a +（2x 2+1）a+ x 3-1=0，因式分解化为(a+x-1)(xa+x 2

+x+1)=0 ∴a+x-1=0或者xa+ x 2

+x+1=0，将a=3代入得 x=1-3或者x 2

+(3+1)x+1=0 ∴原方程的根为x=1-3或者x=

2

1

(-3-1±23). 三、巧调恒成立问题中常量与变量的地位

同方程问题中的常量与变量的相对特性类似，恒成立问题中的常量与变量按常态处理起来同样非常棘手，但若能巧调常量与变量的地位，则与方程问题的处理具有同等奇妙的效果.

例5：已知()⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=12x

m x f ,()12-=x x g ， 当|m|≤2时，()x f 的图象都在

()x g 图象的下方，求x 的取值范围.