空间几何证明
空间几何的证明与推理教学步骤和教学策略
空间几何的证明与推理教学步骤和教学策略在数学教学中，空间几何的证明与推理是一个重要内容。
通过学习和运用几何证明和推理的方法，学生能够提高逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍空间几何的证明与推理的教学步骤和教学策略，帮助教师更好地引导学生进行几何推理。
一、教学步骤1.引入知识：教师可以通过提问和引导学生回顾已学知识，如平行线的性质、三角形的性质等，让学生建立起前后知识的联系。
2.概念解释：对于新学知识，教师应提供准确的定义和解释，让学生明确相关概念。
例如，在介绍平面内角的补、余角时，要给出相应的定义和示例。
3.定理陈述：教师可以从简单到复杂，逐步引入定理。
在陈述定理时，应给出合理的理由和证明方法，并鼓励学生思考和发现。
4.示例演练：引导学生通过具体的例子来巩固和应用所学知识。
教师可以设计一些典型的练习题，引导学生进行推理和证明。
5.概念联系：将学生已学的概念和定理联系起来，通过比较和分析不同概念之间的关系，帮助学生理解和应用知识。
6.问题拓展：提出一些拓展性问题，让学生运用所学知识进行解决。
教师可以组织小组讨论或个人思考，激发学生的想象力和创造力。
7.总结归纳：对于整个教学过程，教师应引导学生总结所学知识和解决问题的方法和思路，提高学生的思维能力和学习效果。
二、教学策略1.启发式教学：鼓励学生主动思考和探索，通过提出问题、观察现象和发现规律，引导学生形成自己的认知和理解。
2.互动合作：组织学生进行小组讨论、合作学习，促使学生相互交流、合作和互助，提高学生的学习效果和兴趣。
3.多样化教学：采用多种教学方法和教学资源，如演示、实物模型、电子课件等，激发学生的学习兴趣和积极性。
4.个性化辅导：注重学生的个别差异，根据学生的程度和需求给予针对性的辅导和指导，在教学过程中充分尊重学生的多样性。
5.形象化教学：通过图形、示意图等形象化方式来呈现抽象的几何概念和推理思路，有助于学生的理解和记忆。
6.巩固性训练：通过大量的练习和应用题，夯实学生对空间几何知识和推理方法的掌握，提高学生的解题能力和应用能力。
空间几何知识考点
空间几何知识考点<一>常用结论1、 证明平行，（1）中位线法，（2）平行四边行法，（3）向量法，斜率相等2、 证明垂直，（1）两组分别垂直推出线面垂直，再线线垂直（三垂线定理），（2）平移到一个三角形，勾股定理，（3）向量法，斜率相乘等于-1 3.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.4．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x y ⋅=⋅+5.直线AB 与平面所成角：sin ||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).6.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 7.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =.8.异面直线间的距离： ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 9.点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.10. 求点到面的距离的常规方法直接法、转移法、等体积法、向量法 11、外接球直径三种方法，补形法，轴截面法，向量法 12、H h 42=（斜二侧法） 13、球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π14、几何体的表面积和体积公式（1）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积 '21ch S =正棱锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表l R r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表（2）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh=锥 h r V 231π=圆锥''1()3V S S S S h=台2V Sh r h π==圆柱 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台15. 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的体积3122a ，内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a .（三视图以线画点法）考点1、（求长度）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A．6 2 B．4 2C．6 D．4(放到棱长为4的正方体中思考)．直观图如图所示的三棱锥ABCD，因为AB＝BC＝4，易求得BS＝SC＝25，AC＝42，AS＝422＋22＝6，所以该三棱锥的最长的棱的长度为6.答案：C考点2、（求体积分割法）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．考点3、（表面积）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D．++【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．（外接球）考点1、补形法（补成长方体）正棱柱，长方体的外接球球心是其中心cabC PAB a bc图2PC BA a bc图3C BPAabcPCO2BA已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π（变式）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（变式）某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．2πa B．22πa C．23πa D．24πa由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ．三棱锥（即四面体）中，三组对棱分别相等，亦可补形为长方体 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，第三步：由22222222z y x c b a R ++=++=，求出R .yxabc zzyx图2-1D C AB考点2、（外接圆直径）已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．（）（变式） 将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =，再由正弦定理得到321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴3OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径． ∴球的半径3714OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ．考点3、（轴截面法）已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)10503，则此球的体积为（ ） A ．18πB ．86C ．36πD ．323π如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 底面正方形的边长为105EA ∴= 正四棱锥的体积为503，21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．（内切球问题）1．正棱锥的内切球.第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心； 第二步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．任意多面体的内切球：等体积法，第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出表S V r 3=已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．图8-1H DAPOE【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则24⎫=⎪⎪⎝⎭，解得4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆， 其中4MN =，PM PN ==PE =．设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即2r =，解得r ==∴内切球的表面积为(224π4π32πS r ===-．平行证明法1、利用三角形中位线的性质（中位）如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
空间几何证明
空间几何证明几何学是研究形状、大小、相对位置等与空间有关的数学分支。
在几何学中，证明是一种重要的方法，通过逻辑推理和严密的论证，我们可以证明一个命题或定理的正确性。
本文将围绕空间几何证明展开论述。
一、点、线、面的定义与性质在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的几何对象，它是构成空间的最基本单位。
线是由无数个点按一定规律连接而成的几何对象，它有长度但没有宽度和高度。
面是由无数个线按一定规律连接而成的几何对象，它有长度和宽度但没有高度。
在几何学中，点、线、面具有一些重要的性质。
点的性质包括：无宽度、无长度、无法内外分离等。
线的性质包括：有方向、有长度、无法内外分离等。
面的性质包括：有长度、有宽度、无法内外分离等。
这些性质是我们在证明定理时的基础。
二、平行与垂直关系的证明在空间几何中，平行和垂直是两种常见的关系。
平行是指两个或多个直线永不相交，垂直是指两个直线相交成直角。
我们可以通过证明一些定理来判断两个直线是否平行或垂直。
以证明两个直线平行为例，我们可以使用反证法来进行证明。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交。
然后通过逻辑推理，我们可以推出一个矛盾的结论，从而证明假设不成立，即两条直线是平行的。
对于证明两个直线垂直的问题，我们可以使用几何图形的性质进行论证。
例如，如果两个直线分别与一条直线相交，并且一对对应的内角和为直角，那么可以得出这两个直线垂直的结论。
三、三角形的各种关系及证明三角形是由三条线段连接而成的几何对象，它是几何学中研究最为深入的图形之一。
在空间几何证明中，我们经常需要使用各种三角形的关系来进行论证。
首先，我们可以证明三角形的内角和等于180度。
通过在三角形内部绘制一条平行线，然后利用平行线与直线的性质，我们可以得出三角形内角和等于180度的结论。
其次，我们可以证明三角形的外角等于其对应内角的和。
通过绘制三角形的外接圆，我们可以找到一些特殊角的关系，并得出外角等于其对应内角的和的结论。
空间几何所有证明题
∵ ，∴ ．
又 ，∴ 平面CDF．
∵ 平面CDF，∴ ．
又 ， ，
∴ 平面ABE， ．
∵ ， ， ，
∴ 平面BCD．
考点：线面垂直的判定
考点：线面垂直的判定
7.证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
6、如图，在正方体 中， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
7、如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且平面 垂直于底面 ．
（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；
3. 证明：连接 交 于 ，连接 ，
∵ 为 的中点， 为 的中点
∴ 为三角形 的中位线 ∴
又 在平面 ， 在平面 外
∴ 平面 。
考点：线面平行的判定
4.证明： °
又 面
面
又 面
考点：线面垂直的判定
5.证明：（1）连结 ，设 ，连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又 分别是 的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面 ， 面 ∴C1O∥面
（2） 面
又 ，
同理可证 ，又
面
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
空间几何证明题的解题方法
空间几何证明题的解题方法解题方法是解决几何证明题的关键。
在空间几何的学习中，遇到证明题是常有的事情。
本文将介绍几种常见的解题方法，帮助读者更好地应对空间几何证明题。
一、归纳法归纳法是证明题中常用的方法之一。
通过观察、分析已知条件和结论之间的关系，归纳出一般规律，再用具体例子验证这一规律的正确性。
在解决证明题时，首先要对已知条件进行分析，将其归纳为几种特殊情况，并观察它们与结论之间的联系。
然后通过具体实例验证这一规律是否成立。
最后在证明中运用归纳法，将已知条件的特殊情况逐一证明，得出结论的正确性。
二、反证法反证法是一种常见的解决几何证明题的方法。
它通过假设结论不成立，利用逻辑推理和已知条件推出与已知条件相矛盾的结论，从而推翻假设，得出结论的正确性。
在运用反证法解题时，首先要根据已知条件和结论的关系提出猜测，然后假设结论不成立，推出与已知条件相矛盾的结论。
最后通过分析这一矛盾来证明猜测的正确性。
三、构造法构造法是一种通过构造特殊图形或方法来解决几何证明题的方法。
在解决证明题时，可以根据已知条件和结论的要求，通过构造特殊的图形或方法，使得所构造的图形或方法与问题的条件相符。
通过观察其性质和关系得出结论的正确性。
构造法能够将问题转化为图形或方法的可视化表现，有助于理解和解决问题。
四、相似性相似性是空间几何证明题中常用的解题方法之一。
在解决证明题时，可以通过发现几何图形的相似性质和性质之间的关系，推导出结论的正确性。
相似性可以用比例关系来表示，通过构造合适的比例关系，运用比例的性质来证明结论。
五、平行性平行性是空间几何证明题中常用的方法之一。
在解决证明题时，可以通过分析几何图形中的平行性质，用平行线的性质和平行线之间的关系来推导出结论的正确性。
在解决证明题时，可以利用平行线的性质来推导出其他线段的相等关系、角的相等关系和比例关系等。
六、共线性共线性是解决空间几何证明题的常用方法之一。
在解决证明题时，可以通过观察几何图形中的点、线、面的位置关系，分析它们是否共线，从而推导出结论的正确性。
空间几何的基本定理和证明
空间几何的基本定理和证明空间几何是研究空间中点、线、面和体之间的位置、形态、大小、相对位置等性质的数学分支。
在空间几何中，有一些基本定理是我们必须要了解和掌握的。
本文将介绍几个常见的空间几何基本定理，并给出相应的证明。
一、平行线定理：平行线是位于同一平面内且不相交的两条直线。
在空间几何中，平行线间的关系有着重要的应用。
平行线定理如下：定理1：如果两条直线与第三条直线相交，且与第三条直线分别平行，则这两条直线互相平行。
证明：设直线l和m与直线n相交，且l与n平行，m与n平行。
我们需证明直线l与m平行。
根据平行线的定义，我们可以得到以下两组对应角相等关系：∠1 = ∠2，∠1 = ∠3；∠4 = ∠5，∠4 = ∠6。
现在我们来证明∠2 = ∠3 = ∠5 = ∠6，这样就证明了直线l与m平行。
根据同位角定理，我们可以得到：∠2 + ∠4 = 180°，∠3 + ∠6 = 180°。
将上述两个等式相加并整理得：∠2 + ∠4 + ∠3 + ∠6 = 360°。
由于∠2 = ∠3，∠4 = ∠5，∠5 = ∠6，代入上式我们可以得到：2∠2 + 2∠5 = 360°。
化简得：∠2 + ∠5 = 180°。
根据同位角的定义，∠2 + ∠5是直线l与m的内错角。
据直线外角定理，直线l与m的内错角相等，即∠2 + ∠5 = 180°。
因此，我们证明了直线l与m平行。
二、垂直定理：在空间几何中，垂直是指两个直线或线段相交时，交点的四个周围角都是直角（90°）。
垂直定理如下：定理2：直线和平面垂直的等价条件是直线上的任意一条直线垂直于平面。
证明：我们设直线l与平面P相交于点A，我们需要证明l上的任意一条直线垂直于平面P。
取直线l上任意一点B，连接OB。
构造平面Q，使得平面Q 过直线l且垂直于平面P。
则由垂直平面的性质得知，直线l就在平面Q内。
最新题型空间向量证明立体几何问题
C
B
0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
A
AB ' • BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
题型四：线面平行
例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
证明：如图建立坐标系D xyz,
A1
D1 z
F
C1 设AD 2.则
A1(2,0,2), C1(0,2,2), E(0,0,1)
|
即所求二面角的余弦值是 6 。
6, 3
3
题型七：面面平行
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1
证明: 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D 三边所在的直线为x, y, z轴建立空间
直角坐标系.设正方体的棱长为1,则
Z
A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1)
或先求平面BDE的法向量 n 再证明 A' F n
题型六：面面角
例、已知，ABCD是一直角梯形，ABC 900, SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。
2 解：建立直角坐系A - xyz如所示,
z
A (0,0,0),C (- 1,1,0),D(0, 1 ,0), S(0,0,1) S
n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2 z
0 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明(解析版)
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。
空间几何导数证明
空间几何导数证明一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握空间几何导数的定义及其相关性质，理解导数在几何图形中的应用。
2. 使学生能够运用空间几何导数证明相关几何问题，如曲线、曲面的切线与法线等。
技能目标：1. 培养学生运用空间几何导数解决实际问题的能力，提高他们的几何直观和逻辑思维能力。
2. 培养学生通过团队合作，共同探讨和解决复杂几何问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对空间几何导数证明的兴趣，激发他们探索几何奥秘的热情。
2. 培养学生面对困难时，保持积极向上的心态，勇于克服挑战。
课程性质分析：本课程为高中数学课程，以空间几何为基础，重点探讨导数在空间几何中的应用和证明。
学生特点分析：高中学生已具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，但对空间几何导数证明可能仍感到陌生，需要引导和启发。
教学要求：1. 注重理论与实践相结合，引导学生通过具体实例理解空间几何导数的概念。
2. 鼓励学生积极参与讨论，培养他们的团队协作能力和创新意识。
3. 注重培养学生的几何直观，提高他们运用导数解决几何问题的能力。
二、教学内容本章节教学内容依据课程目标，结合教材《高中数学》相关章节，组织如下：1. 空间几何导数的定义与性质：讲解空间曲线、曲面的切线与法线概念，引入空间几何导数，阐述其相关性质。
2. 空间几何导数的计算方法：通过具体实例，教授空间几何导数的计算方法，包括求导法则、链式法则等。
3. 空间几何导数在几何问题中的应用：运用空间几何导数解决实际问题，如求曲线、曲面的切线方程、法线方程等。
4. 空间几何导数的证明方法：引导学生掌握空间几何导数证明的基本方法，包括直接证明、反证法、归纳法等。
教学大纲安排如下：第一课时：空间几何导数的定义与性质第二课时：空间几何导数的计算方法第三课时：空间几何导数在几何问题中的应用第四课时：空间几何导数的证明方法教学进度安排：第一周：第一、二课时第二周：第三课时第三周：第四课时教学内容关联教材章节：《高中数学》第四章 空间几何第四节 空间几何导数的概念与性质第五节 空间几何导数的计算与应用第六节 空间几何导数的证明方法三、教学方法针对本章节内容，采用以下多样化的教学方法，以激发学生学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师以清晰、生动的语言，系统讲解空间几何导数的定义、性质、计算方法和证明方法，为学生奠定坚实的理论基础。
空间几何的证明方法
空间几何的证明方法空间几何作为数学的一个分支，主要研究在三维空间中的图形和关系。
在空间几何中，证明是非常重要的环节，因为它能够验证我们的理论和推理是否正确，并加深我们对于几何概念的理解。
本文将介绍一些常用的空间几何的证明方法。
I. 直接证明法直接证明法是最常见、最基础的证明方法之一。
它的核心思想是通过已知条件和基本几何定律，用逻辑推理的方式直接得出结论。
在使用直接证明法时，我们需要明确已知条件和待证结论，并在推理过程中逐步展示出步骤的合理性。
下面以一个例子来说明直接证明法的应用：例1：证明三角形ABC的内角和等于180度。
解：已知条件：三角形ABC。
待证结论：∠A + ∠B + ∠C = 180度。
证明过程：1. 通过角度和定理得知，在平面上任意三角形的内角和等于180度。
2. 由已知条件三角形ABC，在平面上。
3. 根据步骤1，得出结论∠A + ∠B + ∠C = 180度。
通过以上的推理步骤，我们使用直接证明法证明了三角形ABC的内角和等于180度。
II. 间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法，它利用反证法的思想推理。
反证法的核心思想是：假设待证结论不成立，通过逻辑推理可以得出与已知条件矛盾的结论，从而推翻原假设，证明待证结论成立。
下面以一个例子来说明间接证明法的应用：例2：证明平行线上的内错角相等。
解：已知条件：平行线l和m。
待证结论：∠A = ∠D。
证明过程：1. 假设∠A ≠ ∠D，即平行线上的内错角不相等。
2. 根据已知条件，平行线l和m。
3. 通过补角定理，得知∠A + ∠D = 180度。
4. 根据步骤1的假设，∠A ≠ ∠D，因此，∠A + ∠D ≠ 180度。
5. 由步骤3和步骤4产生矛盾，证明了原假设的错误。
6. 故可得结论∠A = ∠D。
通过以上的推理步骤，我们使用间接证明法证明了平行线上的内错角相等。
III. 数学归纳法数学归纳法常用于证明直线或平面中的等式、不等式以及几何关系。
空间几何的基本定理与证明
空间几何的基本定理与证明在几何学中，空间几何是研究三维空间中的图形、点、线、面以及它们之间的关系的一个分支。
空间几何的基本定理是我们理解和解决复杂几何问题的基础。
本文将介绍一些空间几何的基本定理，并提供相应的证明，以帮助读者更好地理解这些重要概念。
### 定理一：平行线的平行公理在空间几何中，平行线的平行公理是一个基本的前提。
这个公理表明，如果在同一平面内有一条直线和一点，那么可以通过这一点引一条唯一的直线，与给定的直线平行。
**证明：**给定一条直线L和一点P，在L上选择一个任意点A。
现在，通过点P作一条线段AP，并且以A为中心，作一个半径为AP的圆，记作Γ。
该圆与直线L交于一点B。
我们要证明的是，直线PB与直线L平行。
首先，考虑三角形APB和三角形APB'，其中B'是直线L上的另一点，且与点A相距等于AP。
由于Γ是以A为中心，以AP为半径作的圆，因此AP和AP'是圆的两条半径，它们相等。
另外，AB和AB'分别是Γ的切线，因此它们与半径的夹角相等。
根据三角形的一侧和两个角相等，我们可以得出三角形APB与三角形APB'是全等的，这意味着∠APB和∠APB'相等。
又因为∠APB'是直线L上的角，所以∠APB与直线L平行。
因此，我们证明了通过点P引出的直线PB与给定的直线L平行，这证明了平行线的平行公理。
### 定理二：直线垂直平分线段这个定理表明，如果一条直线垂直于一段线段，并且将该线段平分成两等长的线段，那么这条直线通过线段的中点。
**证明：**给定一条线段AB，以及一条直线L，L垂直于线段AB并将其平分成两等长的线段。
我们要证明直线L通过线段AB的中点M。
首先，连接线段AB的两个端点A和B，并延长直线L，交线段AB的延长线于点P。
因为L垂直于线段AB，所以∠APB是直角。
现在，考虑三角形AMP和三角形BMP。
由于L平分了线段AB，所以AM和MB的长度相等，即AM = MB。
空间立体几何中的平行、垂直证明
∴DE∥平面 PAB.
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H
构造平行四边行法
23
(2)证明 在直角梯形中，CB⊥AB， 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD， 且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
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看到中点找中点
D1 A1
DE A
C1
B1
F
C B
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7
定理应用
空间中的平行
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
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8
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC B
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定理应用
空间中的平行
例 2.如图所示， P在 AB四 C 中D 棱 ，锥 已知 A四 BC 是 边 D 形 平行四M 边 ,N分 形别 ，是ＰＡ点 ，， ＢＣ的中 证明：ＭＮＤ ／／面PＰＣ
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和 该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线.
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空间平面几何中的平行、垂直证明
M A
H D
B
N
C
空间中的平行
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
空间中的平行
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
复习定理
空间中的垂直
1．直线与平面垂直判定
判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则称这条直线和这个平面垂直.
a //
a
a
//
b
b
☺ 简称：线面平行，线线平行.
复习定理
空间中的平行
3.平面与平面平行的判定与性质
➳判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平行．
a,b
a a
//
b
A
//
b //
☺ 简称：线面平行，面面平行.
又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B.
又CD⊂平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例 2. 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， △PAB 为正三角形，且面 PAB⊥面 ABCD， 四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC， ∠BCD＝π4，AD＝1，BC＝2，E 为棱 PC 的中点． (1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC；
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
空间几何证明举例
空间几何证明举例1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.（1）证明：PA//平面EDB ； （2）证明：BP ⊥平面EFD ；[对症下药]（1）如图，连接AC 、AC 交BD 于O ，连接EO 。
∵底面ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，在△PAC 中，EO是中位线，∴PA//EO ，又EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以PA//平面EDB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又EF ⊥PB ，∴DF ⊥PB ，又PB ⊥EF ，∴PB ⊥平面DEF ；（3）由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。
由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB ，设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ，BD=2a ，PB=3a ，PC=2a,DE=21PC=a 22,在Rt △PDBk ,OF=a PB BD PD 36=∙.在Rt △EFD 中，sin ∠EFD=23=DF DE ,∴∠EFD=.3π所以二面角C —PB —D 的大小为.3π2.（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a ，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。
（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由；（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明。
[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。
空间几何的证明方法
空间几何的证明方法空间几何是研究点、线、面和立体等几何图形之间的相互关系和性质的数学学科。
证明是数学学科中重要的思维方法之一，通过证明可以推理出几何问题的解决方案。
本文将介绍一些常用的空间几何的证明方法，帮助读者更好地理解几何问题。
一、直线的垂直性证明方法在空间几何中，直线的垂直性是一个基本的概念。
直线A和直线B 互相垂直的证明方法可以采用以下步骤：1. 通过测量或给出直线A和直线B的斜率，判断直线A和直线B 是否互相垂直。
2. 在给出直线A和直线B的坐标系中，通过计算两条直线之间的夹角，以判断直线A和直线B是否互相垂直。
3. 如果直线A和直线B的斜率或夹角满足一定条件（如斜率的乘积等于-1），则可以推论直线A和直线B互相垂直。
二、平面的平行性证明方法在空间几何中，平面的平行性是一个重要的性质。
平面A和平面B 互相平行的证明方法可以采用以下步骤：1. 给出两个平面的方程，通过比较两个平面的法向量，判断平面A 和平面B是否互相平行。
2. 给出两个平面的法向量和一个共面点，通过计算两个法向量的向量积，以判断平面A和平面B是否互相平行。
3. 如果两个平面的法向量相等或平行，并且一个共面点在另一个平面上，则可以推论平面A和平面B互相平行。
三、立体的相似性证明方法在空间几何中，立体的相似性是用来描述两个立体形状相似程度的性质。
立体A和立体B相似的证明方法可以采用以下步骤：1. 给出立体A和立体B的形状特征，通过比较两个立体的边长、面积和体积，判断立体A和立体B是否相似。
2. 给出立体A和立体B的顶点坐标，通过计算两个立体的相对位置和形状变换，以判断立体A和立体B是否相似。
3. 如果两个立体的形状特征满足一定条件（如边长之比相等等），则可以推论立体A和立体B相似。
四、圆锥的相似性证明方法在空间几何中，圆锥的相似性是描述两个圆锥形状相似程度的性质。
圆锥A和圆锥B相似的证明方法可以采用以下步骤：1. 给出圆锥A和圆锥B的形状特征，通过比较两个圆锥的高度、底面半径和斜高，判断圆锥A和圆锥B是否相似。
空间几何证明知识点习题
高三文科数学复习资料一．选择题1.(2010湖北文数)用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.A. ①②B. ②③C. ①④D.③④2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（）.A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两个平面平行二、解答题：1. （2011年高考山东卷文科19)（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°.（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.2 （2011年高考全国新课标卷文科18)（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2， （1）证明：BD PA ⊥; (2) 设，1==AD PD 求三棱锥D-PBC 锥的高.3. （2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA =AB =1，AD =3，CDCDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积4. （2011年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且222==BF ，AE .(Ⅰ)求证：E C CF 1⊥(Ⅱ)求二面角 1C CF E --的大小.5.(2010重庆文数)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD，PA AB ==E 是棱PB 的中点.证明：AE ⊥平面PBC ；6．（2010湖南文数）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．7、（2010年全国卷）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
空间几何证明基本方法
空间几何证明基本方法空间几何证明是几何学中的一个重要部分，旨在通过逻辑推理和数学推导来证明空间中的几何定理。
本文将介绍空间几何证明的基本方法，帮助读者更好地理解和运用这些方法。
一、引言在进行空间几何证明之前，我们需要了解一些基本概念和前提条件。
比如，我们需要熟悉空间中的点、线、面等基本要素，同时需要了解一些几何定理和性质。
在进行证明时，我们可以利用这些定理和性质来推导出需要证明的结论。
二、直线平行证明方法直线平行是几何中常见的证明题型之一。
下面将介绍两种常用的直线平行证明方法：方法一：使用等角定理在给定的平面中，首先找到一对平行线，并证明它们与另一条线的夹角相等。
然后以这个夹角为基础，通过角的关系推导出所需要证明的两条直线为平行关系。
方法二：使用垂直定理在给定的平面中，找到一条直线与给定的两条直线垂直相交。
然后通过证明两对垂直的对应角相等，进而推导出所需要证明的两条直线相互平行。
三、三角形相似证明方法三角形相似是空间几何中常见的证明题型之一。
下面将介绍两种常用的三角形相似证明方法：方法一：使用AAA相似定理如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，我们需要找到一组对应的角分别相等的三角形，并通过这些相等角的关系来推导出所需要证明的三角形是相似的。
方法二：使用AA相似定理如果两个三角形的其中两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，我们需要找到一组对应的角分别相等的三角形，并通过这些相等角的关系来推导出所需要证明的三角形是相似的。
四、圆相关证明方法在空间几何中，圆是一种特殊的几何形状，其证明方法也与其他几何形状有所不同。
下面将介绍两种常用的圆相关证明方法：方法一：使用切割定理如果一条直线与一个圆相切，那么切点与圆心的连线垂直于这条直线。
在证明中，我们可以通过找到与圆相切的某条直线，并证明其切点与圆心的连线垂直，从而得出所需要证明的结论。
方法二：使用弦切角定理在圆内部或外部，如果一条弦与一条切线相交，那么相交的角是半弧所对的角的一半。
高中数学空间几何证明八大定理和角的范围问题
一、空间几何证明八大定理1.直线与平面平行的判定定理(1)文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(2)符号语言:ααα//,,//l l a a l ⇒⊄⊂.(3)图形语言:2.平面与平面平行的判定定理(1)文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(2)符号语言:βαββ//,//,//⇒=P b a b a (3)图形语言:(1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(2)符号语言:ba b a a //,,//⇒=⊂βαβα (3)图形语言:4.平面与平面平行的性质定理(1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)符号语言:ba b a //,,//⇒==γβγαβα(3)图形语言:(1)文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.(2)符号语言:ααα⊥⇒=⊂⊂⊥⊥l P b a b a b l a l ,,,,(3)图形语言:6.平面与平面垂直的判定定理(1)文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(2)符号语言:βαβα⊥⇒⊂⊥,,l l (3)图形语言:(1)文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)符号语言:ba b a //,,⇒⊥⊥αα(3)图形语言:8.平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)符号语言:βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ,,, (3)图形语言:二、关于角的范围1.异面直线所成的角的范围是︒︒≤<900θ.2.直线与平面所成的角的范围是︒︒≤≤900θ.3.二面角的取值范围是︒︒≤≤1800θ.4.直线倾斜角的范围是︒︒<≤1800θ.。
数学笔记：空间几何—证明平行
方法二：建立空间直角坐标系：两平面的法向量平行（不再举例）
证明线线平行
方法一：平行于同一直线的两直线平行
方法二：两平行平面，另一平面与这两平面相交，两条交线平行
方法三：建立空间直角坐标系
其实建立空间直角坐标系方法是万能的，不过用在有些题目中会比较麻烦，不如其他方法简便。
方法二：找到直线所在的平面与该平面平行
取点H使EH//AB,由题意可知B1E=C1F ,AE=BF,根据△AB1B≌△C1BB1,
有B1E/C1F =AE/BF=B1H/HB ,所以FH//
方法三：建立空间直角坐标系：平面的法向量与直线所在向量的数量积等于0
数学笔记：空间几何—证明平行
以下题为例讲解证明线面平行,面面平行的方法
证明线面平行
方法一：找到平面内一直线与该直线平行
作EG//B1B , FH//C1C
由题意可知AE=BF,且在正方体中△AB1B≌△BC1C
所以EG平行且等于FH ,EFHG是平行四边形
找到了面ABCD中的直线GH与EF平行,所以得证
以……为原点,……分别为X,Y,Z轴,设AB=1,E(0,t,1-t)
,F(1-t,0,1-t),得出EF(1-t,-t,0)
求出面ABCD的法向量（这题可直接看出来）n=（0,0,1）
n*EF=0 ,所以得证
证明面面平行
方法一：找到一个平面内的两条直线分别平行另一个平面内的两条直线
（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。）
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立体几何中平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面
←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−
线面平行的判定：
a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒ααα
a
b
α
线面平行的性质：
αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b
三垂线定理（及逆定理）：
PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂
a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒
α a P O
线面垂直：
a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα
a
O
α b c
面面垂直：
a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒
a a a
l l
=⊂⇒
面⊥面，，，⊥⊥
αβαβαβ
αa
l
β
⊥面，⊥面∥
αα⇒
a b a b
a a⇒
面⊥，面⊥∥
αβαβ
a b
α
定理：
1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。
2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。
推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
b.经过两相交直线，有且只有一个平面；
c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：a.判定两个不重合平面是否相交；
b.判断点在直线上。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（平行线的传递性）。
5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6.（直线与平面平行的判定定理）
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
条件：a.一条直线在平面外；
b.一条直线在平面内；
c..这两条直线互相平行。
7.（平面与平面平行的判定定理）
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
条件：a.两条相交直线；
b.相交直线在一个平面内；
c.对应平行。
8.（直线与平面平行的性质定理）
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
条件：a.一条直线与一个平面平行；
b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；
c.交线与直线平行。
9.（平面与平面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3
b.平面1与3相交，平面2与3相交
c.交线平行
点、线、面的相关证明
一.多点共线和多线共点问题证明
方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。
1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。
求证：E，F，G，H四点必定共线。
2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：
a.E，C，D1，F四点共面；
b.CE，D1F，DA三线共点。
二．计算异面直线所成角度
方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度
1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.
2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.
3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.
4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.。