高等数学(2017高教五版)课件复变量的指数函数欧拉.

复变量的指数函数欧拉公式

(3)
为复数项幂级数. 若
z z0使得级数(3)收敛, 则称其
在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复数项幂级数(3)的收敛域.
记
lim n
n
|
cn
|
,
这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一
切满足 | z | 1 的 z 不仅收敛, 而且绝对收敛; 对一
切 | z | 1 的 z, 级数(3)发散. 用R 1 表示复数项幂
上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实
变量的指数函数
e x. 因此, 我们也把级数(4)的和函数,
定义为复变量z的指数函数
ex , 即
ez 1 z z2 L zn L .
(5)
2!
n!
用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函
数:
sin z z z3 z5 L (1)n1 z2n1 L ,
1
z2 2!
z4 L 4!
iz
z3 3!
z5 L 5!
.
联系(6)与(7)式, 就有
eiz cos z i sin z.
当z为实变量 x 时, 则得
eix cos x isin x, x .
它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函
数与三角函数之间的关系.
由于任一复数 z 都可写作
r(cos +i sin ) (r为z的模,
即 | z | r, arg z为 z 的辐角), 那么由欧拉公式可
得复数的指数形式
z r(cos isin ) rei .
与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得
ez1z2 ez1ez2 . 当以 z x iy代入上式, 则有

《高一数学欧拉公式》课件

THANKS
感谢观看
+ i)(1 - i)} = - frac{1}{2} + frac{1}{2}i$，故答案为$- frac{1}{2} +
frac{1}{2}i$.
习题二
题目：已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$frac{2 + i}{z} = i$，则复数$z =$( )
答案：B
解析：由$frac{2 + i}{z} = i$，得$z = frac{2 + i}{i} = frac{(2 + i)i}{i^{2}} = frac{- 1 + 2i}{- 1} = 1 + i$.故选B.
总结词
统一处理方式
详细描述
欧拉公式揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，使得在微积分中处理这两类函数时可以采用统一的处理方式，简化了一些微积分问题的求解过程。
在复数中的应用
总结词
复数表示的桥梁
详细描述
欧拉公式是复数表示的桥梁，它可以将复数表示为三角函数的形式，使得复数的运算更加直观和方便。同时，欧拉公式在复变函数和复分析等领域也有着广泛的应用。
欧拉公式在物理、工程、金融等领域也有广泛应用，例如在解决波动方程、计算复利、评估期权价格等问题中都发挥了关键作用。
欧拉公式的历史背景
欧拉是一位杰出的数学家，他在18世纪发现了欧拉公式。
欧拉公式的发现过程充满了曲折和探索，它是欧拉在解决其他数学问题的过程中偶然发现的。
欧拉公式的发现为数学和物理学的发展做出了巨大贡献，被誉为数学史上的里程碑之一。
总结词独特的优势。
详细描述
例如，欧拉公式的一个变种是球坐标系下的形式，它将三维空间的点表示为球坐标系中的(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xoy平面上的投影与x轴的夹角，φ是点在xz平面上的投影与x轴的夹角。这种形式在处理球对称问题时非常有用。此外，还有

复变量的指数函数ex欧拉公式

2 n 1 z ( 1)n1 (2n 1)!
,
(6)
前页后页返回
z2 z4 cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
.Байду номын сангаас
(7)
它们的收敛域都是整个复平面.
以iz代替(5)式中的z, 可得
2 n (i z ) (i z ) eiz 1 iz 2! n! z2 z3 z4 z5 1 iz i i 2! 3! 4! 5!
*§3 复变量的指数函数ex欧拉公式
设有复数项级数 u1 u2 虚部单位, n 1,2,
un (1)
其中每一项都是复数 un an ibn ( an , bn 为实数, i为 ), 则(1)式可写成
(an ibn )
n
(a1 ib1 ) (a2 ib2 )
上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实变量的指数函数 e x . 因此, 我们也把级数(4)的和函数,
x e 定义为复变量z的指数函数 , 即
2 z ez 1 z 2!
zn n!
.
(5)
用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函数:
z3 z5 sin z z 3! 5!
级数(1)收敛的充要条件是: 级数
a
n 1

n
与 bn
n 1

都收敛.
级数(1)各项 un 的模为
前页后页返回
| un | a b , n 1,2,
2 n 2 n
.
若级数
| u1 | | u2 | | un |

高等数学(2017高教五版)课件场论初步(工科类)

为 “源” M 0.
被吸收 M0 , 则
在点 A
S div A( M 0 ) 是流量对体积 V 的变化率,
A dS .
A
M 0 的流量密度.
量的流体流出这一点, 则称这一点
若
称这点为 “汇”. 若在每一点都有
则称 . div A 0, 为 “无源场” A
为 V 上的一个向量场.
R Q P R Q P F ( x, y, z ) i + j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. A F 是由向量场派生出来的一个向量
例如电力线、
注场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 是由数量函数它
u( x , 所定义的向量函数 y, z )
( u v ) u v .
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有 3. 若
(u2 ) 2u(u) . r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则 d dr .
f f (u) , u u( x , y, z ) , 则 f f ( u) u . f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , m f f ui . i 1 ui
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场

复函课件-2[1].2

所以 cos( x + iy ) = cos xchy − i sin xshy, (2.3.17) sin( x + iy ) = sin xchy + i cos xshy.
22
双曲函数
定义：定义
e z + e− z e z − e− z chz = , shz = 2 2
为实数时该定义与实函数中的双曲函数定义相同。当z为实数时该定义与实函数中的双曲函数定义相同。为实数时该定义与实函数中的双曲函数定义相同显然：(chz)’=shz，(shz)’=chz ch(-z)=chz，sh(-z)=-shz
w= z = z
n
1 n
18
(3)解析性： zn在复平面内是单值解析函数，本章§ 1中已给 1 出了它的求导公式．幂函数 z n = n z 是一个多值函数，具有n个分支．由于对数函数Lnz的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，因而不难看出它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的， 1n z 1 1 = w = . de dz z dw
12
所以，lnz在除去原点及负实轴的平面内解析．由(2.3.8)式就可知道，Lnz的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析。并且有相同的导数值．今后，我们应用对数函数Lnz时，指的都 Lnz 是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支．
20
cos( z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 , sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ,
sin 2 z + cos 2 z = 1. (2.3.15) 由此得 cos( x + iy ) = cos x cos iy − sin x sin iy , sin( x + iy ) = sin x cos iy + cos x sin iy . 纯虚数iy时从我们有但当 z 是纯虚数时,从(2.3.13)我们有我们 −y y e +e cos iy = = chy, 2 (2.3.16) −y y e −e sin iy = = ishy 2 21

数学分析14.3复变量的指数函数·欧拉公式

第十四章幂级数3 复变量的指数函数·欧拉公式概念1：设级数∑∞=1n n u 的每一项u n =a n +ib n (n=1,2,…) (a n ,b n 为实数，i 为虚部单位)，这样的级数称为复数项级数.记复数项级数∑∞=+1n n n )ib (a 的部分和为S n , 且R n =∑=n 1k n a , I n =∑=n1k n b ,则有S n =R n +iI n . 若∞n lim →R n 和∞n lim →I n 都存在，则称级数∑∞=+1n n n )ib (a 收敛.分别记∞n lim →R n =A, ∞n lim →I n =B ，则∑∞=+1n n n )ib (a =A+iB. 即得复数项级数∑∞=+1n n n )ib (a 收敛的充要条件是：∑=n 1k n a 和∑=n1k n b 都收敛.∑∞=+1n n n)ib (a各项的模为|a n +ib n |=2n 2n b a +, n=1,2,…若级数∑∞=+1n n n ib a 收敛，则称∑∞=+1n n n )ib (a 绝对收敛.由关系式|a n |≤|a n +ib n |, b n ≤|a n +ib n |, n=1,2,…可证得：若级数∑∞=+1n n n )ib (a 绝对收敛，则∑∞=+1n n n )ib (a 必收敛.概念2：设c n (n=0,1,2,…)为复数，x 为复变量，则称∑∞=0n n n x c 为复数项幂级数. 若在x=x 0处∑∞=0n nn x c 收敛，则称它在点x 0收敛. 所有使∑∞=0n nn x c 收敛的全体复数构成复数项幂级数∑∞=0n n n x c 的收敛域. 记ρ=n n ∞n|c |lim →,级数∑∞=0n n n x c 对一切满足|x|<ρ1的x 收敛且绝对收敛；对一切|x|>ρ1的x ，级数∑∞=0n nn x c 发散. 以R=ρ1表示∑∞=0n n n x c 的收敛半径(当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0)，则∑∞=0n n nx c的收敛范围是复平面上以原点为中心，R 为半径的圆.例：对级数∑∞=0n nn!z ，∵n n ∞n c lim →=n ∞n n!1lim →=0，∴R=+∞. 即∑∞=0n n n!z 在整个复平面上都收敛. 当z 为实变量x 时，∑∞=0n nn!x =e x .∑∞=0n n n!z 的和函数定义为复变量z 的指数函数e z . 即e z=∑∞=0n n n!z . 同样地，定义复变量的正弦函数与余弦函数为：sinz=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n z (-1)；cosz=∑∞=0n 2nn (2n)!z (-1). 收敛域为整个复平面.又e iz=∑∞=0n n n!(iz)=∑∞=0n 2n n 2n!z (-1)+i ∑∞=++0n 12n n 1)!(2n z (-1)=cosz+isinz.当z 为实变量x 时，就有(欧拉公式)e ix =cosx+isinx, |x|<+∞.又任一复数z=r(cos θ+isin θ) (r 为z 的模，即|z|=r, θ=argz 为z 的辐角), 可得欧拉公式的复数指数形式：z=r(cos θ+isin θ)=re i θ.又21x x e +=21x x e e , 以z=x+iy 代入上式得e z =e x+iy =e x e iy =e x (cosy+isiny).习题1、证明棣莫弗公式：cosnx+isinnx=(cosx+isinx)n .证：由欧拉公式知：cosnx+isinnx=e inx；cosx+isinx=e ix. ∴(cosx+isinx)n=e inx=cosnx+isinnx.2、应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：(1)e xcosα·cos(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x；(2)e xcosα·sin(xsinα)=∑∞=0nnsinnαn!x.证：令z=cosα+isinα，由欧拉公式有：e z=e cosα+isinα=e cosα(cos(sinα)+isin(sinα))；∴e xz=e x(cosα+isinα)=e xcosα(cos(xsinα)+isin(xsinα)) =e xcosαcos(xsinα)+ie xcosαsin(xsinα)；又e xz=∑∞=0nnn!(x z)=∑∞=0nnnn!)isinα+(cosαx=∑∞=0nnn!)isinnα+(cosnαx=∑∞=0nncosnαn!x+∑∞=0nnsinnαn!xi；∴e xcosαcos(xsinα)+ie xcosαsin(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x+∑∞=0nnsinnαn!xi.即由等式两边实虚部分别相等可得：(1)e xcosα·cos(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x；(2)e xcosα·sin(xsinα)=∑∞=0nnsinnαn!x.。

欧拉函数ppt课件

16
Variant 变式
BSOI 2835 [NOI2010] 能量采集
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
12
Exercise 练习
F2= {1/2} F3 ={1/3，1/2，2/3} F4={1/4，1/3，1/2，2/3，3/4} F5={1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5}
Compare
F2 = {1/2} F3 = {1/2， 1/3，2/3} F4 = {1/2 ，1/3，2/3，1/4，3/4} F5= {1/2， 1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5}
Exercise 练习
Input The first line of input contains a single integer C (1 ≤ C ≤ 1000) which is
the number of datasets that follow. Each dataset consists of a single line of input containing a single integer
for(int j=1;j<=num;j++)
{
if(p[j]*i>range) break;//超出范围，退出

数学分析14.3复变量的指数函数·欧拉公式

第十四章幂级数3 复变量的指数函数·欧拉公式概念1：设级数∑∞=1n n u 的每一项u n =a n +ib n (n=1,2,…) (a n ,b n 为实数，i 为虚部单位)，这样的级数称为复数项级数.记复数项级数∑∞=+1n n n )ib (a 的部分和为S n , 且R n =∑=n 1k n a , I n =∑=n1k n b ,则有S n =R n +iI n . 若∞n lim →R n 和∞n lim →I n 都存在，则称级数∑∞=+1n n n )ib (a 收敛.分别记∞n lim →R n =A, ∞n lim →I n =B ，则∑∞=+1n n n )ib (a =A+iB. 即得复数项级数∑∞=+1n n n )ib (a 收敛的充要条件是：∑=n 1k n a 和∑=n1k n b 都收敛.∑∞=+1n n n)ib (a各项的模为|a n +ib n |=2n 2n b a +, n=1,2,…若级数∑∞=+1n n n ib a 收敛，则称∑∞=+1n n n )ib (a 绝对收敛.由关系式|a n |≤|a n +ib n |, b n ≤|a n +ib n |, n=1,2,…可证得：若级数∑∞=+1n n n )ib (a 绝对收敛，则∑∞=+1n n n )ib (a 必收敛.概念2：设c n (n=0,1,2,…)为复数，x 为复变量，则称∑∞=0n n n x c 为复数项幂级数. 若在x=x 0处∑∞=0n nn x c 收敛，则称它在点x 0收敛. 所有使∑∞=0n nn x c 收敛的全体复数构成复数项幂级数∑∞=0n n n x c 的收敛域. 记ρ=n n ∞n|c |lim →,级数∑∞=0n n n x c 对一切满足|x|<ρ1的x 收敛且绝对收敛；对一切|x|>ρ1的x ，级数∑∞=0n nn x c 发散. 以R=ρ1表示∑∞=0n n n x c 的收敛半径(当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0)，则∑∞=0n n nx c的收敛范围是复平面上以原点为中心，R 为半径的圆.例：对级数∑∞=0n nn!z ，∵n n ∞n c lim →=n ∞n n!1lim →=0，∴R=+∞. 即∑∞=0n n n!z 在整个复平面上都收敛. 当z 为实变量x 时，∑∞=0n nn!x =e x .∑∞=0n n n!z 的和函数定义为复变量z 的指数函数e z . 即e z=∑∞=0n n n!z . 同样地，定义复变量的正弦函数与余弦函数为：sinz=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n z (-1)；cosz=∑∞=0n 2nn (2n)!z (-1). 收敛域为整个复平面.又e iz=∑∞=0n n n!(iz)=∑∞=0n 2n n 2n!z (-1)+i ∑∞=++0n 12n n 1)!(2n z (-1)=cosz+isinz.当z 为实变量x 时，就有(欧拉公式)e ix =cosx+isinx, |x|<+∞.又任一复数z=r(cos θ+isin θ) (r 为z 的模，即|z|=r, θ=argz 为z 的辐角), 可得欧拉公式的复数指数形式：z=r(cos θ+isin θ)=re i θ.又21x x e +=21x x e e , 以z=x+iy 代入上式得e z =e x+iy =e x e iy =e x (cosy+isiny).习题1、证明棣莫弗公式：cosnx+isinnx=(cosx+isinx)n .证：由欧拉公式知：cosnx+isinnx=e inx；cosx+isinx=e ix. ∴(cosx+isinx)n=e inx=cosnx+isinnx.2、应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：(1)e xcosα·cos(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x；(2)e xcosα·sin(xsinα)=∑∞=0nnsinnαn!x.证：令z=cosα+isinα，由欧拉公式有：e z=e cosα+isinα=e cosα(cos(sinα)+isin(sinα))；∴e xz=e x(cosα+isinα)=e xcosα(cos(xsinα)+isin(xsinα)) =e xcosαcos(xsinα)+ie xcosαsin(xsinα)；又e xz=∑∞=0nnn!(x z)=∑∞=0nnnn!)isinα+(cosαx=∑∞=0nnn!)isinnα+(cosnαx=∑∞=0nncosnαn!x+∑∞=0nnsinnαn!xi；∴e xcosαcos(xsinα)+ie xcosαsin(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x+∑∞=0nnsinnαn!xi.即由等式两边实虚部分别相等可得：(1)e xcosα·cos(xsinα)=∑∞=0nncosnαn!x；(2)e xcosα·sin(xsinα)=∑∞=0nnsinnαn!x.。

高等数学(2017高教五版)课件函数的极限函数极限存在的条件(工科类).

们写出 x x0 时的归结原则如下：
归结原则
定理3.9
设
f ( x) 在 x0的某空心右邻域
U
(
x0
)
有定义,
则
lim
x x0
f (x)
A
任给
{
xn
}
U
o
(
x0
),
必有
lim
n
f
( xn )
A.
xn
x0 ,
作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式.
例
2
设
f
( x)在
x0 的某空心右邻域
U
(
x0
,
)上有定
义. 那么 lim f ( x) A 的充要条件是任给严格递减 x x0
的 {xn}
U
0
(
x0
,
),
xn
x0 ,
必有 lim n
f
( xn )
A.
归结原则
证必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性.
假若 x x0 时, f x 不以 A 为极限. 则存在正数0 ,
0, 存在 x U( x0, ), 使 | f ( x ) A | 0 .
归结原则
使得
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0
|
xn
x0
|
n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f ( xn )
A
矛盾.
注归结原则有一个重要应用：
若存在{ xn }, { yn } U ( x0 ), xn x0 , yn x0 , 但是

高数指数函数PPT课件

(3)当 x<0 时，由指数函数的性质知 0<2x<1， 1 －1<2 －1<0，∴ x <－1. 2 －1
x
1 1 1 ∴ x ＋ <－，∴x<0 时， 2 2 －1 2 1 1 f(x)＝( x ＋ )x>0，由 f(x)为偶函数， 2 －1 2 ∴当 x>0 时，f(x)>0. 总之，当 x∈R，且 x≠0 时，函数 f(x)>0.
概念剖析
思考3: 指数函数解析式有什么特点? 下列哪些是指数函数？
(1) (2) y=2x (3) y=2-x (4) y=2 ·3x (5) y=23x (6) y=3x+1
y=x2
指数函数的解析式
ya
x，ax源自的系数是1 ;指数必须是单个x ;
底数a0，且a1.
2.指数函数的图象：
x 与y 1 在同一坐标系中画出函数 y 2 2 的图象. 描点连线描点法作图列表

( 3) 3 1 2 当a=0时，a x有些会没有意义，如 0 2 0 x
当a<0时，a x有些会没有意义，如当a=1时，a 恒等于1，没有研究的必要. 思考2:指数式a x中x∈R都有意义吗 ?
0
1
a
1 2
回顾上一节的内容，我们发现指数式 ab 中b可以是有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.
－2x＋b 已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ x＋1 是个奇函数． 2 ＋a (1)求 a、b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
b－1 解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴ ＝0 a＋2 1－2x ∴b＝1 ∴f(x)＝ a＋2x＋1 1 1－ 1－2 2 又 f(1)＝－f(－1)则＝－， a＋4 a＋1 解得 a＝2

欧拉公式PPT课件

热力学
在热力学中，欧拉公式被用来描述热量的传递和扩散，以及热力学系统的状态变化。
电磁学
在电磁学中，欧拉公式可以用来描述电磁场的变化和分布，例如电势、电场强度等。
在工程领域的应用
01
02
03
控制系统
在控制系统中，欧拉公式被用来描述系统的稳定性和性能，以及设计控制器。
信号处理
在信号处理中，欧拉公式被用来进行频谱分析和滤波，以及处理图像和音频等信号。
总结欧拉公式的要点与贡献
01
02
03
统一了复数域中的指数函数和三角函数
揭示了复数和实数之间的内在联系
为解决许多数学问题提供了新的思路和方法
展望未来在数学、物理等领域的应用前景
在数学领域的应用前景
在物理领域的应用前景
复分析：欧拉公式是复分析中重要的工具之一，可以用于研究函数的性质和解决某些复杂的积分问题。
CHAPTER 03
欧拉公式的证明
利用泰勒级数展开证明
总结词：直观明了
详细描述：将函数进行泰勒级数展开，得到无限项之和，通过比较级数的各项系数，可以直观地证明欧拉公式。
利用复数证明
总结词：巧妙简洁
详细描述：利用复数形式的欧拉公式，通过证明复数形式的恒等式，得到欧拉公式的正确性。这种方法需要一定的复数基础知识。
导数的基本性质包括
和差、积、商、幂函数的导数公式；常见函数的导数；高阶导数的计算。
积分的基本性质包括
不定积分与定积分的计算；原函数与微分的概念及其应用；反常积分的计算。
欧拉公式的推导过程
基于复数的定义和三角函数的定义，通过引入虚数单位i，利用复数的四则运算和三角函数的性质，推导出欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。

高等数学(2017高教五版)课件高等数学第七版概率论(工科类)

B BAi
i 1 n
则有
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
原因A1
原因A2
……
原因An
结果B
全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率。
贝叶斯公式
1 i n ，设 A1 ,, An 两两互斥，且 P( Ai ) 0 ， P( B) 0 ，
P( AB) P( A) P( B) ， P( AC) P( A) P(C ) ， P( BC) P( B) P(C ) ，
且
P( ABC) P( A) P( B) P(C ) 。
注意到仅有前三个等式成立，称事件 A, B, C 为两两独立。两两独立不一定相互独立（见书上例 7）。
90718 90135 P( AB) P( B) ＝0.00583 100000
所以，50岁人的死亡率为
P( B) 0.00583 P( B A) 0.00643 P( A) 0.90718
这正好是第3列的第一个数字（须除以1000）
例3（p19）一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。
解：容易验证满足古典概型的要求记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品} 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的），计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100种可能结果，依计算原理，一共有n＝100*100＝10000 种可能结果，此即样本点总数。
解记A＝{第一次为次品}， B＝ {第二次为正品}，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A) 已知P(A)=0.1，而P(BlA)＝90/99，因此 P(AB)＝ P(A)P(BlA)＝0.1*90/99＝0.091