一题多解
一题多解
例1 某建筑工地，第一天用8辆汽车运沙，共运120吨，第二天用同样的汽车16辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？尝试训练一1、李师傅要加工1540个零件，他头四天加工了140个零件，照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？例2 有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等，四周一共种了多少棵树？尝试训练二2、有一个三角形花圃周围种松树,每个顶点种一棵,每边种10棵,每两棵之间距离相等，-共种了多少棵?例3 水果店上午卖出12筐苹果，下午卖出15筐同样的苹果,已知上午比下午少卖出90千克，全天共卖出多少千克?尝试训练三3、王老师买了5枝钢笔,花了120元,刘老师买了10枝同样的钢笔刘老师比王老师多花多少钱?例4 一筐桔子连筐共重32千克,卖掉一半桔子后，连筐还有17千克，求筐的重量。
尝试训练四4、一桶油，连桶共重210千克，用去一半后，连桶重120千克，油桶重多少千克？例5 学校体育教研室买了5个足球和2个排球，共用去304元。
一个排球比一个足球便宜9元，一个足球多少元？尝试训练五5、4个人的年龄之和是77岁,最小的是10岁，他和最大的年龄之和比另外两个年龄之和大7岁,最大的年龄是多少岁?例6 某电子公司5天生产电脑125台，照这样计算,生产500台电脑需要多少天?尝试训练六6、工人们植树,12人7天植树1680棵,照这样计算,28人爱植树5600棵需要多少天?思维冲浪基础训练1、一台拖拉机3小时可以耕地24公顷,照这样的速度,如果再耕6小时，一共可以耕地多少公顷?2、小明和小莉两人共有图书54本，如果小明给小莉7本,则两人的图书数相等,他们原来各有图书多少本?3、商店运来8筐桔子和6筐苹果，每筐桔子重20千克，每筐苹果重25千克,两种水果共重多少千克?4、庆“六一”少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，共站了多少人?思维拓展1、甲班有学生35人，乙班有学生38人，开学来了25位新同学，怎样分才能使两班的学生人数相等?2、东西两城相距486千米，一辆汽车从东城开往西城，开始3小时行了162千米，照这样的速度,这辆汽车还需要几小时到达西城?3、从小青家经小红和小强家到学校有540米，从小青家到小强家有420米，从学校到小红家有360米，从小红家到小强家有多少米?4、第一筐土豆重96千克，第二筐土豆重72千克，要使两筐土豆相等，应从第一筐倒多少千克给第二筐?本章测试卷(100分)一、小林读一本240页的书，前5天读了40页,照这样计算，小林读完这本书共要多少天?二、甲、乙两地相距500千米。
一题多解
橡皮价钱为 2-1=1（元）
尺子价钱为 3-1=2（元）Βιβλιοθήκη 尺子比橡皮贵2-1=1（元）
1、李奶奶家养鸡和鹅一共15只， 养鸡和鸭一共12只。李奶奶家养 的鹅多还是鸭多？多几只？ 2、姐姐和小妹一共有卡片16张， 哥哥和小妹一共有卡片20张，哥 哥和姐姐谁的卡片多？多几张？
1、一辆公交车里有32个人，到了东门 站下去了15人，又上来了18人，问现在 车上和原来比，人数多了还是少了？和 原来相差几人？ 思路1：32-15=17（人）17+18=35（人） 32-35=3（人） 思路2：18-15=3（人）
小芳做了15朵花，送给小红4朵， 又送给小兰5朵。小芳还剩多少朵 花？ （1）15-4-5 （2）4+5=9（朵）
=11-5
15-9=6（朵）
=6（朵）答：小芳还剩6朵。
1、20米长的绳子，第一次剪去6 米，第二次剪去4米，最后还剩几 米？
2、一本书共80页，小玲第一天看 了9页，第二天看了10页，还剩多 少页没看？
小雨家原来养白兔和灰兔的只数一样 多。后来白兔卖掉了5只，灰兔卖掉了7只。 问现在是灰兔只数多还是白兔只数多？多 几只？ 思路1：7-5=2（只） 思路2：假设法：假设小雨家原来 养白兔和灰兔都是10只。那么，白 兔剩下10-5=5（只），灰兔剩下 10-7=3（只）5-3=2（只）
答：白兔剩下的只数多，多2只。
1、小李和小王看同一本故事书， 小李看了6页，小王看了10页，谁 剩下的页数多？多几页？
2、妈妈给了姐妹二人一样多的零 花钱。姐姐用去6元，妹妹用去5 元，谁剩下的钱多？多几元？
1、晶晶买一支铅笔和一块橡皮用去2元 钱，红红买一支同样的铅笔和一把尺子 用去3元钱，一块橡皮和一把尺子那个 贵？贵多少钱？ 思路1：3-2=1（元） 思路2：假设一支铅笔1元钱。
七年级上册数学一题多解
七年级上册数学一题多解在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。
七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。
以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。
培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。
提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。
示例：解一元一次方程以解一元一次方程为例，除了常规的移项、合并同类项等方法外，还可以采用以下方法：方法一：直接计算法对于简单的一元一次方程，如 2x=4，可以直接通过除法得到x=2。
方法二：移项法对于形如 3x+2=5x−3 的方程，可以通过移项将未知数集中在方程的一边，然后解出 x 的值。
方法三：合并同类项对于含有多个未知数项的方程，如 2x+3x=5，可以先合并同类项得到 5x=5，然后再解出 x。
方法四：乘除法对于系数不为1的一元一次方程，如 0.5x=2，可以通过乘法将系数化为1，从而解出 x。
实际应用在实际解题过程中，学生可以根据题目的特点和自己的掌握情况，选择最合适的解法。
通过一题多解的训练，学生可以逐渐提高解题的灵活性和准确性，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总之，一题多解是数学学习中非常有价值的方法，值得学生在日常学习中多加实践和应用。
在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。
七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。
以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。
培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。
提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。
四年级一题多解的数学题
四年级一题多解的数学题
1、水波小学每间教室有3个窗户，每个窗户安装12块玻璃，8间教室一共安装多少块玻璃？
2、白塔村计划修一条288米的水渠。
前两天一共修了48米，照这样的进度，还要几天能修完？
3、虹光宾馆购进100条毛巾，每条4元。
如果用这些钱购买8元一条的毛巾，可以买多少条？
4、生产队在15平方米的土地上共育苗135棵，照这样计算，要育苗1215棵，需要多大面积的土地？
5、有一筐苹果连筐重42千克，卖掉一半苹果后，连筐重22千克，这个筐重多少千克？
6、上衣50元，裤子25元，买4套这样的服装共需要多少元?
7、哥哥有81张邮票，弟弟有75张，哥哥给多少张给弟弟，他们就一样多了。
8、一块正方形木板，钜去一个角，剩余的木板还有几个角？（画出简单示意图）
9、一家公司为开展体育活动，准备去买篮球和排球，已知买4个篮球、3个排球得
用500元，如果买2个篮球和6个排球得用520元，那么一个篮球多少元？一个排球多少元?。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
高中数学一题多解
题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。
解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。
又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。
因此，∠FAC=∠BAD。
由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。
因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。
因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。
综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。
解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。
根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。
由于E为边BC的中点，所以BE=EC。
连接AE，AF，BF，CF。
由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。
又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。
又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。
所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。
由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。
由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。
又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。
所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。
由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。
所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。
综上所述，∠ACF=∠BCE。
初中物理一题多解大全
初中物理一题多解大全1. 题目：一个小球从斜面上滚下来，最后落地的位置是哪里？解法一：根据能量守恒定律根据能量守恒定律，物体在滚动过程中，动能和势能的总和保持不变。
当小球从斜面上滚下来时，它具有一定的势能和动能。
在滚动过程中，势能转化为动能，直到小球落地时，势能完全转化为动能。
因此，小球最后落地的位置与其最初的位置相同。
解法二：根据平抛运动的原理当小球从斜面上滚下来时，它的速度具有水平分量和垂直分量。
根据平抛运动的原理，水平分量的速度保持不变，而垂直分量的速度由于重力的作用而逐渐增大。
因此，小球最后落地的位置会比斜面的水平位置稍远。
解法三：考虑滚动的摩擦力当小球滚动下斜面时，斜面对小球的作用力包括重力和摩擦力。
根据牛顿第二定律，斜面对小球的合力等于小球的质量乘以加速度。
考虑摩擦力的存在，小球的加速度会减小，导致小球滚动的距离减少。
因此，小球最后落地的位置会比没有考虑摩擦力时更靠近斜面的水平位置。
2. 题目：为什么天空是蓝色的？解法一：散射理论天空是蓝色的主要原因是大气中的空气分子对太阳光的散射。
根据散射理论，空气分子的大小和太阳光的波长之间的相互作用会导致不同颜色的光被不同程度地散射。
由于蓝色光的波长较短，所以蓝光在空气分子的散射中受到更强烈的影响，因此我们看到的天空是蓝色的。
解法二：吸收和发射理论大气中的空气分子中的原子和分子能够吸收和发射特定波长的光。
根据吸收和发射理论，蓝光的波长与空气分子的吸收和发射光的特性相匹配，因此蓝光在大气中被吸收和发射的程度更高，使得我们看到的天空呈现蓝色。
解法三：人眼对颜色的感知人眼的视锥细胞对不同波长的光有不同的感知能力。
蓝光的波长与人眼的视锥细胞对光的感知能力相匹配，使得我们看到的天空呈现蓝色。
3. 题目：为什么铁制的物体会生锈？解法一：氧化反应铁与空气中的氧气反应会产生氧化铁，也就是我们常说的铁锈。
这是一种氧化反应，铁的表面与氧气发生化学反应，产生了氧化铁的物质。
一题多解
1.小明有18枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买 了13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？
解一：（18＋15＋13）÷2＝23（枝） 小明：23－18＝5（枝） 小红：23－15＝8（枝）
解二：13－（18 －15）＝10（枝） 小明：10 ÷2＝5（枝） 小红：5＋（18－15）＝8（枝）
答：小明分5枝，小红分8枝。
甲班有42人，乙班有35人，开 学时来了25位新同学，怎样分 才能使两班学生人数相等？
【思路导航】方法一：根据已知条件，我们可求出 转来了25位同学后的总人数为42＋35＋25＝102 （人），再求出平均每班为102÷2＝51（人），再 根据甲班、乙班原有的人数分别求出甲班分了51－ 42＝9（人），乙班分了51－35＝16（人）。列式 如下： （42＋35＋25）÷2＝51（人） 51－42＝9（人） 51－35＝16（人） 答：甲班分9人，乙班分16人。
苹果：85－5＝80（千克）
答：苹果重80千克；筐重5千克。
3.一筐橘子，连筐共重45千克，先拿一半送给幼 儿园，再拿出剩下的一半给敬老院的老人，余下的 橘子连筐重15千克，橘子和筐各重多少千克？ 解一：橘子：（45－15）÷3×4＝40（千克）
筐：45－40＝5（千克） 解二：筐：（15×2×2－45）÷（4－1）＝5（千克） 橘子：45 －5＝40（千克） 答：橘子重40千克；筐重5千克。
1.在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一 根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱 笆，四周一共围了多少根篱笆？ 解一：12×4－4＝ 44（根） 解二：12×2＋（12－2）×2＝44（根） 解三:（12－2）×4+4＝44（根） 答：四周一共围了44根篱笆。
2.有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵， 每边种10棵，每两颗之间距相等，四周一共种了 多少棵？ 解一：10×3－3＝27（棵） 解二：10×1＋（10－1）×1＋（10－2）＝27（棵） 解三:（10－1）×3＝27（棵） 答：四周一共种了27棵松树。
高中数学一题多解
题目：已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，求证：三角形一定有两个边长之和比第三个边长要大。
方法一：利用三角形的性质
首先，我们已知三角形的三边长分别为a,b,c。
根据三角形的性质，我们知道任意两边之和大于第三边。
因此，如果我们要证明三角形一定有两个边长之和比第三个边长要大，我们只需要找到两个边长之和大于c的边即可。
方法二：利用不等式
我们也可以利用不等式来证明这个结论。
我们知道，两边之和大于第三边的条件可以转化为一个不等式形式：a+b>c。
因此，我们只需要证明任意一个三角形中至少有两个边满足这个不等式即可。
方法三：利用反证法
反证法是一种常用的数学证明方法，对于这个问题，我们可以利用反证法来证明。
假设任意一个三角形中所有边长都满足两边之和等于第三边，那么所有三角形的三个边长都相等，这就不是一个三角形了。
这与我们的假设相矛盾。
因此，假设不成立，即任意一个三角形中至少有两个边满足两边之和大于第三边。
方法四：利用图形直观解释
我们还可以通过画图来直观地解释这个结论。
首先画出一个三角形ABC，然后画出任意两条边的和大于第三边的线段。
显然，这些线段至少会构成一个三角形，而且至少有两个角大于第三个角。
因此，这些线段就是我们要找的边长之和大于第三边的三角形。
以上就是对于高中数学一题多解的几种方法，这些方法可以帮助我们更好地理解这个问题，同时也可以培养我们的数学思维能力和创造力。
在解决数学问题时，我们应该善于思考，尝试从不同的角度去思考问题，这样不仅可以提高我们的解题能力，还可以拓展我们的思维视野。
在习题教学中注意一题多解、一题多变、 一题多问
在习题教学中注意一题多解、一题多变、一题多问
1 “ 一题多解” 是指通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个实际问题的教学方法。
它有利于培养学生辨证思维能力，加深对概念、规律的理解和应用，提高学生的应变能力，启迪学生的发散性思维。
在物理解题过程中，我们可以通过“ 一题多解” 训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出物理量间的相互关系和物理规律间的内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。
2 注意一题多变诱导学生思路
在习题课中的“ 一题多变” 是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法．思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。
在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过“ 一题多变” 演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。
3 “ 一题多问” 培养思维的严密性
思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。
在题目解完后再通过“ 一题多问” 自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。
这种“ 多题归一” 的方法还可以培养思维的概括性。
思维的概括性是指思维能够反映一类事物的共同的本质的特征，以及事物之间的本质联系和规律。
许多物理习题具有物理过程、规律和性质类似的问题，它们间只有不同程度的量的差异而无质的区别，在复习过程中做过一定量的习题后进行反思，通过“ 多题归一” ，进行有的放矢的精解和拓宽，可以使思维具有概括性。
一题多解的小学数学题
一题多解的小学数学题1.鄂黄长江大桥通车时，在大桥的两边从头到尾每10米插一面彩旗，桥头、桥尾都插，一共插了66面，这座桥全长多少米？2.实验小学四年级有402人，平均排成两队去参观鄂黄长江大桥，如果前面的同学和后面的同学之间的平均距离是60厘米，这个队伍有多长？3.明珠大道与大桥相接处有一个圆形花坛，花坛周长150米，在花坛的一圈每隔3米栽一棵树，共栽了多少棵？4.在一个正方形水池四周种树，四个顶点都栽了一棵，这样每边都种有25棵树，每两棵树之间相隔10米，这个池塘四周共长多少米？5.在一个正方形水池四周栽万年青，四个顶点都栽了一棵，每边种14棵，每两棵之间种3棵小树。
四周共种多少棵万年青？多少颗小树苗？6.父亲与儿子比赛爬楼梯，父亲爬到五楼时，儿子爬到三楼，如果儿子爬到五楼，父亲爬到几楼？7.一位老人饭后在公路上以均匀的速度散步，从第一根电线杆走到第10根用了9分钟，这样他坚持走了1小时，去的时间与返回的时间刚好相等，这位老人是走到第几根电线杆就返回的？8.一块长方形苗圃，长460米，宽300米，在它的四周每隔5米种一棵女贞树，那么一共要种多少棵？9.赤壁大道的两边每边原有81线杆，每两根间的距离是30米，先改成另有一种型号，每两根相距50米，两边共需要多少根这样的电线杆？10.有一个花坛，是由四个相同的小三角形组成的一个大三角形．每个小三角形边上种了10棵花．大三角形的一周种了多少棵花？一共种了多少棵？11.用8角的邮票，排列在一张正方形纸的周边，每边张数相等．这些邮票共值19元2角．请你算出每边的张数．12.有一个报时钟，每敲响一下，持续声音可持续3秒．如果敲响6下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需43秒．现在敲响12下，从桥乡第一下到结束，一共要多长时间？13.甲、乙两个绿化队在3千米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵香樟树，在相邻的香樟树中间栽一棵梧桐树。
甲队比乙队多栽12棵，甲、乙两队各栽了多少棵？14.在一座桥上，两侧有20块广告牌，每块长3米，宽2米，两块广告牌之间相距8米，靠近桥两端的广告牌距离桥两端都是50米，求这座桥长多少米？15.某市一次大型的武警警力阅兵，一共有20个方阵和50辆警车从主席台前通过。
高中数学一题多解
高中数学一题多解一题多解（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀证法二:公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解（三） 题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xx x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xx x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
一题多解
思路：若这队小朋友多 个人的话 个人的话…… 思路：若这队小朋友多1个人的话
谢谢
练习：一把钥匙只能开一把锁，现有 把钥匙和其中的 把钥匙， 把钥匙和其中的2把钥匙 练习：一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙和其中的 把钥匙，要 保证将这2把钥匙都配上锁 至少需要试验多少次？ 把钥匙都配上锁， 保证将这 把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？
号电池， 号电池分两种， 例2：科技兴趣小组去超市买 号电池，超市的 号电池分两种，一 ：科技兴趣小组去超市买5号电池 超市的5号电池分两种 种是闪电电池， 节一盒 一种是雷鸣电池， 节一盒 节一盒， 节一盒。 种是闪电电池，3节一盒，一种是雷鸣电池，5节一盒。科技兴趣 小组现在要买47节 请问：是否可以不拆盒就买到47节 小组现在要买 节，请问：是否可以不拆盒就买到 节？如果 可以，怎么买？ 可以，怎么买？
思路：（ ）可以先全部用闪电，用雷鸣替换闪电来补充不足。 思路：（1）可以先全部用闪电，用雷鸣替换闪电来补充不足。 ：（ （2）可以先全部用雷鸣，用闪电替换雷鸣来补充不足。 ）可以先全部用雷鸣，用闪电替换雷鸣来补充不足。 练习：在大雄四岁生日的时候，哆啦 梦送给他两个玩具 梦送给他两个玩具： 练习：在大雄四岁生日的时候，哆啦A梦送给他两个玩具：一个是 快快长大鼓，这个鼓每敲一下就会长大2岁，另一个是害怕变老 快快长大鼓，这个鼓每敲一下就会长大 岁 这个琴每弹一下就会变年轻1岁 琴，这个琴每弹一下就会变年轻 岁。大雄拿到这两个玩具便回 到自己房间，哆啦A梦在门外听到琴声和鼓声共 梦在门外听到琴声和鼓声共10声 进门一看， 到自己房间，哆啦 梦在门外听到琴声和鼓声共 声，进门一看， 一个18岁的大雄站在自己面前 岁的大雄站在自己面前， 大雄敲了几下鼓， 一个 岁的大雄站在自己面前，问：大雄敲了几下鼓，弹了几下 琴？
一题多解
一题多解例1 一筐苹果连筐共重45千克，卖出苹果的一半后，剩下的苹果连筐共重24千克，求原来有苹果多少千克？【分析1】先求卖出的苹果是多少千克，再乘以2即得原来苹果重量.【解法1】卖出的苹果有多少千克？45-24=21（千克）原来有苹果多少千克？21×2=42（千克）综合算式：（45-24）×2=42（千克）.【分析 2】用24千克乘以 2，即得两个筐和原来苹果总数的重量和.再减去连筐在内的45千克，即得一个筐的重量，再用45千克减去一个筐的重量，即得原有苹果重量.【解法2】两个筐和原来苹果共多少？24×2=48（千克）一个筐的重量是多少千克？48-45=3（千克）原来有苹果多少千克？45-3=42（千克）综合算式： 45-（24×2-45）=42（千克）.【分析3】先求两个筐和两筐苹果的重量和，再求出两个筐和一筐苹果的重量和，最后求两和之差就是原来有苹果多少千克.【解法3】两个筐和两筐苹果共多少？45×2=90（千克）两个筐和一筐苹果共重多少千克？24×2=48（千克）原来有苹果多少千克？90-48=42（千克）综合算式：45×2-24×2=42（千克）.【分析4】先求出半个筐和半筐苹果的重量和，再求半个筐重多少千克，进一步求出一个筐的重量，最后求出原有苹果多少千克.【解法4】半个筐和半筐苹果共多少？45÷2=22.5（千克）半个筐重多少千克？24-22.5=1.5（千克）一个筐重多少千克？1.5×2=3（千克）原有苹果多少千克？45-3=42（千克）综合算式： 45-（24-45÷2）×2=45-（24-22.5）×2=45-1.5×2=45-3=42（千克）.【分析5】“苹果的一半”可理解为“苹果的”.根据“比较量÷对应分率=标准量”，先求出“苹果的一半”是多少，再除以“”即得原有苹果多少千克.【解法5】苹果的一半是多少千克？45-24=21（千克）原来有苹果多少千克？21÷=21×=42（克）综合算式：（45-24）÷=21÷=42（克）答：原来有苹果42（千克）.【评注】以上五种解法中，解法1和解法5实际上是很相似的，只是形式不同，解法1是整数应用题的解法，而解法5是分数应用题的解法.这两种解法的思路简捷，计算简便，是本题较好的解法.解法5可通用于其他变换形式，如“卖出苹果的”等，若用解法1就太麻烦了.。
一题多解
十分潦 草的作 业大声 嚷道） 。
※ “ 不要 让我 一看 到你 的 头就 想 ：你 是谁 ？ 你从 哪 里来 ？
要 到哪里去 ？ 逃课 逃得也 太久 了吧！ ”（ ）
嵘。
句号 ，闷闷不乐 。
辞 职 。句 号 深入 作 家 群 中 ，它 认为 作家最 “ 文断字 ” 自己一定 识 ， 可 以 帮助 作家 “ 意尽 则止 ” 。然 而 。
句号 ，在 其 笔下 ，省 略号 和 方框 号 成 了宠 儿 。尤 其 是 一位 神 速创 作 派
皋
始料 不 及 的 是 ，某 位 作家 并 不 高看
番
３１
读写 天地
２ ８１ ００ ２
（ 何去何 从 ，三弱女身陷 １５ ０ 虎狼壮汉 ） 国 ： （ 。三 从贫贱 到 自
强 ，三 兄 弟 的旷 世 畸恋 ） 。
一
直 以来 ，句号 都 决 心做
●
出 一番 事业 ，但是 ，句 号 总怀
才不遇 ，壮志难 酬 。
。
最实话实说的答案 ： 红楼 ： （ 不是青楼 ） 。西游 ： （ 不是 东游 ） 。三国 ： （ 不是 四国 ） 浒 ： （ 是火浒 ） 。水 不 。 最 暗藏 危险的答案 ： 西游 ： （ 哥救我 ） 猴 。红楼 ： （ 妹妹救我 ） 。水浒 ： （ 叔叔 救 我 ） 三国 ： （ 师救我 ） 。 军 。 最 时尚的答案 ： 西游 ： （ 藏的 团队管理艺 术浅析 ） 三 。红 楼 ： （ 败家 子是 怎样 炼成的 ） 。水浒 ： （ 兄弟 连 ） 。三 国： （ 记实文学 ：是金子 总 会 发 光— — 记 农 村青 年 孔 明 ） 。 最 社 会 的答 案 ： 西游 ： （ 们天 上有 人 ） 红楼 ： （ 们朝 廷里 有人 ） 俺 。 俺 。 水浒 ： （ 俺们江 湖上有人 ） 。三 国： （ 们有的是人 ） 俺 。 最影迷的答案 ： 西 游 ： （动 物王 国历 险 记 ） 。红楼 ： （淌过 女 人河 的 男 人） 。水浒 ： （ 我在黑社会的 日子 ） 。三国 ： （ 惑仔之胜者为 古
高考数学试卷一题多解
一题多解：解法一：求导法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：令f'(x) = 0，解得x = ±1Step 3：判断极值当x ∈ (-∞, -1)时，f'(x) > 0，函数单调递增；当x ∈ (-1, 1)时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (1, +∞)时，f'(x) > 0，函数单调递增。
所以，x = -1是极大值点，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2；x = 1是极小值点，f(1) = 1^3 - 3(1) = -2。
解法二：二次导数法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：求二阶导数f''(x) = 6xStep 3：令f''(x) = 0，解得x = 0Step 4：判断极值当x ∈ (-∞, 0)时，f''(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (0, +∞)时，f''(x) > 0，函数单调递增。
所以，x = 0是极小值点，f(0) = 0^3 - 3(0) = 0。
解法三：配方法Step 1：将f(x) = x^3 - 3x写成完全立方形式f(x) = (x - 1)^3 - 1^3 - 3(x - 1)= (x - 1)^3 - 4Step 2：判断极值由于(x - 1)^3为奇次幂，所以当x = 1时，(x - 1)^3取得最小值0，因此f(x)取得最小值-4。
当x = 1时，(x - 1)^3取得最大值0，因此f(x)取得最大值-4。
综上所述，本题的极值为极大值2（x = -1时取得）和极小值-2（x = 1时取得）。
一题多解
去年光明小学的学生是红旗小学的3/5，今年光明小学转入60名学生，红旗小学转出20名学生，现在光明小学的学生是红旗小学的3/4，去年光明小学有多少人？解一：设去年光明小学的学生有3x名，因为去年光明小学的学生是红旗小学的3/5，则红旗小学的学生有5x。
今年光明小学转入60名学生即现在学生数为3X+60，红旗小学转出20名学生即现在红旗小学学生有5x-20因为今年光明小学的学生是红旗小学的3/4所以得到等式（3x+60）/(5x-20）=3/44×（3x+60）=3×（5x-20）12x+240=15x-603x=300所以去年光明小学有300人解二：令光明小学去年学生人数为x人,红旗小学去年学生人数为y人。
则x=3/5y又x+60=3/4(y-20)联立，解得x=300,y=500所以光明小学去年的学生是300人解三：设光明小学去年人数为未知数，有A人，则红旗小学去年人数是(5/3A)人。
今年光明小学则有（A+60）人，红旗小学今年有（5/3A -20）人。
由于今年光明小学人数是红旗小学人数的3/4。
则得出列式：A+60=3/4 X (5/3A-20)A+60=3/4X5/3A-3/4X20A+60=5/4A-1515+60=5/4A-A75=1/4A 即1/4A=75 A=75X4=300答：去年光明小学有学生300人。
解四：画图求解2020×4 20202060÷3＝20（人）20×4＋20＝100（人）100×3＝300（人）100×5＝500（人）解五：把去年红旗小学学生数看作单位“1”(60＋20×3/4)÷（3/4－3/5）＝500（人）解六：解：依题意可知：去年光明小学人数是红旗小学的3/5，把总数看为“1”，平均分8份，光明小学3份，红旗小学5份。
今年光明小学是（3份+60人）。
红旗小学是（5份-20人）。
一题多解对学生发展的作用
一题多解对学生发展的作用
一题多解对学生发展有以下作用：
1. 提升思维灵活性：当学生面临一题有多个解决方案时，需要思考不同的方法和途径来解决问题。
这种挑战可以促使学生开拓思维，培养他们的创新和探索能力。
2. 培养批判性思维：一题多解激发学生对问题多角度的思考和分析。
学生需要评估每个解决方案的优劣、可行性和适用性，从而培养批判性思维和判断力。
3. 强化问题解决能力：面对一题多解，学生需要实施解决方案并评估其有效性。
这种过程培养了学生的问题解决能力、逻辑思维和决策能力，使他们能够更好地应对各种情境和挑战。
4. 培养合作与沟通能力：当学生共同面对一题多解时，他们可以相互交流、比较和讨论各自的解决方案。
这样的合作和沟通活动促进了学生之间的互动和合作，培养了他们的团队合作和社交技巧。
5. 培养自主学习能力：一题多解鼓励学生主动探索和学习，寻找自己的解决方案。
这种自主学习过程培养了学生的自主性、自我管理和自我评估能力，为他们未来的学习和发展提供了坚实基础。
总之，一题多解在学生的发展中起到了激发思维、培养批判性思维、强化问题解决能力、培养合作与沟通能力以及培养自主学习能力的重要作用。
它帮助学生在面对复杂问题时变得更有创造力、灵活性和适应性。
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六（1）班男生30人，女生20人， （说出不同的问题并解答。）
？
8.男生减少几人，男生人数与女生人数同样多？ 男生减少几分之几，男生人数与女生人数同样多？ 9.女生增加几人，女生人数与男生人数同样多？ 女生增加几分之几？女生人数与男生人数同样多？ 10.男生为一组，女生为一组，调多少男生到女生组，两组人数同 样多？ 11.男生为一组，女生为一组，现在要把男生组到女生组分别分成 若干人数相等的小组，每个小组最多几人？一共最少分成多少组？ 12.如果男生人数记为+5人，那么女生人数该记为多少？
3.一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完全浸在这个容 器的水中的铁皮取出后，水面下降2cm。这块铁块的体积是什么？
一题多问与一题多解
六（1）班男生30人，女生20人， ？ （说出不同的问题并解答。） 1.六（1）班男生和女生一共有多少人？六（1）班有多少人？ 2.六（1）班男生比女生多多少人？六（1）班女生比男生少多少人？ 3.男生与女生人数的比是多少？比值是多少？ 4.男生占全班人数的几分之几？（百分之几） 5.女生占全班人数的几分之几？（百分之几） 6.男生比女生多几分之几？ 7.女生比男生少几分之几？
玲玲读一本故事书，第一天读了全书的五分之一，第二天读了剩下 的三分之一，还余下64页未读。这本故事书一共有多少页？
思考性
1.张师傅原计划15天生产零件900个，结果4天就生产了360个，照 这样计算，可以比原计划提前几天完成？ 2.一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。（1）两队 合做多少天完成？（2）甲乙两合做3天后，余下的乙做，还要用多 少天？