【世纪金榜】高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课时提能演练 北师大版必修2
【步步高 学案导学设计】高中数学 1.6.2.2 垂直关系的性质(二)课时作业 北师大版必修2
6．2 垂直关系的性质(二)【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a⊥l ⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒a α．(2)已知平面α⊥平面β，a ⊆α，a⊥β，那么a∥α(a 与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A ．a⊥βB ．a∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A ．l∥γB ．l γC ．l 与γ斜交D ．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条4．若α⊥β，直线α，直线β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行5．设x ，y ，z 中有两条直线和一个平面，已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x⊥y y∥z 可推得x⊥z，则x ，y ，z 中可能为平面的是( )A ．x 或yB ．xC ．yD ．z6．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD⊥平面BDCB ．平面ABC⊥平面ABDC ．平面ABC⊥平面ADCD ．平面ABC⊥平面BED二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H 必在________．三、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．证明：AB⊥PC．13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a∥b a⊥α⇒b⊥α； (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa⊥α⇒a⊥β．6．2 垂直关系的性质(二) 答案知识梳理1．垂直 交线 a⊥β作业设计1．D2．D[在γ面内取一点O ，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m ，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O ，所以l⊥γ．]3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]4．C 5．A 6．D7．①③④解析 由性质定理知②错误．8．7 cm解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB 上解析 由AC⊥BC 1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC 1，又AC 面ABC ，∴面ABC 1⊥面ABC ．∴C 1在面ABC 上的射影H 必在交线AB 上．10．证明 在平面PAB 内，作AD⊥PB 于D ．∵平面PAB⊥平面PBC ，且平面PAB∩平面PBC ＝PB ．∴AD⊥平面PBC ．又BC 平面PBC ，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB ．又AB 平面PAB ，∴BC⊥AB．11．证明(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．12．证明因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA．因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC．如图，取AB的中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC．13．证明(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF 平面ABCD，AN平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．。
高中数学 1.6.1平面与平面垂直关系的判定二学案 北师大必修2
一、学习目标：
1.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交
流的能力，几何直观感知能力
二．重点知识（课前自学完成）
1.何谓直线与平面垂直（定义）：
在如图所示的长方体中，有哪些棱所在的直线与面ADD1A1垂直：
D1C1
A1
B1
D C
A
B
2．直线与平面垂直的判定定理：
文字描述：
图形呈现：
符号表示：
三、知识应用
1.判断下列命题的真假：（A级）
（1）如果直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；（）（2）如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；（）（3）在空间中，有三个角为直角的四边形一定是矩形；( )
2.已知：如图P为∆ABC所在平面外一点，AP =AC, BP=BC, D为PC的中点，
求证：PC⊥平面ABD （B级）
A
C
B
3．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，判断直线B1C与平面ABC1D1的位置关系，并说明理由。
（B 级）
D1C
1
B1
A1
D C
A
B
4如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体中，
求证：（1）AC⊥平面B1D1DB；
( 2 ) BD⊥平面ACB1；（B级）
D1C
1
A1
B1
D C
A
B。
高中数学北师大版精品学案《平面与平面垂直》
平面与平面垂直【学习目标】1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。
2．借助线面垂直的性质定理与判定定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【学习重难点】1．了解面面垂直的定义。
2．掌握面面垂直的性质定理和判定定理。
3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。
【学习过程】一、基础铺垫一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个______。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为______，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。
如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作______于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的______。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。
特别地，平面角是直角的二面角称为______。
二、合作探究1．面面垂直性质定理【例1】如图所示，，E为AD的中点。
求证：（1）EN∥平面N。
[思路探究]（1）证明EN∥DM；（2）由AD∥BC可证AD⊥平面N。
【学习小结】1．平面与平面垂直的判定（1）平面与平面垂直⊥定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。
⊥画法：记作：α⊥β。
图形语言错误!⇒a⊥β【精炼反馈】1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面。
（）（2）如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
（）（3）如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直。
（）2．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，那么⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．下列四个命题中，正确的序号有________。
【世纪金榜】高中数学 1.6.1垂直关系的判定课时提能演练 北师大版必修2 (1)
"【世纪金榜】高中数学垂直关系的判定课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每题4分，共16分）1.已知直线a∥β，那么过a与β垂直的平面有( )(A)有且只有一个(B)2个(C)无数个(D)不存在2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA=AC,那么二面角P-BC-A的大小为( )(A)60°(B)30°(C)45°(D)90°3.（2021·浙江高考）设l是直线α，β是两个不同的平面( )（A）假设l∥α, l∥β，那么α∥β（B）假设l∥α，l⊥β，那么α⊥β（C）假设α⊥β, l⊥α,那么l⊥β（D）假设α⊥β, l∥α,那么l⊥β4.（2012·沈阳高一检测）如图，四边形ABCD中，AD=AB,AD∥BC，∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，组成四面体ABCD,那么在四面体ABCD中，以下结论正确的选项是( )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC二、填空题（每题4分，共8分）5.（2021·临沂高一检测）□ABCD的对角线交于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC,PD=PB,那么PO与平面ABCD的位置关系是_________.6.（2020·大纲版全国高考）已知点E，F别离在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1,那么面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_________.三、解答题（每题8分，共16分）7.（2021·江苏高考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D,E别离是棱BC,CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE,F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．8.(易错题）在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=1CD=1,现以AD为一边向梯形外作正2方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD相互垂直，如图2.（1）求证：平面BDE⊥平面BEC;(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.【挑战能力】（10分）已知△BCD中，∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E，F别离是AC，AD上的动点，且AE AF==λ(0<λ<1).AC AD（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC;（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?答案解析1.【解析】选A.过a上任意一点，有且只有一条直线l与β垂直，l与a惟一确信一个平面，该平面与β垂直.2.【解析】选C.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,易患BC⊥AC,又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，PA=AC,∴∠PCA=45°.3.【解题指南】依照线面平行与线面垂直的判定与性质进行判定.【解析】选B. 假设l∥α, l∥β，那么α,β可能相交，故A错；假设l∥α，那么平面α内必存在一直线m与l 平行，又l⊥β，那么m⊥β，又m⊂α，故α⊥β,故B对；假设α⊥β, l⊥α,那么l∥β或l⊂β,故C错;假设α⊥β, l∥α,那么l与β关系不确信，故D错．4.【解析】选D.由平面图形易知∠BDC=90°,∵平面ABD⊥平面BCD,CD⊥BD,CD平面BCD∴CD⊥平面ABD,∴CD⊥AB.又AB⊥AD,AD∩CD=D，∴AB⊥平面A DC.又AB平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.5.【解析】∵AO=CO,PA=PC,∴PO⊥AC.∵BO=DO,PD=PB,∴PO⊥BD.又AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.答案：PO ⊥平面ABCD6.【解析】如下图，延长FE 、CB 相交于点G.连接AG,设正方体的棱长为3,那么GB=BC=3,作BH ⊥AG,连接EH.则∠EHB 为所求二面角的平面角.∵BH=32,2EB=1,∴EB 2tan EHB .BH 3∠== 答案：23 7.【解题指南】（1）关键在平面ADE 与平面BCC 1B 1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.（2）关键在平面ADE 内找一条直线与直线A 1F 平行.【证明】（1）D,E 别离是棱BC,CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE, 又因三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，因此有BB 1⊥平面AD C ，即有AD ⊥BB 1.又在平面BCC 1B 1内BB 1与DE 必相交，因此AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面ADE,因此平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1,因此有AB=AC.又由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1, 因此AD ⊥BC,因此D 为边BC 上的中点，连接DF ，得AA 1FD 为平行四边形，故A 1F ∥AD,又AD ⊂平面ADE ， A 1F ⊄平面ADE ，因此直线A 1F ∥平面ADE ．【例】如图,两个全等的正方形木板ABCD与DCC′D′相互垂直.求BD′与DC′所成的角.【解析】将几何图形补成正方体如下图，连接CD′,由BC⊥平面DCC′D′，∴BC⊥DC′，又DC′⊥D′C，BC∩D′C=C，∴DC′⊥平面BCD′，∴DC′⊥BD′,∴BD′与DC′所成的角为90°.8.【解析】（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,又在正方形ADEF中，ED⊥AD,因此，ED⊥平面ABCD.而BC平面ABCD,因此，ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，CD=2,因此，BD2+BC2=CD2,因此，BC⊥BD.又ED,BD包括于平面BDE,ED∩BD=D,因此，BC⊥平面BDE.而BC平面BEC,因此，平面BDE⊥平面BEC.(2)因为EF∥AD,EF平面ABCD,AD平面ABCD,因此,EF∥平面ABCD.因为平面EFB与平面ABCD有公共点B，因此可设平面EFB∩平面ABCD=BG,G∈CD.因为EF∥平面ABCD,EF平面EFB,平面EFB∩平面ABCD=BG,因此EF∥BG.从而，BG∥AD,又AB∥DG,且AB=1,CD=2,因此G为CD中点，ABGD也为正方形.易知BG⊥平面ECD,因此BG⊥EG,BG⊥DG.因此，∠EGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而∠EGD=45°,因此平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45°.【挑战能力】【解析】（1）∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.又∵AE AF==λ(0<λ<1),AC AD∴不论λ为何值，恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,又∵EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由（1）知，BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=C D=1,∠BCD=90°,∠A DB=60°,∴22°6,∴22=+=由AB2=AE·AC,AC AB BC7,得6AE6AE,,=λ==AC77时，平面BEF⊥平面ACD.故当λ＝67。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质 第二课时 平面与平面垂直的性质高效测评
二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2 垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分）1．下列推理中错误的是( ）A．如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析: 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β。
答案：A2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( ) A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面都垂直解析：因为直线a垂直于直线b，b不一定是平面β与α的交线,所以a不一定垂直于平面β。
答案：C3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则（)A．l∥γB．lγC．l与γ斜交D．l⊥γ解析：在γ面内取一点O，作OE⊥m,OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l,同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.答案：D4．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ）A．0条B．1条C．2条D．无数条解析: 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．答案：A二、填空题（每小题5分,共10分)5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α,P∉l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β;②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．解析：由面面垂直的性质定理可知，只有②不正确．答案：①③④6．若构成教室墙角的三个墙面记为α,β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β,γ的距离分别为3 m，4 m,1 m,则P与墙角B的距离为________m.解析：过点P向各面作垂线,构成以BP为体对角线的长方体．答案: 26三、解答题（每小题10分,共20分）7.如图所示,α⊥β，CDβ，CD⊥AB，ECα，EFα，∠FEC＝90°。
北师大版数学高一必修2练习 1.6.2垂直关系的性质
6.2垂直关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交D.a与b不一定垂直解析a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案C2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C3.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案B5.下列命题错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD.∵DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案相交、平行或异面8.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.答案79.(2018全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⫋平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊈平面PBD,OP⫋平面PBD,所以MC∥平面PBD.B组能力提升1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆解析平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案D2.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD解析因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小D.有时变大,有时变小解析∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.答案若①③④,则②(或若②③④,则①)5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为cm.解析如图所示,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,∴AD==4(cm).又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.∴CD==13(cm).答案136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E 和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD,∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.∵CD⫋平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.7.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.求证:(1)DE⊥平面SBC;2EB.证明(1)∵SD⊥平面ABCD,∴BC⊥SD.又BC⊥BD,BD∩SD=D,∴BC⊥平面BDS.∴BC⊥DE.作BK⊥EC,K为垂足.∵平面EDC⊥平面SBC,故BK⊥平面EDC,BK⊥DE.又BK⫋平面SBC,BC⫋平面SBC,BK∩BC=B,∴DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD=,∴SB=,DE=,EB=,SE=SB-EB=,∴SE=2EB.8.导学号91134024如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)证明如图所示,连接PG,则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,∴AD⊥平面PBG.∵PB⫋平面PBG,∴AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中易得GB∥DE.∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,∴BG∥平面DEF.∵PB∩GB=B,∴平面DEF∥平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.。
(北师大版)数学必修二达标练习：1.6.2.2平面与平面垂直的性质(含答案)
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课堂达标·效果检测1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.直线a垂直于平面β内的一条直线b，b不一定是交线，不能判定直线a必垂直于平面β，故A不正确；同理，B不正确；过a的平面有无数个，与过b的平面位置关系平行，相交均可，D不正确；故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EFÜ平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，又EF⊥A1B1，故EF⊥平面A1B1C1D1.3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选D.如图所示，AB∥l，AC⊥l，m∥α，m∥β m∥l，AB∥m，AC⊥m，又AB∥l，所以AB∥β.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面A1B1C1D1内的一点，过P点的直线EF分别交直线B1C1，C1D1于E，F，若要使EF⊥AP，则在上底面内直线EF需满足条件：________.【解析】因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥EF，要使EF⊥AP.只需EF⊥平面A1AP，即EF⊥A1P即可.答案：EF⊥A1P5.如图，α⊥β，α∩β=l，ABÜα，AB⊥l，BCÜβ，DEÜβ，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.【证明】因为α⊥β，α∩β=l，ABÜα， AB⊥l，所以AB⊥β，又DEÜβ，所以AB⊥DE，因为DE⊥BC，BC∩AB=B，所以DE⊥平面ABC，所以AC⊥DE.关闭Word文档返回原板块。
(北师大版)数学必修二达标练习：1.6.2.2平面与平面垂直的性质(含答案)
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课堂达标·效果检测1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.直线a垂直于平面β内的一条直线b，b不一定是交线，不能判定直线a必垂直于平面β，故A不正确；同理，B不正确；过a的平面有无数个，与过b的平面位置关系平行，相交均可，D不正确；故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EFÜ平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，又EF⊥A1B1，故EF⊥平面A1B1C1D1.3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选D.如图所示，AB∥l，AC⊥l，m∥α，m∥β m∥l，AB∥m，AC⊥m，又AB∥l，所以AB∥β.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面A1B1C1D1内的一点，过P点的直线EF分别交直线B1C1，C1D1于E，F，若要使EF⊥AP，则在上底面内直线EF需满足条件：________.【解析】因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥EF，要使EF⊥AP.只需EF⊥平面A1AP，即EF⊥A1P即可.答案：EF⊥A1P5.如图，α⊥β，α∩β=l，ABÜα，AB⊥l，BCÜβ，DEÜβ，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.【证明】因为α⊥β，α∩β=l，ABÜα， AB⊥l，所以AB⊥β，又DEÜβ，所以AB⊥DE，因为DE⊥BC，BC∩AB=B，所以DE⊥平面ABC，所以AC⊥DE.关闭Word文档返回原板块。
北师大版数学高一1.6.2 垂直关系的性质学案必修2
1.6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．线线、线面、面面垂直的综合应用例3平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3 在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是______________．(只填序号即可)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB．又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．课时作业1．D[∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．从而B一定正确．∵A∈α，AB∥l，lα，∴B∈α．∴AB β，lβ．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．]2．C[①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．] 3．D4．A5．A6．①②③解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．7．6解析 由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ． ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。
数学ⅱ北师大版1.6平面与平面垂直的性质练习
数学ⅱ北师大版1.6平面与平面垂直的性质练习练习一一、选择题1、设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，那么( )A、直线a必垂直于平面βB、直线b必垂直于平面αC、直线a不一定垂直于平面βD、过a的平面与过b的平面垂直2、假设三个不同的平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，那么它们之间的位置关系是〔〕A、α∥βB、α⊥βC、α∥β或α⊥βD、α∥β或α与β相交3、PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB，PC，PD，AC，BD，那么互相垂直的平面有〔〕A、5对B、6对C、7对D、8对4、平面α外的直线b垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b一定不垂直于α；○2b可能垂直于平面α；○3b一定不平行于平面α，其中正确的结论有A、0个B、1个C、2个D、3个5、假设三个平面γα,β,，之间有α⊥γ，β⊥γ，那么α与β〔〕A、垂直B、平行C、相交D、以上三种可能都有6、α，β是两个平面，直线 ⊄α， ⊄β，设〔1〕 ⊥β，〔2〕 ∥β是()A、0B、1C、2D、3【二】填空题7、a⊥β，a⊂α⇒___________;8、a⊥β，a//b，b⊂α⇒___________;9、a⊥α，b⊥β，a⊥b⇒___________;10、α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒___________;11、α⊥β，p∈α，p∈a，a⊥β⇒___________。
【三】解答题12、平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求证：a⊥α。
13、如图，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。
α∩γ＝a，β∩γ＝b且a∥b，求证α∥β。
γβca b14、如下图，PA ⊥面ABC ，,PBCABC SS S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角为θ，求证：cos S S '⋅=15、如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD --答案： 一、选择题1、C ；2、D ；3、C ；4、B ；5、D ；6、C 【二】填空题7、α⊥β8、α⊥β9、α⊥β 10、m ⊥β 11、a ⊂α 【三】解答题12、证法1:如图2－57：在α内取一点P ，作PA ⊥β于A ，PB ⊥γ于B ，那么PA ⊥a ，PB ⊥a ，又PA ⊂α，PB ⊂α，PA ∩PB ＝P ，∴a ⊥α。
北师大版必修2高中数学1.6.2.2平面与平面垂直的性质随堂练习
"【世纪金榜】高中数学北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·西安高一检测）下列说法错误的是( )(A)若α⊥β,则平面α内所有直线都垂直于β(B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β(C)若α⊥γ,γ⊥β,α∩β=l，则l⊥γ(D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β2.（易错题）如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )(A)直线AC上(B)直线AB上(C)直线BC上(D)△ABC的内部3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的( )(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，则∠CAD的大小为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·苏州高一检测）已知直线l和平面α，β，且lα,lβ,给出如下三个论证：①l⊥α,②α⊥β，③l∥β.从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法________（写出一种即可）.6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l,A∈l,B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l，BD⊥l,且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝_______.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（2012·聊城高一检测）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD为正方形，ABEF是矩形，且AF＝12AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.8.（2012·安徽高考）平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=2，A1B1=A1C1=5.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：AA1⊥BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求证：（1）平面EFO∥平面PDA；（2）PD⊥平面ABCD；（3）平面PAC⊥平面PDB.答案解析1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证.【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直,也可能平行、斜交.2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B,∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC,∴平面BAC⊥平面BC1A.∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，平面BAC∩平面BC1A=AB,∴H∈AB.3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，∴SB⊥AC，又SO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∴BO⊥AC，同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，∴O为垂心.4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF 与AD或其延长线相交于点F，连接CF.∵二面角α-AB-β是直二面角,∴CE⊥β,∴CE⊥E F.在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴AC=2CE,同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=2CE，CF=2CE,∴△ACF是等边三角形,∴∠CAD=60°.5.【解析】若l⊥α,α⊥β.又∵lβ,∴l∥β.若l∥β,过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α,故m⊥α.又∵mβ,所以α⊥β.若α⊥β，l∥β,则l与α关系不确定.答案：若l⊥α,α⊥β，则l∥β（或若l⊥α, l∥β,则α⊥β）6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解. 【解析】连接BC，∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5.∵BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BDβ,∴BD⊥α.又BC α，∴BD ⊥BC.在Rt △BDC 中，22DC ＝BD BC ＝13.+答案：137.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.【证明】∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ⊥AB.∵平面ABCD ⊥平面ABEF 且交于AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AG ，GB 平面ABEF ，∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG.又AD ＝2a,AF=a,ABEF 是矩形，G 是EF 的中点.∴AG ＝BG ＝2a,AB=2a,AB 2=AG 2+BG 2, ∴AG ⊥B G.∵CB ∩BG=B,∴AG ⊥平面CBG ，而AG 面AGC.故平面AGC ⊥平面BGC.8.【解题指南】（1）通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；（2）构造Rt △AA 1D,在△AA 1D 中求AA 1；（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.【解析】（1）取BC,B 1C 1的中点为点O,O 1，连接AO,OO 1,A 1O,A 1O 1，则由AB=AC 知AO ⊥BC ，由面ABC ⊥面BB 1C 1C 可知AO ⊥面BB 1C 1C ；同理，A 1O 1⊥面BB 1C 1C ，由此可得AO ∥A 1O 1，即A,O,A 1,O 1共面.又OO 1⊥BC,OO 1∩AO=O ，则BC ⊥面AOA 1O 1，所以AA 1⊥BC ；（2）延长A 1O 1到D ，使O 1D=OA ，则O 1D OA,AD OO 1；OO 1⊥BC ，面A 1B 1C 1⊥面BB 1C 1C ，则OO 1⊥面A 1B 1C 1，AD ⊥面A 1B 1C 1，在Rt △AA 1D 中，=+=++=222211AA AD DA 4(21)5；（3）因为AO ⊥BC,A 1O ⊥BC ，则∠AOA 1是二面角A-BC-A 1的平面角.在Rt △OO 1A 1中，在Rt △OAA 1中，所以二面角A-BC-A 1的余弦值为55-. 【挑战能力】【证明】（1）∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点.∵E,F 分别是PC,DC 的中点,∴EF ∥PD.又EF 平面PAD ，PD 平面PAD ，∴EF ∥平面PDA ，同理FO ∥平面PAD.而FO ∩EF=F ，EF ，FO 平面EFO ，∴平面EFO∥平面PDA.（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD平面PAD，∴PD⊥平面ABCD.（3）∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD,∴AC⊥PD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PD∩DB=D，PD，DB平面PBD.∴AC⊥平面PBD.∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.。
数学北师大版高中必修21.6.2.2《平面与平面垂直的性质》
对于(4)l⊥α,l⊥m，则m∥α或m 又因为m
平面β，故有α∥β或α∩β=m.
2.已知直线PG⊥平面α 于G，直线EF
α 且EF不过G点， ）
PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是（ (A)PE＞PG＞PF (C)PE＞PF＞PG 【解析】选C. 在Rt△PEF中,PF＜PE, (B)PG＞PF＞PE (D)PF＞PE＞PG
β,
又AB⊥a,AB∩EB=B,
∴a⊥平面EAB.∴a∥l.
8.（2010·南阳高一检测）如图，
在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1， M为AB的中点，A1D=3DB1. 求证：平面CMD⊥平面ABB1A1.
【解题提示】先由AC=BC，M为AB的中点入手，证明
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·哈尔滨高一检测）
已知直线l⊥平面α ，直线m (1)α ∥β l⊥m； (3)l∥m α ⊥β ; 平面β ，有下面四个命题：
(2)α ⊥β l∥m; (4)l⊥m α ∥β .
其中正确的命题是（
(A)(1)(2)
）
(C)(2)(4) (D)(3)(4)
(B)(1)(3)
【解析】选B.对于(1)l⊥平面α，α∥β,则有l⊥β.
又∵m 平面β，∴l⊥m.
对于(2)l⊥平面α，α⊥β,则l∥β或l
故l与m位置关系不确定;
β.
对于（3）l⊥平面α，l∥m，则有m⊥α,
又因为m 平面β，故有α⊥β. α,
所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD.
而BD 平面A1BD，B1D1 平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.
（2）因为BB1⊥平面ABCD，AC
【世纪金榜】高中数学 1.5.2.2平面与平面平行的性质课时提能演练 北师大版必修2 (1)
"【世纪金榜】高中数学 .2平面与平面平行的性质课时提能演练北师大版必修2 "一、选择题（每题4分，共16分）1.（易错题）如图给出的是长方体木材，想象沿图中平面所示位置截长方体，那么截面图形是下面四个图形的( )2.（2021·潍坊高一检测）假设平面α∥平面β，直线a∥α,且aβ,点B∈β，那么在β内过点B的所有直线中( )(A)不必然存在与a平行的直线(B)只有两条与a平行的直线(C)存在无数条与a平行的直线(D)存在惟一一条与a平行的直线3.如下图，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,α别离交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.假设PA′∶AA′=2∶5,求△A′B′C′与△ABC的面积比为( )(A)2∶5 (B)2∶7 (C)4∶49 (D)9∶25,N,P为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,那么以下说法中,不正确的选项是( )(A)④⑤(B)②③④(C)②③⑤(D)②③二、填空题（每题4分，共8分）5.（2021·烟台高一检测）过正方体ABCD -A1B1C1D1的极点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，那么l与A1C1的位置关系是_________.6.如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD别离交α于点E，F，G.假设BD=4,CF=4,AF=5.那么EG=_________.三、解答题（每题8分，共16分）7.（2021·山东高考）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD.（1）求证：BE=DE；（2）假设∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.8.设平面α，β知足α∥β,A，C∈α,B，D∈β,直线AB与CD交于S，假设SA=18，SB=9，CD=34.求SC 的长度.【挑战能力】（10分）在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？答案解析1.【解析】选C.长方体的相对表面相互平行，因此由面面平行的性质知此题中的截面是平行四边形.2.【解析】选D.∵B a,∴a与B确信平面γ.设γ∩α=m,γ∩β=n,∵α∥β,∴m∥n.又∵a∥α,∴a∥m,∴n∥a,∴直线n即为β内过B与a平行的直线，它是惟一的.3.【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方.【解析】选C.∵平面α∥平面ABC,A′B′α，AB平面ABC,∴A′B′∥AB.∴A′B′∶A B=PA′∶PA.又PA′∶AA′=2∶5,∴A′B′∶AB=2∶7.同理B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.4.【解析】选C.①,④别离是直线和平面平行的传递性,正确；②中a与b还可能异面或相交；③中M与N 还可能相交；⑤中可能还有a M.【方式技术】“平行”关系结论大荟萃空间的平行关系,有些具有“传递性”,有些不具有,此题中的各类说法用文字描述为:①平行于同一条直线的两条直线平行.②平行于同一个平面的两条直线不必然平行.③平行于同一条直线的两个平面不必然平行.④平行于同一个平面的两个平面平行.⑤平行于同一个平面的直线与平面不必然平行.5.【解题指南】用两个平面平行的性质去判定.【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l.由面面平行的性质可知l∥A1C1.答案：平行6.【解析】A a，那么点A与直线a确信一个平面，即平面ABD.因为a∥α,且α∩平面ABD=EG,故a∥EG,即BD∥EG.因此答案：2097.【解题指南】（1）先取BD中点O，连接OC，OE，证明OE是BD的垂直平分线即可.（2）此题考查线面的平行关系，可取AB中点N，连接MN，MD,DN,利用平面MND ∥平面BEC 来证.【证明】(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，那么由BC=CD 知，CO ⊥BD.又已知CE ⊥BD ，CO ∩CE=C ，因此BD ⊥平面O CE.因此BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，因此BE=DE.(2)取AB 中点为N ，连接MN,MD,DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE.∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，因此∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC ⊥AB ，因此ND ∥BC ，又因为MN ∩DN=N ，BE ∩BC=B ，因此平面MND ∥平面BEC ， 故DM ∥平面BEC.8.【解析】设相交直线AB ，CD 确信的平面为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD,由α∥β,得AC ∥BD.S 点在两平面同侧时，如图（1）.∵BD ∥AC ，因此SB SD ，SA SC = 即9SC 34，18SC-=∴SC=68. S 点在两平面之间时，如图（2）.∵BD ∥AC,因此SA SC SC ，SB SD CD SC==-即18SC ，934SC =-解得68SC .3=综上知SC 的长度为68或68.3【挑战能力】【解析】如图，设平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1=D 1M, 点M 在AA 1上，由于平面D 1BQ ∩平面BCC 1B 1=BQ, 平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M. 假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1=D 1M, 平面PAO ∩平面ADD 1A 1=AP ,可得AP ∥D 1M,因此BQ ∥D 1M ∥AP .因为P 为DD 1的中点，因此M 为AA 1的中点， 因此Q 为CC 1的中点.故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行.。
高中数学第一章立体几何初步1-6-2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2
——教学资料参考参考范本——高中数学第一章立体几何初步1-6-2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2______年______月______日____________________部门一、选择题(每小题5分，共20分)1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列推理中，正确的个数为( )①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n; ④⇒n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直线a、b与平面α、β、γ，能使α⊥β的条件是( )A．a⊥β，β⊥γ，a⊂γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，α∥a D．a∥α，a⊥β解析：因为a∥α，所以过a作一平面γ∩α＝c，则a∥c，因为a⊥β，所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．答案：C4．四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是( ) A．垂直B．相交C．平行D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面②a和b在正方体两个相对的面内，且共面③a和b平行于同一条棱④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．答案：①②③6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC 上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜边为AB的直角三角形ABC，过点A作PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E、F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC为直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.。
(北师大版)数学必修二课时作业：1.6.2.2平面与平面垂直的性质(含答案)
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课时提升作业(十一)平面与平面垂直的性质一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·沈阳高二检测)若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个语句：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.如图(1)，在正方体中，对角面α和侧面β都与平面γ垂直，但α与β不垂直，故①不正确.如图(2)所示，α⊥γ，β∥γ，且α∩γ=m，在γ内作直线l⊥m，则由α⊥γ知l⊥α，过直线l作平面δ，δ∩β=n.则由β∥γ知l∥n，所以n⊥α，又n β，所以α⊥β，故②正确.如图(3)所示，l∥α，l⊥β，与证明②成立类似.可证l∥m，则m⊥β，α⊥β.故③正确.2.(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB.若α∥β，mα，nβ，则m∥nC.若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解题指南】本题考查空间推理论证能力，应熟练运用平行与垂直的判定定理与性质.【解析】选D.对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m⊥α，m∥n，则n⊥α；又因为n∥β，则β内存在与n平行的直线l，因为n⊥α，则l⊥α，由于l⊥α，lβ，所以α⊥β. 3.(2014·龙岩高一检测)如图□ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD ⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有( )A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】选C.由面面垂直的判定和性质可知平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD，平面ADC⊥平面BCD.4.以等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD为棱将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD.则AC和BC的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.如图，令CD=AD=BD=1，则AC=BC=，又AD⊥BD，所以AB=，所以△ABC为正三角形，所以∠ACB=60°5.(2014·蚌埠高一检测)若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面SAC，所以SB⊥AC.又SO⊥AC，所以AC⊥平面SBO，所以BO⊥AC.同理证AO⊥BC，CO⊥AB.所以O为垂心.6.(2014·芜湖高二检测)在空间四边形ABCD中平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E.因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.BC平面BCD，所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以DA⊥BC，又AE∩AD=A，所以BC⊥面ABD，AB平面ABD.所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.二、填空题(每小题4分，共12分)7.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD=________.【解析】连接BC，因为AC⊥l，AC=3，AB=4，所以BC=5.因为BD⊥l，l=α∩β，α⊥β，BDβ，所以BD⊥α.又BCα，所以BD⊥BC.在Rt△BDC中，CD==13.答案：138.四面体P-ABC中，PA=PB=，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，AC=8，BC=6，则PC=________.【解析】取AB的中点E，连接PE.因为PA=PB，所以PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，连接CE.∠ABC=90°，AC=8，BC=6，所以AB=2，PE==，CE==，PC==7.答案：79.(2014·潍坊高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为________.【解题指南】先找二面角A1-BD-A的平面角.结合已知条件在直角三角形中求解.【解析】连接AC，交BD于点O，连接A1O1，如图所示，因为OA1⊥BD，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.在Rt△A1OA中，设AA1=a，AO=a，所以二面角A1-BD-A的正切值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·成都高一检测)如图，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【证明】因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC，AB∩PA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.11.如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=SB=SC=2CD=2，侧面SBC⊥底面ABCD.(1)由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置.(2)求二面角E-BC-A正切值的大小.【解析】(1)作SO⊥BC于O，连接AO，则SO平面SBC，又平面SBC⊥底面ABCD，平面SBC∩底面ABCD=BC，所以SO⊥底面ABCD，①又SO平面SAO，所以平面SAO⊥底面ABCD，作EH⊥AO，所以EH⊥底面ABCD，②即H为垂足，由①②知，EH∥SO，又E为SA的中点，所以H是AO的中点.(2)过H作HF⊥BC于F，连接EF，由(1)知EH⊥底面ABCD，所以EH⊥BC，又EH∩HF=H，所以BC⊥平面EFH，所以BC⊥EF，所以∠HFE为平面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角. 在等边三角形SBC中，因为SO⊥BC，所以O为BC中点，又BC=2.所以SO==，EH=SO=，又HF=AB=1，所以在Rt△EHF中，tan∠HFE===.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·杭州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解题指南】根据线面平行、垂直及面面平行、垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选B.对于选项A，两平面可能平行也可能相交.对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β，对于选项D.直线l可能在β内可能平行于β也可能与β相交.2.线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选B.过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角.由题意知，∠ABA′=∠BAB′=30°，所以AA′=AB，BB′=A′C=AB，AB′=AB.所以A′B′=BC=AB，AC=AB，由勾股定理知∠ACB=90°，则∠ABC=45°.3.(2014·南昌高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部【解题指南】结合面面垂直的性质及射影的概念求解.【解析】选A.连接AC1.因为BC1⊥AC，AB⊥AC.BC1∩AB=B，所以AC⊥平面ABC1.又AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC 1.又平面ABC∩平面ABC1=直线AB，所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB，即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，则∠CAD的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.因为二面角α-AB-β是直二面角，所以CE⊥β，所以CE⊥EF.在Rt△ACE中，∠CAE=45°，所以AC=CE，同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=CE，CF=CE，所以△ACF是等边三角形，所以∠CAD=60°.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·吉安高一检测)三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要使三棱锥A-BCD 的体积最大，则二面角B-AC-D的大小为________.【解析】因为△ACD为边长为a的正三角形，要使三棱锥B-ACD的体积最大，则三棱锥B-ACD的高最大，因为△ABC为边长为a的正三角形，高为a，而三棱锥B-ACD的高小于等于a，故三棱锥B-ACD的高的最大值为a，此时平面ABC ⊥平面ACD，所以二面角B-AC-D的大小为.答案：6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).【解析】对于①，由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；对于②，因为平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；对于③，由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，所以④正确.答案：①④三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·泰州高一检测)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE.(2)求证：AE∥平面BFD.【证明】(1)因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABE，所以AD⊥AE.因为AD∥BC，则BC⊥AE，又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE.因为BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.(2)设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，因为BF⊥平面ACE，则BF⊥CE.而BC=BE，所以F是EC中点，在△ACE中，FG∥AE，因为AE⊈平面BFD，FG平面BFD，所以AE∥平面BFD.8.(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF.(2)若EB=2，求四边形GEFH的面积.【解题指南】(1)由线面平行得出BC平行于EF，GH.(2)设AC交BD于点O，BD交EF于点K，则K为OB的中点，由面面垂直得出GK ⊥EF，再由梯形面积公式S=〃GK计算求解.【解析】(1)因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH=GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又BD∩AC=O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD，又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊈平面GEFH，所以PO∥平面GEFH，因为平面PBD∩平面GEFH=GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高，由AB=8，EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4，从而KB=DB=OB，即K是OB的中点.再由PO∥GK得GK=PO，即G是PB的中点，且GH=BC=4，由已知可得OB=4，PO===6，所以GK=3，故四边形GEFH的面积S=〃GK=×3=18.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高中数学 1.6.2.1直线与平面垂直的性质课时提能演练 北师大版必修2
"【世纪金榜】高中数学 1.6.2.1直线与平面垂直的性质课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·哈尔滨高一检测）已知直线l⊥平面α,直线m平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是( )(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④2.（2012·温州高二检测）下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一个平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行，其中正确的个数有( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）43.如图，设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B，D,如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )(A)AC⊥β(B)AC⊥EF(C)AC与BD在β内的射影在同一条直线上(D)AC与α，β所成的角相等4.如图，△ABC中，∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )(A)变大 (B)变小(C)不变 (D)有时变大有时变小二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·合肥高一检测）如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN ＝90°，则∠C1MN＝________.6.（易错题）如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是___________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形.AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.8.(2012·南昌高一检测)三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，求证：（1）平面AMC1∥平面NB1C；（2）A1B⊥AM.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.答案解析1.【解析】选B.l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵mβ，∴l⊥m.①正确.l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵mβ,∴α⊥β，③正确.2.【解析】选B.①中两个平面可能平行可能相交；②正确；③两直线可能平行、垂直也可能异面；④正确.3.【解析】选D.∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α、β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.4.【解析】选C.∵l⊥平面ABC，∴BC⊥l.∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.又l∩AC=A,∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.5.【解题指南】先证明MN⊥平面B1C1M，进而求得∠C1MN的度数.【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN是直角，∴MN⊥B1M.又B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面B1C1M.∴MN⊥C1M，∠C1MN＝90°.答案：90°6.【解析】由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.∵EF∥PA，PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴EF⊥BE,EF⊥EC,∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.答案：6【易错提醒】△PBC是直角三角形容易漏掉，原因是未分析出BC⊥平面PAC.7.【解题指南】证明AE⊥平面PCD即可.【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD.∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，∴AE⊥CD.又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，又l⊥平面PCD,∴AE∥l.8.【解析】（1）∵M，N分别为A1B1，AB的中点，∴B1M NA，∴B1N∥AM.又AM平面AMC1，B1N平面AMC1，∴B1N∥平面AMC1，连接MN，在四边形CC1MN中，有MC1∥CN，同理得CN∥平面AMC1.∵CN平面B1CN，B1N平面B1CN，CN∩B1N=N，∴平面AMC1∥平面NB1C.（2）∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1，又三棱柱ABC-A1B1C1侧棱A1A垂直于底面ABC，∴A1A⊥CN，又CN∥C1M，∴A1A⊥C1M.又A1A∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.又∵A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B，又AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M.∵AM平面AC1M，∴A1B⊥AM.【挑战能力】【解析】（1）连接SO，∵底面ABCD是菱形，O为AC与BD的交点，∴AC⊥BD.又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.（2）取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM，EN，∵E是BC中点， M是SC中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM，同理AC⊥EN.又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN.因此，当P点在线段MN上运动时，总有PE⊥AC.。
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"【世纪金榜】高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课时提能演练 北师大
版必修2 "
（30分钟 50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2012·西安高一检测）下列说法错误的是( )
(A)若α⊥β,则平面α内所有直线都垂直于β
(B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β
(C)若α⊥γ,γ⊥β,α∩β=l ，则l ⊥γ
(D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2.（易错题）如图所示，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC ，过点C 1作C 1H ⊥底面ABC ，
垂足为H ，则点H 在( )
(A)直线AC 上
(B)直线AB 上
(C)直线BC 上
(D)△ABC 的内部
3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
4.直二面角α-AB-β，点C ∈α，点D ∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，
则∠CAD 的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2012·苏州高一检测）已知直线l 和平面α，β，且l α,l β,给出如下三个论证： ①l ⊥α,②α⊥β，③l ∥β.
从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法________（写出一种即可）.
6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ,
A ∈l ,
B ∈l ,A
C α,B
D β,AC ⊥l ，BD ⊥l ,
且AB ＝4，AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（2012·聊城高一检测）如图，平面ABCD ⊥
平面ABEF ，ABCD 为正方形，ABEF 是矩形，且
AF ＝12
AD ＝a ，G 是EF 的中点，求证：平面AGC ⊥平面BGC. 8.（2012·安徽高考）平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC=2，BB 1=4，AB=AC=2，
A 1
B 1=A 1
C 1现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A,A 1B,A 1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.
（1）证明：AA 1⊥BC ；
（2）求AA 1的长；
（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.
【挑战能力】
（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD ⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：（1）平面EFO∥平面PDA；
（2）PD⊥平面ABCD；
（3）平面PAC⊥平面PDB.
答案解析
1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证.
【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直,也可能平行、斜交.
2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B,
∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC,
∴平面BAC⊥平面BC1A.
∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，
平面BAC∩平面BC1A=AB,∴H∈AB.
3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，
∴SB⊥AC，又SO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，
∴BO⊥AC，
同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，
∴O为垂心.
4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.
∵二面角α-AB-β是直二面角,
∴CE⊥β,∴CE⊥E F.
在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴
同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得，
∴△ACF是等边三角形,∴∠CAD=60°.
5.【解析】若l⊥α,α⊥β.又∵lβ,∴l∥β.
若l∥β,过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α,
故m⊥α.又∵mβ,所以α⊥β.
若α⊥β，l∥β,则l与α关系不确定.
答案：若l⊥α,α⊥β，则l∥β（或若l⊥α, l∥β,则α⊥β）
6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解.
【解析】连接BC，∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5.
∵BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BDβ,∴BD⊥α.
又BCα，∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中，DC13.
答案：13
7.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.
【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG.
又AD＝2a,AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点.
∴AG＝BG2=AG2+BG2,
∴AG⊥B G.
∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC.
故平面AGC⊥平面BGC.
8.【解题指南】（1）通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；（2）构造Rt△AA1D,在△AA1D中求AA1；
（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.
【解析】（1）取BC,B 1C 1的中点为点O,O 1，连接AO,OO 1,A 1O,A 1O 1，则由AB=AC 知AO ⊥BC ，由面ABC ⊥面BB 1C 1C 可知AO ⊥面BB 1C 1C ；同理，A 1O 1⊥面BB 1C 1C ，由此可得AO ∥A 1O 1，即A,O,A 1,O 1共面. 又OO 1⊥BC,OO 1∩AO=O ，则BC ⊥面AOA 1O 1，所以AA 1⊥BC ；
（2）延长A 1O 1到D ，使O 1D=OA ，则O 1D OA,AD OO 1；OO 1⊥BC ，
面A 1B 1C 1⊥面BB 1C 1C ，则OO 1⊥面A 1B 1C 1，AD ⊥面A 1B 1C 1，在Rt △AA 1D
中，
===1AA 5；
（3）因为AO ⊥BC,A 1O ⊥BC ，则∠AOA 1是二面角A-BC-A 1的平面角.
在Rt △OO 1A 1中，
1A O ===
在Rt △OAA 1中，
2221111AO A O AA cos AOA ，2AO A O 5
+-∠==-⨯
所以二面角A-BC-A 1
的余弦值为-.
【挑战能力】
【证明】（1）∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点.
∵E,F 分别是PC,DC 的中点,
∴EF ∥PD.
又EF 平面PAD ，PD 平面PAD ，
∴EF ∥平面PDA ，
同理FO ∥平面PAD.
而FO ∩EF=F ，EF ，FO 平面EFO ，
∴平面EFO ∥平面PDA.
（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，
平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PD 平面PAD ，
∴PD ⊥平面ABCD.
（3）∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD,
∴AC ⊥PD.
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，
又PD ∩DB=D ，
PD ，DB 平面PBD.
∴AC ⊥平面PBD.
∵AC 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB.。