【精品课件】第三章3.2.4二面角及其度量

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3.2.4二面角及其度量

注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
思02考:00 ?? ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
注：二面角的平面角的特点：
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 02:00
(2)
10
二. 求找二面角的平面角的常用方法(1)
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
02:00
二面角
基础练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
二面角一、二面角及二面角的平面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线 PA 、 P B
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
垂足为P，则∠APB叫做二面
角的平面角
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p

3.2.4二面角及其度量(共40张)

D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
？ ∠A1O1B1
B1
B
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
第5页，共40页。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须(bìxū)满足：
1）角的顶点在棱上
B
FA
M
C 第21页，共40页。
射影(shèyǐng) 法是不找平面角求二面角的一种方法:
A
B
O
D
C
第22页，共40页。
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影(shèyǐng)为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
切(zhèngqiē)值是_______.
2
No
Image
第8页，共40页。
小结： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |

3、2、4二面角及其度量

Y
B
（ 2）证明：依题意得
B (1,1, 0 ), PB (1,1, 1)
1 1 1 1 又 DE ( 0 , , ), 故 PB DE 0 0 2Βιβλιοθήκη 2 2 2所以 PB DE
Z
由已知 EF PB , 且 EF DE E ,
所以 PB 平面 EFD
所以 ( x , y , z 1) k (1, 1, 1) (k , k , k )
Z
即x k, y k, z 1 k
因为 PB DF 0
P F
D A X B
所以 (1,1, 1) ( k , k ,1 k ) k k 1 k 3k 1 0 1 所以 k 3
L
若二面角 l 的大小为 (0 , 则 )

注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角

uv cos . u v
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得 A (1, 0, 0 ), P (0, 0, 1), 1 1 E (0, , ) 2 2
因为底面 ABCD 是正方形，所以点 G 是此正方形的中心， 1 1 故点 G 的坐标为 ( , ，) 0 2 2

课件1：3.2.4二面角及其度量

∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC 是二面角 A－VB－C 的平面角．
设 AB＝a，连接 AC，在 AEC 中，AE＝
EC＝ 23a，AC＝ 2a，由余弦定理可知：
（ cos∠AEC＝
23a）2＋（
23a）2－（
33
2a）2＝－1， 3
2×2 a×2 a
∴所求二面角 A－VB－C 的余弦值为－13.
第三章空间向量与立体几何
§3.2.4二面角及其度量
高中数学选修2-1·同步课件
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0， 0，1)． ∴ PB＝(2，0，－1)，BC ＝(0，2，0)，BD＝(－2，2，0)．设平面 PBC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·PB ＝0，
n·BC ＝0，即20··xx＋＋02··yy－＋z0＝·z＝0，0， ∴zy＝＝20x，，
(1)证明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD. 同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD. 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC. (2)如图，分别以射线AB，AD， AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC. 故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.

2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量课件3新人教B版选修2_1

问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
二、探究方法
n1,n2
coscosn1,n2n1•n2
n1 n2
二、探究方法
n1,n2 coscosn1,n2nn11•nn22
二、探究方法
当法向量 n1 ， n2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ；
3.2.4二面角及其度量〔面面角〕
一、温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O
A
l
一、温故知新异面直线所成的角
v1
v2
v1
v2
v1,v2
v1,v2
l,m的夹角为， cos | v1 v2 |
| v1 || v2 |
一、温故知新直线与平面所成的角
n 直线的方向向量为 a ，平面的法向量为
A1A 平面 A B C D
A1A是平面 A B C D 的一个法向量 A 1 ( 2 ，0 ，2 ) A ( 2 ，0 ，0 ) D ( 0 ，0 ，0 ) Q ( 1 ，2 ，0 )
A 1 A ( 0 ，0 , 2 ) D A 1 ( 2 ，0 ，2 ) D Q ( 1 ，2 ，0 )
当法向量 n1 ， n2 同时指向二面角内或二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ．
三、实践操作
例1.ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，
AD，
1 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
三、实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1〕建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2〕求出平面的法向量，进展向量运算求出法向量的

3.2.4 二面角及其度量

解：(1)在等腰梯形ABCD中，AB //CD，∠DAB＝60°, CB = CD, 由余弦定理可知
2 2 BD＝CD + CB2 - 2CD×CB×cos 180° -∠DAB ＝3CD2 ,
即BD＝ 3CD = 3AD,在ΔABD中，∠DAB＝60°, BD = 3AD,则ΔABD为直角三角形，且AD⊥ DB, 又AE⊥BD,AD 平面AED，AE 平面AED,且 AD∩AE = A,故BD⊥ 平面AED.
取y = 1,则x = 3,z = 1,则m = 的一个法向量.

3,1,1 为平面BDF

1 5 cos < m,n >= = = ,而二面角F - BD - C 5 5 m n 5 的平面角为锐角，则二面角F - BD - C的余弦值为 . 5
mn
回顾本节课你有什么收获？
1.二面角的定义 2.二面角的求法
在二面角 - l - 的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA l，OB l，则AOB叫做二面角
- l - 的平面角.
二面角的大小是通过其“平面角” 来度量的.
特别地，当两个平面相互垂直时，它们的平面角是直角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，如图所示：
探究点2 二面角大小的求法
设平面SAB与平面SCD的夹角为， 2 由图形可知 i, n 为锐角，即 tan . 2
【变式练习】
正方体ABEF - DCE F 中，M , N 分别为AC， BF的中点如图，求平面MNA与平面MNB 所成锐二面角的余弦值.
E
解：设正方体的棱长为1, 以BA，BE， BC所在直线分别为x轴，y轴, z轴建立空间直角坐标系. 设平面AMN的法向量n1 x, y, z , 1 1 1 1 由于 AM - , 0, , AN - , , 0 . 2 2 2 2 1 1 x z 0, AM n 0, 2 1 2 即 AN n1 0, 1 x 1 y 0, 2 2 令x 1得y 1, z 1. n1 1,1,1 ,

课件5：3.2.4二面角及其度量

角都是二面角的平面角．
二面角θ的范围为θ∈[0，π]．
直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.互相垂直平
面也就是相交成直二面角的两个平面.
我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并
沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则
〈n1，n2〉等于该二面角的平面角.
36＋16＋64－68 48 1
即 cos x＝
＝＝，
96
96 2
得x＝60°.
因此，所求二面角的度数为60°.
例2 已知：二面角α—l—β的大小为θ (0≤θ≤

2
)，
在α内有△ABC，它在β内的射影为△A′BC，它
们的面积分别为S，S′，
则有S`=Scosθ.
证明：不妨假设△ABC的边BC在l上（如图），
作BC边上的高AD，AD在β内的射影为A`D.根据
正射影的性质，知
A`D=ADcosθ.
S`=

BC×A`D= BC×Adcosθ=
2
2
Scosθ.
例3 已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，
SA垂直平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
求平面SAB与SCD的夹角的正切（如图）.
换用坐标表示，得

(x,y,z)·( ，0，-1)=0，
2
(x,y,z)·(1，1，-1)=0.

即 x-z=0
2
x+y-z=0
把z作为已知数，解此方程组，得x=2z，y=-z.
cos<i,n>=
=
·
·||
(,−,)·(,,)

3.2.4二面角及其度量

1 构造法：关键找平面角；常用三垂线定理作平面角
思考：为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为，则 sin 的值是（）
思考：可用此题结论求解例 3 吗？
课堂小结本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题课标要求主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问

高二数学3.2.4二面角及其度量

5．平面 α的一个法向量 n1＝ (1,0,1) ，平面 β的一个法向量 n 2＝ (－ 3,1,3) ，则 α与 β所成的
角是 _____．
6．已知
A∈
α，
P?α
，
→ PA
＝
－
23， 12，
2 ，平面 α的一个法向量
n＝
0，－
1，－ 2
2，
则直线 PA 与平面 α所成的角为 ________．
二、能力提升
7．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD ＝
1，则二面角 B—AC— D 的余弦值为
()
1
1
23
3
A. 3
B.2
C. 3
D. 2
8． A、 B 是二面角 α— l— β的棱 l 上两点， P 是平面 β上一点， PB⊥ l 于 B， PA 与 l 成 45
3.2.4 二面角及其度量
1．二面角的概念 (1) 二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的 ______________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线 l 叫做二面角的 ______，每个半平面叫做二面角的 ______，如图中的 α，β. (2) 二面角的记法：棱为 l，两个面分别为 α，β的二面角，记作 α—l — β.如图， A∈ α， B∈ β，二面角也可以记作 A— l— B. (3) 二面角的平面角：在二面角 α— l — β的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OA⊥ l， OB⊥ l，则∠ AOB 叫做二面角 α— l— β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关． (4) 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5) 二面角的范围是 [0 °， 180 °] ． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1) 如图，分别在二面角 α— l— β的面 α、 β内，并沿 α、 β延伸的方向，作向量 n1⊥ l， n2⊥ l，则〈 n1， n2〉等于该二面角的平面角． (2) 如图，设 m1⊥α，m2⊥ β，则〈 m1， m2〉与该二面角相等或互补 . 探究点一定义法求二面角问题 1 如何找二面角的平面角？问题 2 如何利用面积射影求二面角？例 1 如图， S 是 △ABC 所在平面外一点，且 SA⊥平面 ABC ， AB⊥ BC， SA＝ AB， SB＝BC， E 是 SC 的中点， DE⊥ SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD —C 的大小．

课件2：3.2.4二面角及其度量

[分析] 由于不易建立空间直角坐标系，故可借助于向量所成的角，求二面角大小．
[解析] 如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E， ∵ABCD为正方形，
∴AD⊥AB，则向量A→1E与D→A所成的角的大小即为二面角 A1—AB—D 的大小．
∵A→1E＝A→1A＋A→E， ∴A→1E·D→A＝(A1→A ＋A→E)D→A ＝|A→1A||DA→| cos〈A→1A，D→A〉＋|A→E||D→A|cos〈A→E，D→A〉＝nmcos120°＋0＝－12mn.
3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为
()
3 A. 3
1 C.3 [答案] B
6 B. 3
2 D. 3
[解析] 以 A 为坐标原点建系，由法向量法，可得
cosθ＝
6 3.
二、填空题 4 ．正方体 AC1 中平面 ABCD 与平面 A1BCD1 的夹角为 ________．
[误解] ∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD， ∴取 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则 D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0， 3，1)，F(1， 3，0)． ∴平面 ABD 的法向量 m＝(0,1,0)，设平面 EFD 的法向量为 n＝(a，b，c)， ∵D→E＝(0， 3，1)，D→F＝(1， 3，0)，由 n·D→E＝0， n·D→F＝0 得 n＝( 3，－1，－ 3)，
E、F 分别是 AC、BC 的中点， ∴E(0， 3，1)，F(1， 3，0)．设 m＝(x，y，z)是平面 DEF 的一个法向量．
由mm··DD→ →EF＝＝00 得x＋3y＋3zy＝＝00 ，令 y＝1.

课件7：3.2.4 二面角及其度量

(1)证明：因为∠DAB＝60°, AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD. 从而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD，故 PA⊥BD.
(2)解：如图，以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz. 则 A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(－1, 3,0)，P(0,0,1). A→B＝(－1, 3,0)，P→B＝(0, 3,－1)， B→C＝(－1,0,0).
(1)证明：因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱,所以 AB⊥AA1，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ 3，∠ABC＝ 60°,所以∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.又 AC∩AA1＝A，所以 AB⊥平面 ACC1A1.又 A1C⊂平面 ACC1A1，所以 AB⊥A1C.
(2)如图，作 AD⊥A1C 于 D 点，连接 BD.由三垂线定理知 BD⊥A1C，所以∠ADB 为二面角 A－A1C－B 的
设平面 PCD 的法向量 n＝(x,y,z)，
由nn··DP→→DC＝＝00，得xy＝－0z＝，0.
令
z＝1，∴n＝(0,1,1)，∴cos〈n,A→D〉＝
1＝ 2
2 2,
∴〈n,A→D〉＝45°.
即平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45°.
方法感悟方法技巧求二面角大小的方法 (1)定义法. (2)三垂线法，如图A∈β，过A作AB⊥α于点B，在α内作 BO⊥l于点O，连接AO，则由三垂线定理知AO⊥l，故 ∠AOB是二面角α－l－β的平面角.
23，MN＝
42，∴tan∠MNB＝
2＝ 2
6.
4

3.2.4二面角及其度量

平面内角的大小可以用量角器度量，那么二面角的大小如何度量呢？
B

A B

O
3
A
l
用它的平面角来度量度量：
(1)以二面角的棱上任意一点为端点， (2)在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 (3)这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
B B1
= ∠A1O1B1
l
O1
O
A
A1

[0, ] 范围：

C
A
D
B
CD (CA AB BD)2
2
(2 17)2 62 42 82 2 6 8 cos CA, BD
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
AC， BD ＝－ CA， BD
＝ 3
应用：
法(2)找平面角例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.

l
n2
Hale Waihona Puke n1， n2n1

n1
l

应用：
BD 法(1)向量法＝ AC，例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
CD CA AB BD
y 2 y 2
巩固练习：
小结
１、二面角的定义２、二面角的求法
(1)找平面角 (2)向量法（法向量，方向向量）

2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.4 二面角及其度量

第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量高中数学选修2-1·精品课件引入课题1.在平面几何中"角"是怎样定义的？平面中的角刻画了两直线的相对倾斜程度.2.“线面角”是怎样定义的？“线面角”刻画了两直线的相对倾斜程度.3.如何刻画两平面的相对倾斜程度？知识点一：二面角的定义及表示一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面.这条直线叫做二面角的棱.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这两个半平面叫做二面角的面.βαlABPQβα--l 二面角βα--AB 二面角Q l P --二面角QAB P --二面角知识点二：二面角的度量二面角的大小用它的平面角来度量以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lαβA BOO 1A 1B 1二面角的大小的范围:[0°，180°]二面角的平面角必须满足：(3)角的边都要垂直于二面角的棱.(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;知识点三：向量法求二面角的平面角如何用向量表示平面与平面所成的角？向量的夹角就是平面与平面所成的角吗？设平面α与平面β所成的角为θ，α、β的法向量分别为m 、n .αβnm两法向量所成的角与二面角的平面角相等或者互补：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.典例分析例1 如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC ＝AB，求二面角A－VB－C余弦值的大小．解：取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角．VEDCBA设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝(32a)2+(32a)2−(2a)22×32a×32a＝－13，显然二面角A－VB－C为锐角，∴所求二面角A－VB－C余弦值的大小为13.VEDCBA跟踪训练1.在本例中，若点E 为VB 的中点，求二面角E －AC －B 的大小．VED CBA解：取AC 中点F ，连接FE 、FB ，∴EF ⊥AC ，BF ⊥AC ，则∠BFE 是二面角E －AC －B 的平面角．设AB ＝a ，则EA ＝32a ，AF ＝22a ，∴EF ＝EA2−AF2=a2.又BF ＝22a ，BE ＝a2，则BF 2＝EF 2＋BE 2，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠BFE ＝45°.∴二面角E －AC －B 的大小为45°.F因为EA ＝EC ，BA ＝BC ，如图所示，取BC 中点O ，连结AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角A -A 1D -B 的余弦值．C 1C AB A 1B 1O z yx解：则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0).AD的法向量为n＝(x，y，z)，设平面A1AD＝(－1，1，－3)，AA1＝(0，2，0)．，因为n⊥AD，n⊥AA1得n·AD=0,n·AA=0，1得－x+y－3z=0,y=0，令z＝1，得n＝(－3，0，1)为平面AAD的一个法向量．1典例分析又因为AB 1＝(1，2，－3)，BD ＝(－2，1，0)，BA 1＝(－1，2，3)，所以AB 1·BD ＝－2＋2＋0＝0，AB 1·BA 1＝－1＋4－3＝0，所以AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1是平面A 1BD 的一个法向量，所以cos<n ，AB 1>＝n ∙AB 1|n ||AB 1|＝−232×22＝－64，所以二面角A A 1D B 的余弦值为64.2.若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A-PB -C 的余弦值．C A B P zyx 解：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，故AP ＝(0，0，1)，AB ＝(2，1，0)，CB ＝(2，0，0)，CP ＝(0，－1，1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AP =0，m ·A B =0⇒z =0，2x +y =0，令x＝1，则y＝－2，故m＝(1，－2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则n·CB=0，n·CP=0⇒2x′=0,-y′+z′=0，令y′＝1，则z′＝1，故n＝(0，1，1)，∴cos<m，n>＝−23×2＝−33.∴二面角A PB C的余弦值为33.归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）再见。

原创2：3.2.4 二面角及其度量

二面角的范围为
[0，π]
．
，
走进教材
二.二面角的向量求法
角的分类
向量求法
若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内
与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A、C)，
则二面角的大小就是AB与CD的夹角
二面角
cos θ＝ cos<AB，CD>
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos<n1，n2>|
第三章空间向量与立体几何
§3.2.4 二面角及其度量
高中数学选修2-1·精品课件
复习引入
角的分类
异面直线
所成的角
直线与平面
所成的角
定义
范围
设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或
(0°,90°]
直角叫做a与b所成的角.
直线与它在这个平面内的射影所成的角.
图形
自主练习
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，
则直线l与平面α所成的角等于( C )
A．120°
C．30°
B．60°
D．以上均错
自主练习
2．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，
15
±
且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．

AE＝( , − , )，AC＝(b,0,0)．
2
2 2
D
C x
y
典例导航
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由m·AE=0， m ·AC=0得