大一下学期 数学分析 第四套复习题
数值分析第四版习及答案
b
a
S
(
x)
f
(
x)
S
(
x)dx
S
(b)
f
(b)
S(b)
S
(a)
f
(a)
S(a)
.
26. 编出计算三次样条函数 S(x) 系数及其在插值节点中点的值的程序框图( S(x) 可用(8.7)
式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为a,b 的伯恩斯坦多项式.
(b)对 f (x) sin x 在 0, / 2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的
b f (x)2dx bS(x)2dx b f (x) S(x)2dx 2 b S(x) f (x) S(x)dx
i) a
a
a
a
;
ii) 若 f (xi ) S(xi )(i 0,1,L , n) , 式 中 xi 为 插 值 节 点 , 且 a x0 x1 L xn b , 则
9. 若 yn 2n ,求 4 yn 及 4 yn .
10. 如 果 f (x) 是 m 次 多 项 式 , 记 f (x) f (x h) f (x) , 证 明 f (x) 的 k 阶 差 分
k f ( x) ( 0 k m是) m k 次多项式,并且 ml f (x) 0(l 为正整数).
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数
12.1 复习笔记
12.2 课后习题详解
12.3 名校考研真题详解
第13章 函数列与函数项级数
13.1 复习笔记
13.2 课后习题详解
13.3 名校考研真题详解
第14章 幂级数
14.1 复习笔记
14.2 课后习题详解
14.3 名校考研真题详解
第15章 傅里叶级数
15.1 复习笔记
15.2 课后习题详解
15.3 名校考研真题详解
第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记
16.2 课后习题详解
16.3 名校考研真题详解
第17章 多元函数微分学
17.1 复习笔记
17.2 课后习题详解
17.3 名校考研真题详解
第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记
18.2 课后习题详解
18.3 名校考研真题详解
第19章 含参量积分
19.1 复习笔记
19.2 课后习题详解
19.3 名校考研真题详解
第20章 曲线积分
20.1 复习笔记
20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分
21.1 复习笔记
21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分
22.1 复习笔记
22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记
23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解
第12章 数项级数
12.1 复习笔记
一、级数的收敛性
1．相关定义
（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式
u1＋u2＋…u n＋… （12-1）
称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．
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定的 y，若 y 为无理数，则函数 f（x，y）恒为零．若 y 为有理数，则函数仅有有限个异于
0 的值，因此
所以累次积分存在且
同理，累次积分
§3 格林公式·曲线积分与路线的无关性
为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
证明：假设存在
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使得
不妨设
由连续函数的保号性知：
存在
使得对一切
则
，与已知
矛盾．故必在
D 上 f（x，y）＝0．
6．设 D＝[0，1]×[0，1]，证明函数
在 D 上不可积． 证明：对 D 上任意分割
则
若在每个 取点
使 皆为有理数，
若在每个 取点 限不存在（当
，使
为非有理点，则
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这与①式矛盾，因此 f 在 D 上有界．
3．证明二重积分中值定理（性质 7）． 证明：性质 7（中值定理）若 f 为有界闭域 D 上的连续函数，则存在
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，由
换可得
利用极坐标变
因此
2．设某流体的流速为 V＝（k，y，0），求单位时间内从球面 过球面的流量．
解：设流量为 E，则
的内部流
（其中
利用球坐标变换计算）
3．计算第二型曲面积分
其中 S 是平行六面体（0
≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c）的表面并取外侧为正向， f（x）、g（y）、h（z）为 S 上的连续
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第 22 章 曲面积分
§1 第一型曲面积分
1．计算下列第一型曲面积分：
，其中 S 为上半球面
，其中 S 为立体
的边界曲面；
，其中 S 为柱面
被平面 z＝0，z＝H 所截取的部分；
其中 S 为平面 x＋y＋z＝1 在第一卦限中的部分。
式知
且
同理
因此原积分＝0。 （2）记 L 为该椭圆的边界，则
其中 S 为所交椭圆面， 是 S 在 xy 面的投影。
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4．求下列全微分的原函数：
解：（1）因 d（xyz）＝yzdx＋xzdy＋xydz，故原函数为 u（x，y，z）＝xyz＋C （2）由于
解：因为
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证明：令 t＝x＋2π，则
同理可证 3．把函数 展开成傅里叶级数，并由它推出
解：函数 f 及其周期延拓函数的图像如图 15-5 所示．
图 15-5 显见 f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理，f（x）可展开为傅里叶级数，因为
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
（3）
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所以，在（0，2π）内
所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
为 f 的傅里叶级数
为f
证明：因为 f 为[－π，π]上的光滑函数，所以 f（x）在[－π，π]上有连续的导函数 又 f（π）＝f（－π），故
即
10．证明：若三角级数
中的系数 满足关系
M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．
大一下学期高等数学期末试题及答案__数套
高等数学（下）试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分）
（1
）函数
z =的定义域为 （2）已知函数
arctan
y
z x =，则z x ∂=
∂
（3）交换积分次序，
2
220
(,)y y dy f x y dx
⎰⎰
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=
⎰
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为
二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨
--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）
A. L 平行于π
B. L 在π上
C. L 垂直于π
D. L 与π斜交 （2）设
是由方程
xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）
A.dx dy +
B.dx
D.dx （3）已知Ω是由曲面2
2
2
425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将
22()x y dv Ω
+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
225
30
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ B.
245
30
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ C.
22
5
3
50
2r
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ D.
22
5
2
d r dr dz
π
θ⎰
⎰⎰
（4）已知幂级数12n
n
n n x ∞
=∑，则其收敛半径
（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *
=（ ）
A.
B.()x ax b xe +
C.()x
ax b ce ++
D.()x
ax b cxe ++
三、计算题（每题8分，共48分）
数学分析第四学期试题
试题(1卷)
一．填空（每小题3分,共15分）
1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分
⎰
=)
()
(),()(x d x c dy
y x f x F 的求导公式为
=')(x F ;
3。 Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,
0>s ；
4。二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在
D ∈),(ηξ，使
⎰⎰=
D
d y x f σ),( ；
5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dS
z y x f ),,(的物理意义是： 。 二.完成下列各题(每小题5分，共15分)
1。设54222
22=-+-++z y x z y x ,求
y z x z ∂∂∂∂,； 2。 设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,
sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；
3. 求积分)0(ln 1
>>-⎰
a b dx x x x a
b .
三。计算下列积分(每小题10分，共50分）
1。 ⎰
L xyzds
,其中L 为曲线)10(21
,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；
2.
⎰
+-L
y x xdx
ydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；
3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdy
y x y x )sin()(， 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。 ⎰⎰⎰
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)
第14章幂级数
§1幂级数
1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．
又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．
（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，
级数收敛，故收敛域为[－2，2]．
（3）记
所以
，则
收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u
故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．
（4）因故收敛半径为收敛域为
（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级
数的收敛半径为收敛域为
（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为
当时，原级数可化为
对于级数，因为
故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．
当时，原级数可化为
因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为
（7）设故收敛半径，故
时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．
（8）设，则
因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．
2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：
解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．
又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．
设内逐项求导，得
故和函数
（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．
因为
所以
（3）记则收敛区域为（－1，1）．
因为
所以
所以，
因此
3．证明：设在内收敛，若也收敛，则
（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：
证明：因在内收敛，所以有
又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而
又因为内收敛，且级数收敛，所以
4．证明：（1）满足方程
大学数学分析题题库
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性
1. 计算下列极限：
(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$
(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$
(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$
2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：
(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？
(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？
(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？
题目二：微分学基础
1. 计算下列函数的导数：
(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$
(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$
2. 判断函数在给定点处的可导性：
(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？
(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？
题目三：积分与面积
1. 计算下列定积分：
(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$
(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$
(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)
8．证明：设方程 F（x，y）＝0 所确定的隐函数 y＝f（x）具有二阶导数，则当 时，有
证明：由题设条件可得 故 所以
9．设 f 是一元函数，试问应对 f 提出什么条件，方程 2f（xy）＝f（x）＋f（y）在点 （1，1）的邻域内就能确定出惟一的 Y 为 z 的函数？
解：设
因此只需 在 x＝－1 的某邻域内连续，则 F，
在（1，1）的某邻域内连续．所以，
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当 f'（x）在 x＝1 的某邻域内连续，且 f'（1）≠0 时，方程 2f（xy）＝f（x）＋f（y）就能 惟一的确定 y 为 x 的函数．
1．试讨论方程组
§2 隐函数组
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（5）令
则
所以 （6）把 z 看成 x，y 的函数，两边对 x 求偏导数，则有
所以 把 x 看成 y，z 的函数，两边对 y 求偏导数，则
所以 把 y 看成 z，x 的函数，对 z 求偏导数，则
所以
4．设
，其中 y＝f（x）为由方程
解：由方程
得
因
所确定的隐函数，求 及
在原点的某邻域内可确定隐函数 y
＝f（x）．
2．方程
在点（0，1，1）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-函数列与函数项级数(圣才出品)
有
所以 在[a，b]上一致收敛．由[a，b]的任意性，得 在 I 上内闭一致收敛于 f．
8．在[0，1]上定义函数列
证明级数 证明：由
在[0，1]上一致收敛，但它不存在优级数． 定义可得
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从而
时，有
恒成立．所以对于任意
则
故
所以原级数在[0，2π]上不一致收敛．
10．证明：级数
在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成
的级数在[0，1]上却不一致收敛．
证明：对任意
级数收敛，故
记
，则
上取得最大值，所以
进而可得 f（x）当 x＝ 时在[0，1]
从而 下面讨论级数
，故原级数在[0，1]上一致收敛． 由于
则
所以原级数在[0，1]上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成
证明：必要性
总存在 的一个邻域 和 I 的一个内闭区间[a，b]，使得
所以
而 在[a，b]上一致收敛于 f，因此 在
上一致收敛于 f．
充分性
由已知
使得 在
上一致收敛于
f．从而
当
时
有
显然，当
取遍[a，b]上所有点时，
覆盖[a，b]．由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b]．不妨设
2021年高考数学大一轮复习 导数及其应用板块命题点专练(四)理(含解析)
2021年高考数学大一轮复习 导数及其应用板块命题点专练（四）理（含
解析）
1．(xx·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2
D ．1
2．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．(xx·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x
)＝x ＋e x
，则f ′(1)＝________.
4．(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2
＋b x
(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________.
1．(xx·辽宁高考)函数y ＝2x 2
－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
2．(xx·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞ )单调递增，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D ．[1，＋∞)
3．(xx·浙江高考)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x
－1)(x －1)k
(k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1 处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
第四部分 模拟试题
华东师范大学数学系《数学分析》 （第4版）配套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数
一、判断题
1．设级数 收敛，则 【答案】正确
收敛．[华东师范大学2008研]
【解析】设 ，则 单调有界； 收敛，由Abel判别法，知
收敛.或者设 ，则 单调递减趋于0， 收敛，
一致收敛于
．[华东师范大学
证明：由
，
在 上分别一致收敛于 ， ，可得
，
，
在 上分别一致收敛于
，
，
，
又
，
故
在 上一致收敛于
.
5．设数列 为 中互不相同的点列， 为函数 在 上的惟 一间断点．设
与所有 为
在 上一致有界，即存在正数 使得
对所有的
均成立．证明：函数 ．[华东师范大学2008研]
在 内的间断点集
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
大一下学期高数试题及答案
高等数学（下）试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分）
（1
）函数
z =的定义域为 （2）已知函数
arctan
y
z x =，则z x ∂=
∂
（3）交换积分次序，2
220
(,)y y dy f x y dx
⎰
⎰
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则
()L
x y ds +=⎰
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨
--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）
A. L 平行于π
B. L 在π上
C. L 垂直于π
D. L 与π斜交 （2）设
是由方程xyz (1,0,1)-处的dz =
（ ）
A.dx dy +
B.dx
D.dx （3）已知Ω是由曲面2
2
2
425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω
+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
22
5
3
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ B.
24
5
3
d r dr dz
πθ⎰
⎰⎰ C.
22
5
3
50
2r
d r dr dz
πθ⎰⎰⎰ D. 22
5
20
d r dr dz
π
θ⎰
⎰⎰
（4）已知幂级数1
2
n
n
n n
x ∞
=∑，则其收敛半径
（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2
D.
（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *
=（ ）
A.
B.()x
ax b xe + C.()x
ax b ce ++
D.()x
ax b cxe ++
三、计算题（每题8分，共48分）
数值分析第四版习题及答案
第一章 绪 论
1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.
2. 设x 的相对误差为2％,求n
x 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯
4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****
1234
,,,x x x x 均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?
6. 设028,Y =按递推公式
1n n Y Y -=( n=1,2,…)
计算到100Y .
27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?
7. 求方程2
5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字
27.982).
8. 当N 充分大时,怎样求
2
11N
dx x +∞
+⎰
?
9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2
? 10. 设
212S gt =
假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列
{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),
若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到
10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
数学分析第四版下册课后练习题含答案
数学分析第四版下册课后练习题含答案前言
《数学分析（第四版）》是由中国地质大学出版社出版的一套教材，该教材适用于大学数学分析课程的教学。作为研究数学的基础学科，数学分析的学习是深入理解数学各领域的前置条件。为了帮助各位学生更好地完成课程学习，本文将给出《数学分析（第四版）下册》的课后练习题答案。
第一章
选择题
1.选D.
2.选B.
3.选A.
4.选C.
5.选A.
填空题
1.$\\frac{a}{2}$， $\\frac{b}{2}$，
$\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{b^2}{4}}$.
2.$\\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.
论述题
1.略
第二章
选择题
1.选D.
2.选B.
3.选A.
4.选C.
5.选A.
填空题
1.$\\ln a - \\ln b$.
2.$\\frac{a}{\\sqrt{2}}$， $-\\frac{a}{\\sqrt{2}}$. 论述题
1.略
第三章
选择题
1.选D.
2.选B.
3.选A.
4.选C.
5.选A.
填空题
1.a n=n3−n
2.
2.不成立.
论述题
1.略
第四章
选择题
1.选D.
2.选B.
3.选A.
4.选C.
5.选A.
填空题
1.$\\frac{1}{2}x^2+\\frac{1}{2}(y-2x)^2+1$， $\\sqrt{2}$.
2.$\\frac{1}{2}\\sqrt{2}$.
论述题
1.略
结语
本文提供了《数学分析（第四版）下册》课后习题的解答，希望对各位学生完成课程学习有所帮助。如有不懂之处，请咨询相应的教师或学长学姐。
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《数学分析》期末考试复习题（第四套）
班级 学 号 姓 名
一．（ 满分 2 0 分，每小题 2 分）判断题：
1． 设ξ是数集E 的聚点 . 则存在0 >δ,使在) , (δξδξ+-外仅有数集E 的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间] , [b a 上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( )
4. 当无穷积分
⎰
+∞
a
dx x f )(和
⎰+∞
a
dx
x g )(都收敛时，积分
⎰
+∞
a
dx x g x f )()(必收敛
() 5. 若级数∑
+α
11n
收敛 , 则必有0>α. ( )
6. 设0>n u 且) ( , 0∞→→n u n . 则级数∑+-n n u 1) 1 (必收敛 . ( )
7. 设在区间I 上对n ∀有)( |)(|x v x u n n ≤. 若级数∑)(x v n 在区间I 上 一致收 敛 , 则级数∑)(x u n 也在区间I 上 一致收敛 . ( )
8. 设在区间I 上函数列)}({x f n 收敛于函数)(x f .若存在数列⊂} {n x I , 使 0|)()(|→/-n n n x f x f ,则函数列)}({x f n 在区间I 上非一致收敛 . ( )
9. 设函数)(x f 在区间)0 ( ) , (>-R R R 内有任意阶导数 , 且其Maclaurin 级数
∑
∞
=0
)
(!
)
0(n n
n x n f
在 ) , (R R -内收敛 . 则在 ) , (R R -内有=
)(x f ∑
∞
=0
)
(!
)
0(n n
n x n f
.（）
二． ( 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题:
10. ()⎰-=+-+-1
1
52212sin ||dx x x x x x x .
11. =
+⎰
→3
2
)1ln(lim
x
dt
t x
x .
12. =
+∑
∞
=1
)
1( 2n n n .
13. |
|1)(2
2
2
x n x
n x f n +=
, ) , (∞+∞-∈x . =∞
→)(lim x f n n .
14. 幂级数∑
∞
=-1
1
2!n n n
x
n
n 的收敛区间为 .
三．(满分 2 4 分，每小题 6 分）计算题:
15. )
21( 21lim
3
3
3
44
4
n n n
n ++++++∞
→ .
16. 把函数=)(x f x 2sin 展开成 x 的幂级数 .
17. 在区间] , [ππ-上把函数=)(x f x 展开成Fourier 级数 .
18. 求幂级数∑
∞
=++0
3
)
2(!n n n n x
的和函数 .
四．(满分1 0 分，每小题 5 分）判敛题:
19. 判断级数 ∑
∞
=-++1
2
)
12(2n n n n n 的敛散性 .
20. ] 1 , 0 [ ,)(∈=x x x f n n . 讨论函数列)}({x f n 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.
五．证明题
21. 证明函数项级数∑
∞
=1
cos n n
nx 在) , 0 (π内条件收敛 .
22. 设函数项级数∑)(x u n 和∑)(x v n 在区间I 上一致收敛 . 试证明级数
()∑+)()(x v x u
n n
也在区间I 上一致收敛 .
23. ∑
∞
==
1
1)(n x
n
x f . 试证明函数)(x f 在区间) , 1 (∞+内连续 .
注：本套无解答