(线性代数)第三章 线性方程组

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第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和高斯消元法
1. 阶梯阵的形状与线性方程组的解
r1 = r(A) r2 = r(A,b) A,b) ~ ~ ~ Ax = b Ax = b 解的情况 (A, b) (A, ~) b 2x1+3x2 −x3 = 1 +3x 2 3 −4 1 无解 2x2+x3 = 2 0 2 1 2 0 0 0 1 r2 = r1+1 0=1 x1−x2+2x3 = 8 +2x 1 −1 2 8 2x2 +x3 = 1 有唯一解 0 2 1 1 0 0 1 5 x 3 = 5 r2 = r1 = 3
x1 = x2 = … … xr = xr+1 = xr+2 = … … xn = c1,r+1xr+1 1,r c2,r+1xr+1 2,r … … cr,r+1xr+1 xr+1 + c1,r+2xr+2 1,r + c2,r+2xr+2 2,r … … … + cr,r+2xr+2 + … + c1nxn + … + c2nxn … … + … + crnxn
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和高斯消元法 一. 线性方程组的概念 二. 高斯消元法 r2 = r1+1 ↔ 无解 r2 = r1=n ↔ 唯一解 r2 = r1< n ↔ 无穷多解
§3.2 齐次线性方程组 一. 齐次线性方程组有非零解的条件 二. 齐次线性方程组解的结构 三. 基础解系
第三章 线性方程组
1+λ 1 1 1 1 1+λ A = 1 1+λ 1 r1 ↔ r3 1 1+λ 1 1 1 1 1+λ 1+λ 1 1 1 1+λ r + r 1 1 1+λ r 2− r 1 3 2 0 λ 0 λ −λ −λ r3− (1+λ) 0 −λ −λ(2+λ) 0 0 −λ(3+λ) r1 当λ=0或λ = −3时, r(A)<3, 有非零解; 有非零解; ∴ 只有零解. ∴当λ≠0且λ ≠ −3时, r(A)=3, 只有零解.
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§3.1 线性方程组和高斯消元法 +…+a a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 一. 基本概念 a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 +…+a (3.1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm +…+a 系数矩阵 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 设A = … … … … , b = am1 am2 … amn Ax = b ( A, b ) b1 b2 , x= … bm x1 x2 , … xn
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§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 定理3.2. 设A∈Rm×n, r(A) = r. 若r < n,则Ax = 0 任一基础解系中均含有n 个解向量. 的任一基础解系中均含有n−r个解向量. 证明： 证明： A 初等行变换 B B为行最简形矩阵 0有 个自由未知量. r(B) = r(A) = r ∴ Bx = 0有 n−r 个自由未知量.
§3.2 齐次线性方程组
一. 齐次线性方程组有非零解的条件 可写成： 令A = (α1, α2, …, αn), 则 Ax = 0 可写成： x1α1+x2α2 +…+xnαn = 0 有非零解 +…+x ⇔ α1, α2, …, αn 线性相关 ⇔ r(A) < n 定理3.1 设 ∈ × Ax= . 定理3.1.设A∈Rm×n, 则Ax=0 有非零解 ⇔ r(A)<n. 推论3.1. 推论3.1. 设A∈Rm×n. 若m<n(方程的个数小于 未知量的个数), =0有非零解 有非零解. 未知量的个数), 则Ax =0有非零解. 推论3.2 设 ∈ × 推论3.2.设A∈Rn×n , 则 Ax = 0 有非零解 ⇔ |A|=0. 不可逆， ⇔ A不可逆，退化，奇异 不可逆 退化，奇异. 推论3.3 设 ∈ × 推论3.3.设A∈Rn×n , 则 Ax = 0 只有零解 ⇔ |A|≠0. ≠ 可逆， ⇔ A可逆，非退化，非奇异 可逆 非退化，非奇异.
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§3.2 齐次线性方程组
(1 + λ )x1 + x2 + x3 = 0 例1. 设有线性方程组 x1 + (1 + λ )x2 + x3 = 0 为何值时, 问λ为何值时, 此方程组 x + x + (1 + λ )x = 0 (1)有非零解 (2)只有零解 (1)有非零解; (2)只有零解? 1 有非零解; 只有零解? 2 3
解: 对系数矩阵 作初等行变换 化为阶梯阵 对系数矩阵A作初等 变换, 化为阶梯阵. 作初等行
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§3.2 齐次线性方程组
二. 齐次线性方程组的解的结构 V = { x∈Rn | Ax = 0 } 齐次线性方程组的解空间 性质1 性质1 若α,β是Ax = 0 的解, 则kα +lβ也是Ax =0的解. 也是Ax =0的 事实上, 事实上, A (kα +lβ) = kAα + l Aβ = 0. 2. Ax = 0的一组解η1, η2,…, ηs称为一个基础解系: 0的一组解 称为一个基础解系: 一个基础解系 (1) η1, η2, …, ηs 线性无关; 线性无关; 0的任一解都可由 线性表示. (2) Ax = 0的任一解都可由η1, η2, …, ηs线性表示. 那么该方程组的通解就可表示成 x = k1η1 +k2η2+…+ksηs, 其中k1, k2, …,ks为常数. +…+k 其中k …,k 为常数. 这种形式的通解称为Ax =0的结构式通解. 这种形式的通解称为Ax =0的结构式通解.
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§3.2 齐次线性方程组
2. Ax = 0的一组解η1, η2,…, ηs 称为一个基础解系: 0的一组解 称为一个基础解系: 一个基础解系 线性无关; (1) η1, η2, …, ηs 线性无关; (2) Ax = 0的任一解都可由η1, η2, …, ηs线性表示. 0的任一解都可由 线性表示. Ax = 0 的结构式通解可表示成 结构式通解可表示成 x = k1η1 +k2η2+…+ksηs, 其中k1, k2, …,ks为常数. +…+k 其中k …,k 为常数. 解向量组的极大无关组 注1：基础解系是Ax = 0解向量组的极大无关组， 基础解系是Ax 0解向量组的极大无关组， 所以基础解系不唯一 不唯一， 所以基础解系不唯一， 且任意两个基础解系等价 等价； 且任意两个基础解系等价； 解向量组的秩 注2：Ax = 0 解向量组的秩是基础解系含有的向 ： 量的个数， 量的个数，即n−r(A).
增广系数矩阵
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§3.1 线性方程组和高斯消元法
Ax = b 齐次线性方程组( 齐次线性方程组( b = 0) 线性方程组的分类 非齐次线性方程组 (b ≠ 0)
无解 (不相容) 不相容) 线性方程组的解 唯一解 相容) 有解 (相容) 无穷多解 (通解) 通解)
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和高斯消元法
阶梯形方程组
最简形方程组
x1 − 5x3 = 1 x1+2x2 −x3 = −3 +2x x2+2x3 = − 2 +2x x2+2x3 = − 2 ×(−2) +2x 0=0 0=0 由此可得原方程组的通解 x1 = 5x3+1 1 0 −5 1 0 1 2 −2 x2 = −2x3−2 0 0 0 0 x3 = x3(任意) 任意) 5c+1 行最简形矩阵 其中c 或者 x = −2c−2 , 其中c为 可直接读出解 任意数. 任意数. c
= xr+1η1 + xr+2 η2 + … + xn ηn-r
∴η1 , η2 , … , ηn-r 线性无关
第三章 线性方程组
x1+2x2+x3 + x4 = 2 有无穷多解 1 2 1 1 2 +2x 0 0 1 4 3 x3+4x4 = 3 +4x 0 0 0 0 0 0 = 0 r2 = r1 < 4
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§3.1 线性方程组和高斯消元法
2. 线性方程组的相容性 定理. 定理. 设A∈Rm×n, b∈Rm, 则 (1)当 (1)当r(A, b) = r(A)+1时, Ax = b无解; )+1时 无解; (2) 当r(A, b) = r(A) = n时, Ax = b有唯一解; 有唯一解; (3) 当r(A, b) = r(A)<n时, Ax = b有无穷多解, 有无穷多解, 且通解中含有n 且通解中含有n−r(A)个自由未知量. 个自由未知量. 推论. 推论. 设A∈Rm×n, 则 (1) 当r(A)=n时, Ax = 0只有零解; 只有零解; (2) 当r(A)<n时, Ax = 0有非零解, 且通解中含 有非零解, 个自由未知量. 有n−r(A)个自由未知量.
§3.1 线性方程组和高斯消元法
二. 高斯消元法
−2 −3 4 4 1 2 −1 −3 2 2 −6 −2 ×1/2
−2x1−3x2+4x3 = 4 +4x x1+2x2 −x3 = −3 +2x 2x1+2x2 −6x3 = −2 ×1/2 +2x