高数习题

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高级高数练习题

高级高数练习题1. 求函数$ f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} $的极限：解析：可以将函数进行分解为$ f(x) = x+1 + \frac{2}{x-1} $，当$ x\to1 $时，第一项趋于2，第二项趋于正负无穷大，所以该函数在$ x=1 $处不存在极限。

2. 求函数$ f(x) = \frac{|x|}{x} $的极限：解析：当$ x>0 $时，函数可化简为$ f(x) = 1 $，当$ x<0 $时，函数可化简为$ f(x) = -1 $，当$ x\to0 $时，两种情况的极限都不存在。

3. 求函数$ f(x) = \lim_{{n\to\infty}} (1+\frac{x}{n})^n $的极限：解析：可以利用自然对数的极限性质，将函数转化为$ f(x) = e^x $，所以当$ n\to\infty $时，$ f(x) $的极限为$ e^x $。

4. 求函数$ f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) $的极限：解析：可以利用泰勒公式将$ \sin^2(\pi nx) $展开，得到：$ f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) = \lim_{{n\to\infty}} (\pi^2 n^2 x^2 - \frac{(\pi nx)^4}{3!} + O(x^6)) $。

当$ n\to\infty $时，$ f(x) $的极限为$ \pi^2 x^2 $。

5. 求函数$ f(x) = \frac{2x^3-3x^2-36x+1}{x^2-1} $的导数：解析：可以将函数进行分解为$ f(x) = 2x - 3 + \frac{-33}{x-1} + \frac{-3}{x+1} $，根据导数的求导法则，函数的导数为$ f'(x) = 2 - \frac{-33}{(x-1)^2} - \frac{-3}{(x+1)^2} $。

高数上复习题1-6章

高数上第一章复习题1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→;(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;(3))1311(lim 31x x x ---→;(4)xx x 1sin lim 20→;(5)xx x arctan lim ∞→.(6)145lim1---→x x x x ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.(8)xx x sin ln lim 0→;(9)2)11(lim xx x +∞→;(10))1(lim 2x x x x -++∞→;(11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(12)30sin tan lim xx x x -→;2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .第二章复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);(2) y =sin 2x ;(3)22x a y -=;(4)xx y ln 1ln 1+-=; (5)xx y 2sin =; (6)x y arcsin=; (7))ln(22x a x y ++=;(8)x x y +-=11arcsin.(9)x x y -+=11arctan ;(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(11))1ln(2x x e e y ++=;2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =(sinx)^n(2) y =x e x .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxy d.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :5. 求下列函数的微分:(1)21arcsin x y -=;(3) y =tan 2(1+2x 2);(3)2211arctan xxy +-=;6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.第三章复习题1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.第四、五、六章复习题1. 求下列不定积分:(1)⎰dx e x x 3;(2)⎰+++dx x x x 1133224;(3)⎰dt t t sin;(4)⎰-+dx e e x x 1;(5)⎰--dx x x 2491;(6)⎰-+dx x x )2)(1(1;.(8)⎰-dx x x 92;(9) ⎰-xdx e x cos ;(10)⎰dx x 2)(arcsin ;(11)⎰xdx e x 2sin .(12)dx x x )1(12+⎰;2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.3. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2022;4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积..。

大学高数练习题

大学高数练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)2. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 53. 曲线y = x^2 - 4x + 3在点(2,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 以下哪个积分是正确的：A. ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + CB. ∫sin(x) dx = -cos(x) + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. 所有选项都正确5. 函数y = sin(x) + cos(x)的最小正周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = 3x - 5，则f'(2) = ____________。

7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 1处的导数是 ____________。

8. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线方程是 y - 1 = __________(x - 1)。

9. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是 ____________。

10. 若f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，则(f ∘ g)(x) =__________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1的极值点，并说明其性质。

12. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，求其在区间[0,3]上的单调区间及凹凸性。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

14. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调递增，则其在该区间上可导几乎处处。

高数第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）+2x +2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,YD.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）+3 -3 C7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）+5 +6 C.x 2-5x+2 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）+1 +2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高数练习题答案

高数练习题一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x}$2. 讨论函数$f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$在$x = 1$处的连续性。

3. 若$\lim_{x \to 0} f(x) = a$，$\lim_{x \to 0} g(x) = b$，求$\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]$。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x^2 + 2x$(2) $y = \sqrt{1 + x^2}$(3) $y = \ln(\sin x)$2. 设$f(x) = e^{2x} \sin x$，求$f'(x)$。

3. 求函数$y = \arctan \frac{1}{x}$在$x = 1$处的微分。

三、中值定理与导数的应用1. 验证函数$f(x) = x^3 3x$在区间$[1, 1]$上满足罗尔定理。

2. 设$f(x) = x^4 4x^2 + 4$，求证：存在$x_0 \in (0, 1)$，使得$f'(x_0) = \frac{f(1) f(0)}{1 0}$。

3. 求函数$y = x^3 3x^2 9x + 5$的单调区间。

四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int e^x \sin x dx$(3) $\int \frac{1}{x^2}dx$2. 计算定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 2x)dx$(2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$(3) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求曲线$y = x^3$与直线$y = x$所围成的图形的面积。

大学生高数练习题

大学生高数练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[1,2]上的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值为：A. 5B. 4C. 3D. 23. 曲线y=x^2-4x+5在x=2处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -14. 积分∫(1/x)dx在[1,2]区间的值是：A. 1B. 2C. ln2D. ln45. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 1二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=x^2+1的导数为______。

7. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为______。

8. 函数y=e^x的反函数是______。

9. 函数y=ln(x)的定义域为______。

10. 微分dy=2dx表示函数y=______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2时的导数值。

12. 计算定积分∫[0,1] (3x^2-2x+1)dx。

13. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则至少存在一点c∈(a,b)，使得∫[a,b] f(x)dx = f(c)(b-a)。

15. 证明：函数f(x)=x^2在(-∞,+∞)上是严格递增的。

五、应用题（每题15分，共15分）16. 某工厂计划生产一批产品，已知生产x件产品的成本函数为C(x)=100+5x，产品的销售价格为P(x)=20x。

求工厂生产多少件产品时，可以获得最大利润，并求出最大利润。

参考答案：一、选择题1. C2. B3. D4. C5. B二、填空题6. 2x7. 18. x=ln(y)9. (0,+∞) 10. x^2三、计算题11. 导数值为1212. 定积分的值为11/313. 展开式为e^x ≈ 1 + x + x^2/2四、证明题14. 根据微积分基本定理，证明存在性。

高数期末总复习题库

高数期末总复习题库一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是：A. 0B. 9C. 13D. 42. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)：A. cos(x) - sin(x)B. sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)3. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1, 0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2二、填空题4. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1的二阶导数f''(x)是________。

5. 若f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = ________。

6. 已知∫(0, 1) x^2 dx = 1/3，求∫(0, 1) x^3 dx = ________。

三、计算题7. 求函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 6在区间[-1, 2]上的定积分。

8. 求函数y = ln(x)的原函数F(x)。

9. 计算极限lim (x→0) [(sin(x) - x)/x^3]。

四、证明题10. 证明：对于任意正整数n，有e^n > n!。

11. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)使得f(c) = 0。

五、应用题12. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 2x^2 + 300x + 5000，其中x为生产数量。

求该产品的平均成本函数，并求出当生产数量为多少时，平均成本最低。

13. 一个物体从静止开始下落，受到的空气阻力与速度成正比，即f(v) = kv，其中k为常数。

求物体下落的速度随时间的变化规律。

六、综合题14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其所有极值点，并讨论其单调性。

高数复习题答案

高数复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是：A. 2x+3B. 2x+6C. 2x+1D. 2x-3答案：A2. 曲线y=x^3-2x^2+1在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 0D. 3答案：B3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A二、填空题1. 若f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。

答案：-sin(x)2. 函数f(x)=ln(x)在区间[1,e]上的最大值是________。

答案：13. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是________。

答案：0三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9。

令f'(x)=0，解得x=1和x=3。

将这两个点以及区间端点1和3代入原函数，得到f(1)=-2，f(3)=2，f(1)=-4。

因此，函数在区间[1,3]上的最大值为2，最小值为-4。

2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。

解：首先求不定积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

然后计算定积分：∫(0到π/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π/2) = -cos(π/2)+ cos(0) = 0 + 1 = 1。

四、证明题1. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

证明：令函数f(x) = e^x - (x + 1)，求导得到f'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；当x > 0时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

因此，f(x)的最小值出现在x=0处，即f(0)= e^0 - 1 = 0。

习题

高数练习题一、计算题（共65分）1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？2、（15分）设有10件产品，其中有2件次品，从中任取3件（不放回），设取到的次品数为X ，求①X 的分布律、分布函数)(x F ； ②)5.1(≤X P 、)21(≤≤X P ；③122+=X Y 的分布律3、（15分）设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<+=其它，，010)(x b ax x f ，又)31()31(>=<X P X P ，求 ①常数a ，b ；②X 分布函数)(x F③82+=X Y 的概率密度4、（15分）设二维随机变量Y X ,具有联合概率分布为求①X 和Y 边缘分布律；②在0=X 的条件下，Y 的条件分布律； ③在1=X 的条件下，Y 的条件分布律；5、（10分）设二维随机变量Y X ,的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它，，01),(22y x y cx y x f ，求 ①常数c ；②求边缘概率密度。

二、计算题（共65分）1、（10分）某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求任取一箱，从中任取一个为废品的概率；2、（15分）设二维随机变量Y X ,具有联合分布律求①X 和Y 边缘分布律；②在0=X 的条件下，Y 的条件分布律； ③在1=X 的条件下，Y 的条件分布律； 3、（15分）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f(1)确定常数k ；(2) 分布函数)(x F ；(3)求)271(≤≤X P4、（10分）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 其中：8413.0)1(=Φ，6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，9772.0)2(=Φ5、（15分）设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(),(xy x x cy y x f 求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度.三、计算题（共65分）1、（10分）设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,040,8/)(x x x f X ,求82+=X Y 的概率密度.2、（10分）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101ip X-3、（10分）设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率; (2) 已知从这批产品中随机地取出一件产品是次品, 求该产品是甲厂生产的概率.4、（10分）设随机变量X 和Y 具有联合概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,0,6),(2xy x y x f求边缘概率密度),(x f X )(y f Y .5、（15分）设X 与Y 的联合概率分布为(1) 求0=Y 时, X 的条件概率分布以及0=X 时, Y 的条件概率分布;(2)判断X 与Y 是否相互独立?6、（10分）已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E四、计算题（共65分）1、（15分）设某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15% ，80% ，5% ，其次品率分别0.02 ，0.01 ，0.03 ，试计算(1) 从这批产品中任取一件是不合格品的概率；(2) 已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性大？2、（10分）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为+∞<<∞-+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y C x B A y x F ,,3arctan 2arctan ),((1) 试确定常数.,,C B A(2) 求),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f3、（15分）设),(Y X 的概率分布由下表给出，求}0,0{},0,0{≠==≠Y X P Y X P , |}.||{|},0{Y X P XY P ==4、（15分）设随机变量X 的期望为,127)(=X E 且概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F .5、(10分 ) 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合概率分布表为:求).(),(),(XY E Y E X E五、计算题（共65分）1、（10分） 8支步枪中有5支已校准过, 3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时, 中靶的概率为 0.8; 用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击, 结果中靶, 求所用的枪是校准过的概率.2、（15分）设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=其它,010),1()(x x Ax x f 。

高数练习题(打印)

《高等数学》练习题第八章练习题1.设),2,1,3(--=a),1,2,1(-=b 求，b a ⨯.b a ∙ 2.设),2,1,2(--=a),1,2,1(-=b 求，b a +2.b a ∙3．求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.4.求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程.5.已知曲面方程34222=++z y x(1)试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程； (2)求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V ； (3)求),,(c b a V 的最小值.第九章练习题1.设),2sin(y x z -=求dz yz x z ,,∂∂∂∂.2.设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz 3.设2(,)yz f x y x=，其中f 具有连续二阶偏导数，求xy z .4.已知22ln y x z +=，证明：02222=∂∂+∂∂yzx z5.求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数6．求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.7.欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小.第十章练习题1.设D: ,0,222>≤+a a y x 求⎰⎰+Ddxdy y x 222.计算二重积分σd x xD⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域.3.设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ，计算二重积分σd y x yx D)(22-⎰⎰；4.计算三重积分,)(222dV z y x ++⎰⎰⎰Ω其中Ω为球体2222a z y x ≤++.5.求dV e y x z ]1)[(++⎰⎰⎰Ω.其中1:22≤≤+Ωz y x6.求由222y x z +=和2=z 所围立体的体积和表面积． 7、证明：⎰⎰⎰----=-ban xan bady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(128.已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(.第十一章练习题1.计算对弧长的曲线积分,12ds xy L⎰+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.2.计算dy my y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰，其中 L为曲线2x ax y -=从0=x 到)0(>=a a x 的一段弧.3、计算对坐标的曲面积分,)3()2()(432dxdy x z dzdx z y dydz y x +++-++⎰⎰∑其中∑为圆柱体10,122≤≤≤+z y x 的外侧表面.4.计算对坐标的曲面积分,zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑其中∑为圆柱体30,922≤≤≤+z y x 的外侧表面.5.计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L)()2(22++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和2y x =所围区域的正向边界. 6.证明曲线积分dymy y e dx mx y e x Lx )cos ()sin (-++⎰在全平面上与路径无关7.设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得),(=⎰⎰σd y x f D.第十二章练习题1. 判别正项级数（1）∑∞=1!3n n n （2）∑∞=++1)2)(1(1n n n n （3）∑∞=1!3n n n n n （4）∑∞=+111n na（)0>a ）的收敛性. 2.已知幂级数∑∞=--11)1(n nn x n .试求其收敛区间.3. 将函数x y arctan =展开成x 的幂级数；4. 求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.5.已知幂级数∑∞=-11n n nx.1.求其收敛域；2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s 6、已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并给出)0(),(s s π的值. 7、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x x f ,)(2，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s8、已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数∑∞=---12)12()12cos(42n n x n ππ，求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.。

大学高数复习题

大学高数复习题一、选择题1. 若函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$，则 $f(x)$ 的导数$f'(x)$ 是：A. $6x - 2$B. $6x^2 - 2$C. $6x^2 - 2x$D. $3x^2 - 2$2. 曲线 $y = x^3 - 2x^2 + x$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率是：A. $-1$B. $0$C. $1$D. $2$3. 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$，则下列哪个选项是正确的：A. $\lim_{x \to \infty} f(x^2) = L^2$B. $\lim_{x \to \infty} f(2x) = 2L$C. $\lim_{x \to \infty} f(\frac{x}{2}) = L$D. $\lim_{x \to \infty} f(\frac{1}{x}) = L$二、填空题4. 若 $\int_0^1 (2x + 1) dx = a$，那么 $a$ 的值为 _______。

5. 函数 $y = \ln(x)$ 的原函数是 _______。

6. 曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4x$ 相切于点 $(2,8)$，则该曲线在该点处的切线方程为 _______。

三、解答题7. 求函数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的极值。

8. 证明：若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a}g(x) = M$，则 $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$。

9. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 - y^2$，其中 $y(1) =1$。

四、证明题10. 证明：若函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，则 $f(x)$ 在$x = a$ 处可导。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

高数基础练习题选择题及答案

高数基础练习题选择题及答案高等数学基础模拟练题一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（）对称．A)y=xB)x轴C)y轴D)坐标原点2.当x→0时，变量（）是无穷小量．A)1/xB)sinx/xC)2xD)ln(x+1)3.下列等式中正确的是（）．A)d(arctanx)=1/(1+x^2)dxB)d(1/x)=-1/x^2dxC)d(2xln2)=2dxD)d(tanx)=sec^2xdx4.下列等式成立的是（）．A)d/dx∫f(x)dx=f(x)B)∫f'(x)dx=f(x)C)d∫f(x)dx=f(x)D)∫df(x)=f(x)5.下列无穷限积分收敛的是（）．A)∫1/x dx from 1 to +∞B)∫1/x dx from 1 to 0C)∫1/3x^4 dx from 1 to +∞D)∫sinx dx from 0 to +∞二、填空题1.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞)．2.函数y=(x+2)/(x+1)的间断点是x=-1．3.曲线f(x)=1/x在(1,1)处的切线斜率是-1．4.函数y=ln(1+x^2)的单调增加区间是(0,+∞)．5.d∫e^-x^2 dx=-2xe^-x^2+C．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限lim(x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) as x→4，结果为-2．2.设y=ln(cosx)+x^2lnx，求dy=-(sinx/x)+2xlnx+dx/(xln10)．3.计算不定积分∫(1/x+e^x)dx=ln|x|+e^x+C．4.计算定积分∫cosx/x dx，结果为Ci(x)+C，其中Ci(x)为余积分函数．5.计算定积分∫e^(1/x)lnx dx，结果为-γ-2ln2，其中γ为欧拉常数．四、应用题1.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短．解：设点P(x,y)在曲线y=x上，则P到A的距离为d=sqrt((x-3)^2+y^2)．将y=x代入得d=sqrt((x-3)^2+x^2)=sqrt(2x^2-6x+9)．对d求导得d'=(4x-6)/sqrt(2x^2-6x+9)，令d'=0得x=3/2．再求d''(3/2)<0，故点P(3/2,3/2)到A的距离最短．。

高数复习题

高数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1,2]上的最大值是：A. 0B. 3C. 5D. 72. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点是________。

5. 已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值是________。

6. 函数y=x^2的导数是________。

三、简答题7. 请简述导数的几何意义。

8. 请解释什么是不定积分，并给出一个简单的例子。

9. 请说明如何使用微分中值定理来解决实际问题。

四、计算题10. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的定积分。

11. 求函数f(x)=x^2+3x+2的不定积分。

12. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

五、证明题13. 证明：对于任意实数x，有e^x > 1+x。

14. 证明：函数f(x)=x^3在R上的导数是f'(x)=3x^2。

15. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则根据介值定理，函数f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

六、应用题16. 某工厂生产的产品数量随时间变化的函数为P(t)=100t^2-t^3，其中t为时间（单位：小时）。

求该工厂在前3小时内生产的总产品数量。

17. 某物体在t=0时刻的速度为v0，加速度为a。

求该物体在t秒后的位置函数。

18. 某投资者在t=0时刻投资了一笔钱，并以连续复利的方式增长。

如果年利率为5%，求该投资在5年后的总价值。

七、论述题19. 论述微积分在现代科技中的应用。

20. 分析并讨论牛顿-莱布尼茨公式的重要性及其在数学分析中的作用。

八、附加题21. 假设你有一个函数f(x)，它在区间[a,b]上连续，并且f(a)=f(b)=0。

高数期末练习题推荐

高数期末练习题推荐一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| 1，在x = 1处(2) f(x) = (x^2 1)/(x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x = 0处3. 讨论函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)的连续性。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arctan(x)(3) y = x^2 e^x3. 求曲线y = x^3 3x在点(2, 2)处的切线方程。

三、积分与不定积分1. 计算下列不定积分：(2) ∫(e^x sinx)dx(3) ∫(1/x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) (1/x) dx(3) ∫(从0到1) x e^x dx3. 求曲线y = x^2在x轴上方的面积。

四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ(从n=1到∞) 1/n(2) Σ(从n=1到∞) (1)^n / n(3) Σ(从n=1到∞) n / (n^2 + 1)2. 求幂级数Σ(从n=0到∞) x^n的收敛区间。

五、多元函数微分法1. 求函数z = x^2 + y^2在点(1, 2)处的偏导数。

2. 求函数z = e^(x^2 + y^2)在点(0, 0)处的全微分。

3. 求函数z = ln(x + y)在点(1, 1)处的梯度。

六、向量与空间解析几何1. 计算向量a = (2, 1, 1)与向量b = (1, 1, 2)的模和夹角。

大学生期末高数复习题

大学生期末高数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 52. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=3处的切线斜率是：A. 0B. 3C. 6D. 93. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 无穷小量o(x)与x^2是：A. 等价无穷小B. 高阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 低阶无穷小5. 级数∑(1/n^2)（n从1到∞）是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛二、填空题6. 若函数f(x)=x^3-2x^2-5x+6在x=1处取得极小值，则f'(1)=________。

7. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(________,0)。

8. 若定积分∫(1,2) e^x dx的值为e^2-e，则e^2-e的值为________。

9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是________。

10. 级数∑(1/n)（n从1到∞）是________。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在[0,4]区间上的单调性。

12. 证明：函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

13. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。

14. 求函数y=ln(x)的泰勒展开式，并计算其在x=1处的近似值。

15. 讨论级数∑((-1)^n)/(n^2)（n从1到∞）的收敛性。

四、证明题16. 证明：对于任意正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

17. 证明：函数f(x)=e^x在R上是严格递增的。

五、综合题18. 给定函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求其在[-1,2]区间上的极值，并讨论其凹凸性。

19. 已知函数y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程，求该切线的斜率及切点坐标。

高数期末考试复习题库

高数期末考试复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的导数是：A. 2x+3B. 2x-3C. 2x+6D. 2x+12. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=1处的切线斜率是：A. 0B. -6C. 6D. 123. 若f(x)=sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. 0D. -14. 函数f(x)=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. x * e^x + C5. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,5)二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x，求f'(x)=______。

7. 函数y=ln(x)的导数是______。

8. 曲线y=sin(x)在x=π/6处的切线斜率是______。

9. 函数y=x^2的原函数是______。

10. 若曲线y=x^3-2x^2+x与x轴相交，则交点的横坐标是______。

三、计算题11. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

12. 求曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线方程。

13. 计算定积分∫[0,1] (3x^2-2x+1)dx。

14. 求函数f(x)=x^2e^x的n阶导数。

15. 利用分部积分法计算定积分∫[1,e] (1/x)lnxdx。

四、解答题16. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

17. 解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。

18. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

19. 讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调性。

20. 求曲线y=x^3-6x^2+9x与直线y=kx平行的切线方程。

高数考研经典习题

高数考研经典习题一、选择题1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5，则f'(x)的导函数为：A. f'(x) = 6x^2 + 6x - 12B. f'(x) = 6x^2 + 4x - 12C. f'(x) = 6x^2 + 6x + 12D. f'(x) = 6x^2 + 3x - 122. 设曲线C的参数方程为x = t^2 - 1，y = 3t + 2，则曲线C的切线方程为：A. y = 6x + 5B. y = 6x - 5C. y = 5x + 6D. y = 5x - 63. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的最小值点为：A. (-1, -2)B. (0, 0)C. (1, -2)D. (2, -6)4. 若函数y = f(x)的图像关于y轴对称，则f(x)必满足的条件为：A. f(x) = f(-x)B. f(-x) = -f(x)C. f(x) = -f(-x)D. f(-x) = f(x)5. 若f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，则一定存在点c ∈ (a, b)使得：A. f'(c) = 0B. f'(c) = 1C. f'(c) = -1D. f'(c)不存在二、填空题1. 设函数f(x) = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)...(1 - nx)，其中n为正整数，则f'(1) = 。

2. 设曲线C的参数方程为x = t^2 + 1，y = t^3 - t，则曲线C的对称轴方程为。

3. 函数f(x) = x^4 + ax^3 - bx^2 + cx + 1有两个极值点，其中一个为最大值点，另一个为最小值点，且a = 2，b = 3，则c = 。

三、计算题1. 计算不定积分∫(e^x + x^2)dx。

2. 设函数y = 2x^3 + 5x^2 - 12x + 3，求函数在区间[-1, 2]上的定积分。