【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练21 新人教A版必修3

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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练7 新人教A版必修4

双基限时练(七)1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除A 、C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故选D.答案 D2．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析令2x 分别等于0，π2，π，3π2，2π时，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.答案 B3．若cos x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B.π2＋k π(k ∈Z ) C.π2＋2k π(k ∈Z ) D ．－π2＋2k π(k ∈Z )答案 B4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B7．下列函数图象相同的序号是________． ①y ＝cos x 与y ＝cos(x ＋π)；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ；③y ＝sin x 与y ＝sin(2π－x )；④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x . 答案 ④8．函数y ＝sin x 的图象和y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．解析在同一坐标系内画出图象即可．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－229．利用正弦曲线，写出函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．解析 y ＝sin x 的图象如图．由图知，当x ＝π2时，sin x 取到最大值1，当x ＝π6时，sin π6＝12.∴当π6≤x ≤2π3时，1≤y ≤2.答案 [1,2]10．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z11．用“五点法”画函数y ＝－2＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．解按五个关键点列表：12．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的图象，并回答下列问题： (1)观察函数的图象，写出满足下列条件的区间： ①sin x >0；②sin x <0；(2)直线y ＝12与y ＝－sin x 的图象有几个交点？解用五点法作图如下：(1)根据图象可知，图象在x 轴上方的部分－sin x >0，在x 轴下方的部分－sin x <0，所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0；当x ∈(0，π)时，－sin x <0.即当x ∈(0，π)时，sin x >0；当x ∈(－π，0)时，sin x <0.(2)画出直线y ＝12，知有两个交点．13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以转化为求矩形OABC的面积．因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.所以所求封闭图形的面积为4π.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练8 新人教A版必修4

双基限时练(八)1．下列函数以π为周期的是( ) A ．y ＝cos 12xB ．y ＝sin xC ．y ＝1＋cos2xD ．y ＝cos3x答案 C2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos2x .∴最小正周期为T ＝2π2＝π，且为偶函数．答案 B3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A 、C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A 、B 、C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．答案 D4．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 ∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.答案 C5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. 答案 D6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1B.22 C ．0 D ．－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π× －3 ＋34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝22.答案 B7．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.解析 T ＝2π2＝π.答案 π8．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期为π，则a ＝______. 解析由最小正周期的定义知2π|a |＝π，∴|a |＝2，a ＝±2.答案 ±2 9．已知f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________. 解析 ∵f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100) ＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4) ＝22＋1＋22＋0＝2＋1. 答案2＋110．函数y ＝cos x 1－sin x 1－sin x 的奇偶性为________．解析由题意，当sin x ≠1时，y ＝cos x 1－sin x1－sin x＝cos x ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案非奇非偶函数11．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f x. 求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．解因为f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2) ＝－1f x ＋2＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解 ∵1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ， ∴sin x ＋1＋sin 2x >0. ∴定义域为R .又f (－x )＝ln []sin －x ＋1＋sin 2 －x ＝ln(1＋sin 2x －sin x ) ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin 2x ＋sin x ＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．13．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期之和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6，即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .① 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练新人教A 版必修11．设自变量x ∈R ，下列各函数中是奇函数的是( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－|x |C ．y ＝－2x 2D ．y ＝x 3＋x答案 D2．对于定义在R 上的任意奇函数f (x )都有( )A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故C 正确．答案 C3．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．答案 C4．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析当x ＝－a 时，f (－a )＝－f (a )，∴过点(－a ，－f (a ))．答案 C5．偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (－1)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析 ∵y ＝f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．∵0<1<π3<π<4，y ＝f (x )在[0,4]上单调递减， ∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π)． ∴f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)．答案 A6．已知x >0时，f (x )＝x －2013，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2013B ．f (x )＝－x ＋2013C ．f (x )＝－x －2013D ．f (x )＝x －2013 解析设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x －2013，又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2013，故选A.答案 A7．设函数f (x )＝ x ＋1 x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 解析由f (－x )＝－f (x )，得－x ＋1 －x ＋a －x ＝ x ＋1 x ＋a －x，即(x －1)(x －a )＝(x ＋1)(x ＋a )(x ≠0)，∴a ＝－1.答案－18．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．解析由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.答案 09．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x x ≥0 g x x <0 为奇函数，则f (g (－1))＝________.解析当x <0时，则－x >0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x .即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15.答案－1510．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域．解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1. ∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127. 11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝－3x 2＋1；(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >0，1，x ＝0，－x ＋1，x <0.解 (1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数． (2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以为偶函数．(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋x x，满足f (－x )＝－f (x )，所以是奇函数． (4)函数的定义域为R .当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．12．(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上为增函数，求不等式f (4x －5)>0的解集；(2)已知偶函数f (x )(x ∈R )，当x ≥0时，f (x )＝x (5－x )＋1，求f (x )在R 上的解析式．解 (1)∵y ＝f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0.又f (4x －5)>0，即f (4x －5)>f (0)，又f (x )为增函数，∴4x －5>0，∴x >54.即不等式f (4x －5)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >54.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (5＋x )＋1，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－x (5＋x )＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5－x ＋1 x ≥0 ，－x 5＋x ＋1 x <0 .。

【名师一号】(学习方略)高中数学 1.1.3.2补集及综合应用双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.1.3.2补集及综合应用双基限时练新人教A版必修11．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{0}，则集合A＝( )A．{0,1,2} B．{1,2}C．U D．∅解析∵U＝{0,1,2}，且∁U A＝{0}，∴A＝{1,2}．答案 B2．设全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＞0}，则∁U A是( )A．{x|x＜－1} B．{x|x＋1≤0}C．{x|x＞－1} D．{x|x＋1≥0}解析x＋1>0⇒x>－1，∵U＝R，∴∁U A＝{x|x≤－1}，即∁U A＝{x|x＋1≤0}．答案 B3．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}C．{7,9} D．{2,4}解析图中阴影部分表示的集合是(∁U A)∩B＝{2,4}．答案 D4．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有( )A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M＝N解析用韦恩图表示答案 A5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.答案 B6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2解析用数轴表示为：∁R B＝{x|x≤1，或x≥2}，又A∪(∁R B)＝R，∴a≥2.答案 C7．已知A＝{x|x≤1，或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁U A)∪B＝________.解析∁U A＝{x|1<x≤3}，∴(∁U A)∪B＝{x|x>1}．答案{x|x>1}8．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3，或x>4}，则a＝________，b＝________.答案 3 49．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析依题意得，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}．∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案{2,4,8}10．设全集U＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁U A＝(2，y)，求x，y的值．解∵A⊆U，∴5∈U.∴x2＋2x－3＝5，即x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4，或x ＝2. ∴U ＝{2, 3,5}，∵∁U A ＝{2，y }，∴y ∈U ，且y ∉A ，∴y ＝2，或y ＝3.由∁U A 中元素的互异性知，y ≠2，∴y ＝3. 综上知，x ＝－4或x ＝2，y ＝3.11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪∁R A ＝R ，A ∪∁R A ＝R ，可得A ⊆B . 而B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B .借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．12．设全集为R ，集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．解 ∵全集为R ，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，a ＋3≤5，∴－1≤a ≤2.(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，结合数轴得 a ＋3＜－1，或a ＞5，即a ＜－4，或a ＞5.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练10 新人教A版必修4

双基限时练(十)1．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .答案 A3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4.则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4.答案 C4．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数．答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )abcdA ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，只有图象d 符合，即d 对应③.答案 D7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析由已知πω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1.答案 18．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数，∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．解析把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z . 故满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝3. 答案311．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π.∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z .12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z . 故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2，所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3 ＋π12，k ∈Z .13．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x 的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3. ∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3.当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.。

《名师一号》(新课标版)2015-2016学年高二数学必修2双基限时练第四章第二节直线、圆的位置关系30Word版含

双基限时练(三十)1．已知直线ax －by ＋c ＝0(abc ≠0)，与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在解析直线与圆相切，则圆心到切线的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝c 2，故三角形为直角三角形．答案 B2．已知点A ，B 分别在两圆x 2＋(y －1)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝9上，则A ，B 两点之间的最短距离为( )A ．2 5B ．25－2C ．25－4D ．2 解析两圆心之间的距离为2－02＋5－12＝25>4＝r 1＋r 2，∴两圆相离，∴A 、B 两点之间的最短距离为25－4.答案 C3．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0表示的图形是( ) A ．都是两个点 B ．一条直线和一个圆C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D ．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆解析 x (x 2＋y 2－1)＝0⇒x ＝0，或x 2＋y 2－1＝0，则它表示一条直线x ＝0和一个圆x 2＋y 2＝1；x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0⇒(x ＋x 2＋y 2－1)(x －x 2－y 2＋1)＝0，∴x ＋x 2＋y 2－1＝0，或x －x 2－y 2＋1＝0.即(x ＋12)2＋y 2＝54，或(x －12)2＋y 2＝54，它表示两个圆．因此选C.答案 C4．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33x D ．y ＝－33x 解析设切线方程为y ＝kx ，圆的方程化为(x ＋2)2＋y 2＝1，而圆心(－2,0)到直线y ＝kx的距离为1，∴|－2k |k 2＋1＝1.∴k ＝±33.又∵切点在第三象限，∴k ＝33. 答案 C5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3 B. 3 C ．－2或 2D. 2解析 ∵∠POQ ＝120°，∴点O 到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝12，又d ＝|0＋0＋1|k 2＋1＝12，∴k ＝± 3答案 A6．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是____________．解析半径r ＝|1＋1－4|2＝ 2则圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝27．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆C 的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析由题意知CA ⊥PA ， ∴|CP |2＝|CA |2＋|PA |2.∵C (－1,0)，|CA |＝2，|PA |＝1，设P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝5. 答案 (x ＋1)2＋y 2＝58．与圆x 2＋y 2＝4切于点P (－1，3)的切线方程为________．解析圆心(0,0)，k OP ＝－3， ∴切线的斜率k ＝33，又切点为(－1，3)， ∴切线方程为y －3＝33(x ＋1)，即x －3y ＋4＝0.答案 x －3y ＋4＝09．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2，所以－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，a ＝－2.答案－210．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2.(1)求与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程；(2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|PM |＝|PO |，求使|PM |最小时点P 的坐标．解 (1)设横、纵截距相等的切线方程为kx －y ＝0与x ＋y ＋c ＝0，则|2k |1＋k 2＝2与|2＋c |2＝2，解得k ＝±1，c ＝－4，或c ＝0. 故切线方程为x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋y －4＝0. (2)设P (x ，y )，由|PM |＝|PO |，得 [x －22＋y 2]－2＝x 2＋y 2，化简得点P 的轨迹为直线x ＝12，要使|PM |最小，即要使|PO |最小，过O 作直线x ＝12的垂线．∴垂足P (12，0)是所要求的点．11．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx的最值； (2)求y －x 的最值； (3)求x 2＋y 2的最值．解 (1)∵圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3，其圆心为(2,0)，半径为 3.设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值．此时，|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.∴y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b .当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时，|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2外一点P (2，－1)，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，其中A ，B 是切点．(1)求PA ，PB 所在的直线方程； (2)求|PA |，|PB |的值； (3)求直线AB 的方程．解 (1)由圆心C (1,2)，点P (2，－1)及半径r ＝2知，切线斜率一定存在．设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.∵圆心到切线的距离等于半径． ∴|k －2－2k －1|k 2＋1＝2，即k 2－6k －7＝0.解得k ＝－1或k ＝7.故切线方程为x ＋y －1＝0或7x －y －15＝0. 即PA ，PB 所在的直线方程分别为x ＋y －1＝0,7x －y －15＝0. (2)∵|PC |＝2－12＋－1－22＝10，∴|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝2 2. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －12＋y －22＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴A (0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧7x －y －15＝0，x －12＋y －22＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125，y ＝95.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95.故直线AB 的方程为y －195－1＝x －0125－0，即x －3y ＋3＝0.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练22 新人教A版必修4

双基限时练(二十二)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC →D.DE →与BC →共线解析由题意知，DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴DE →与BC →共线．答案 D2．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →，∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0.即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.故选B.答案 B3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积解析如右图，设b 与c 的夹角为θ，a 与b 的夹角为α， ∵a ⊥c ，∴|cos θ|＝|sin α|. 又|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|＝|b ||a ||sin α|，即|b ·c |的值一定等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 A4．已知点A ，B 的坐标分别为A (4,6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，则与直线AB 平行的向量的坐标可以是( )①⎝⎛⎭⎪⎫143，3；②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④(－7,9)．A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④解析 ∵A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－92，易知①、②、③与AB →平行，故选C. 答案 C5．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB→≥PA →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 解析设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AB →＝(－1,1)，PA →＝(1－x ，－y )，PB →＝(－x,1－y )，∵AP →＝λAB →，∴(x －1，y )＝(－λ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－λ，y ＝λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λ，y ＝λ，①又∵OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,1)＝－x ＋y ，PA →·PB →＝(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝－x (1－x )－y (1－y )，∴－x ＋y ≥－x (1－x )－y (1－y )，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－22≤λ≤1＋22，又P 是线段AB 上的动点，∴λ≤1，∴1－22≤λ≤1，故选B. 答案 B6．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析 ∵PA →＝CA →－CP →，∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|PA →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|PA →|2＋|PB →|2＝10CP →2，故所求值为10. 答案 D7．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比为________．解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－PA →－PB →＝AP →＋AB →＋BP →＝2AP →，∴A ，P ，C 三点共线，且点P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点，故S △PAB S △ABC ＝13. 答案 138．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析如图，∵AB ＝3，取D 为AB 的中点，又OA ＝1，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA →·OB →＝1×1×cos 2π3＝－12.答案－129.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．解析以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B (2，0)，点E (2，1)，设点F (a,2)，所以AB →＝(2，0)，AF →＝(a,2)．由条件解得点F (1,2)，所以AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)．所以AE →·BF →＝ 2. 答案210．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析如下图，过B 作BD ∥MN ，易知m ＝AB AM ＝AD AN ，n ＝ACAN，∴m ＋n ＝AD ＋AC AN .∵BO OC ＝DNNC＝1， ∴AD ＋AC ＝2AN . ∴m ＋n ＝2.答案 2 11.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2. 求证：AD ⊥BC .分析解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d . ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0. ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .12．已知点A 、B 的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC →＝3OA →，OD →＝3OB →，求证：AB ∥CD .证明 ∵OC →＝3OA →，OD →＝3OB →， ∴C (－12,9)，D (6,15)， ∴AB →＝(6,2)，CD →＝(18,6)． ∴CD →＝3AB →，∴AB ∥CD .13．如图所示，以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B ＝90°，求点B 的坐标．解设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝ x －5 2＋ y －2 2. 又|AB →|＝|OB →|，∴ x －5 2＋ y －2 2＝x 2＋y 2，整理，得10x ＋4y ＝29①∴又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →.∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－5x －2y ＝0，② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.。

【高中数学】【名师一号】高中数学 16 微积分基本定理双基限时训练新人教版选

【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-6 微积分基本定理双基限时训练新人教版选修2-21．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F′(x)d x ＝F′(a)－F′(b)C .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D.⎠⎛ab F′(x)d x ＝F(a)－F(b) 答案 C2．∫π20( sin x －cos x)d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D .π2解析 ∫π20(sin x －cos x)d x＝∫π20sin x d x －∫π20co s x d x＝(－cos x)⎪⎪⎪ π20－(sin x)⎪⎪⎪ π20 ＝1－1＝0. 答案 A3．若∫a 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析 ∵⎠⎛1a (2x ＋1x )d x＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪ a1＝a 2＋ln a －1，又⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，∴a＝2.答案 D4.⎠⎛π－πcos x d x 等于( )A ．2πB ．πC ．0D ．1解析 ⎠⎛π－πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪ π－π＝sinπ－sin (－π)＝0.答案 C5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 20≤x<1，2－x1<x≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A .34 B .45C .56D ．不存在解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋(2x －12x 2)⎪⎪⎪ 21＝13＋2－32＝56. 答案 C6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x3⎪⎪⎪ 20＝83， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪ 20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪ 20＝－co s2＋1<2.∴b >a >c . 答案 b >a >c8．计算⎠⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22d x＝(－cos x )⎪⎪⎪ 2－2＋2x⎪⎪⎪ 2－2＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 89．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________. 解析 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ⎪⎪1＝a3＋c ，又⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20＋c ＝a3＋c .∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案3310．计算下列定积分：(1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ；(2)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ；(3)∫π2－π2(sin x －cos x )d x . 解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14x ＋xx －xx ＋xd x ＝⎠⎛14(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163－8－23＋12＝－176. (2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2.∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪21＝32＋4－52＝3. (3)∫π2－π2(sin x －co s x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2－π2＝－1－1＝－2. 11．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )⎪⎪⎪1＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝(13ax 3＋12bx 2) ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋b 2＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.12．求f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．解 f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝⎠⎛016x 2d x ＋⎠⎛014ax d x ＋⎠⎛01a 2d x＝2x3⎪⎪⎪ 10＋2ax2⎪⎪⎪ 10＋a 2x⎪⎪⎪ 10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1.∴当a ＝－1时，f (a )的最小值为1. 13．设F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t .(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．解 F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t ⎪⎪⎪x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)．(1)F ′(x )＝x 2＋2x －8＝(x ＋4)(x －2)， ∵当x <－4或x >2时，F ′(x )>0；当－4<x <2时，F ′(x )<0.又∵x >0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)． (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)．又F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值为－6，最小值是－283.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

《名师一号》(新课标版)2015-2016学年高二数学必修2双基限时练第四章第二节直线、圆的位置关系28Word版含

双基限时练(二十八)1．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2D ．无解解析依题意得|m |2＝m ，∴m 2＝2m ，∵m >0，∴m ＝2.答案 B2．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．2 2 B.2－1 C ．22－1D ．1解析圆心(－2,1)到直线y ＝x －1的距离是d ＝|－2－1－1|2＝2 2.∴直线上的点到圆的最近距离是22－1. 答案 C3．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能解析由题意可得1a 2＋b 2<1，∴a 2＋b 2>1.∴点P (a ，b )在圆外．答案 B4．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( ) A ．±4 B ．±2 2 C ．±2D ．± 2解析直线方程为y －a ＝x ，即x －y ＋a ＝0.该直线与圆x 2＋y 2＝2相切，∴|a |2＝2，∴a ＝±2.答案 C5．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心解析将圆的方程配方得(x －1)2＋(y －12)2＝34.圆心(1，12)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|3×1＋4×12－5|32＋42＝0. ∴直线与圆相交且通过圆心．答案 C6．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________________________________________________________________________.解析当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截得的劣弧最短，此时其对的圆心角最小，可求得k ＝22. 答案227．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则k 的取值范围是__________．答案 k ＝－2，或k ∈(－1,1]8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13， ∴0≤|c |13<1，即0≤|c |<13.解得－13<c <13. 答案 (－13,13)9．求与直线y ＝x ＋3平行且与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相切的直线方程．解解法1：设直线的方程为y ＝x ＋m ，即x －y ＋m ＝0.圆(x －2)2＋(y －3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为2 2. 由|2－3＋m |2＝22，得m ＝5，或m ＝－3. 所以直线方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.解法2：设直线的方程为y ＝x ＋m ，和圆的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x －22＋y －32＝8，消去y ，得2x 2＋(2m －10)x ＋m 2－6m ＋5＝0. 由直线与圆相切，Δ＝(2m －10)2－8(m 2－6m ＋5)＝0，即m 2－2m －15＝0，解得m ＝5，或m ＝－3，所以直线的方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.10．在直线x －y ＋22＝0上求一点P ，使P 到圆x 2＋y 2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．解设P (x 0，y 0)，则切线长S ＝x 20＋y 20－1＝x 20＋x 0＋222－1＝2x 0＋22＋3，故当P 为(－2，2)时，切线长最短，其值为 3.11．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知可知，直线x ＋2y ＝0过圆心， ∵a ＋2b ＝0①又点A 在圆上，∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.② ∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为2 2. ∴(2)2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b ＋112＋－12＝r 2.③ 解由①②③组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 12．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解 (1)证法1：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)．又∵12＋(1－1)2＝1<5， ∴点P 在圆内．∴对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．证法2：圆心C (0,1)，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1<|m ||m |＝1<5，∴直线l 与圆C 相交．∴对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．(2)解法1：如图所示，由(1)知直线l 恒过定点P (1,1)，而M 是AB 的中点，∴CM ⊥MP . ∴点M 在以CP 为直径的圆上，以CP 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.即点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.解法2：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 21＋(y 1－1)2＝5，x 22＋(y 2－1)2＝5.二式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－(y 1＋y 2－2)(y 1－y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－y 1＋y 2－2＝2x －2y －2＝x1－y. 而直线l 恒过点P (1,1)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －1， ∴y －1x －1＝x 1－y，即x 2－x ＋(y －1)2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14，∴点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练27 新人教A版必修4

双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12³2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案 B 2．cos4π8－sin 4π8等于( ) A ．0B.22 C ．1 D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22.答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( )A ．－725B.725C.325D ．－325解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( )A ．2cos2θB ．－cos2θC ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ.答案 D5．若sin x ²tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x解析 ∵sin x ²tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B6．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3.答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．解析由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0. 解得：tan α＝－2± 5.答案－2± 58．cos π5cos 2π5＝________.答案 149．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x2＝1－192＝49. 答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.解析方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35， ∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725. 方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2³925－1＝－725.答案－72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α 2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010.13．求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin2α证明方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边．∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α²2tanα21－tan2α2＝12cos 2α²tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.2.1.2对数运算双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.2.1.2对数运算双基限时练新人教A 版必修11．下列叙述正确的是( )①对数式log a N ＝b (a >0，a ≠1)与指数式a b＝N (a >0，a ≠1)是同一个关系式的两种不同的表达形式；②当a >0，a ≠1时，log a N ＝b 与a b＝N 可以相互转化； ③若a b＝N (a >0，a ≠1)，则a log a N ＝N 成立； ④若M ＝N ，则lg M ＝lg N . A ．①② B ．①②③ C ．①②③④ D ．②④答案 B2．lg4＋2lg5等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析 lg4＋2lg 5＝lg4＋lg52＝lg(4×52)＝lg100＝2. 答案 B3．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23等于( )A ．3a B.32a C ．3a －2D ．a解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x 2－lg y 2 ＝3[(lg x －l g2)－(lg y －lg2)]＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案 A4．若P ＝log 23·log 34，Q ＝lg2＋lg5，M ＝e 0，N ＝ln1则正确的是( ) A ．P ＝Q B ．Q ＝M C ．M ＝ND ．N ＝P解析因为P ＝log 23·log 34＝log 23·log 24log 23＝log 24＝2Q ＝lg2＋lg 5＝lg 10＝1， M ＝e 0＝1，N ＝ln1＝0，所以Q ＝M . 答案 B5．若lg x 与lg y 互为相反数，则( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．xy ＝1D ．xy ＝－1解析 lg x ＋lg y ＝0，即lg xy ＝0，∴xy ＝1. 答案 C6．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析 log 38－2log 36＝3lo g 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 答案 A7．4lg2＋3lg5－lg 15的值为________．解析原式＝4lg2＋3lg5－(lg1－lg5) ＝4lg2＋4lg5＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4. 答案 48．设x ＝log 23，则23x－2－3x2x －2－x ＝________.解析法一：由x ＝log 23得2x ＝3,2－x＝13，23x －2－3x2x －2－x ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫1333－13＝919.法二：23x－2－3x2x －2－x ＝ 2x －2－x 22x ＋1＋2－2x2x －2－x＝22x＋1＋2－2x ＝32＋1＋132＝919.答案9199．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析原方程可化为 log 3(x 2－10)＝log 33x .∴x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5. 检验知，方程的解为x ＝5. 答案 x ＝510．求下列各式的值： (1)lg25＋lg4； (2)log 13 27－log 13 9；(3)log 2(log 216)； (4)log2－1(3＋22)．解 (1)lg25＋lg4＝lg(25×4)＝lg100＝2.11．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771. 求lg72，lg4.5的值．解 lg72＝lg(23×32)＝3lg2＋2lg3 ＝3×0.3010＋2×0.4771＝1.8572. lg4.5＝lg 92＝lg9－lg2＝2lg3－lg2＝2×0.4771－0.3010＝0.6532.12．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解由对数的运算法则，可将等式化为 log a [(x 2＋4)·(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12.∴log 8y x ＝log 812＝log 232－1＝－13log 22＝－13.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练25 新人教A版必修4

双基限时练(二十五)1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α－cos α<1C ．sin(α＋β)>sin(α－β)D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)<cos(α－β)．因此选项D 是不成立的．答案 D2．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32解析原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)－cos(65°－x )·sin(20°－x )＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )·sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22. 答案 B3.在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0. 即sin(B －A )＝0. 又∵0<A <π，0<B <π， ∴A ＝B ，故选A. 答案 A4．sin15°＋cos15°的值是( ) A.32B.22C.62D ．－62解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 答案 C5．已知sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于( )A.4－26 B.4＋26C.2－46D ．－4＋26解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝13，∴cos α＝－223， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－4＋26. 答案 D 6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析 ∵sin47°＝sin(17°＋30°)＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°，∴sin47°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.答案 C7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是____．解析 ∵在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，∴sin A ＝45，sin B ＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－35×513＋45×1213＝3365.答案33658．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析原式＝cosπ3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α.答案 cos α9.12cos15°＋32sin15°＝________. 答案2210．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴最小正周期T ＝2π，最大值为2. 答案 2π 211．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限的角，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4的值．解 sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，∴sin β＝－45.又β是第三象限的角， ∴cos β＝－35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4 ＝－45×22－35×22＝－7210.12．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．解 ∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0. 又已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45.∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋ α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－3365.13．求证：sin 2α＋β sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得 sin 2α＋β sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列双基限时练新人教A版必修5

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列双基限时练新人教A 版必修51．下列数列不是等差数列的是( ) A ．0,0,0，…，0，… B ．－2，－1,0，…，n －3，… C ．1,3,5，…，2n －1，… D ．0,1,3，…，n 2－n2，…答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2009－7n ，则使a n <0的最小n 的值为( ) A ．286 B ．287 C ．288 D ．289答案 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 9＝16，a 4＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋14d ＝16，a 1＋3d ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－174，d ＝74.∴a 12＝－174＋11×74＝15.答案 A4．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为( ) A ．5x ＋5 B ．2x ＋1 C ．5D ．4解析由等差中项，得2(2x ＋1)＝x ＋4x ＋2 ∴x ＝0，∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝4. 答案 D5．若{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析依题意，得a p ＝a 1＋(p －1)d ＝q ，a q ＝a 1＋(q －1)d ＝p ，∴p －q ＝(q －p )d ，∴d ＝－1，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)(－1)＝0. 答案 B6．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析依题意，得m ＋2n ＝8,2m ＋n ＝10，两式相加m ＋n ＝6，∴m 和n 的等差中项为3. 答案 B7．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，a 12＝31，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.答案－2 38．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N *)，且f (2)＝2，则f (101)＝________.解析令a n ＋1＝f (n ＋1)，则a n ＋1＝a n －14，且a 2＝2，∴a 2＝a 1－14，∴a 1＝94.∴a n ＝94＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52－14n .∴f (101)＝a 101＝52－14×101＝－914.答案－9149．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．解析由a n －1＋a n ＋1＝2a n ，得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．∴数列{a n }是等差数列．又a 1＝1，a 2＝3，∴d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.答案 a n ＝2n －110．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.解设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解得a 1＝4，d ＝32.∴a n ＝4＋32(n －1)＝32n ＋52.∴a 25＝32×25＋52＝40.11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．解 (1)由a 1＝3，d ＝7－3＝4，n ＝4，得a 4＝3＋(4－1)×4＝15； n ＝10时，得a 10＝3＋(10－1)×4＝39.(2)由a 1＝2，d ＝9－2＝7，得这个数列的通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5. 令7n －5＝100，解得n ＝15∈N *，∴100是这个数列的第15项．12．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？解设从2007年年底开始，n 年后该市每年新建的住房面积为a n 万平方米．由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝400，公差d ＝50. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝350＋50n . 令350＋50n >820，解得n >475.由于n ∈N *，则n ≥10.所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练19 新人教A版必修4

双基限时练(十九)1．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9,3) C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析 AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)， ∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件．答案 D2．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( ) A ．(－9,6) B ．(－1，－2) C ．(－7，－2)D ．(6，－9) 解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8，8)． ∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.答案 C3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(k a ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析 k a ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(k a ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案 B4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析由a ∥b ，得32³13－sin α²sin α＝0，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22，又α为锐角，∴α＝45°.故选B. 答案 B5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，b ＝(－2，－4)．则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．答案 B6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析 m a ＋n b ＝m (2,3)＋n (－1,2) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，又m a ＋n b 与a －2b 平行，∴(2m －n )(－1)－(3m ＋2n )³4＝0，即14m ＋7n ＝0，∴m n ＝－12.答案 C7．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴n 2－4＝0，∴n ＝2或n ＝－2，又∵a 与b 方向相同，∴n ＝2. 答案 28．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1³2－(m －1)³(－1)＝0，解得m ＝－1.答案－19．若点A ，B 的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量a ＝(2k －1,7)，且a ∥AB →，则k 的值为________．解析 AB →＝(2,5)，由a ∥AB →可得(2k －1)³5－7³2＝0，解得k ＝1910.答案1910 10．已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G (2，－1)，则BC 边上的中点的坐标是________．解析设BC 边上的中点为D (x ，y )，则AG →＝2GD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2＋2x 1＋2，－1＝3＋2y1＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.答案 (2，－3)11．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且BC →∥DA →，试确定x ，y 的关系式．解因为AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →，＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(4＋x ，y －2)．又因为BC →∥DA →，所以BC →∥AD →. 所以x (y －2)－y (4＋x )＝0，xy －2x －4y －xy ＝0，故x ＋2y ＝0.12．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解 (1)3a ＋b －2c ＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，(a ＋k c )∥(2b －a )，得2³(3＋4k )－(－5)³(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.13.如图，已知两点P (－1,6)和Q (3,0)，延长线段QP 到A ，使|AP →|＝13|PQ →|，求A 点坐标．解解法一：若P 为终点，Q 为起点，则A (x ，y )分QP →所成的比λ＝－4. ∴x ＝3－4³ －1 1－4＝－73，y ＝0－4³61－4＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8. 解法二：若Q 为起点，A 为终点，则P 分QA →所成的比λ＝3.设A (x ，y )，则－1＝3＋3x 1＋3，∴x ＝－73，6＝3y 1＋3，∴y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.2.1函数的概念双基限时练新人教A版必修1

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 1.2.1函数的概念双基限时练新人教A 版必修11．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一．答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝ x ＋1 x －1 B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝ x 4x与g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t t 2解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝ x ＋1 x －1 的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝ x4x＝x (x >0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数．答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋b B ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞)C ．(a2，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2 解析根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a2－x >0，得0<x <a2，故这个函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析 f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2}9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________. 解析由f (a )＝5a a 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12，或a ＝2.答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2，于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0，所以a ＝22或a ＝0. 11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．解由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1.故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014.解 (1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝15.f (3)＝3232＋1＝910；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝110.(2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，…， f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12014＝1， ∴原式＝＝2013.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练17 新人教A版必修4

双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A ．e 1和e 1＋e 2B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( )A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →) D.14(AC →＋2AB →)解析如图所示，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形．答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，25 解析由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C. 答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________．答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a .在△ABN 和△ADM 中，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )．②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？解设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13 a ＋b (m ∈R )，化简得⎝⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ， ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。

《名师一号》(新课标版)2015-2016学年高二数学必修2双基限时练第二章第一节空间点、直线、平面之间的位置

双基限时练(八)1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1， OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析可借见长方体找出反例．答案 D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析画图易知它们是AD1，AB1，CB1，CD1共四条．答案 D3．“a，b是异面直线”是指：①a∩b＝∅，且aDb；②a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④a⊂平面α，b⊄平面α；⑤不存在平面α，使a⊂α，且b⊂α成立．上述说法中( )A．①④⑤正确B．①③④正确C．②④正确D．①⑤正确解析说法①等价于a与b既不相交，又不平行，所以a与b为异面直线．①正确；说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内，即a，b异面，⑤正确．答案 D4．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交答案 B5．在空间，下列命题中正确的个数为( )①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等．A．1 B．2C．3 D．4解析①、②不正确，③、④正确．因此选B.答案 B6．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④解析把展开图还原为正方体，便知③、④正确．答案 C7．设a，b，c表示直线，给出以下四个论断：①a⊥b；②b⊥c；③a⊥c；④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题______________．答案④①⇒②8．如图所示，M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1，B1C1的中点．(1)则MN与CD1所成角为________．(2)则MN与AD所成的角为________．解析(1)由图易知MN∥AD1，∵△ACD1构成正三角形．∴AD1与CD1成60°角，∴MN与CD1成60°角．(2)AD1与AD成45°角，而MN∥AD1，∴MN与AD成45°角．答案(1)60°(2)45°9．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析由正投影的定义可知，正确的结论是①④.答案①④10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF ＝2，求AD，BC所成的角．解取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，∴EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，∴∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.11．如图，直线a，b是异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F是直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：(1)∠A ′B ′C ′＝∠C ′D ′E ′； (2)点A ′，B ′，C ′，D ′，E ′共面．证明 (1)A ′，B ′是AD ，DB 的中点⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥a 同理C ′D ′∥a⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥C ′D ′同理B ′C ′∥D ′E ′⇒∠A ′B ′C ′的两边和∠C ′D ′E ′的两边平行且方向相同⇒∠A ′B ′C ′＝∠C ′D ′E ′.⎭⎪⎬⎪⎫2A ′B ′∥C ′D ′⇒A ′，B ′，C ′，D ′共面α 同理B ′，C ′，D ′，E ′共面β⇒α，β都经过点B ′，C ′，D ′a ，b 异面⇒B ′，C ′，D ′三点不共线⇒过B ′，C ′，D ′有且只有一个平面⇒平面α，β重合⇒A ′、B ′，C ′，D ′，E ′共面． 12．已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则 (1)过P 点与a 和b 所成角为45°的直线有几条？ (2)过P 点与a 和b 所成角为60°的直线有几条？ (3)过P 点与a 和b 所成角为70°的直线有几条？解 (1)过P 点在平面α外的左、右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为45°，则与a ，b 所成的角为45°的直线有2条．(2)过P 点在平面α内120°的角平分线存在一条直线与a 1，b 1所成的角为60°；过P 点在平面α外的左右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为60°，则与a ，b 所成的角为60°的直线有3条．(3)过P 点在平面α外左右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为70°，过P 点在平面α外前、后两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为70°，则与a ，b 所成的角为70°的直线有4条．。

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.4.1等比数列双基限时练新人教A版必修5

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.4.1等比数列双基限时练新人教A 版必修51．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列．答案 C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析 a 6＝a 1q 5＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－1.答案 B3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9. ∵a n >0，∴q ＝3.∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27. 答案 B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析由a n ＋1－2a n ＝0，得a n ＋1a n ＝2，∴{a n }为等比数列，且公比q ＝2，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1 2＋q a 3 2＋q ＝a 1a 1q 2＝14.答案 D5．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝a 1q 6＝64. 答案 A6．已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．解析由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，∵x ＋1≠0，∴4(x ＋1)＝3x ，∴x ＝－4，∴公比q ＝2x ＋2x＝－6－4＝32. ∴第4项为xq 3＝－4×(32)3＝－272.答案－2727．2＋3与2－3的等比中项是________．答案 ±18．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________. 解析根据题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝b 1b 3＝1×4＝4，又b 2>0， ∴b 2＝2，∴a 1＋a 2b 2＝52. 答案 529．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为________．解析设等比数列的公比为q ，则q ≠0，a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.答案 a n ＝2×33－n或a n ＝2×3n －310．已知数列{lg a n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：设数列{lg a n }的公差为d ，根据等差数列定义，得lg a n ＋1－lg a n ＝d ，∴lg a n ＋1a n＝d ，∴a n ＋1a n＝10d (常数)，∴{a n }是一个以10d为公比的等比数列． 11．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．解根据题意，设这三个数依次为aq ，a ，aq (aq ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27，aq ＋a ＋aq ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.∴所求三个数依次为1,3,9或9,3,1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，S 1，S 2，…，S n ，…，成等比数列，试问数列a 2，a 3，a 4，…，a n 成等比数列吗？证明你的结论．解设a 1＝a ，则S 1＝a 1＝a ，∵{S n }成等比数列，设其公比为q ，则由等比数列的通项公式有S n ＝S 1·qn －1＝aq n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1－aqn －2＝aqn －2(q －1)．a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝aq n －aq n －1＝aq n －1(q －1)．当q ＝1时，{S n }为常数列，此时a n ＝0与题设条件a n ≠0矛盾，故q ≠1.又a n ＋1a n ＝aq n －1 q －1aq n －2 q －1＝q (n ≥2)，故数列a 2，a 3，a 4，…，a n ，…成等比数列．。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练9 新人教A版必修4

双基限时练(九)1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )，即k π≤x ≤π2＋k π(k ∈Z )．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间．而⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2显然是上述区间中的一个．答案 C2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，选B. 答案 B3．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－13－1＝－43，∴M ＋m ＝－2.答案 D4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°，即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32 C. 2D. 3解析由题意知函数f (x )在x ＝π3处取得最大值，∴ωπ3＝2k π＋π2，ω＝6k ＋32，k ∈Z .故选B. 答案 B6．若a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数y ＝sin 2x ＋2a sin x 的最大值为( ) A ．2a ＋1 B ．2a －1 C ．－2a －1D ．a 2解析令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，原函数变形为y ＝t 2＋2at ＝(t ＋a )2－a 2.∵a >1，∴当t ＝1时，y max ＝12＋2a ×1＝2a ＋1，故选A.答案 A7．函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是________，此时x 的取值集合是________．解析 ∵x ∈R ，∴y ＝sin2x 的最大值为1，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 1⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π4，k ∈Z8．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为__________．解析由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π. 又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π.即递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 9．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________.解析由2sin ωx ≤2，知sin ωx ≤22，又0<ω<1,0≤x ≤π3，∴0≤ωx ≤π4，∴0≤x ≤π4ω，令π4ω＝π3，得ω＝34.答案 3410．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是________．解析 y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝－2cos 2x ＋2cos x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12≤－12. 答案－1211．已知ω＞0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上递增，求ω的范围．解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π知，2k π－π2ω≤x ≤2k π＋π2ω.令k ＝0知－π2ω≤x ≤π2ω，故⎭⎪⎬⎪⎫－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0⇒0＜ω≤32.∴ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值．解 (1)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1时，f (x )有最大值2.此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b的值．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.当a >0时，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，∴⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，则⎩⎨⎧－3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，∴⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.。

【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学双基限时练11 新人教A版必修4

双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析由图象知A ＝2－－42＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )．答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )，或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。

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