初一数学下册讲义
人教版七年级数学下精编讲义
线与线的位置关系课前预习1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．2.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．3.同角（等角）的余角_______，同角（等角）的补角_______．知识点睛1.平面上不重合的两条直线的位置关系只有两种，即______和______．2._______________________________________叫做平行线．3.平行的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．4.垂直的定义：__________________________________________________________________________________________．5.垂直的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．6.直线外一点到这条直线的___________________，叫做点到直线的距离．7.几何语言书写规范：①过点A作AC∥BD；②过点A作AC⊥BD，垂足为点C．8.有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为___________．9.有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为_________．对顶角__________．10.判断一件事情的语句，叫做命题．命题由_____和_____两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常可以写成“如果……,那么……”的形式．11.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．精讲精练1.平面内三条两两相交的直线（）A．有一个交点B．有一个或三个交点C．有三个交点D．有两个交点2.在平面内有任意四个点，那么这四个点可以确定（）条直线．A．1或6B．4C．6D．1或4或63.下列推理正确的是（ ）A ．因a ∥b ，b ∥c ，故c ∥d B ．因a ∥b ，b ∥d ，故c ∥d C ．因a ∥b ，a ∥c ，故b ∥c D ．因a ∥b ，c ∥d ，故a ∥c4.如图，要从小河引水到村庄A ，请设计并作出一条最佳路线，理由是____________________________________．第4题图第5题图5.如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 在直线l 上，且PB ⊥l ，那么下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到直线l 的距离是线段BP 的长度B ．PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短C ．PA 是点P 到直线l 的垂线段D ．点A 到直线PB 的距离是线段AB 的长度6.（1）体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是___________________________________________；（2）直线l 的同侧有A ，B ，C 三点，如果A ，B 两点确定的直线l 1与B ，C 两点确定的直线l 2都与l 平行，那么A ，B ，C 三点在一条直线上，它的依据是___________________________________________________________________．7.下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行④平行于同一条直线的两条直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B AC Pl8.下列推理中，错误的是（ ）A ．在m ，n ，p 三个量中，如果m =n ，n =p ，那么m =pB ．在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角中，若∠A =∠B ，∠C =∠D ，∠A =∠D ，则∠B =∠CC ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cD ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ⊥b ，c ⊥b ，那么a ⊥c9.一个角的邻补角是60°，则这个角是________．10.如图，∠1，∠2是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．11.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为点O ，若∠BOE =50°，则∠AOD 的度数为_______．第11题图第12题图12.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OB 是∠DOE 的平分线，若∠COE =100°，则∠AOC 的度数为_______．13.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB ⊥CD ，OB 平分∠EOG ，若∠FOD =60°，则∠BOG 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．无法确定12121221OEDCBAOEDC BAGOFEDCBA14.下列语句属于命题的是（）A．你吃过午饭了吗？B．过点A作直线MNC．同角的余角相等D．红扑扑的脸蛋15.已知下列命题：①两个锐角的和是锐角；②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2；④若∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°；⑤若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角；⑥若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2是邻补角．其中是真命题的有_________．（填写序号）16.把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果__________________，那么__________________．【参考答案】课前预习1.余角；余角2.补角；补角3.相等；相等知识点睛1.相交，平行2.在同一平面内，不相交的两条直线3.①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4.如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直5.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6.垂线段的长度8.邻补角9.对顶角；相等10.题设；结论精讲精练1. B2. D3. C4.垂线段最短5. C6.（1）垂线段最短（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7. B8. D9.120°10.C11.140°12.40°13.C14.C15.③④16.两个角是对顶角；这两个角相等线与线的位置关系（随堂测试）1.在同一平面内互不重合的三条直线的交点个数可能是_____．2.下列命题是真命题的是__________（填序号）．①在同一平面内，两条直线不相交就平行②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④在同一平面内，两条线段没有公共点，那么这两条线段互相平行3.如图，∠AOB=120°，OD丄OA，OC丄OB，则∠COD=_____．【参考答案】1.0，1，2，32.①②3.60°DBCO A线与线的位置关系（习题）巩固练习1.下列说法中正确的是（ ）A ．在同一平面内，两条不平行的射线必相交B ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C ．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行D ．一条直线有可能同时与两条相交直线平行2.已知同一平面内的直线l 1，l 2，l 3，如果l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，那么l 1与l 3的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．无法判断3.下列结论正确的是_____________（填序号）．①如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ②如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ③如果a ∥b ，b ⊥c ，那么a ∥c ④如果a ⊥b ，b ∥c ，那么a ⊥c4.河边有一村庄（近似看作点A ），如果在河岸上建一码头（近似看作点B ），使村庄的人到码头最近，请作出点B ，依据是__________________________________________．5.如图：PC ∥AB ，QC ∥AB ，则点P ，C ，Q 在一条直线上，理由是______________________________________．AA BCPQ6.如图所示，直线AD ，CF 交于点O ，过点O 作射线OB ，OE ，点B ，O ，E 不在一条直线上，试写出图中所有的对顶角：__________________________________________________．第6题图第7题图7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，写出所有互为余角的角：①_______与_______；②_______与_______；③_______与_______；④_______与_______．8.如图，CO ⊥AO ，DO ⊥BO ，垂足为点O ，则∠AOD =________，理由是_________________________________．第8题图第9题图9.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ．（1）∠AOC 的邻补角为________________，∠BOE 的邻补角为____________；（2）∠DOA 的对顶角为________________，∠EOC 的对顶角为____________．10.如图，∠AOC =90°，∠BOC 与∠COD 互补，∠COD =115°，则∠AOB 的度数为_______．11.已知∠1与∠2互为邻补角，且∠1=110°，则∠2的余角的度数为_________．12.若互为邻补角的两个角的比是2:3，则其中较大角的度数为_________．A BCD ABCDOOFED CBAABCDO13.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ．（1）若∠EOC =70°，则∠BOD =_________；（2）若∠EOC :∠EOD =2:3，则∠BOD =_________．14.已知下列命题：①若|m |=|n|，则m =n ；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直；④相等的两个角互为对顶角．其中是假命题的有_______________．（填写序号）15.把命题“互为余角的两个角的和为90°”改写成“如果……那么……”的形式：如果_______________________，那么_______________________．【参考答案】 巩固练习1.C2.A3.②④4.图略，垂线段最短5.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行6.∠AOF 与∠COD ，∠AOC 与∠DOF7.①∠A 与∠B②∠A 与∠ACD ③∠B 与∠DCB ④∠ACD 与∠DCB 8.∠COB ，同角的余角相等9.（1）∠AOD ，∠COB ；∠AOE ，∠BOF （2）∠COB ；∠FOD 10. 25°11.20°12.108°13.（1）35°；（2）36°14.①②③④OE D CBA15.两个角互为余角；这两个角的和为90°同位角、内错角、同旁内角（讲义）课前预习1.回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题：（1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______；（2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______；（3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2.在同一平面内，_________________________叫做平行线．3.如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“>”、“<”或“=”）知识点睛1.同位角、内错角、同旁内角：2.平行线的判定：①____________相等，两直线平行；②____________相等，两直线平行；③____________互补，两直线平行．3.平行线的性质：①两直线平行，____________相等；②两直线平行，____________相等；③两直线平行，____________互补．ab12345678cabc41238567精讲精练1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（4）∠6和∠4是同位角吗？（5）∠1和∠4是内错角吗？（6）∠5和∠6是同位角吗？2.如图所示：（1）∠NOP和∠OMD是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（2）∠BON和∠DMN是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（3）∠AOM和∠CMO是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角．3.如图，在所标识的角中，是内错角的是（）A．∠1和∠BB．∠1和∠3C．∠3和∠BD．∠2和∠34.如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角；（）②∠1和∠5是同位角；（）③∠1和∠3是内错角；（）④∠1和∠2是同旁内角．（）QDPBOMCAN第1题图123456abcd54321DC34B1 A25.请根据给出的图形完成推理过程：（1）若∠1=∠A ，则______∥______，理由是___________________________________________．（2）若∠1=∠DFE ，则______∥______，理由是___________________________________________．（3）若∠DEC +∠C =180°，则______∥______，理由是___________________________________________．（4）若∠ADE =_________，则DE ∥BC ，理由是___________________________________________．6.已知：如图，∠1=∠ADC ，∠DAB +∠ABC =180°．求证：（1）AB ∥CD ；（2）AD ∥BC ．7.如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④第5题图CE 1F BDA 第5题图1D CB A ab48623751c8.如图，已知AD ∥BC ，∠B =30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC =______．第8题图第9题图9.如图，AD ∥CE ，AB ∥CD ，∠C =50°，则∠DAB =______．10.如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，则图中和∠1（∠1本身除外）相等的角有________个.11.请根据给出的图形完成推理过程：（1）若∠1=∠2，则______∥______，理由是__________________________________________．（2）若∠3=______，则AB ∥CD ，理由是__________________________________________．（3）若∠DAB +∠ABC =180°，则______∥______，理由是__________________________________________．（4）若______∥______，则∠C +∠ABC =180°，理由是__________________________________________．（5）若AD ∥BC ，则∠3=______，理由是__________________________________________．DC E BAEDC BA1H G F E D CBAA BC31DE 212.请根据题意，完成推理并填空：如图，已知∠A =∠F ，∠C =∠D ．求证：BD ∥CE ．证明：如图，∵∠A =∠F（__________________________________）∴AC ∥DF （__________________________________）∴∠D =_______（__________________________________）∵∠C =∠D （__________________________________）∴∠1=∠C （__________________________________）∴BD ∥CE（__________________________________）【参考答案】课前预习1.（1）90°；（2）180°；（3）∠1=∠2．2.不相交的两条直线．3.=知识点睛2.①同位角；②内错角；③同旁内角．3.①同位角；②内错角；③同旁内角． 精讲精练1.（1）a ，b ，c ，同位；（2）a ，b ，d ，内错；1FEDABC（3）c，d，a，同旁内；（4）不是；（5）不是；（6）是．2.（1）OP，CD，NQ，同位；（2）AB，CD，NQ，同位；（3）AB，CD，NQ，同旁内．3.D4.①× ②√③√④√5.AB，EF，同位角相等，两直线平行．DF，AC，内错角相等，两直线平行．DE，BC，同旁内角互补，两直线平行．∠B，同位角相等，两直线平行．6.证明：（1）∵∠1 =∠ADC（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DAB+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）7. D8.60°9.50°10.511.（1）AB，CD，内错角相等，两直线平行．（2）∠A，同位角相等，两直线平行．（3）AD，BC，同旁内角互补，两直线平行．（4）AB，CD，两直线平行，同旁内角互补．（5）∠C，两直线平行，内错角相等．12.已知内错角相等，两直线平行∠1 两直线平行，内错角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行同位角、内错角、同旁内角（随堂测试）1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（2）∠3和∠A是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（3）∠C和∠1是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（4）∠3和∠C是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角．2.如图所示：（1）若∠2=__________，则AB∥CD，理由是_________________________________________．（2）若AD∥BC，则_______=∠5，理由是_________________________________________．（3）若∠BCD+_______=180°，则AB∥CD，理由是_________________________________________．3.请根据题意，完成推理并填空：如图，已知∠1=∠2．求证：∠C+∠DBC=180°．证明：如图，∵∠1=∠DGF（______________________________）∠1=∠2（______________________________）∴∠DGF=∠2（______________________________）∴BD∥CE（______________________________）∴∠C+∠DBC=180°（______________________________）第2题图54321D AB C第1题图AD31CB2第3题图21HGFEDCBA【参考答案】1.（1）CD ，AB ，BD ，内错（2）CD ，AB ，AD ，同位（3）BC ，BD ，CD ，同旁内（4）AD ，BC ，CD ，内错2.（1）∠4，内错角相等，两直线平行（2）∠B ，两直线平行，同位角相等（3）∠B ，同旁内角互补，两直线平行3.对顶角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补同位角、内错角、同旁内角（习题）例题示范例1：如图，判断下列各组角的位置关系：①∠1与∠2；②∠1与∠7；③∠1与∠BAD ；④∠2与∠6．思路分析操作步骤：①找角；②找角的边所在的直线；③找到截线与被截线，判断角的位置关系．分析可得，∠1与∠2是________角；∠1与∠7是______角；∠1与∠BAD 是______角；∠2与∠6是______角．FE987654321DC BA巩固练习1.如图，直线CD 与∠O 的两边相交．（1）∠O 和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角；（2）∠2和∠8是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角；（3）∠2和∠5是直线_____和直线_____被直线______所截得到的_________角．第1题图第2题图2.如图，判断正误：①∠1和∠5是同位角；（ ）②∠2和∠5是内错角；（ ）③∠3和∠5是内错角；（）④∠1和∠4是同旁内角．（）3.如图所示，当____________________时，有AB ∥CE 成立，理由是___________________________________．（只需写出一个条件即可）第3题图 第4题图4.如图，若∠1=∠2，则下列结论：①∠3=∠4；②AB ∥CD ；③AD ∥BC ．其中正确的是______________．（填序号）D CBOA 87654321DBCA 52143321EC DBA4A BCD 2315.如图，点B 在DC 上，若BE 平分∠ABD ，∠DBE =∠A ，则BE _____AC ．理由如下：∵BE 平分∠ABD （______________________________）∴∠ABE =∠DBE （角平分线的定义）∵∠DBE =∠A （______________________________）∴_______=∠A （______________________________）∴BE _____AC（______________________________）6.已知：如图，E 为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，AC ∥DF ．求证：∠C =∠D ．证明：如图，∵∠1=∠2（__________________________________）∠1=∠3（__________________________________）∴∠2=∠3（__________________________________）∴BD ∥CE （__________________________________）∴∠C =∠ABD （__________________________________）∵AC ∥DF（__________________________________）∴∠D =∠ABD （__________________________________）∴∠C =∠D（等量代换）EACBD E 312ACBDF思考小结1.动手操作：利用如图所示的方式，可以折出“过直线外一点和已知直线平行”的直线，依据是______________________．2.阅读材料什么是推理生活中，我们往往可以通过观察、实验来寻找规律，从而得出结论．但是要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理．过程．其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识．几何推理是我们中学接触最多的一种推理形式．要想进行严格的几何推理，首先要有一些对应前提．这些前提我们叫做“基本事实”或“定理”，比如我们学过的“同位角相等，两直线平行”、“两点确定一条直线”等都是一些基本事实．这些作为大前提，是我们进行推理的主要依据．而根据这些“基本事实”或“定理”，我们对某个句子进行判断或说明的过程就是证明．例如，如下的推理：已知：如图，∠ABC =∠1．求证：AD ∥BC ．证明：如图，∵∠ABC =∠1（已知）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）我们分析可知，每一个判断都有自己的条件和结论．上述推理中的条件就是∠ABC =∠1，代表着一组同位角相等，而结论就是AD ∥BC ．由条件得到结论的过程叫做证明，而这个证明必须依据基本事实．我们把基本事实放在结论后的括号中，表明我们是以此为依据进行推理的．1DCBA【参考答案】例题示范同旁内，同位，同旁内，内错巩固练习1.（1）CD，OB，OA，同位；（2）OA，OB，CD，内错；（3）OA，OB，CD，同旁内．2.①× ②× ③× ④√3.∠1=∠2，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一，前后一致即可）4.②5.∥已知已知∠ABE，等量代换∥，内错角相等，两直线平行6.已知对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等已知两直线平行，内错角相等思考小结1.同位角相等，两直线平行（或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行）几何推理初步（讲义）课前预习1.背默平行线的判定及性质．（1）平行线的判定：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．（2）平行线的性质：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．2.如图，已知OC平分∠AOB，∠AOB=70°，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC平分∠AOB（_______________________）∴________________（_______________________）∵________________（_______________________）∴________________（_______________________）CO BA知识点睛在证明的过程中，由平行想到______、_______、________．对顶角模块书写如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，∠1=60°，求∠2的度数．解：如图，∵∠1=∠2 （_______________________）∠1=60° （已知）∴∠2=_____（_______________________）平行模块书写已知：如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=50°，求∠2的度数．解：如图，∵AB ∥CD （_________________________）∴∠1=____（_________________________）∵∠1=50° （_________________________）∴∠2=____（_________________________）O 21DCBA21H G FECDBA精讲精练1.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA ，∠A =50°，求∠EDF 的度数．解：如图，∵DE ∥BA （已知）∴∠A =∠DEC （_________________________）∵∠A =50°（已知）∴___________（_________________________）∵DF ∥CA （已知）∴___________（_________________________）∴∠EDF =50°（_________________________）2.如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD =70°，求∠1的度数．FED CB A 1ABC D3.已知：如图，AB ∥EF ，AB ∥CD ，若∠C =60°，∠E =110°，求∠CAE 的度数．4.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C ，AB ∥CD ．求证：AD ∥BC ．证明：如图，∵AB ∥CD （已知）∴∠A +____=180°（_________________________）∵∠A =∠C （已知）∴∠C +____=180°（_________________________）∴AD ∥BC （_________________________）5.如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E ，F ，AB ∥CD ，EM 平分∠AEF ，FN 平分∠EFD ．求证：EM ∥FN ．F EDCBADCB ANM FE D CBA6.已知：如图，∠BAC +∠GCA =180°，∠1=∠2．求证：AE ∥CF ．7.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B ．求证：∠AED =∠C ．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（_____________________________）∠1+∠DFE =180°（_____________________________）∴______=______ （_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠3=∠ADE （_____________________________）∵∠3=∠B（_____________________________）∴∠ADE =∠B （_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠AED =∠C（_____________________________）CGDFEBA 12AD 23EF 1CB8.已知：如图，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：∠F =∠A ．证明：如图，∵∠1=∠2 （________________________________）∠1=∠DGF （________________________________）∴∠2=_______（________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠D =_______（________________________________）∵∠C =∠D （________________________________）∴______=∠C （________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠F =∠A （________________________________）9.已知，如图，∠1=∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，FH ⊥AB 于点H .求证：∠2=∠3．10.如图，∠E =∠1，∠3+∠ABC =180°，BE 是∠ABC 的平分线，∠A =70°，求∠3的度数．321F ED CBAAB C1GH 2FED 321HF ED CB A【参考答案】 课前预习1.（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行．（2）①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补．2. 已知；角平分线的定义70°；已知70°=35°；等量代换知识点睛同位角、内错角、同旁内角对顶角相等60°；等量代换已知；两直线平行，同位角相等已知50°；等量代换精讲精练1.两直线平行，同位角相等∠DEC =50°；等量代换∠EDF=∠DEC ；两直线平行，内错角相等等量代换2.解：如图∵AD 平分∠BAC （已知）∴∠BAC=2∠BAD （角平分线的定义）∵∠BAD=70°（已知）∴∠BAC=2×70°=140°（等式的性质）∵AB ∥CD （已知）∴∠1+∠BAC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠1=180°-∠BAC=180°-140°12AOC AOB ∠=∠AOB ∠=12AOC ∠=⨯2∠=40°（等式的性质）3.解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C +∠BAC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=60°（已知）∴∠BAC =180°-∠C =180°-60°=120°（等式的性质）∵AB ∥EF （已知）∴∠E +∠BAE =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠E=110°（已知）∴∠BAE =180°-∠E =180°-110°=70°（等式的性质）∴∠CAE =∠BAC -∠BAE=120°-70°=50°（等式的性质）．4.∠D ；两直线平行，同旁内角互补∠D ；等量代换同旁内角互补，两直线平行5.证明：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠AEF =∠EFD （两直线平行，内错角相等）∵EM 平分∠AEF （已知）∴∠MEF=∠AEF （角平分线的定义）∵FN 平分∠EFD （已知）∴∠EFN=∠EFD （角平分线的定义）∴∠MEF=∠EFN （等式的性质）∴EM ∥FN （内错角相等，两直线平行）6.证明：如图∵∠BAC +∠GCA=180°（已知）∴AB ∥DG （同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAC=∠DCA （两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC -∠1=∠DCA -∠2（等式性质）1212即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）7.已知平角的定义∠2，∠DFE；同角的补角相等AB，EF；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知等量代换DE，BC；同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等8.已知对顶角相等∠DGF，等量代换CE，BD；同位角相等，两直线平行∠FEC；两直线平行，同位角相等已知∠FEC；等量代换DF，AC；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等9.证明：如图∵∠1=∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥AB，FH⊥AB（已知）∴∠BDC=∠BHF=90°（垂直的定义）∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠DCB（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换）10.解：如图∵BE平分∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠A+∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3+∠ABC =180°（已知）∴∠3=∠A（同角的补角相等）∵∠A=70°（已知）∴∠3=70°（等量代换）几何推理初步（随堂测试）13.如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．【参考答案】1.解：如图，DCEBADCEB A几何推理初步（习题）巩固练习1.如图，AD ∥CE ，AB ∥CD ，求证：∠A =∠C ．方法一：解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C =_____（__________________________）∵AD ∥CE （已知）∴∠A =_____（__________________________）∴_____=_____（等量代换）方法二：解：如图∵AD ∥CE （已知）∴∠C +_____=180° （__________________________）∵AB ∥CD （已知）∴∠D +_____=180°（__________________________）∴∠A =____（__________________________）2.已知：如图，AB ∥DE ，∠FAB =110°，求∠ACE 的度数．3.已知：如图，∠B=∠D =90°，∠C=60°，求∠A 的度数．FE AC BDDC BAEDCBA4.已知：如图，点E 在四边形ABCD 的边AD 的延长线上，∠3=∠A ，∠1=55°，求∠2的度数．5.已知：如图，BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，垂足分别为D ，F ，G 是AB 上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD =∠ABC ．【参考答案】 巩固练习1.方法一：解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C =∠ABE （两直线平行，同位角相等）∵AD ∥CE （已知）∴∠A =∠ABE （两直线平行，内错角相等）∴∠A =∠C （等量代换）方法二：解：如图∵AD ∥CE （已知）∴∠C +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB ∥CD （已知）∴∠D +∠A =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A =∠C （同角的补角相等）2.解：如图2E D13CBA GF EDCBA 21∵AB∥DE（已知）∴∠FAB=∠ACD（两直线平行，同位角相等）∵∠FAB=110°（已知）∴∠ACD=110°（等量代换）∴∠ACE=180°-∠ACD=180°-110°=70°（平角的定义）3.解：如图∵∠B=∠D=90°（已知）∴∠B+∠D=90°+90°=180°（等式的性质）∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=60°（已知）∴∠A=180°-∠C=180°-60°=120°（等式的性质）4.解：如图∵∠3=∠A（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∵∠1=55°（已知）∴∠2=55°（等量代换）5.证明：如图，∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）∴∠BDC=∠EFC=90°（垂直的定义）∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠DBC（两直线平行，同位角相等）∵∠l=∠2（已知）∴∠1=∠DBC（等量代换）∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠AGD=∠ABC（两直线平行，同位角相等）平方根和立方根（讲义）课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（填“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．知识点睛1.平方根：_____________________________________________________________________________，也叫做____________，记作________，读作“____________”．2.一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．3.算术平方根：_______________________________________________________________________________，记作_______，读作“________”．0的算术平方根是______．4.求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______．5.立方根：_______________________________________________________________________________，也叫做__________，记作________，读作“____________”．6.正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．7.求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．精讲精练1.的平方根是_________；2的算术平方根是_______．2.的值为______的平方根为______；的算术平方根是______的平方根是______．3.____________；______；若x 2=(-7)2，则x =__________．4.下列各式中，正确的是（ ）AB ．412114⎛⎫⎪⎝⎭-2+==2==0.6=±C D 13=6=±5.下列各式中，正确的是（）A ．-(-7)=7B ．=1C D6.下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是47.下列说法正确的是（ ）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个非负数的算术平方根都不大于这个数D ．2是4的平方根8.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．9.，则2x+5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．10.____；____________．11.一个正数的平方根是a +2与2a -5，求这个正数．12.=，，其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．413._________；_________；________；_________．14.下列说法正确的是（ ）A ．-4没有立方根B ．1的立方根是C ．的立方根是D ．-5的立方根是15.下列说法错误的是（）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根41221332244=+=0.1=±2=2=2===340.1=10=27=-====1±3616135-C ．是的立方根D ．(-4)3的立方根是-416.________；_________；_________；_________．17.下列说法正确的是（）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者018.的平方根是________的立方根是________．19.若a 2=1，则=______．20.若x=，则=________．21.若x <0，则=________，=________．【参考答案】 课前预习1.0；；；①0；正数；非负数；不存在②相等知识点睛1.一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根二次方根；a 2.两，互为相反数；一，0本身；没有3.一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根a ；04.开平方，被开方数5.一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根13-127-3=3===3a 32x 33x 2±3±4±a 6.正数；0；负数7.开立方，被开方数精讲精练1.；2.2；；3.8；0；；4.C5.B6.B7.D8.9.；1310.a ；-a ；；11.912.B13.3；-10；-5；14.D 15.B16.a ；-a ；a ；-a 17.C 18.；219.20.221.-x ，x211±142±147±3±a a 162±1±平方根和立方根（随堂测试）1.下列说法正确的是（ ）A ．的算术平方根是±6B的平方根是±6C ．5是25的算术平方根D ．25的立方根是±52.______________．3.=_______．4.一个正数的平方根是和，求这个正数．【参考答案】1.C2.3.8，24.这个正数是252(6)-3(++27a -4a +平方根和立方根（习题）例题示范例1：一个正数的平方根是a +1与-2a +1，求这个正数．解：∵一个正数的平方根是a +1与-2a +1∴a +1+(-2a +1)=0∴a =2∴a +1=3，-2a +1=-3∵(±3)2=9∴这个正数是9例2的平方根是__________．思路分析数学符号语言与文字语言同时出现，分两步运算，先开立方，再开平方．=4，标注在旁边；第二步：转化为“4的平方根是_____”，4的平方根是±2．的平方根是±2．巩固练习1.下列说法错误的是（）A BC ．2的平方根是D ．-81的平方根是2.下列说法正确的是（）A ．-0.064的立方根是0.4B ．-9的平方根是C ．16D ．0.01的立方根是0.000 0013.下列说法正确的是（ ）A ．7是49的算术平方根，即B ．7是的算术平方根，即C ．是49的平方根，即D ．是49的平方根，即4.若和都有意义，则满足的条件是（）1=1=-9±3±749±=2)7(-7)7(2=-7±749=±7±749±=a a -aA ．B ．C ．D ．5.一个正数的两个平方根的和是________，商是___________．6.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则该数是______．7.算术平方根等于它本身的数是______________，立方根等于它本身的数是______________．8._______________；______________；=_______．9.若一个数的平方根是，则这个数的立方根是_________．10._______；的算术平方根是_________．11.=________．12.若=__________．13.当m _________有意义．14.有意义，则a 能取得的最小整数为________．思考小结1.请根据平方根和立方根的定义回答下列问题：①一个数的平方等于它本身，这个数是_______．②平方根等于它本身的数是_________．③算术平方根等于它本身的数是__________．④立方根等于它本身的数是_________．⑤一个数的立方等于它本身，这个数是_______．2.对于任意数a a吗？一定等于a 吗？①当a ≥0，当a <0=____a ．a ≥0a ≤0=a 0a ≠====28±2(9)-0a ≥3+2②对于，a 作为被开方数，所以a _____0，因为乘方和开方互为_________，所以_______a ．【参考答案】巩固练习1.D 2.C 3.B 4.C 5.0，-16.1或07.1，0；±1，08.0.3；0.3；；4；-6；1969.410.；911.4；12.013.≤314.1 思考小结1.①0，1；②0；③0，1；④-1，0，1；⑤-1，0，12.①，，≠②≥，逆运算，=223414a a -实数综合应用（讲义）知识点睛1.________________________________叫做无理数．无理数的和、差、积、商________是无理数．2.________________________________统称为实数．实数和数轴上的点是一一对应的．3.数a 的相反数是________．一个正实数的绝对值是_______；一个负实数的绝对值是__________；0的绝对值是_______．4.无理数的整数部分与小数部分的整数部分与小数部分．解：∵，∴<2，的整数部分为1，小数部分为．5.比较大小的方法：估值法，作差法，乘方法．精讲精练1.已知：，，，，3.141 59，-1，0.202 002 000 2…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）．其中，是有理数的有___________________________________，是无理数的有_______________________________________．2.下列说法正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．实数都能用数轴上的点表示C ．带根号的数都是无理数D ．无理数的和都是无理数3.下列说法中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．①②4.计算：11-11)12--=-122π∙7.3227-（1）； （2（3； （4； （5；（6．5.的值（）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间6.a 和b之间，即a b ，则a+b =______．7.若的整数部分是a ，小数部分是b ，则a=______，b =______．8.若和a 和b ，则a +b =____．9.用适当的方法比较下列各组数的大小．（1）与；（2）7；+2--++2-937+387-3+（3；（4；（5；（6）与． 10.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，11.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，0.58-5335+12.自由下落物体的高度h (m)与下落时间t (s)的关系是h =4.9t 2．有一学生不慎让一个玻璃杯从19.6米高的楼上自由下落，则玻璃杯到达地面需要多长时间？13.一个正方体木块的体积为1 000 cm 3，现要把它锯成8块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长是多少？【参考答案】知识点睛1.不循环小数，不一定2.有理数和无理数 3.-a ；它本身；它的相反数；0精讲精练1.属于有理数的是，，，3.141 59，-1属于无理数的是，0.202 002 000 2…2.B 3.C 4.（1；（2；（3）；（4）4；（5）13；（6）12 3.7∙227-2π21155。
人教版初一数学下册同步精编讲义
第1讲相交线知识点1 直线交点个数1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=()12n n-个交点，最少有1个交点．【典例】1.观察下列平面图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.【方法总结】根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.一般地：n条直线两两相交，最多有()12n n-个交点，最少有1个交点．【随堂练习】1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则．2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？知识点2 邻补角与对顶角邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.【典例】1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【方法总结】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．【随堂练习】1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．知识点3 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；②与∠COE互补的角是___________．（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．【方法总结】结论：在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N 在同一条直线上.方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）（1）AD＞CD；（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．【方法总结】注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.【随堂练习】1．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC＝40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．2．根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．（1）过点O画直线MN⊥CD；（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．知识点4 同位角、内错角、同旁内角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来．【方法总结】判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.【随堂练习】1．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？2．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．综合运用1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．4.作图并写出结论：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．（3）图中共有几对同旁内角？9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．第2讲平行线知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】1.如图，直线a，点B，点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与（1）中所作的直线平行吗？【方法总结】本题考查了平行公理及其推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在公理中，要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.【随堂练习】1．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③相等的角是对顶角；④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．其中，错误的是_____（填序号）．2．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a ⊥c．其中正确的说法是____．知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.【典例】1.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E为直角，AB与CD平行吗？试说明理由.【方法总结】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2（∠α+∠β）.由∠E为直角可得∠α+∠β=90°，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”可得答案．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定方法．【随堂练习】1．如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．2．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图1，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM=∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．已知如图2，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．【方法总结】依据点P为A，B在直线MN上的反射点，即可得到∠APM=∠BPQ，再根据平行线的性质，即可得到∠PAB=∠PBA，经过等量代换可得∠PBA=∠QBG，所以点B是P，Q在直线HG 上的反射点．本题是新定义题，正确理解“反射点”的概念和特征，并熟练应用平行线的性质是解题的关键.【随堂练习】1．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．2．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．3．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.【典例】1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．2.学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=____________________．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？（3）已知：如图3，三角形ABC，试说明：∠A+∠B+∠C=180°．【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行，平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系，他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有：已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1．阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．2．先阅读下面的解题过程，再解答问题：如图①，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，因为EF∥AB，所以∠1＝∠B＝40°又因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝30°所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证AB∥CD，∠D必须是多少度？请写出理由．（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GH∥PQ，请直接写出满足关系的式子，并在如图②中画出需要添加的辅助线．知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.【典例】1.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明，如果是假命题，请举出反例．（1）两个锐角的和是钝角；（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．【方法总结】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．（1）任意找两个锐角，使它们的和为锐角或直角即可；（2）写出已知、求证，作出图形，利用平行线的判定即可证明命题为真命题.【随堂练习】1．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B；②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE，试回答下列问题：（1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*、*，那么*）；（2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由．2．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．（1）请按照：“∵_______，_______；∴___________”的形式，写出所有正确的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．综合运用1.“垂直于同一直线的两直线平行”的题设：_______________________________________，结论:___________________________.2.如图，已知长方形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'=24°，则∠BDC的度数为______________.3.在同一平面内三条直线交点有多少个？甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c，如图（1）所示．乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．以上说法谁对谁错？为什么？4.如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？5.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？6.判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，请举一个反例.（1）两个锐角的和是锐角；（2）若a＞b，则a2＞b2；7.如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE 平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．8.如图，已知：AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：（1）∠4=∠DAC；（2）AD∥BE．第3讲平移知识点1 平移的性质1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；2.图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．3.平移的性质：（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．【典例】1.已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．完成下列问题：（1）当t=1.5秒时，S=_______平方厘米；（2）当S=2时，小正方形平移的时间为_______秒．2.如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．3.已知，如图，CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE 平分∠COF，（1）求∠EOB的度数；（2）若向右平行移动AB，其他条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出其中的规律，若不变，求出这个比值；（3）若向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数，若不存在，说明理由．【方法总结】典例1小正方形平移后与大正方形的重叠部分随着时间的变化而变化，其变化趋势是先变大后变小，最大的面积就是小正方形的面积；已知面积求运动时间就需要分类讨论．典例2三角形沿着某一边移动，一组对应边和两条对应顶点的连线组成的四边形是平行四边形，该平行四边形与原三角形有相同的高；过三角形的一个顶点作对边的平行线，当对边不动，该顶点在做好的平行线上移动时，新三角形的面积不变（同底等高原理）．典例3考查平移与平行线综合，求不同角之间的关系，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）将已知角转化成所求角（或所求角的部分），进而求二者之间的关系．【随堂练习】1．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，DE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．2．如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．（1）写出∠EDC的度数_____；（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）3．如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．知识点2 平移作图1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法2.平移作图的步骤：（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．【典例】1.如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．（1）直接写出点C1的坐标；（2）在图中画出△A1B1C1；（3）求△AOA1的面积．【方法总结】图形上的某一点移动的轨迹同整个图形的移动轨迹是一致的，可以通过已知点的运动轨迹求出图形上所有点的运动轨迹；网格图上求一个图形的面积除了运用已知图形的面积公式以外，还可以用割补法，转化为大的长方形的面积减去其余部分的面积．【随堂练习】1．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是_________________（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为____（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有____个（注：格点指网格线的交点）2．如图，在方格纸中，已知格点△ABC及其外一点D，平移△ABC，使点A移动到点D．完成下列作图：（1）画出平移后的三角形；（2）画一条直线l，将△ABC分成面积相等的两部分．知识点3 平移的运用【典例】1.如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=（3a+2）米，宽AD为（a+1）米，从A、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为_______平方米．2.比较图甲中折线A→D→E→F→…→C与线段AB+BC的长，如果AB=20米，BC=12米．（1）已知在△ABC中，∠B=90°，你能求出折线A→D→E→…→C的长吗？（2）你能比较图乙中，中间的小正方形的周长和与大正方形周长的大小吗？【方法总结】当矩形被中间互相平行的一组或两组平行的直线或曲线分割后，求剩余部分的面积的方法如下：（1）当分割线能够通过平移组成矩形（或矩形的部分）时，可以平移分割线，求剩余的矩形面积；（2）当分割线不能组成规则图形时，可以平移分割线以外的部分，组成新的图形．【随堂练习】1．（1）如图，它的周长是____cm．（2）已知：|a|＝2，|b|＝5，且a＞b，求a+b的值．。
初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)
1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。
教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。
0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根； 可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号 例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1； 试一试：1.64的平方根是 ，64的立方根是 .2.16的平方根是 ，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32； 【例题精讲】 例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。
参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向 移动 位，则立方根的小数点相应地向 移动 位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解 参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（ ）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算 【例题精讲】 例6. 计算：（1）38515； （2）327102--- ； （3）3387）（- ； （4）6356）（-； （5）312564-38+1001 ； （6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。
七年级数学下 第八章 幂的运算讲义全
泛 美 教 育 个 性 化 教 学 专 用 教 案学生姓名：科目：数学 七年级 备课时间： 年 月 日讲次：第 讲 授课教师：章老师 授课时间： 年 月 日 至 上课后，学生签字： 年 月 日 教学类型： ■强化基础型 □引导思路型 □错题讲析型 ■督导训练型■效率提升型 □单元测评型 □综合测评型 □应试指导型□专题总结型 □其它：第一讲：幂的运算教学目标：1.学会应用同底数幂的乘法； 2.学会应用同底数幂的除法； 3.掌握幂的乘方； 4. 理解积的乘方。
教学重难点：1. 学会应用同底数幂的乘法；2. 学会应用同底数幂的除法；3. 掌握幂的乘方。
教学内容 ：一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n m a a a +=⋅(m 、n 是正整数)2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.【典型例题】1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）A ．22015B ．22007C ．－2D ．－220082．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．4．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ． （2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n ．二、同底数幂的除法（重点）1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减.公式表示为：()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且.2、零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：()010a a =≠.3、负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表示为()10,n n a a n a-=≠是正整数 4、绝对值小于1的数的科学计数法对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<是负整数.注意点：(1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了；(2) ()0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.【典型例题】一、选择 1．在下列运算中，正确的是（ ）A ．a 2÷a=a 2B ．（－a ）6÷a 2=（－a ）3=－a 3C ．a 2÷a 2=a 2－2=0 D ．（－a ）3÷a 2=－a 2．在下列运算中，错误的是（ ）A ．a 2m ÷a m ÷a 3=a m －3B ．a m+n ÷b n =a mC ．（－a 2）3÷（－a 3）2=－1D ．a m+2÷a 3=a m －1 二、填空题1．（－x 2）3÷（－x ）3=_____． 2．[（y 2）n ] 3÷[（y 3）n ] 2=______．3．104÷03÷102=_______． 4．（π－3.14）0=_____．三、解答1．（一题多解题）计算：（a －b ）6÷（b －a ）3． 2．（巧题妙解题）计算：2－1+2－2+2－3+…+2－2008．3、已知a m =6，a n =2，求a 2m－3n 的值．4．（科外交叉题）某种植物的花粉的直径约为3.5×10－5米，用小数把它表示出来．三、幂的乘方（重点）幂的乘方，底数不变，指数相乘.公式表示为：()()nm mn a a m n =、都是正整数. 注意点：（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.【典型例题】1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）A ．0B ．2a 10C ．-2a 10D ．2a 72．下列各式成立的是（ ）A ．（a 3）x =（a x ）3B ．（a n ）3=a n+3C ．（a+b ）3=a 2+b 2D ．（-a ）m =-a m3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知x2+3x+5的值为7，那么3x2+9x-2的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．66.计算：（1）233342)(a a a a a +⋅+⋅ （2）22442)()(2a a a ⋅+⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类 同底数幂乘法乘法 加法 幂的乘方 乘方 乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
七年级下册知识点讲解数学
七年级下册知识点讲解数学
中学数学是学习数学的基础，对于初中生来说，掌握好七年级
下册数学知识点是非常关键的。
本文将从数学基础、代数、几何、实数四个方面，为大家详细讲解七年级下册知识点。
一、数学基础
1. 整数：正整数、零、负整数及其在数轴上的表示。
2. 分数：分数的基本概念和性质，分数的互化、加减乘除以及
数量关系。
3. 小数：小数的读法、写法和数位的意义，小数的应用。
4. 比例：比例的含义、性质和应用。
二、代数
1. 代数式：代数式的含义、构成和基本性质。
2. 一元一次方程：方程的基本概念、解的概念、解的方法和应用。
3. 简单的三角方程：三角函数的概念和单位圆。
三、几何
1. 基本概念：点、直线、面以及它们之间的联系与分类。
2. 角与直线：角的基本概念、度量和分类；直线的性质及相关定理。
3. 曲线与图形：曲线的概念和分类；平面封闭图形的性质及相关定理。
4. 三角形：三角形的分类、性质及相关定理；三角形的构造和应用。
四、实数
1. 实数的概念：实数的类型、大小关系和四则运算。
2. 平方根：正数的平方根和负数的平方根，以及平方根的性质及应用。
3. 立方根：立方根的概念、性质和应用。
4. 数轴上的实数：实数在数轴上的表示、大小关系和坐标。
以上就是七年级下册数学知识点的详细讲解，希望能对大家学习和掌握数学有所帮助。
数学是一门需要反复练习的学科，只有通过多做练习题，才能更好地理解和掌握知识，提高自己的数学水平。
七年级数学下册知识点精讲
七年级数学下册知识点精讲数学是一门需要认真学习和掌握的科目。
在七年级下学期，学生将接触到更加深入的数学知识，如代数、几何等。
本文将为大家介绍七年级数学下册的知识点精讲，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、有理数的四则运算有理数是指可表示为分数形式的数，包括正数、负数和零。
在数学中，对有理数的四则运算是非常重要的，掌握了这些运算，对学生在后面的学习中将有很大的帮助。
1. 加法：同号两数相加，异号两数相减，保留符号取绝对值相加，结果的符号和被减数相同。
2. 减法：减去一个数相当于加上这个数的相反数。
3. 乘法：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负。
4. 除法：两个非零有理数相除，可以变为分数，再化简。
二、图形的相似与全等在几何中，图形的相似和全等是两个极其重要的概念。
相似是指两个图形形状相似，但大小不同，而全等则是指两个图形既形状相似，且大小相等。
1. 相似：两个形状相同但大小不同的图形相似。
2. 全等：两个形状完全相同且大小相等的图形全等。
三、代数代数是数学的一个分支，它研究未知数和它们之间的关系。
在学习代数之前，需要先掌握一些基本概念和符号。
1. 代数式：用数、字母及其组合表示数或数之间关系的式子，称为代数式。
2. 变量：在代数式中，用字母表示未知数，称为变量。
3. 常数：在代数式中，所用的已知数称为常数。
4. 方程：等号两边各含有一个代数式，且它们的值相等的式子称为方程。
四、三角形三角形是几何中经常出现的图形之一，它的三边和三角都具有一定的性质和特点。
1. 等边三角形：三边相等的三角形称为等边三角形。
2. 等腰三角形：两边相等的三角形称为等腰三角形。
3. 直角三角形：其中一个角度为90度的三角形称为直角三角形。
五、绝对值绝对值是一个数的大小，与这个数是正数还是负数无关。
在数学中，绝对值是一项非常重要的基本概念。
1. 定义：一个实数a的绝对值，表示为|a|，定义为：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。
第3讲 平方差公式七年级数学下册同步精品讲义
第3讲 平方差公式1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】平方差公式1．运用乘法公式计算（4+x ）（x ﹣4）的结果是（ ） A ．x 2﹣16B ．x 2+16C ．16﹣x 2D ．﹣x 2﹣162．已知x +y ＝12，x ﹣y ＝6，则x 2﹣y 2＝ ． 3．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ） A ．（x +y ）（x ﹣y ） B ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x ﹣y ）（﹣x +y ）D ．（x +y ）（y ﹣x ）4．计算（x +y ）（x ﹣y ）+16＝ ． 5．（8x 2+4x ）（﹣8x 2+4x ）＝ ． 6．若x 2﹣y 2＝16，x +y ＝8，则x ﹣y ＝ ． 7．若x +y ＝5，x ﹣y ＝1，则x 2﹣y 2＝ ．知识精讲目标导航8．若a＝20170，b＝2015×2017﹣20162，c＝（﹣）2016×（）2017，比较a，b，c大小（用“＜”连接）：．9．（3y+2x）（2x﹣3y）＝．10．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．11．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）12．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算13．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．14．若a2﹣b2＝18，a+b＝6，则a﹣b＝．15．若m2﹣n2＝10，且m﹣n＝2，则m+n＝．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．化简：（2x﹣y）（y+2x）﹣y（x﹣y）﹣（2x）2．18．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2【知识拓展2】平方差公式的几何背景19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）20．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．21．如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b222．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）个．A．1B．2C．3D．423．为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）24．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．25．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．26．数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是；如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是；用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1A n，共有（n﹣1）条；以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2A n，共有（n﹣2）条；以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3A n，共有（n﹣3）条；…以A n﹣1为端点的线段有A n﹣1A n，共有1条；图中线段的总条数是；方法2：每一个点都能和除它以外的（n﹣1）个点形成线段，共有n个点，共可形成n（n﹣1）条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是；用两种不同的方法数线段，可以得到等式．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：992﹣982+972﹣962+952﹣942+…+32﹣22+12．[迁移]某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有种不同的选择方案．能力拓展类型一、公式法——平方差公式例1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；例2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+-【变式】先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．类型二、平方差公式的应用例3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1） =（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算： （1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）3．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n24．如图，从边长为acm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A．6a cm2B．（6a+9）cm2C．（6a﹣9）cm2D．（a2﹣6a+9）cm2二．填空题（共4小题）5．已知x+y＝12，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．6．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．7．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．8．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝．三．解答题（共5小题）9．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．10．计算：（1）（a+9）（a+1）；（2）20192﹣2017×2021．11．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．12．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．13．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020B．2021C．2022D．20233．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．2700B．2701C．2601D．26004．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（）A．520B．502C．250D．2055．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）二．填空题（共5小题）6．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．7．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．8．计算：20212﹣2020×2022＝．9．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共4小题）11．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据规律（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）＝．（其中n为正整数）；（1）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1；（2）计算：22018+22016+22014+…+24+22+2．12．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．13．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝；（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024B．255054C．255064D．250554二．填空题（共6小题）2．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）3．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．4．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．5．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．6．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上．7．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．三．解答题（共6小题）8．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．9．（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．10．（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．11．（2021春•罗湖区校级期中）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．12．（2019春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？13．（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．。
七年级下数学讲义-全下册100页
④内错角互补，两直线平行;⑤如果a<b，b<c，那么a<c.
A．1个B．2个C．3个D．4个
7.下列命题：①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；
③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.
其中假命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
例4.公路上同向而行的两辆汽车,从后车车头与前车车尾“相遇”到原后车车尾离开原车车头这段时间为超车时间,如果原前、后两车车长分别为a,b,那么在超车时间内两车行驶的路程与两车车长有何关系?
13.如图，判断正误
①∠1和∠4是同位角；（）
②∠1和∠5是同位角；（）
③∠2和∠7是内错角；（）
④∠1和∠4是同旁内角；（）
三、综合题：
14.如图，（1）∠1与∠B、∠1与∠2、∠B与∠4、∠B与∠3分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得的一对什么角？
（2）如果∠1=∠B，∠4=∠B,∠2+∠3=1800，那么分别可以判断哪两条直线平行？理由是什么？
③同垂直于一条直线的两直线平行；④同旁内角相等，两直线平行.
其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列图形中，由 ，能得到 的是（）
3.如图，AB//CD//EF,∠ABE=38°，∠BCD=100°,则∠BEC=（）
A.42°B.32°C.62°D.38°
4.如图，直线EF分别与直线AB．CD相交于点G．H，已知∠1=∠2=90°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3=（）
8.如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，那么DF∥AC，请完成它成立的理由
七年级下册数学知识点讲
七年级下册数学知识点讲这是一篇关于七年级下册数学知识点的文章，本文将系统地介绍七年级下册数学的主要知识点。
以下内容将涵盖七年级下册数学所有必学知识点。
1. 变量代数表达式变量是一个具体的、可以变化的量。
在数学中，使用字母来表示变量。
例如：a、b、x、y、z等。
而代数表达式是一个包含变量、数字、运算符等的式子。
例如：2x+3y、4a-7b等。
理解变量和代数表达式的概念，有助于我们更深入地理解数学中的各种公式和算式。
2. 倍数和分数在数学中，倍数是指一个数是另一个数的几倍。
例如，4是2的倍数，因为4等于2乘以2。
而分数则是指一个数的几分之一。
例如，1/4表示一个数分成4份，其中1份为1/4。
掌握倍数和分数的概念对于我们日常生活中的计算和理解一些数学知识点非常重要。
3. 整数和有理数整数是指正整数、负整数和零。
例如：-3、-2、-1、0、1、2、3等。
有理数则是整数和分数的总称，包括正有理数、负有理数和零。
例如：-1/2、0、1、3/4等。
对于整数和有理数的掌握，有助于我们了解数轴及其上的各种数值。
4. 几何基础几何是数学中的一个分支，主要研究空间中的形状和大小。
七年级下册数学中的几何基础包括了线段、角度、三角形、四边形和圆。
掌握几何基础有助于我们理解空间中的形状和大小，对于日常生活中的几何计算和解决问题也很有帮助。
5. 数据处理数据处理是数学中的另一个分支，主要研究数据的统计和分析。
具体包括平均数、众数、中位数、范围等。
掌握数据处理的基本方法，可以帮助我们更好地学习各种数学知识，以及处理各种实际问题。
总结以上是七年级下册数学的主要知识点。
掌握这些知识点，对于我们进一步学习各种数学知识，以及日常生活中的各种计算和理解都有很大的帮助。
希望同学们在学习数学的过程中，多加探索，多加思考，进一步提升自己的数学水平。
七年级下册数学讲义
目录第一讲同底数幂的乘法 (1)第二讲幂的乘方与积的乘方 (5)第三讲同底数幂的除法 (9)第四讲整式的乘法 (13)第五讲平方差公式（1） (18)第六讲平方差公式（2） (22)第七讲完全平方式(1) (26)第八讲完全平方式(2) (29)第九讲整式的除法 (33)第十讲单元测试 (37)第十一讲两条直线的位置关系 (41)第十二讲平行线的性质 (47)第十三讲平行线的判定(1) (52)第十四讲平行线的判定(2) (57)第十五讲本章复习 (61)第十六讲用表格表示的变量间关系 (66)第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)第一讲 同底数幂的乘法1. 同底数幂的乘法性质：a m ⋅ a n = a m +n (其中 m ,n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.⎛ 1 ⎫3 ⎛ 1 ⎫4例 1. 计算： （1） - ⎪ ⎝ 2 ⎭ • - ⎪⎝ 2 ⎭（2） a 2 • a • a7（3） - a 2• (- a )3（4）32⨯ 27 ⨯ 812. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.例 2.计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x )3(2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )33. 三个或三个以上同底数幂相乘时， 也具有这一性质， 即 a m ⋅ a n ⋅ a p = a m +n + p（ m , n , p 都是正整数）.例 3.计算： （1） (- 2)2• (- 2)3• (- 2) =； （2） a • a 3 • a 5= ；（3） (a + b )(a + b)m(a + b )n=；（4） a 4nan +3a =；4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即 am +n= a m ⋅ a n （ m , n 都是正整数）.例 4. 已知 a m= 2, a n= 3 ，求下列各式的值。
七年级 数学下册讲义
七年级数学下册讲义姓名：正方体的11种展开图第五章相交线与平行线第一讲基本知识【知识点1】邻补角、对顶角的定义和性质1、两直线相交所成的个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.如：2、如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．3、对顶角的重要性质是_________________．如：例1 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．(1)∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角．(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．练习1、判断正误1．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( ) 2．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( ) 3．有一条公共边的两个角是邻补角．( ) 4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( ) 5．对顶角的角平分线在同一直线上．( ) 6．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )2、如图，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠COE ＝90°，则(1)与∠BOD 互补的角有________________________； (2)与∠BOD 互余的角有________________________； (3)与∠EOA 互余的角有________________________；(4)若∠BOD ＝42°17′，则∠AOD ＝__________；∠EOD ＝______；∠AOE ＝______． 3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，若AOD AOC ∠=∠31，则∠BOD 的度数为( )．(A)30° (B)45° (C)60° (D)135°4、已知：如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1．求∠AOF 的度数．5、回答下列问题：(1)三条直线AB ，CD ，EF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(2)四条直线AB ，CD ，EF ，GH 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(3)m条直线a1，a2，a3，…，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?【知识点2】垂线1. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．2．垂线的性质性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．4. 垂线的画法：在同一平面内，可用三角尺或量角器画，步骤：一落，二，三。
人教版七年级下册数学讲义知识点归纳
人教版七年级下册数学讲义知识点归纳第五章相交线与平行线一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：∠一、∠2。
2．对顶角：两个角有一个公共极点，而且一个角的两条边，别离是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：∠一、∠3。
3．对顶角相等。
二、垂线1．垂直：若是两条直线相交成直角，那么这两条直线相互垂直。
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：∠1和∠5。
2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的双侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：∠3和∠5。
3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：∠3和∠6。
四、平行线(一) 平行线1.平行：两条直线不相交。
相互平行的两条直线，互为平行线。
a∥b （在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）2．平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线相互平行。
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行。
(二)平行线的判定：1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
(三)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
第9讲 变量之间的关系七年级数学下册同步精品讲义
第9讲 变量之间的关系1.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.2.表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.3.关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.4.图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.知识点01．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量．【知识拓展1】（2021春•成华区期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ） A ．汽车B ．路程C ．速度D ．时间【即学即练1】（2021秋•天长市月考）一本笔记本5元，买x 本共付y 元，则5和x 分别是（ ） A ．常量，变量B ．变量，变量C ．常量，常量D ．变量，常量【即学即练2】（2021春•莱阳市期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其关系如表所示： 温度℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 传播速度318324330336342348知识精讲目标导航（m/s）则下列说法错误的是（）A．自变量是传播速度，因变量是温度B．温度越高，传播速度越快C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360mD．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s知识点02．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．【知识拓展2】（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是．【即学即练1】（2021秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，若点C的坐标为（x﹣2，2y），则y与x的函数关系式为．【即学即练2】（2021秋•三水区期末）一辆车的油箱有80升汽油，该车行驶时每1小时耗油4升，则油箱的剩余油量y（升）与该车行驶时间x（小时）（0≤x≤20）之间的函数关系式为．【即学即练3】（2021秋•香洲区期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是．【即学即练4】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为．（3）当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由cm2变化到cm2．【即学即练5】（2021秋•密云区期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）A．S＝4x+6B．S＝4x﹣6C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x【即学即练6】（2021秋•临漳县期末）某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x千米，油箱中剩余油量为y升，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝0.12x B．y＝60+0.12xC．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x【即学即练7】（2021秋•滨海县期末）某商场为了增加销售额，推出“元月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡元月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x 的函数关系式是．知识点03．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．【知识拓展3】（2021秋•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟B．小强爬山的速度是爷爷的2倍C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况D．山的高度是480米【即学即练1】（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗美援朝70周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（）A．从小明家到纪念馆的路程是1800米B．小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分C．小明在纪念馆停留45分钟D．小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分【即学即练2】（2021秋•大东区期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为万人．【即学即练3】（2021秋•南岸区期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地．（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？（2）如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；（3）如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．【即学即练4】（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了吨油；运输飞机的油箱有余油量吨油；（2）这些油全部加给运输飞机需分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟吨油；（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行小时．【即学即练5】（2021秋•沛县期末）小明爸爸开车从单位回家，沿途部分路段正在进行施工改造，小明爸爸回家途中距离家的路程ykm与行驶时间xmin之间的函数关系如图所示．结合图象，解决下列问题：（1）小明爸爸回家路上所花时间为min；（2）小明爸爸说：“回家路上，有一段路连续4分钟恰好行驶了2.4千米．”你认为该说法有无可能？若有，请求出这4分钟的起止时间；若没有，请说明理由．【即学即练6】（2021秋•龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．知识点04．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【知识拓展4】（（2021秋•东阳市期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（）A．4B．4C．3D．3【即学即练1】（2021秋•龙岩期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E和点F分别在BC和CD上运动，且保持∠EAF＝45°．若设BE的长为x，EF的长为y，则y与x的函数图象是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•沛县期末）如图1，在矩形ABCD中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，已知y关于x的函数关系如图2所示，则长方形ABCD的面积为（）A．15B．20C．25D．30【即学即练3】（2021秋•金湖县期末）如图（1），△ABC和△A'B'C'是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝∠A'＝90°．点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移，开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是．【即学即练4】（2021秋•龙华区期末）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s 的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△P AB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为cm2．知识点05．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．【知识拓展5】（2021秋•紫金县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：支撑物高h（cm）1020304050…下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56…以下结论错误的是（）A．当h＝40时，t约2.66秒B．随高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒【即学即练1】（2021秋•肇源县期末）河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系：行驶路程s（千米）050100150200…剩余油量Q（升）4035302520…则该汽车每行驶100千米的耗油量为升．【即学即练2】（2021春•富平县期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间t/s010203040油温y/℃1030507090王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（）A．加热10s，油的温度是30℃B．在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃C．估计这种食用油的沸点温度约是230℃D．加热50s，油的温度是100℃知识点06．分段函数（1）一次函数与常函数组合的分段函数．分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）（2）由文字图象信息确定分段函数．根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大．3．各个分段中，准确确定函数关系．4．确定函数图象的最低点和最高点．【知识拓展6】（2021春•滦南县期末）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20【即学即练1】（（2021•永州）已知函数y ＝，若y＝2，则x＝．【即学即练2】（（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x，单位：公里．乘车距离x x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32票价（元）3456每增加1元可乘20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是元．能力拓展【考点1】：用表格表示变量间关系例题1．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0 1 2 3 …油箱剩余油量Q（L）100 94 88 82 …①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．【变式1】（2019·广东深圳市·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；(1)在这个变化过程中，是自变量，是因变量；(填中文)(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为元？(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人.【变式2】（2020·辽宁丹东市·七年级期末）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据．x/人次500 1000 1500 2000 2500 3000 …y/元1000 2000 4000 6000 …（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【考点2】 ：用关系式表示变量间关系例题2．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4链条的长度/cm（2）如果x 节链条的长度是y ，那么y 与x 之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【变式1】（2020·江西九江市·七年级期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度()y cm 与所挂物体的质量()x kg 的一组对应值：所挂物体的质量()x kg 012 3 4 5弹簧长度()y cm18 20 222426 28（1）在这个变化的过程中，自变量是 ；因变量是 ； （2）写出y 与x 之间的关系式，并求出当所挂重物为6kg 时，弹簧的长度为多少？【变式2】（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条的节数/节234链条的长度/cm（2）如果x节链条的长度是y，那么y与x之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【考点3】：用图象表示变量间关系例题3、（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？【变式1】（2020·四川达州市·七年级期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？【变式2】（2020·贵州毕节市·七年级期末）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么？（3）爷爷每天散步多长时间？（4）爷爷散步时最远离家多少米？（5）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、30分钟内、45分钟内的平均速度．【变式3】（2021·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•龙泉驿区期末）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会，然后意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家．若设小亮与家的距离为s（米），他离校的时间为t （分钟），则反映该情景的图象为（）A ．B ．C．D．2．（2021秋•丰台区期末）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2021秋•毕节市期中）油箱中存油60升，油从油箱中均匀流出，流速为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（）A．Q＝0.3t B．t＝60﹣0.3Q C．t＝0.3Q D．Q＝60﹣0.3t4．（2021秋•济阳区期中）一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为（）A．V＝5t B．V＝10t C．V＝5t+10D．V＝80﹣5t5．（2021秋•无棣县期中）已知关于x与y之间的关系如表所示：x1234…y5+0.610+1.215+1.820+2.4…下面用的式子中，正确的是（）A．y＝5x+0.6B．y＝（5+0.6）x C．y＝5+0.6x D．y＝5+0.6+x二．填空题（共3小题）6．（2021秋•成都期末）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是．7．（2021秋•福田区期末）元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品数x（件）之间的关系式，化简后的结果是．8．（2021秋•李沧区期中）如图，甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向丙地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离，写出x，y之间的关系式．三．解答题（共4小题）9．（2021春•庄河市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（6，0），AB∥x 轴，且OA＝AB，动点P从点O出发以2个单位/秒的速度沿O→A→B→C的路线匀速运动，运动到点C 时终止．过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，设点P的运动时间为x（s），线段PQ的长为y．（1）求∠C的度数；（2）求y与x的函数关系式．10．（2021•罗庄区一模）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表．x123456y632 1.5 1.21（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．11．（2021•寻乌县模拟）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大（已知长方体的体积＝长×宽×高）．下面是探究过程，请补充完整：（1）设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，y和x的关系式是；自变量x的取值范围是；（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格：x/dm…1…y/dm3… 1.3 2.2 2.73 2.8 2.5 1.50.9…②描点：根据表中的数值，继续描出2中剩余两个点（x，y）；③在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当图1中小正方形的边长约为dm时，盒子的体积最大，最大值约为dm3（结果精确到0.01）．12．（2020•南山区校级开学）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：x（人）50010001500200025003000…y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000…（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；（3）由表格猜想y与x关系式，并估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人．题组B 能力提升练易错点一：常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识1．（2020·山东济南市·七年级期末）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是( )A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼2．（2020·贵州毕节市·七年级期末）甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程S(km)与时间t（h）之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是（）A．数20和s，t都是变量B．s是常量，数20和t是变量C．数20是常量，s和t是变量D．t是常量，数20和s是变量易错点二：列表法表示变量之间的关系1．（2020·山东青岛市·七年级期末）某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：现销售了105把水壶，则定价约为（）A．115元B．105元C．95元D．85元2．（2020·山东济南市·七年级期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：①根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；②汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．。
新人教版七年级下册数学讲义
新人教版七年级下册数学讲义第一章：整数
整数是数学中非常重要的概念之一。
在这一章中，我们将研究整数的基本概念和运算法则。
1. 整数的概念
整数由正整数、0和负整数组成，以...（文档中内容超过800字，请随意补充相关知识点）
第二章：代数式
代数式是数学中用字母表示数的算式。
在这一章中，我们将研究如何理解和使用代数式。
1. 代数式的概念
代数式由字母、数字和运算符号组成，表示数...（文档中内容超过800字，请随意补充相关知识点）
...
（继续添加章节和相关内容）
第六章：几何图形
几何图形是数学中研究形状和结构的重要内容。
在这一章中，我们将研究各种几何图形的性质和计算方法。
1. 直角三角形
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角。
在这一节中，我们将研究直角三角形的性质和重要定理。
1.1 定理一：勾股定理
勾股定理是直角三角形中非常重要的定理，描述了直角三角形的边之间的关系。
1.2 定理二：余弦定理
余弦定理是直角三角形中另一个重要的定理，描述了直角三角
形的边和角之间的关系。
...
通过本讲义的研究，我们将掌握数学中的一些基本概念和方法，为更深入的数学研究打下坚实的基础。
注：本文档内容仅供参考，具体内容以教材为准。
七年级数学下册第六章实数6.3实数讲义(新人教版)本.ppt
1 …核…心…目…标…..
…
2…课…前…预…习…..
…
3 …课…堂…导…学…..
…
4 …课…后…巩…固…..
…
5 …培…优…学…案…..
…
1
核心目标
能熟练进行实数运算，会比较两个实数的大小，了 解实数与数轴上的点一一对应的关系．
2
课前预习
1．实数与数轴上的点是_一___一__对__应__关系，即每一个实 数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的 每一个点都表示___一__个__实__数_____．
A．3
B．－3
C. 1
3
10．3 27 的相反数是 ( B )
A．－3
B．3
C．±3
D．
1 3
D．2 3
10
课后巩固
11．下列运算正确的是
A. 9 ＝±3 C. 3 (3)3＝3
(D )
B. (2)2＝－2
D. ︱－π︱＝π
12．下列各组数中，互为相反数的是 ( D )
A．－3与 1
3
则、运算律相同．
7
课堂导学
对点训练二 6．计算： (1)3 3＋5 3 ＝___8___3____； (2) 5－( 5－2)＝____2_____；
(3)(3 2 － 3 )＋ 3 ＝___3__2____；
(4)︱3－ 5︱＋3 5 ＝__3__2__5__．
8
课堂导学
7．计算：
(1)
1 3
C．－3与 3 27
B．－5与 25 D．︱－6︱与－6
11
课后巩固
13．化简︱2－ 3︱＋ 3 ＝
(A )
A．2
七年级下数学讲义-全下册100页
例2.如图，依据图形找出能使AD∥BC成立的题设。
15.如图， ， 平分 ， 与 相交于 , 。求证： 。
16.如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB∥CD；（2）∠2 +∠3 = 90°．
17.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，若此长方形以2cm/S的速度沿着A→B方向移动，则经过多长时间，平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24？
18.如图，AB//CD,∠ABE=1200，∠DCE=350，求∠BEC的度数。
19.已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，
求：⑴∠BAC的大小；⑵∠PAG的大小.
20.已知如图，M、N分别是位于两条平行线AB、CD上的两点，点E位于两平行线之间，试问：∠AME与∠CNE和∠MEN之间有何关系？并说明理由．
又∵∠1＝∠2，()
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即∠MEP＝∠______( )
∴EP∥_____．（ ）
13.如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
14.如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF平分∠EOD，试说明AB∥C习题
一、选择题：
1.如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是（）
2.如图，在下列给出的条件中个，不能判断AB⁄⁄FE的是（）
A.∠B+∠2=1800B.∠B=∠3 C.∠1=∠4 D.∠1=∠B
3.图中有直线L截过两直线L1、L2后所形成的八个角，由下列哪一个选项中的条件可判断L1// L2？（）
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第1讲：重点：对顶角、邻补角、垂线，方程思想求角度；探究：相交线规律。
第2讲：重点：平行线的判定，运用等量代换证明；探究：折线形。
第3讲：重点：平行线的性质，折线形；探究：双角平分线形
第4讲：重点：实数相关的概念，开方、解方程；探究：反证法。
第5讲：重点：读点、描点，用坐标表示平移；探究：用坐标求面积。
第6讲：重点：消元法，同解方程组；探究：解特殊方程组。
第7讲：重点：计算题复习，作图、画图题复习；探究：平行线的几何推理。
第8讲：重点：和差倍分（比例）问题，整数解；探究：重叠、包含数量关系。
第9讲：重点：总量和问题，方案问题；探究：牛顿问题。
第10讲：重点：一元一次不等式的解法，一元一次不等式的应用；探究：作差比较法。
第11讲：重点：一元一次不等式组的解法，含参数的讨论；探究：解特殊不等式组。
第12讲：重点：盈不足问题，方案问题；探究：方程组、不等式组结合问题
第13讲：重点：统计调查，统计图；探究：样本估计总体。
第14讲：重点：计算题复习，含参数讨论；探究：应用题
第15讲：重点：平面直角坐标系复习，几何解答题；探究：综合题
能力目标
1、几何图形初步：在已有知识和经验的基础上为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础，探究两条直线所成角的情况得出平行的判定与性质，初步接触到严格的逻辑证明。
2、实数：从典型问题引出开方运算，把运算法则，相反数，绝对值等概念扩充到实数。
3、函数：平面直角坐标系有关的概念和点与坐标的对应关系，突出数形结合思想，既是函数关系的基础又是解决几何问题的工具。
4、方程与不等式：对方程已有认识基础上的发展，做好从一元到二元、三元以及多元的过渡，消元法体现数学化归思想。
5、方程与不等式：不等式（组）是讨论不等关系的数学工具。
通过类比，从方程（组）进行知识迁移。
6、统计：统计来源于生活，它通过对数据的收集、整理、描述和分析，来帮助人们解决问题。
通过数据发现事物发展规律是统计的基本思想。
其他能力目标
第1讲：分类讨论思想
第2讲：演绎推理
第3讲：一题多解
第4讲：知识迁移
第5讲：数学建模思想
第6讲：消元思想
第7讲：错题管理
第8讲：数学建模思想
第9讲：数学建模思想
第10讲：类比思想
第11讲：数形结合思想
第12讲：数学建模思想
第13讲：数学建模思想
第14讲：知识梳理
第15讲：错题管理。