2013年高等数学竞赛练习题
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ．10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设实数a，b满足1012a b≤≤≤≤．证明：2()cos cosb a a bππ-≤-．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．。
2013年全国高中数学联合竞赛加试题及解答
2013年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅二、（本题满分40分）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥， 221,.m m m m a a u a a v +=+⎧⎨=+⎩ 记()121,2,m m S a a a m =+++=.证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.ABCDEFPωωPFEDCBA三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥，求1n p p +得最大可能值.四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除.2013年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅证明连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而 sin =2sin BC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○1 ……………10分 同样sin =2sin AD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○2 另一方面，由于BCE BCP BDP BDF ∠=∠=∠=∠， ACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，故将○1，○,2两式相乘可得4BC ADAC BD⋅=⋅，即4BC AD AC BD ⋅=⋅○3 ABCDEFPωωPFEDCBA……………30分由托勒密定理AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅○4 故由○3，○4得 3AB CD AC BD ⋅=⋅,即EF CD AC BD ⋅=⋅. ……………40分二、（本题满分40分）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥， 221,.m m m m a a u a a v +=+⎧⎨=+⎩记()121,2,m m S a a a m =+++=.证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.证明 对正整数n ，有()()()11112345212221n n n S a a a a a a a +++---=+++++++()()()11222121n n u v a u a v a u a v a u a v --=++++++++++++++()2122n n u v S -=++，……………10分所以 ()()()()12112212121222222n n n n n n S u v S u v u v S --------=++=++++ ()21221222n n u v S ---=⋅++()()()11122n n n u v u v --==-⋅+++()12n u v n -=+⋅.……………20分设2k u v q +=⋅，其中k 是非负整数，q 是奇数.取2n q l =⋅，其中l 为满足()1mod 2l k ≡-的任意正整数，此时2221212n k q l S q l -+⋅-=⋅，注意到q 是奇数，故 ()()()222111110mod 2k q l k l k k k k -+⋅≡-+≡-+-=-≡，所以，21n S -是完全平方数.由于l 有无穷多个，故数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.……………40分三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥，求1n p p +得最大可能值.解 对任意的1,2,,k m =，设第k 题没有答对者有k x 人，则第k 题答对者有k n x -人，由得分规则知，这k n x -个人在第k 题均得到k x 分.设n 个学生得得分之和为S ，则有()21111nm m mik k k k i k k k ps x n x n x x ======-=-∑∑∑∑.因为每一个人在第k 道题上至多得k x 分，故11mk k p x =≤∑.……………10分由于21p p ≥≥，故有23111n n p p p S p p n n +++-≤=--.所以 1111211121112111n m m mk k kk k k S p n Sp p p p n n n n x n x x n n ===--+≤=+----⎛⎫≤⋅+⋅- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 211121mmk k k k x x n ===-⋅-∑∑. ……………20分由柯西不等式得22111mm k k k k x x m ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑， 于是()()()()2111211211111mm n k k k k mk k p p x x m n x m n m n m n ===⎛⎫+≤-⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-⋅--+- ⎪-⎝⎭∑∑∑()1m n ≤-.……………40分另一方面，若有一个学生全部答对，其他1n -个学生全部答错，则()()11111mn k p p p n m n =+==-=-∑.综上所述，1n p p +的最大值为()1m n -. ……………50分四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 证明先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除.……………10分现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k -------，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除. ……………20分若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设1,2,,2l 均在第一组，而1,1,2,,2l ----均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -在第一组，221,1,2,2,,2k ------在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=，被n 整除，故12k -在第一组.因此211,2,2,,2k -均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每一个不超过21k -的正整数均可表示为211,2,2,,2k -中若干个数的和，特别地，因为21k n ≤-，故第一组中有若干个数的和为n ，当然被n 整除，矛盾！因此，将前述2k 个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n 整除.……………50分。
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
=
±
1 2
8.
247 256
.
ab
=
1 4
5
9
18 247
P
=
1−
29
=
. 256
9.
{an}
a1 = 2, an = 2(n + an−1), n = 2, 3, . . .
a1 = 2, a2 = 2(2 + 2) = 8 n 3
an − 2an−1 = 2n, an−1 − 2an−2 = 2(n − 1).
3 6
AB
=
√
3 6
,
P
M
=
√ MH2
+
PH2
=
√
1 12
+2
=
53 6
√ r = 2/6
r
OK
MH 1
√
=
2−r
PO
=∼ ∠KP O =
PM
=, 5
5.
[0, π)
sin 12x = x
4.
x>1
| sin 12x| 1 < x
[0, 1] 3π < 12 < 4π
sin 12x
3/2
2
4
√
6.
f (x)
盘的所有不同可能铺法的数目是 Tn ．下面的图是 n 3 时的两种不同的铺法：
a）求 T10 ；并且 b）求 T2013 的个位数．
2013
0
8
(B )
1. 3 4.
3c4 c = 3, 4 √
2. i = −1
34
c c2 > 43 − 33 > 22,
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(附详细答案)
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ．10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设实数,a b 满足0≤a ≤12≤b ≤1，证明：2()b a -≤cos cos a b ππ-．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．。
2013全国高中数学联赛河北省预赛(含答案)
2013年河北省高中数学竞赛试题一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分．将每小题的答案填在题后的横线上． 1.已知集合1{1,10,}10A =，{lg ,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 2.已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = ．3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖），且相应奖项获奖的概率是以a 为首项、2为公比的等比数列，相应的奖金依次是以700元为首项、140-元为公差的等差数列，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．4.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ．5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 6.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．7.12100l l l 、、、为100条共面且不同的直线，若其中编号为*4()k k N ∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ．则这100条直线的交点个数最多为 ．8.过正四面体1234A A A A 的四个顶点分别作四个相互平行的平面1234αααα、、、，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为 ．二、解答题：共6道小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分14分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2cos 2a C b c =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的取值范围．10. （本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB a =，2AC =，11AA =．点D 在棱11B C 上，且11:1:3B D DC =.（Ⅰ）证明：1BD AC ⊥； （Ⅱ）当α为何值时，二面角11B A D B --的大小为60？1A D 1B 1C BCA11. （本题满分14分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为12，通径长为3. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、． （ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．13. （本题满分15分）已知函数21()()()2xf x a ex a R =-+∈．（Ⅰ）若()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2x y ae =下方，求a 的取值范围．14. （本题满分15分）设4322534A x x x x =+--+，求使A 为完全平方数的整数x 的值．2013全国高中数学联赛河北区预赛解答 1.﹛1﹜ 提示：{lg ,}B y y x x A ==∈=﹛y |y=lg 1，y=lg10, y=lg 1/10 ﹜ =﹛0,1,﹣1﹜, 所以A∩B=﹛1﹜。
2013全国数学联赛试题及答案2
AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ， 由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。 综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r
2
(u v )
r (u v) 都是完全
k
因此，我们取的 2k 个整数满足要求。 原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引 理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数 之和是 n 的倍数。 再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆 的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ， 射线 PE, PF 分别与 交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1
2013中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准
取V x, y, z x2 2 y2 3z2 1 ，曲面 : x2 2 y2 3z2 1 ………
（3 分）
x u
10
0
为求最小值，作变换
y
v
2
，则
x, y, z u,v, w
0
1 2
0 1， 6
z
w
3
大学生数学竞赛(高等数学)
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
n
1.求极限 lim 1 sin 1 4n2 . n
解 因为 sin 1 4n2 sin 1 4n2 2n sin
解 方程两边对 x 求导，得 3x2 6xy 3x2 y 6 y2 y 0 …………………（1 分）
故
y
xx 2y
2y2 x2
，令
y
0 ，得
xx 2y
0
x
0或
x
2 y
………（2
分）
将 x 2 y 代入所给方程得 x 2, y 1，
（2 分）
由于级数
n1
1 n2
收敛，从而由比较判别法的极限形式
n1
f
1 n
收敛。……（3 分）
四、（满分 12 分）设
f
x
,
f x
0a x b ，证明
b
sin
a
f
x dx
2 m
2013年全国高中数学联赛(B卷)参考答案
M; = CM BC
A, B, C, D
AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
AB = BC
AP = P C
P
AC
∠CP D = ∠BP C
C
PD
E
∆BP C ≡ ∆EP C
BC = EC
∆C DE
CD
EC
CD > BC
BC < CD
∠CP D = ∠BP C
∠CP D = ∠BP C
a<0<c
a) P (x, y)
A, B, C AP, BP, CP
y
y
y
kA
=
x
−
a , kB
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
−→ −−→ F A · F B = (x1 − 1)(x2 − 1) + y1y2
= (x1x2 + y1y2) − (x1 + x2) + 1 = −4 − 8 + 1 = −11
mn ≡ m mod 2
j + k + 1 + k + l + 1 ≡ j + l + 1 mod 2.
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年高中数学竞赛培训试题及答案解析(三套题)
） .
4, ．
答案： B ． 解：欲使 f x 的值域为 R ，当使真数 ax2 4 x a 3 可取到一切正数，故或者
a 0 ；或者 a 0 且 42 4a a 3 0 ，解得 0 a 4
2 、设 a 2 b2 1 ， b 0 ，若直线 ax by 2 和椭圆
） .
4, ．
2 、设 a 2 b2 1 ， b 0 ，若直线 ax by 2 和椭圆
x2 y 2 a 1 有公共点，则 的 b 6 2
取值范围是（
）.
1 1 A 、 , ； B 、 1, 1 ； 2 2
C 、 , 1
7 2 u 1 ，所以 因 0 7 2 a b 7 2 7 2
7 2
2 n 1
2 n 1
2 n 1
v 2 n1 S2 n1 2k ，
7 2
2 n 1
2k
7 2
2 n 1
，
2 n 1
10 、 sin 200 sin 400 sin800
.
11 、数列 an 满足： a1 1 ，且对每个 n N * ， an , an1 是方程 x2 3nx bn 0 的
两根，则 bk
k 1
20
.
, 2008 中取出一个 k 元子集 A ，使
2013 年高中数学竞赛培训试题及答案 卷一
一、选择题（每小题 6 分,共 36 分） 若函数 f x lg ax 2 4 x a 3 的值域为 R ， 则实数 a 的取值范围是 （ 1、
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
知 u 2 6 （当且仅当 x y z
30
，等号成立）
3
所以 u 的最大值为 2 6 。 接下来，我们考虑 u 的最小值。不妨设 x y z ，则由 x2 y2 z2 10 得 x 2 10 ，
3
又 u 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 2 x 2
3
2013B 7、设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1 ， f x 1，则 ab 的最大值
为．
1
◆答案：
4 ★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所 以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ， 当 且 仅 当
Байду номын сангаас
MH 3 AB 3 , PM MH 2 PH 2
1
2 5
3
,
6
6
12
6
2013 年全国高中数学联合竞赛试题）（B 卷） 第 1 页 共 7 页
所以 r OK sin KPO MH 1 ,解得 r 2
2 r OP
MP 5
6
2013B 5、在区间 0, 中，方程 sin12x x 的解的个数为
3
3
3
411
法二：由 abc 1 得 a a 3 b 3 c 3 。
2a2
所以
b2
c2
1
a2
a2
a2
2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知sin cos ,cos sin 2αβαβ==，则22sin cos βα+=_______.2、不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为_________.3、已知(表示不超过x 的最大整数)，设方程12012{}2013x x -=的两个不同实数解为12,x x ，则2122013()x x ⨯+=__________.4、在平面直角坐标系中，设点*(,)(,)A x y x y N ∈，一只虫子从原点O 出发，沿x 轴正方向或y 轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A 的不同路线数目记为(,)f x y . 则(,2)f n =_______.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P 到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.6、将20132012表示成两个*1()n n N n+∈型分数的乘积的不同方法数是________.（其中ab 与ba 是同一种表示方法）7、设E 为正方形ABCD 边AB 的中点，分别在边AD 、BC 上任取两点P 、Q ，则∠PEQ 为锐角的概率为__________.8、已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为____________.二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列{}n a 的各项均为正数，121,3a a ==，且对任意*n N ∈，都有2122n n n a a a ++=+．问：是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？10、已知两点)0,26(),0,26(D C -，设A ，B ，M 是椭圆2214x y +=上三点，满足3455OM OA OB =+ ，点N 为线段AB 的中点，求||||NC ND +的值.11、已知*(,)m n m n N <∈，两个有限正整数集合,A B 满足：||||,||A B n A B m==⋂=（这里用||X 表示集合X 的元素个数）.平面向量集{,}k u k AB ∈⋃ 满足1i j i A j B u u ∈∈==∑∑ . 证明：22||.k k A B u m n∈⋃≥+∑。
13届数学竞赛试题及答案
13届数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a和b是两个非零实数，且a + b = 5，求a² + b²的最小值。
A. 5B. 10C. 25D. 502. 一个圆的半径为r，其面积与半径平方的比值是多少？A. πB. 2πrC. πrD. r²3. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第10项是多少？A. 23B. 29C. 32D. 354. 如果一个函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，且f(0) = 1，f(1) = 2，f(-1) = 0，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共30分）5. 若一个多项式P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6可以被分解为(x -1)(x - 2)(x - 3)，那么P(4)的值是______。
6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。
7. 一个正六边形的内角是______度。
8. 如果一个数列的前三项分别为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，那么第5项的值是______。
三、解答题（每题25分，共50分）9. 证明：对于任意正整数n，n³ - n 总是能被6整除。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 4| ≥ 5。
答案一、选择题1. B（根据平方和公式a² + b² = (a + b)² - 2ab，代入得25 -10 = 15）2. A（圆的面积公式为πr²，所以面积与半径平方的比值为π）3. C（等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入得2 + 9*3= 29）4. B（根据函数值代入求得a = 1）二、填空题5. 10（将x=4代入多项式P(x)中计算）6. 5（根据勾股定理3² + 4² = 5²）7. 120（正六边形的内角和为(n-2)*180°，代入n=6得720°，除以6得120°）8. 5（根据数列规律1, 1, 2, 3, 5...）三、解答题9. 证明：n³ - n = n(n² - 1) = n(n + 1)(n - 1)，因为n, n+1, n-1是三个连续的整数，根据连续整数的性质，其中必有一个是6的倍数，所以n³ - n能被6整除。
2013年全国高中数学联合竞赛试题
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1.设集合A={2，0，1，3}，集合B={x|-x∈A，2-x²∉A}，则集合B中所有元素的和为。
2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y²=4x上，满足，F是抛物线的焦点，则。
3.在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，则tanA= 。
4.已知正三棱锥P-ABC底面边长为1，高为，则其内切球半径为。
5.设a,b为实数，函数满足：对任意x∈[0,1]，有。
则ab的最大值为。
6.从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为。
7.若实数x，y满足。
8.已知数列{}共有9项，其中，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有，则这样的数列的个数为。
二、解答题：本大题共3题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列。
满足证明：存在常数C>0，使得10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于的任意一点。
若平面中两个点Q、R满足，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。
11.（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对（a，b），使得对任意实数一、（本题满分40分）如图，AB是圆O的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB，连接PE、PF并延长，与圆O分别相交于点C、D。
求证：EF·CD=AC·BD二、（本题满分40分）给定正整数u、v，数列定义如下：记证明：数列中有无穷多项是完全平方数。
三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m，n ≥2为给定的整数。
每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分，每个学生的总分为其m道题的得分总和，将所有学生总分从高到低排列为，求的最大值。
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案
2
12．如图，梯形 ABCD 中， B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' ， A 、 C 关于 对角线 BD 对称的点分别是 A' 、 C ' ．证明：四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形．
1
13．设实数 a ， b 满足 0 a
b 1 ．证明： 2(b a) cos a cos b ．
连 A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B ’,O,D’共线（角度），由比例线段证毕。
13．设实数 a ， b 满足 0 a 1 b 1 ．证明： 2(b a) cos a cos b ． 2
解： 记 f(x)= cos x 2x
则 f ’(x)= sin x 2
arcsin 2
方数，小王现在的年龄是
．
二．解答题：本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分．
11．设 k 为实数， 0 k
6 ，椭圆 E1 : (x k)2 9
y 2 1 与椭圆 E2 : x 2 9
y2 1 交于点 A 和
C ， E1 的左顶点为 B ， E2 的右顶点为 D （如图），若四边形 ABCD 是正方形，求实数 k ．
( x k )2 6，椭圆 E1 : 9
y2
x2 1 与椭圆 E2 : 9
y2 1 交于点
A 和 C ， E1 的左顶点为 B ， E2 的右顶点为 D （如图），若四边形 ABCD 是正
4
方形，求实数 k ．
解： BD=6-k=AC 又 AC= 36 k 2
3 得 k= 4.8
12．如图，梯形 ABCD 中， B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' ， A 、 C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A' 、C '．证明：四边形 A' B 'C ' D ' 是梯形．
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
（第3题）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）12+ （C ）72+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==2y ==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）E12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）． （A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要（第4题）（第8题）接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．（第8题答案）（第9题答案）另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。