八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘以这两数的差教案 (新版)华东师大版

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八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差教案华东师大版

强化训练
[课本第32页练习3] 用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域事使面积最大，而小亮认为不一定，你认为如何？说说你的道理．
【拓展提升】
例4 计算：
(1)( y＋ x)( x－ y)；
(2)(－ x－0.7a2b)( x－0.7a2b)；
(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．
例5 运用乘法公式计算：7 ×8
【思路点拨】因为7 可改写为8－，8 可改写成8＋，这样可用平方差公式计算．
解：7 ×8 ＝(8－ )(8＋ )＝82－( )2＝64－＝63 .
【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式．
例6 (1)计算：
(2)计算： …
【教师活动】教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．
通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．
教学
重点
方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．
教学
难点
平方差公式的应用．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回故
在前面我们学习了多项式乘以多项式．大家回顾一下它的计算方法并完成下面的练习：
【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳．
计算：(1)(2x＋ )(2x－ )；(2)(－x＋2)(－x－2)；
(3)(－2x＋y)(2x＋y)；(4)(y－x)(－x－y)．
通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b.

八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差学案华东师大版

12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b ）（a －b ），从而验证了平方差公式（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算：)421)(214(22x x +-．【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式．【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ．【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y —2x)(—2x —y).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：()()()()()224488x y x y x y x y x y -++++.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到()22x y-，它与第三项()22x y +又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=()()()()22224488x yx y x y x y -+++=()()()444488x y x y x y -++ =()()88881616.x y x y x y -+=-【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++- 知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a －3)(2a －5)=[(2a+3)(2a －3)][(3a+5)(3a －5)]=(4a 2-9)(9a 2－25)=36a 4－181a 2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x —2).知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++．【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解】原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(8422++++- ＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成14-后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222=-=-=+-=++-=++. 请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 知识点5：逆用平方差公式例5．计算：22)43()32(a b b a --+【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32b a +”与“a b 43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便．解：22)43()32(a b b a --+ab a a b a a b b a a b b a 4126322433243322+-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211. 知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算293.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】()()864949860077937939322=+=+-+=. 【方法归纳】公式()()22b a b a b a -=-+可以变形为()()22b b a b a a +-+=. 对应练习：计算：298知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x 2-4x+4-y 2+6y-9=x 2-y 2-4x +6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：()()3232-++-b a b a易错警示例8、计算：(2x +3)(2y -3).错解：(2x +3)(2y -3)=4xy -9.错解分析：(2x +3)(2y -3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．正解：(2x +3)(2y -3)=4xy -6x +6y -9.例9、(2x +9)(2x -9).错解：(2x +9)(2x -9)=4x 2-9.错解分析：(2x +9)(2x -9)应等于2x 与9的平方差，即(2x )2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．正解：(2x +9)(2x -9)=(2x )2-92=4x 2-81.例10、(a 3-8)(a 3+8).错解：(a 3-8)(a 3+8)=a 9-64.错解分析：(a 3-8)(a 3+8)中(a 3)2=a 6，而(a 3)2≠a 9.正解：(a 3-8)(a 3+8)=(a 3)2-82=a 6-64.例11、(-2a -7)(2a -7)．错解：(-2a -7)(2a -7)＝4a 2-49.错解分析：(-2a -7)(2a -7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a -7)(2a -7)≠(-2a )2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a -7)(2a -7)=(-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2或(-2a -7)(2a -7)=－(2a +7)(2a -7) =－[(2a )2-72]．正解： (-2a -7)(2a -7) = (-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2=49-4a 2．课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是（用字母表示）．2、已知2a b +=，则224a b b -+的值是 3、下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点2：平方差公式的实际应用 4、一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为___________米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：2221123443m n n m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;6、计算：(3x-2y)(9x 2+4y 2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.(4)指数变化:(a 2+b 3)(a 2-b 3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a 2+b 2)= __________________.课后作业练习基础训练一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______.4、=---))((22x a x a _______.5、=++-))()((22b a b a b a _______.6、=-+-))((y x y x _______.7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______.8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（）A )22)(2(b a b a +--;B )2)(2(a b b a +-;C )2)(2(b a b a +--;D )2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（）A )56)(56(x y x y --+- ;B )56)(65(x y y x +-;C )56)(56(x y x y ++- ;D )65)(65(y x y x +--.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y+1)]2三、解答题12、计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .提高训练14、解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b 2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y 2=4x 2—y2.2.解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++-＝16168888))((b a b a b a -=+-．3.解：原式=(x+2)(x —2)(x 2+4)=(x 2—4)(x 2+4)=x 4—16.4.答案：25.解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+10111011411411311311211211 1091011434532342123⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011=. 6.解：()()96044960022982989822=+=+-+=.7.答案：96422-+-b b a . 课堂作业练习参考答案：1、答案：()()22a b a b a b +-=- 2、答案：43、答案：D4、答案：（3x -）5、解:原式=22224211134916m n m n ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x 2+4y 2) =(4y 2-9x 2)(9x 2+4y 2)=16y 4-81x 47、(1)a 2-b 2 (2)b 2-a 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a 4-b 6 (5)(a-c)2-4b 2=a 2-2ac+c 2-4b 2(6)a 4-b 4课后作业练习参考答案：1～8：24y -；224y x -；229141b a -；24a x -；44b a -；22x y -；0；91,91. 9、D ；10、A ；11、D12、23n ；13、化简结果为24x x -，求值结果为12；14、5.2=x15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2) =16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2)17、解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a 2+9b 2)=(4a 2-9b 2)(4a 2+9b 2) =(4a 2)2-(9b 2)2=16a 4-81b 4(米3) 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

山西省泽州县晋庙铺镇八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘

3.在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
学习重点
平方差公式的推导和运用。
学习难点
公式中字母的广泛含义。
导学过程
复备栏
【温故互查】
多项式与多项式相乘的法则是什么？
【设问导读】
计算（a+b）(a-b)=
公式(a+b)(a-b)=a2-b2有何特征？
用语言叙述这一公式
【自学检测】
计算：
（1）(a+3)(a-3)（2）(2a+3b)(2a-3b)
（3）(-2x-y)(2x-y)（4）(-2x+y)(2x+y)
【巩固训练】
63 57= 101 99=
8 .2 7.8= 75 65 =
1998 22x-y+3)
2、(2+1)(22+1)(24+1)+…+(264 +1)+1
教学反思
教学反思
安全提示
两数和乘以这两数的差
年级
八
学科
数学
课型
新授
授课人
学习内容
两数和乘以这两数的差
学习目标
1.会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
2.自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。

八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式12.3.2两数和(差)的平方教案新版华东师大版

12．3.2 两数和(差)的平方1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点,并会用式子表示．2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法．3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出,使学生明白数形结合的思想．重点掌握公式的特点,牢记公式．难点具体问题,具体分析,灵活运用．一、创设情境王老汉开辟了一个正方形的菜园,它的边长是(a＋b),则它的面积是多少？学生活动：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(用多项式乘以多项式算得)教师活动：有没有更简洁的方法？回答是有的,今天将给大家一个满意的回答．二、探究新知1．计算：(x＋a)(x＋b)＝________.2．在(x＋a)(x＋b)中,若a＝b,那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？[学生回答：变为(x＋a)(x＋a),计算结果是x2＋2ax＋a2.由此教师指出可得另一个乘法公式,即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,由此引入课题．]3．这个公式的左边和右边各有什么特点？(引导学生观察,说出各公式左边和右边的特点,并能用语言叙述,教师再加以纠正、完善．)4．(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？(强化学生对公式结构的理解,防止今后出现类似的错误．)5．你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？引导学生将“－b”看作一个数,将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2,并指出这也是一个乘法公式： (a－b)2＝a2－2ab＋b2.6．你能用图形证明(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？在左图中,大正方形的面积是(a＋b)2, 它由两个小正方形和两个相等的长方形组成,两个小正方形的面积分别是a2,b2,长方形的面积是ab,所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.在右图中,大正方形的面积是a2,两个小正方形的面积分别是(a－b)2,b2,两个相等的长方形面积都是(a－b)·b,于是有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2,即(a－b)2＝a2－2(a－b)·b －b2＝a2－2ab＋b2.7．比较(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2这两个公式,它们有什么不同？有什么联系？[引导学生进一步总结公式的结构特点,公式的左边是两数和(或差)的平方,右边是一个三项式,其中两项是这两个数的平方,另一项是这两个数积的2倍．](a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍．三、练习巩固1．计算：(1)(a －b)2；(2)(3x －2y)2；(3)(－12m ＋1)2. 2．已知x ＋y ＝4,xy ＝2,求：(1)x 2＋y 2；(2)3x 2－xy ＋3y 2；(3)x －y.3．已知x 2＋y 2＝6,xy ＝5,求x ＋y.4．已知a,b 满足(a ＋b)2＝1,(a －b)2＝25,试求a 2＋b 2＋ab 的值．四、小结与作业小结1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况,熟记它们的特点．2．公式中字母可以是数,也可以是单项式或多项式．3．在解决具体问题时,要先考查题目是否符合公式的条件,然后再应用公式计算．4．要特别注意一些易出现的错误,如：(a±b)2＝a 2±b 2.作业教材第37页习题12.3第3,4题．本节课在初中数学中占有重要地位,特别是公式应完全掌握,教学时为防止类比平方差公式,出现(a ＋b)2＝a 2＋b 2的错误,教师给出了口诀,相信同学们都能掌握该公式的结构特征．教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导,本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导,进一步体现转化思想,也加深了对两数和的平方公式的理解．本节课中的公式恒等变形较灵活,逻辑性较强,对学习困难的学生给予更多指导与关心．。

2019八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差教案

(3)(8a2b－1)(1＋8a2b)(4)20082－2009×2007
2．计算：(a＋ b)(a－ b)－(3a－2b)(3a＋2b)
【教师活动】请部分学生上讲台“板演”，然后组织学生交流．
【学生活动】先独立完成课堂演练，再与同学交流．
3．计算：(1)105×95(2)1.97×2.03
【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳．
【学生活动】先独立完成上面的演练题，再与同伴交流．
4．计算：(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ )＋ .
课堂总结
本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．
＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.
强化训练：(课本第32页练习1)
计算：(1)(2x＋ )(2x－ )；(2)(－x＋2)(－x－2)；
(3)(－2x＋y)(2x＋y)；(4)(y－x)(－x－y)．
通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b.
例2[教材例2—第32页]计算：1998×2002.
(3)(x＋5y)(x－5y)；(4)(y＋3z)(y－3z)．
做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．
从学生的已有的知识出发，利用多媒体，激发学生的强烈的好奇心和求知欲.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】平方差公式
【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：
(3)(1＋2c)(1－2c)；(4)(－2x－y)(2x－y)．

八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版

1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x －； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝－1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32

2018秋八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘以这两数的

C．12
D．15
【解析】∵a2－b2＋6b＝(a＋b)(a－b)＋6b，a＋b＝3， ∴a2－b2＋6b＝3(a－b)＋6b＝3(a＋b)＝3×3＝9.
6. 若(2x＋3y)(m x－ny)＝9y2－4x2，则 m ，n 的值为 (B )
A．m ＝2，n＝3 B．m ＝－2，n＝－3 C．m ＝2，n＝－3 D．m ＝－2，n＝3 7. 2019×2017－20182＝－1 ．
3. 平方差公式逆用：a2－b2＝ (a＋b)(a－b)
．
知识点两数和乘这两数的差的运算
1. 计算(2a＋b)(2a－b)的结果是( A )
A．4a2－b2
B．b2－4a2
C．2a2－b2
D．b2－2a2
2. 下列各式能用平方差公式计算的是( D ) A．(2a－13b)(－13a－2b) B．(a－b)(b－a) C．(－m 2n＋2)(m 2n－2) D．(3a－bc)(－bc－3a)
(2)设两个连续偶数为 2k＋2 和 2k(其中 k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？
解：是 4 的倍数，理由：∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4 ＝4(2k＋1)．∵k 为非负数，∴4(2k＋1)是 4 的倍数．
＝225556；
(3)1. 01×0. 99；解：原式＝(1＋0. 01)×(1－0. 01) ＝0. 9999；
38 (4)711×611. 解：原式＝(7＋131)(7－131)＝48111221.
9. 已知 a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求 a2－b2 的值．
解：把 b－c＝2，a＋c＝14 相加得：a＋b＝16，所以 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.

八年级数学上册第十二章整式的乘除 12.3 两数和乘以这两数的差课件

第三页，共十九页。
归纳结论(jiélùn)
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.
第四页，共十九页。
3.应用平方差公式的注意应注意些什么？（1）注意平方差公式的适用范围（2）字母a、b可以是数，也可以是整式(zhěnɡ shì) （3）注意计算过程中的符号和括号
(-2x-y)(2x-y) (y)2 (2x)2 y2 4x2
第七页，共十九页。
随堂演练(yǎn
liàn)
1.填空题
(x+6)(6-x)=
36-x2 ，
(-x+ 1 )(-x- 1 )=
，
2
2
(-2a2-5b)( -2a2+5b)=4a2-25b2.
第八页，共十九页。
2.下列式中能用平方差公式(gōngshì)计算的有(D )
①(x- 1 y)(x+ 2
12y)，
②(3a-bc)(-bc-3a)， ③(3-x+y)(3+x+y)， ④(100+1)(100-1). A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
第九页，共十九页。
3.下列(xiàliè)式中，运算正确的是(C )
①(22a)2=4a2；
②(-
1 3
x+1)(1+
13x)=1-
x1 2；
9
③(m-1)2(1-m)3=(m-1)5；
④2a×4b×8=2a+2b+3.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
第十页，共十九页。
4.乘法等式中的字母a、b表示( D) A.只能(zhī nénɡ)是数 B.只能是单项式

八年级数学上册第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差导学课件

第十四页，共十八页。
12.3 乘法公式 (chéngfǎ)
解：原租地面积(miàn jī)为a2平方米，现在的面积为(a＋2)(a－2)＝(a2－4)(米2)．因为a2－4<a2，所以王大爷吃亏了．
【归纳总结】在运用平方差公式解决实际(shíjì)问题时，要认真分析题意，把实际(shíjì)问题转化为数学问题来解决．
3．在理解平方差公式结构特点的基础上，能运用公式进行简便算． 4．经过思考、转化，会用平方差公式解决实际问题．
第三页，共十八页。
12.3 乘法公式 (chéngfǎ)
目标突破
目标(mùbiāo)一会运用平方差公式进行计算
例 1 [教材例 1 针对训练] 计算： (1)(3x＋2y)(2y－3x)； (2)(－2m－3n)(2m－3n)； (3)(a2＋b2)(a2－b2)； (4)(x－12)(x＋12)(x2＋14)．
第十八页，共十八页。
图 12－3－1
第八页，共十八页。
12.3 乘法公式 (chéngfǎ)
【解析】 (1)先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出S1，再根据梯形的面积公式即可求出S2. (2)根据(1)的结果(jiē guǒ)，可直接写出乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
解：(1)∵大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，∴S1＝a2－b2. 由梯形的面积公式可得 S2＝12(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)． (2)根据题意，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
第五页，共十八页。
12.3 乘法公式 (chéngfǎ)
(4)x－12
x＋12x2＋14
＝x2－122x2＋14
＝x2－14x2＋14

八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式12.3.1两数和乘以这两数的差教案新版华东师大版

12．3 乘法公式12．3.1 两数和乘以这两数的差1．能说出平方差公式的特点,并会用式子表示．2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法．3．通过平方差公式得出的过程,使学生明白数形结合的思想．重点掌握平方差公式的特点,牢记公式．难点具体问题要具体分析,会运用公式进行计算．一、创设情境教师展示多媒体,引出问题学生自主解答．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要加长2米,而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：(a＋2)(a－2)＝a2－4.二、探究新知请同学们计算：(1)(a＋b)(a－b)；(2)(x＋3)(x－3)．并结合计算结果思考下列问题：1．等式左边的两个多项式有什么特点？2．等式右边的多项式有什么特点？3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？(1)(a＋2)(a－2)；(2)(3a＋1)(3a－1)．4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？教师答疑总结：对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.学生解决问题：学生根据教师提出的问题,分组讨论,由小组长做好记录．学生反馈问题：每组自告奋勇回答,把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报．并提出自己小组存在的问题．学出提出：(1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？(2)(a＋2)(a－2)型,可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？(3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然,我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题)得出两数和乘以这两数差的乘法公式的基本特征：两个二项式相乘,一项相同,一项相反,且相同的写在前面．教师提出问题：(你会用两数和乘以这两数差的乘法公式了吗？)请你计算：(独立思考)1．计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)；(3)(1＋2c)(1－2c)；(4)(－2x－y)(2x－y)．2．观察：(－2x＋7)( ),在括号内填入怎样的代数式,才能运用两数和乘以这两数差的公式进行计算？由此你想到了什么规律？学生动手,动脑：做教材第31页“试一试”．学生由面积相等推得两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.三、练习巩固1．计算：(y＋x)(y－x)(x2＋y2)(x4＋y4)．2．计算：(1)20172－2016×2018；(2)3×(4＋1)(42＋1)＋1.四、小结与作业小结这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结．作业教材第36页习题12.3第1题．本节课重在应用平方差公式计算,而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征,在学生合作探索平方差公式后,教师要求学生构造具有平方差公式的习题,并计算,具有开放性,大大调动了学生的积极性与学习激情．在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时,让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式,再解决相应数学问题是数学创造性的表现！。

第12章 12.3 1.两数和乘以这两数的差

D．(3a＋2b)(3a－8b)
9．若(－a－a＋b
B．－a－b
C．a－b
D．a＋b
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C )
A．x4＋16
B．－x4－16
C．x4－16
D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C )
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 1:54:33 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
15．计算： (1)(x＋1)(x－1)－x2；解：原式＝－1； (2)(－7m＋n)(n＋7m)；解：原式＝n2－49m2； (3)(3y＋1)(3y－1)－(2y＋3)(2y－3)．解：原式＝5y2＋8.
16．用简便方法计算：
(1)1415×1354；解：原式＝1952245；
(2)97×103. 解：原式＝9991.
自我诊断 2. (六盘水中考)2017×1983＝ 3999711 .
易错点：对公式的认识不完整．
自我诊断 3. 计算：(－xy＋12)(－xy－21)＝ x2y2－41

山西省泽州县晋庙铺镇八年级数学上册第12章整式的乘

【自学检测】
计算：1、(2a+3b)2 2、(2a+ )2
3、(2x-3y)24、( a- b)2
【巩固训练】
计算：
1、(a+b +c)22、(a+b) 2-(a-b)2
【拓展延伸】
板书设计
教学反思
安全提示
【设问导读】
1、接下来请同学们计算下列各题：
①(m+2)(m+2)②(2a+3b) (2a+3b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能进一步利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2推导(a-b)2=a2-2ab+b2吗？
阅读课本“试一试”，还有什么方法可以得出公式？
公式特征：左边是两数和（或差）的平方，右边是一个三项式，即“首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央”。【自学检测】
两数和（差）的平方
年级
八
学科
数学
课型
新授
授课人
学习内容
两数和（差）的平方
学习目标
1.会推导两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
2.通过计算、观察，得出公式，再通过观察公式的几何背景、图形，运用公式计算，理解两数和的平方公式，并形成一定的运用公式计算的能力。
3 .在推导和运用两数和的平方公式的过 ห้องสมุดไป่ตู้中，体会数形结合的思想方法，发展数学思维能力。
学习重点
推导和运用两数和的平方公式。
学习难点
公式的结构特征及公式中字母的意义。
导学过程
复备栏
【温故互查】

八年级数学第12章整式的乘除 12.3 乘法公式 2 两数和(差)的平方数学

思考(sīkǎo)
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定(yīdìng)相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
由①-②，得 4xy=48，
∴xy=12.
解题(jiě tí)时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 12/10/2021
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
第十六页，共十九页。
4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
例2 计算(jì suàn)： (1)(3x-2y)3; 解：（1）(3x-2y)2
=(3x)2-2•3x•2y+(2y)2 =9x2-12xy+4y2；
12/10/2021
(2)( 1 m 1)2. 2
（ 2 ）解法 1 (- 1 m 1)2
2
( 1 m )2 2 ( 1 m ) 1 12
(ab)2 [a(b)]2 a2 2a(b)(b)2
注意到a-b=a+(-b),也
可以利用(lìyòng)两数和的平方公式来计算
a2 2abb2
这样就得到了两数差的平方公式：（a-b)2= a2-2ab+b2 .

八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘以这两数的差教案 (新版)华东师大版

八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差教案 华东师大版

八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差学案 华东师大版

山西省泽州县晋庙铺镇八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘