圆的知识点总结与典型例题

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圆的知识点总结及典型例题

一、圆的概念

集合形式的概念：圆能够看作是到定点的距离等于定长的点的集合；二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；

2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；

3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；

2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；

3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；

d=r

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；

图3

R d

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD

九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版

【学习目标】

九年级数学上册

第24 章《圆》知识点梳理

1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1.圆的定义

(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心

1 2

是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理

【学习目标】

1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、

等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.

2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.

3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的

观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义

1.圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

第二十四章圆知识点及典型例题

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内⇔d r

<⇔点C在圆内；

2、点在圆上⇔d r

=⇔点B在圆上；

3、点在圆外⇔d r

>⇔点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离⇔d r

>⇔无交点；

2、直线与圆相切⇔d r

=⇔有一个交点；

3、直线与圆相交⇔d r

<⇔有两个交点；

四、圆与圆的位置关系(选记)

外离⇔无交点⇔d R r

>+；

外切⇔有一个交点⇔d R r

=+；

相交⇔有两个交点⇔R r d R r

-<<+；

内切⇔有一个交点⇔d R r

=-；

内含⇔无交点⇔d R r

<-；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的

两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系

知识点归纳及中考典型例题解析

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

初三数学圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结

（一）圆的有关性质

［知识归纳］

1. 圆的有关概念：

圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两

个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不

是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对

的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心

距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个

就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两

人教版第24章圆的知识点及典型例题

圆知识点总结

一．圆的定义

1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

二．同圆、同心圆、等圆

1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3．半径相等的圆叫做等圆．

三．弦和弧

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

四．与圆有关的角及相关定理

1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

…

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．

小学数学圆的知识点归纳、复习

圆的知识点归纳复习

一、基本知识点

1 圆的初步认识

圆中心的一点叫圆心,用O表示。一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示。两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示。

圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴（对称轴为直径所在的直线）。圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。同圆或等圆的半径相等，直径相等

考点：

1.1 判断

A:圆的半径都相等，直径也都相等答案：错误。为什么？

B:直径是圆的对称轴。答案：错误。为什么？

C:在同一个圆中：两条半径就是一条直径答案：错误。为什么？

D:两端都在圆上的线段就是一条直径答案：错误。为什么？

1.2 画下列图形的对称轴（注意：不要少画）

1.3 在一个正方形中画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；在一个长方形（长大于宽）中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽

二圆的周长（用C来表示）

1 圆周长的认识

圆一周的长度就是圆的周长。

任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 所以任何一个圆的圆周率，都不随圆的大小而变化，用字母π表示。计算时通常取3.14，注意π是一个固定值，而3.14是一个近似值。

圆的周长

圆周率圆的周长圆的直径

圆的直径。

圆的周长公式：C=πd 或C=2πr

一个圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍。

注意：π是一个无限不循环小数；圆的周长比直径的3倍多一点；大圆的圆周率和小圆的圆周率一样，都是π；半径和直径不要看错

考点：

1.1 半径或直径变化引起圆周长的变化：

（1）一个圆的半径扩大到原来的5倍，周长如何变化？一个圆半径增加2分米，直径如何变化，周长增加多少？

圆各种题型——典型例题

（第2题）

圆

1.如图，水平地面上有一面积为2

30cm π的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（）

A 、20cm

B 、24cm

C 、

10cm π D 、30cm π

2．如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则

124:S S 的值等于．

如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，

它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．

街道旁边有一根电线杆AB 和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A 的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G ，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E ，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，DE=2米。

（1）求电线杆落在广告牌上的营长（即CG ︵

的长度，精确到0.1米）（2

解：（1）∵CG =

×2π×3≈4.7， ∴电线杆落在广告牌上的影长约为4.7米．

（2）连结OF ，过G 作GH ⊥AB 于H ，则BOGH 是矩形．

∵OG=3，BO=BC+CO=8， ∴BH=3，GH=8． ∵FE 是⊙O 的切线， ∴∠OFE=90°．

（第12题图）

（n +1）个图

∴

．

∵∠E=∠AGH ，∠OFE=∠AHG=90°， ∴△AGH ∽△OEF ， ∴

,8FE OF HG AH AH

==即．解得AH=6．即AB=AH+HB=6+3=9．

圆重要知识点及典型例题

1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周

角中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。例：在ABC

∆中，90,40,

∠=︒∠=︒以C为圆心，CB为半径的圆交AB

ACB A

于点D，求ACD

∠的度数.

⏜=BD⏜

②弦AB、CD在点O的同侧：AC

⏜=BD⏜

③弦AB、CD在点O的两侧：AC

2.垂径定理：

过圆心、垂直于弦、平分弦、平分两条弧

注意：在半径、弦、弦心距、弓形高中，由任意两个量可求出其

它量（注意构造直角三角形）。

例：某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为

10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

例：⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．

圆内接四边形对角互补。圆内接四边形外角等于内对角。

例：已知：如图AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC 延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．

例：AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，6050

∠=︒∠=︒

ACD ADC

，，

例且

5.切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角。

已知：PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线.

求证：∠PAC=∠D.

证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点E，连接CE。

∵PA是⊙O的切线

∴OA⊥PA，即∠PAE=90

人教版第24章圆的知识点与典型例题

圆知识点总结

一．圆的定义

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆

1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3．半径相等的圆叫做等圆．

三．弦和弧

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

四．与圆有关的角及相关定理

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程

222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了

圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程

将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得0222

2222=-++--+r b a by ax y x 。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :

220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如

0x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程02

++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222

D E D E F

x x +-+++=

（1）当F E D 42

-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程

2=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E

--为圆心，以2242D E F

+-为半径的圆。

（3）当F E D 42

-+＜0时，方程

2=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：

当22

4D E F +-＞0时，方程2

(完整版)圆复习讲义

站在此圆外投标

圆的综合复习

【重难点】

圆是我们研究曲线图形的开始，在观中、操作中体会圆的特征及培养空间观念。一、圆的简单认识引：1、哪种方式更公平？

2、车轮为什么是圆的呢？

圆心到圆上的任意一点距离相等，圆在滚动时，圆心在一条直线上，这样的车轮滚动时才平稳。 3、井盖为什么是圆的？

圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等，无论井盖怎样旋转，都不会掉到井中。方形的一边要比其对角线短，一旦井盖翻转，就有可能掉入其中；还有为了节省材料、美观等。 4、水桶为什么一般都是圆的？

【知识点】

1、圆中心的一点叫圆心,用O 表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,常用r 表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,常用d 表示。圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。

2、一个圆有无数条半径，无数条直径。同圆中所有的半径都相等，所有的直径也都相等，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =（或半径是直径的一半，字母关系式为

r d =

）。 3、圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。在圆内最长的线段是直径。将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置。 4、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

5、圆心相同的两个圆（同心圆），半径不一定相等；半径相等的两个圆（等圆），圆心不一定相同。只有当两个圆的圆心相同、半径相等时，它们才叫同圆。

二、圆的周长（用C来表示）

1、围成员的曲线的长度就是圆的周长。

2、测量圆周长的方法：1）以圆上某点开始，圆片向右滚动一周，量它的长度，即圆片滚动一周的长度即为圆的周长；2）用绳子绕圆一周，再测量绳子的长度。

圆的基本性质知识点及典型例题

圆的基本性质

一、知识点梳理

★知识点一：圆的定义及有关概念

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直

径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：

r 表示圆的半径， d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。

例 1、如图，在Rt△ ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC ，

AC的中点，以点 A 为圆心，AB的长为半径画圆，则点 E 在圆 A 的 _________ ，点

F在圆 A 的 _________．

例

2、在直角坐标平面内，圆

的半径为，圆心

的坐标为 (1， 4) ．试判断

点 P(3， 1) 与圆 O 的位置关系．

例 3、下列说法中，正确的是。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（ 4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例 4、有下列四个命题：（ 1）直径相等的两个圆是等圆；（ 2）长度相等的两条弧是等弧；（ 3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。★知识点三：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。

《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质

第一节圆第二节圆的轴对称性第三节圆心角第四节圆周角第五节弧长及扇形的面积第六节侧面积及全面积六大知识点：

1、圆的概念及点与圆的位置关系

2、三角形的外接圆

3、垂径定理

4、垂径定理的逆定理及其应用

5、圆心角的概念及其性质

6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】

1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的叫做圆，定点O 叫做，线段OP 叫做圆的，以点O 为圆心的圆记作，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆

5、点与圆的三种位置关系：

若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：

点P 在⊙O 外；

点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内。

6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上

7、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。三角形的外心是三角形三条边的

【典型例题】

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