22.2.2解一元二次方程(根的判别式)

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22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)

东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级：九年级学科：数学命题人：王金涛审核人：叶书生
东辛店中学验标题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是，求根公式是。

2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。

3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。

4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是。

2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。

22.2一元二次方程根的判别式

2 2 x 2 ( a 2 ) x a 16 0 例4.已知关于x 的方程
的一次项系数是正数，且有两个实数根，求a 的整数值。
解：由已知得：
2 a 2) 0 （ 2 2 2(a 2) 4(a 16) 0
解这个不等式组得：
2
a 0, 4a 0
2
反过来，对于方程
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
如果方程有两个不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
方程 ax bx c 0(a 0)的根的判别式 :
3.不解方程，判别关于 x 的方程
2 2
a x ax 1 0 a 0 的根的情况.
(a) 4a (1) 5a , 且a 0
2 2 2
解：
5a 0,即 0
2
所以，原方程有两个不相等的实数根。
例2 已知关于x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx (m 2) 0
m 2,即m的取值范围是m 2
m 1 0 m 1 即： (2) 由已知得： 4m 8 0 m 2
得 m＞2，∴m 的取值范围是m＞2
注：一元二次方程的条件是二次项系数不为零.在这个条件下再看根的条件。
例3.求证：当a和c 的符号相反时，一元二次方程
2
b 4ac
2
0 有两个不等实根 0 有两个相等实根 0 没有实根

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法根的判别式》精品课件_1

根的判别式情况
写出根
根的情况
△＞0 △＝0 △＜0
x1 = -b +
b 2 - 4ac 2a
x2 = -b -
b 2 - 4ac 2a
-b? 0 b
x1 =x2 =
2a
=2a
方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根
b 2 - 4ac ＜0 x1,x2不存在方程没有实数根
你能迅速判断下列方程根的情况吗？（1）x2 + 3x +2=0 （2）x2 - 4x + 4=0 （3）x2 + 2x + 3=0
判断方没程有化根成一的般形情式况： 3x2 + 5x =4
解：化为一般形式，得
解：∵a=3，b=5，c=4 3x2 + 5x -4=0
∴ △=52-4×3×4 = 25-48 =-24＜0
∵a=3，b=5，c=-4 ∴ △=52-4×3×（-4）
= 25+48 =73＞0
∴方程没有实数根 ∴方程有两个不相等的实数根
选做题：
说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0.
总有两个不相等的实根
A．x2＋1＝0
B. x2+x-1＝0
C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
2、关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是( D )
A.k＜9 C. k≤9且且k≠0
B.k ＞9 D. k<9且k≠0
必做题：
1、不解方程判定下列方程根的情况（1）2x-x2-2=0 （2）4（y2－y）+1＝0 2、当k取何值时，关于x的方程x2-（2k+1）x+k2=2没有实数根？

(课件7)22.2一元二次方程根的判别式

2 2
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x

解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2

2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.

解一元二次方程(公式法)课件

,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）有两个相等的实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）无实数根．
2．求根公式
ax2 bx c 0(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
方程右边的值有哪些情况呢？从而方程的解的个数及解的情况又如何呢？说说你的想法。
因为a≠0,4a2＞0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有两个不相等的实数根．
x1 b
x b b2 4ac 2a
3．知识归纳
方程 ax2 bx c 0(a 0)
x b b2 4ac 2a
x1
x2
b ; 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根. 3、代入求根公式 : x b b2 4ac ；
1.探究新知
问题：我们知道，任意一个一元二次方程都可以转化为一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
你能用配方法得出它的解吗？试试看！
解：移项，得 ax2 bxc
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b
2
2a
c a
b
2

22.2解一元二次方程公式法教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有广泛的应用，是解决实际问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何运用公式法帮助我们解决问题。
4.增强学生的数据分析观念，通过对判别式Δ的分析，培养学生对数学问题进行深入探讨的能力。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励他们通过一元二次方程的学习，探索数学问题的内在规律，培养创新意识。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合运用能力和数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的标准形式及其相关概念，特别是系数a、b、c的作用和意义。
-提供多道练习题，让学生在教师的指导下逐步完成，特别关注符号的准确使用。
（4）对于解的情况的分类讨论，教师可以通过以下方式帮助学生理解：
-通过图形展示，当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ < 0时，抛物线与x轴无交点。
-引导学生思考，为什么在实际情境中，无实数根可能意味着某件事不可行或不存在。
-掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式进行计算。
-理解判别式Δ的计算方法及其与方程根的关系，能够根据Δ的值判断根的情况。
-能够将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决。
举例解释：在讲解重点内容时，教师可以通过以下例题进行强调：
（1）方程2x² - 5x + 3 = 0中，指出a、b、c的值及其对应的物理意义。
（2）给定方程的系数，如a = 1, b = -3, c = 2，要求学生直接写出求根公式并计算。

22.2.2_一元二次方程的解法_公式法

. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 2 4ac 8 8 0
பைடு நூலகம்
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
x
b
例4 解方程： x 2 1 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
解 : x 3x 1.5 0
2
a 1, b 3, c 1.5 b 4ac 9 6 3 0
2
1 9 1 3 x 2 2 4 1 x1 1, x2 . 2
3 3 x 2
3 3 3 3 x1 , x2 . 2 2
3.用公式法解下列方程： 1 2 (2)x2+4x+8=4x+11 (1) x 3 x 0 4 2 解: 解: x 3 0
1 a 1, b 3 , c 4 b 2 4ac 3 1 4 0
随堂练习
a 1, b 0, c 3 b 4ac 0 12 12 0
2
( 3 ) 4 32 x 2 2
x1 32 , x2 2 32 . 2
鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次
方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
做一做
1.用公式法解下列方程：
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
2
解: a 3, b 6, c 2 b 4ac 36 24 60 0
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =

22.2.2 一元二次方程的解法公式法(2)

5.已知关于x的方程 ax 4 x 1 0 (1)当a取什么值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当a取什么值时,方程有两个相等的实数根; (3)当a取什么值时,方程没有实数根.
6.已知关于x的一元二次方程
mx 3m 1 x 2m 1 0 （）
2
其根的判别式的值为1,求m的值及方程的根.
2
9.若关于x的方程实数根，求k的取值范围为
10、已知关于x的一元二次方程(k-1）x2-
有
有实数根，求k的取值范围
k
1 x+ =0 4
8、已知关于x的方程ax 2a 1 x a 1 0，（）（）
2
根据下列条件分别求出a的值。
（1）方程有一个根是0；
（2）方程有两个相等的实数根；
b b 2 4ac x 2a (1) 9 1 3 2 2 4
x1 1 1 x2 2
(2)将方程化为一般形式 2x 6x 3 0
2
a2
2
b6
2
c3
b 4ac 6 4 2 3 12 0
结果约分
b b 4ac 6 2 3 x 2a 2 2 3 3 3 3 x1 x2 2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、的值。
2、求出
b 4ac 的值
2
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2
用公式法解下列方程： 5 2 1.x1 ; x2 1. （） x 3x 5 0 12

22.2.2公式法-解一元二次方程

2
b 2a
.
(3)当 b 4 ac＜ 0 时，方程无实数根
当 b 4 a c≥ 0 时，方程方程方程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）
2 2
的实数根可写为x
b
2
b 4ac
2
的形式，
2a 这个式子叫做方程 ax + b x + c 0 （ a ≠ 0）的求根公式。
练习 4 ：若方程 2 x -8 x + m = 0 有解，则 m 的取值范围是（）
练习 5：设 m 是实数，求证：方程 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = m 有两个不相等的实数根。
2
体验中考
【解析】
奋斗就是生活，人生只有前进. ——巴金
式子 b 4 a c叫做 ax + b x + c= 0 （ a ≠ 0 ）跟的判别式，
2 2
通常用希腊字母表示它，即 b 4 a c.
2
例题 1:用公式法求方程 2x +7 x=4 的解解：原方程可化为 2 x + 7 x -4 = 0 , a= 2 ,b = 7 ,c= -4 = b 4 a c 7 4 x 2 -4 = 8 1＞ 0
2
（ 3） 3 x -2 3 x + 1 = 0
2
(4 )4 x x + 1 0
2
例题 2：不解方程，判断下列方程的根的情况。 (1) x (5 x 2 1) 2 0 (2) x 9 6 x

22.2.2公式法解一元二次方程(二)

b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2 当 0 时，对于 ax2 bx c 0(a 0)
b b 4ac x , 2a
2
一元二次方程的求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
由求根公式可知，一元二次方程的根不可能
多于两个。
例题讲解
b b 2 4ac (4) 44 x 2 11, 2a 2 1
即
x1 2 11, x2 2 11
(2)2x 2 2 x 1 0
2
（2） a 2, b 2
2, c 1
2 ) 4 2 1 0
2
∴ b2 4ac (2
∴方程有两个相等的实根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2
(3)5x 3x x 1
2
（3）原方程可化为 ∴
5x 2 4 x 1 0
a 5, b 4, c 1
∴ b2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36 ＞0 ∴方程有两个不等的实根
b b 4ac (4) 36 4 6 x , 2a 25 10
2
1 即 x1 1, x2 5
(4) x 17 8x
2
（4）原方程可化为
x 8x 17 0
2
∴ a 1, b 8, c 17
∴ b
2
4ac (8) 4 117 4 ＜0
2
有两个不等的实数根．（2）当 0 时，方程 ax2 （3）当
bx c 0(a 0)
有两个相等的实数根．
0 时，方程 ax2 bx c 0(a 0)

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法根的判别式》公开课课件_19

ABC是等边三角形。
①本节课你学到了那些知识？ ②本节课你还有什么疑问?
作业：
课本第53面第1，2 ，3，5题
有两个相等的实数根，且 a ，b，c
满足 b 3a 2c。试判断ABC的
形状。
解原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
解：原方程可变形为 25y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解：（ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程（ A ） A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0

22.2.2 一元二次方程求根公式法

方程有两个相等的实数根
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根方程有实数根
例题讲解
不解方程，判别方程的根的情况.
解：4 y 2 4 y 1 0 a 4, b 4, c 1 (4) 2 4 4 1 0
4 y 1 4 y
2
所以，方程有两个相等的实数根。
3 x 2
2x
解： a 2，b 1，c 1. 1
b 4ac 1 4 2 1 9 0,
2 2
x
确定a、b 、c的值时要注意符号．
1 9 2 ２
1 3 , 4
1 x1 1, x2 . 2
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例题讲解
解下列方程：
2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2 1 0; 2 3 x 2 0. 4 4x 2
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根时，方程无实数解
4 2 6 x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
x
6 36 2 4
66 , 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4 x 8 4 x 11 x2 3 0 .

22.2 第4课时一元二次方程根的判别式华师大版数学九年级上册课件

第22章一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第4课时一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点) 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋2ba)2
Байду номын сангаас
=
b2−4ac 4a2
（*）
只有当b²－4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋2ba =±
b² −4ac 4a²
也就是说，只有当一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0)的系数
a、b、c满足条件b²－4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以
根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b²－4ac＜0会怎么样? 如果b²－4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0. 因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0，所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x²＋5x = 4； (2) 2x²－x²－2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0. ∵b²－4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0. ∵b²－4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0， ∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：
若一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正

22.2用二次函数的图像解一元二次方程

由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
D 3.25 <x< 3.26
综合提高
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3
8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( B ) y
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;

第22章 22.2.4.一元二次方程根的判别式

9．已知关于 x 的方程14x2＋(m－3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根，那么 m
可取的最大整数为( D )
A．2
B．－1
C．0
D．1
10．等腰△ABC 中，BC＝8cm，AB、AC 的长是关于 x 的方程 x2－10x＋m ＝0 两根，则 m 的值为 16或25 .
11．如果关于 x 的一元二次方程 kx2－3x－1＝0 有两个不相等的实根，那么 k
4．关于 x 的一元二次方程 x2＋4x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为( B )
A．k＝－4
B．k＝4
C．k≥－4
D．k≥4
5．已知关于 x 的方程 kx2＋(1－k)x－1 k＝0 时，方程无解
B．当 k＝1 时，方程有一个实数解
C．当 k＝－1 时，方程有两个相等的实数解
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3