2018年山东泰安市中考数学一轮复习《第16讲：等腰三角形》课件

【自主解答】 (1)∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD. ∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED. 同理可得DF＝CF， ∴BE＋CF＝ED＋DF＝EF. (2)BE－CF＝EF.理由如下： 由(1)知BE＝ED，∵EF∥BC， ∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD.∴CF＝DF. 又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF. 技法点拨►解答这类问题，主要运用等腰三角形的判定与性质 以及平行线性质，探求过程中的关键理由是“等角对等边”．
技法点拨►解答此题需要用到勾股定理、等腰三角形的判定与性质、 三角形的面积等知识，重点是注意分情况讨论．
变式运用►3.在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°， ∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
变式运用►1.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( A ) A．1 B．1.5 C．2 2 D.4
A 如图所示，延长BD与AC交于点E.∵∠A＝∠ABD ，∴BE＝AE.∵BD⊥CD，∴BE⊥CD.∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD.∴∠EBC＝∠BEC.∴△BEC为等腰三 角形．∴BC＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD＝BE.∵AC＝5， BC＝3，∴CE＝3.∴AE＝AC－EC＝5－3＝2，∴BE＝2 ，∴BD＝1.
第四章 第16讲
图形的认识与三角形 等腰三角形与直角三角形

考点梳理过关
考点1 等腰三角形
(1)等腰三角形是轴对称图形； (2)等腰三角形的两个底角①__相等__，简 称“②__等边对等角__”； (3)等腰三角形顶角的③__平分线__、底边 上的④__高__、底边上的⑤__中线__互相 重合，简称“⑥__三线合一__” 有两个角⑦__相等__的三角形是等腰三角 形，简称“⑧__等角对等边__”
(2)如图2所示，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACG，过点 D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，则BE，CF，EF有怎样的数量关系？ 并说明你的理由． 【思路分析】(1)根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD，再利用 EF∥BC，可证BE＝ED，同理可得DF＝CF，然后即可证明BE＋CF＝ EF.(2)由(1)知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可 证明BE，CF，EF的数量关系．
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等 腰三角形的所有性质，另外，等边三角形 的三个角都等于⑨__60°__ 三个角都⑩__相等__的三角形是等边三角 形；有一个角等于⑪__60°__的等腰三角 形是等边三角形
性质
等腰三角形
判定 性质
等边三角形
判定
考点2 直角三角形
在直角三角形中，两个锐角①__互余__ 在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的 ②__一半__ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的③__一半__ 直角三角 __平 形的性质 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的④ 方和__，即如果∠C ＝90°，则有⑤__c2＝a2＋b2__ 在三角形中，如果一条边的平方等于其余两条边的⑥__ 平方和__，那么这个三角形是直角三角形，即如果c2＝ a2＋b2，那么∠C ＝90° 等腰直角 有一个角是直角的等腰三角形是⑦__等腰直角__三角形 三角形
类型2
直角三角形的综合题
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D 为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时 停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度． (1)填空：当t＝________秒时，△CBD是直角三角形； (2)若△CBD是等腰三角形，求t的值．
提示►解答直角三角形的问题时，优先考虑使用勾股定理，要 牢固地树立“已知直角三角形的两边长，就相当于第三边也 已知”的观念，同时注意使用勾股定理的几个变形：如：a2 ＝c2－b2，b2＝c2－a2，进而有c＝ a 2 b2，a c2 - b2，b c2 - a 2 等
考点3 角的平分线与线段的垂直平分线
【思路分析】(1)根据CD＝速度×时间，得到CD，利用勾股定 理列式求出AC，再分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列 式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再 根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重 合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可；(2)分①CD＝BC时， 即CD＝15求解即可；②CD＝BD时，根据等腰三角形的性质、 直角三角形的性质可求CD；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于点 F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，依此解 答．
变式运用►2.[2017·东营期末]如图，△ABC是等边三角形，BD 是中线，延长BC至点E，CE＝CD， (1)求证：DB＝DE. (2)在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线 ，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED， 1 ∴∠CDE＝∠CED＝ 2∠BCD＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE. 1 (2)∵∠CDE＝∠CED＝ 2∠BCD＝30°，∴∠DCF＝ 60°.∴∠CDF＝30°. ∵CF＝4，∴DC＝8.∵AD＝CD，∴AC＝16， ∴△ABC的周长＝3AC＝48.
角的平分线 角的平分线上的点到角的两边距离①__相等__．到 角两边②__距离相等__的点在角的平分线上
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离③__ 相等__． 线段垂直平 到线段两个端点④__距离相等__的点在线段的垂直 分线 平分线上
典型例题运用
类型1 等腰三角形的性质与判定
【例1】[2018·原创](1)如图1所示，在△ABC中，BD，CD分别 平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试说 明BE＋CF＝EF的理由．