初三数学圆的经典讲义

圆

目录

一．圆的定义及相关概念

二．垂经定理及其推论

三．圆周角与圆心角

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形

六．会用切线, 能证切线

七．切线长定理

八．三角形的内切圆

九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系

十一．圆的有关计算

十二．圆的基础综合测试

十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A

M

A

B C

的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？

例 5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长．

例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．

A

B D

C

O

· E

【考点速练】

1.下列命题中，正确的是（）

A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆

C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形 D．钝角三角形

3．圆的内接三角形的个数为（）

A．1个B．2 C．3个D．无数个

4．三角形的外接圆的个数为（）

A．1个B．2 C．3个D．无数个

5．下列说法中，正确的个数为（）

①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )

A.圆的外部(包括边界)；

B.圆的内部(不包括边界)；

C.圆；

D.圆的内部(包括边界)

7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )

A.等于6cm

B.等于12cm；

C.小于6cm

D.大于12cm

8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )

B

A.0条

B.1条

C.2条

D.4条

10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）

11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．

12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

13、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。

14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。

B

P

A

O

C

B

D

A

15.思考题

如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

1、在半径为2的圆中，弦长等于

的弦的弦心距为 ____

2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O 的半径= __, BC= ___.

3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．

4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30

º,OF=3,

则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .

5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____

6.如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点.

·

A

B D

C

E

P F

O

F

A

D

C

B

O