初三数学圆的经典讲义

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初中九年级数学圆的讲义

圆

一、基本概念与性质

在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：

如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则

d>r时，点P在__________

d=r时，点P在__________

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：

以C、D为端点的弧，记作，读作

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半

圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，

能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。在同圆或

等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：

1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：

1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

初中数学专题讲义-圆(含答案)

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】

【知识梳理】

一、圆的定义

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。（1）劣弧：小于半圆的弧。（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质 1、圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论：

➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只

要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

初三数学圆ppt课件

【针对训练】 A
总结梳理内化目标
达标检测反思目标 A
等边三角形
5
A C
课后作业
• 上交作业：教科书第81页练习1，2题． • 课后作业： “学生用书”的“课后作业”部分．
弧 A
A
曲线BC、BAC都是⊙O的弧分别记作：
⌒
⌒
BC、 BAC
⌒ BC、
⌒ BAC
有什么区别？
B
一个比半圆大一个比半圆小！大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 O●
劣弧有：
⌒
⌒
AB
BC
半圆有：
⌒
C
优弧有：
⌒ ABC ⌒
ACB
BAC
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。
注意： ①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周. ②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，圆心确定位置，半径确
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长r的点的集合。
我国古人很早对圆就有这样的认识了，战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．
弦
连结圆上任意两点的线段叫做弦。
A
O ●
如图,弦有
AB、 BC、 AC
B 直径是圆中最长的弦
C 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

初三数学圆的经典讲义

圆【1】

一．圆的定义及相关概念

二．垂经定理及其推论

三．圆周角与圆心角

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

五．圆内接四边形

六．会用切线, 能证切线

七．切线长定理

八．三角形的内切圆

九．了解弦切角与圆幂定理（选学）

十．圆与圆的位置关系

十一．圆的有关计算

十二．圆的基础综合测试

十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。

考点5

点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

初三数学圆

1、圆的概念：①在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OP（不论转到什么位置）叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．

②以O为圆心，r为半径的圆，可以看成所有到定点O的距离等于定长r的点组成的集合.确定圆的条件是圆心和半径两个因素．

注意：以已知点O为圆心，可以画无数个圆，以已知线段R为半径画圆可以画无数个，以已知点O为圆心，已知线段R为半径画圆，可以画且只能画一个圆.

2、与圆有关的概念

弦：连接圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径.直径等于半径的2倍．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧．以B、C为端点的弧记作，读作弧BC；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图中以B、C为端点的优弧记作，读作“弧BAC”．

等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆.

等弧：同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

3、点与圆的位置关系：一般地，若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，

则有.

4、圆的确定（1）经过已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A、B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个交点叫做这个三角形的外心．作三角形的外接圆关键在于确定圆的圆心即三角形的外心，只需作三角形两边垂直平分线即可．

初三数学圆知识点复习专题经典讲解学习

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；

2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；

3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；

2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；

3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；

d=r

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； r d

d C

外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

圆的基本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.

2．任意一个三角形一定有一个外接圆.

3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

6．同圆或等圆的半径相等.

7．过三个点一定可以作一个圆.

8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

0．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.

2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.

3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.

5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.

7．垂直于半径的直线是圆的切线.

8．圆的切线垂直于过切点的半径.

圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.

5．相切两圆的连心线必过切点.

正多边形基本性质

1．正六边形的中心角为60°.

2．矩形是正多边形.

3．正多边形都是轴对称图形.

4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是.

A. 50°

B. 80°

C. 90°

D. 100°

2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是.

A.100°

初三年级数学圆的知识点归纳

【篇一】

1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上d=r;②点在圆内dd>r.

二.圆的对称性：

1.与圆相关的概念：

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三.圆周角和圆心角的关系：

1.圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

四.确定圆的条件：

人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义

合作探究

探究点1 圆的定义

情景激疑

在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？

知识讲解

定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.

定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.

注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.

(3) 定点是圆心，定长是半径.

(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.

典例剖析

例1 以下说法错误的有 ( )

(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一

个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A

答案 A

错因分析

导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。

类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.

答案无数无数

点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.

人教版九年级数学上册第24章圆基础的知识点,(圆讲义)

学员姓名：_______ 年级：__________ 所授科目：___数学__________

一、圆的定义：

1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随

之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O

⊙”，读作“圆O”．

3 同圆、同心圆、等圆：

圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.

注意：同圆或等圆的半径相等．

1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．

5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心

角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．

初三数学讲义圆

初三数学讲义圆 Written by Peter at 2021 in January

初三数学讲义（10）（圆）

知识梳理：

1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合

2. 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（不

能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相

等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角

初中数学《圆》全章讲义有例题

(总6页)

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《圆》

内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。

【知识要点1】

圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分

线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条

直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

例1 已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB上的点，且AC＝BD．

求证：AD＝BC．

例2 如图，在⊙O中，AB，CD为⊙O的两条直径，AE＝BF，求证四边形CEDF是平行四边形．

【知识要点2】

点与圆的位置关系

1、点在圆内⇒d r

<⇒点C在圆内；

2、点在圆上⇒d r

=⇒点B在圆上；

3、点在圆外⇒d r

>⇒点A在圆外；

【知识要点3】

直线与圆的位置关系

>⇒无交点；

1、直线与圆相离⇒d r

=⇒有一个交点；

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于

定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线

距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；

2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；

3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；

2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；

3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒无交点⇒d R r

>+；

外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r

=+；

相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r

-<<+；

内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r

=-；

内含（图5）⇒无交点⇒d R r

<-；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

初三数学圆的有关性质知识精讲

圆的有关性质

1. 圆的有关概念

圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。

说明：

（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

2. 点和圆的位置关系

说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知量位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。

3. 和圆有关的角

圆心角、圆外角

说明：这两种与圆有关的角，可以通过对比，从（1）角的顶点的位置；（2）角的两边与圆的位置关系，两个方面去把握它们。

补充：如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，圆心角是特殊的圆内角；如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角。

4. 圆的有关性质

（1）圆的确定

<1>圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。

<2>不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）圆的对称性

<1>圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

<2>圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。

（3）垂径定理

如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质，即：

初三数学讲义 -圆的基本概念和性质—知识讲解(基础)

圆的基本概念和性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1.圆的定义

【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】

(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：

①圆有无数条对称轴；

②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.

初三数学圆知识精讲北师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：圆

［知识体系］

1. 点与圆的位置关系，r 表示半径，d 表示点到圆心距离；点在圆外则d ＞r ，点在圆上则d ＝r ，点在圆内则d ＜r 。

2. 直线与圆的位置关系：r 表示半径，d 表示圆心到直线距离，共有相切、相交、相离三种位置关系，当相交时，d ＜r ；当相切时，d ＝r ；当相离时，d ＞r 。

3. 圆与圆的位置关系，两圆半径R 、r ，圆心距为d ，外离时则d ＞R ＋r ，外切时则d ＝R ＋r ，相交时则R －r ＜d ＜R ＋r ，内切时则d ＝R －r ，内含时则d ＜R －r 。

4. 定义：

（1）连结圆上任意两点间的部分叫弧；

（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦；过圆心的弦叫直径；（3）顶点在圆周上，且与两边都相交的角叫圆周角；（4）三角形的三个顶点确定一个圆叫△的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点叫△的外心；（5）与圆有唯一一个公共点的直线叫圆的切线；

（6）和三角形的三边都相切的三角形叫△内切圆，其圆心叫△内心。 5. 定理部分：

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的直线；（2）①垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； ②平分弦（非直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

（4）①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等；

②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中，有一组量对应相等，则其余各组量对应相等；

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