高中数学_直线与圆的位置关系
高中理科数学 直线与圆、圆与圆的位置关系
1 b
解析 将x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1-4b2=0化为标准方程得(x+a)2+y2
a 2 4b 2 =1+2=3,即a2+4b2=9,所 =4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故
a 2 4b 2 1 1 a 2 4b 2 1 1 1 a 2 4b 2 4 5 2 =1,当且 2 = 以 + = + ≥ +2 2 + 2 + 2 2 9 b 9 a 9 b 9a 9 a 2 b2 9 9 9 9 a b a 2 4b 2 1 1 2 2 仅当 = , 即 a =2 b 时等号成立 , 故 + 的最小值为1. 9b 2 9a 2 a 2 b2
答案 1
方法 3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法
1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y
0
;当斜率存在时,设为k,①k≠0时由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式
1 k
方程可求出切线方程,②k=0时切线方程为x=x0. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程(切线斜率存在) (1)几何法:设切线斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由 圆心到直线的距离等于半径,求得k,即可得出切线方程. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到
4 结合图形可得kAB= =-1, 4 | 4 2k | 3 又由 2 =2可得k=- , 4 1 k 3 即kAT=- , 4
【高中数学】直线与圆、圆与圆的位置关系
12＋22
5
弦长为 2 r2－d2＝2 55. 5
答案：2 55 5
8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________．
－1 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于1－0＝－1，由
2－1
点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
2 1－ 4 2＝ 14.
2
[解题技法] 几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|； (3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[课时跟踪检测]
A级
1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( )
高中数学学科
＝0 的距离 d＞2，即 |k＋2| ＞2，解得 0＜k＜4.
k2＋1
3
答案：
0，4 3
3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l：
x＋y＝0 对称，则|AB|＝________.
解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y
(2)直线被圆截得的弦长
Байду номын сангаас
弦心距
d、弦长
l
的一半
1l
及圆的半径 r
构成一直角三角形，且有
r2＝d2＋
1l 2
2.
2
考点一 直线与圆的位置关系
高中数学：4.2.2 直线、圆的位置关系 (14)
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要点 1 直线与圆的位置关系 (1)直线与圆_相__交___，有两个公共点； (2)直线与圆_相__切___，只有一个公共点； (3)直线与圆_相__离___，没有公共点．
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要点 2 几何判定法 (1)d>r⇔圆与直线_相__离___； (2)d＝r⇔圆与直线__相_切___； (3)d<r⇔圆与直线_相__交___．
第11页
(3)方法一：∵x2＋y2＝4，∴圆心为(0，0)，半径 r＝2. 又∵y＝2x＋1， ∴圆心到直线的距离为 d＝|2×02－2＋01＋2 1|＝ 55<2＝r. ∴直线与圆相交． 方法二：∵yx＝ 2＋2yx2＋＝14，，∴5x2＋4x－3＝0. 判别式 Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 【答案】 (1)B (2)B
第29页
弦长公式 设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1·x2＝ 1＋k2|x1－x2|. 有关弦长问题，利用弦长的一半、弦心距、半径之间的关系 求解比较简单，利用弦长公式求解较繁琐，但是有一般性，在求 解一般二次曲线的弦长时应用极为广泛．
∴切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
第18页
探究 2 求切线方程：先判断点与圆的位置关系 (1)若已知点在圆上，利用圆心与切点连线与切线垂直，求得 切线斜率，再由点斜式求切线方程； (2)若已知点在圆外，使用的方法是待定系数法，由位置关系 求斜率 k，斜率是否存在由图形可以直接作出判断．
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课后巩固
第31页
1．直线 4x＋3y－40＝0 与圆 x2＋y2＝100 的位置关系是( )
高中数学人教A版 选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
人教版高中数学选修一2.5.1直线与圆的位置关系 课件
设直线 PQ 的方程为 y＝－34x＋m， 由PQ与圆x2＋y2＝9相切，
得
|－4m| 42＋32＝3，解得
m＝145
故 A、B 两人相遇在正北方离村落中心145
km 处.
15
巩固练习
1.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，
则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )
两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，∴EF平分CD.
13
巩固练习
如图，直角△ABC的斜边长为定值 2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线 BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
分析：先画出示意图,了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离,如图,根据题意，建立 适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方 程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
解：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3), 轮船所在位置的坐标为(4,0).
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ _Δ_<_0_
2
复习回顾
切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线 的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切
线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
高中数学知识点：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.
有两组实数解时，直线l与圆C相交；
有一组实数解时，直线l与圆C相切；
无实数解时，直线l与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：
当d r
<时，直线l与圆C相交；
当d r
=时，直线l与圆C相切；
当d r
>时，直线l与圆C相离.
要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学直线与圆的位置关系
圆圆的方程：直线与圆的位置关系：记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，圆与圆的位置关系：记两圆的半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为(,)a b ，半径为r ； 圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，2240D E F +-> 直线与圆相割⇔联立方程组有两组解⇔d r <； 直线与圆相切⇔联立方程组有且仅有一组解⇔d r =； 直线与圆相离⇔联立方程组无解⇔d r >． 两圆相交⇔1212||r r d r r -<<+；两圆外切⇔12r r d +=；两圆内切⇔12r r d -=； 两圆外离⇔12r r d +<；两圆内含⇔12r r d ->．圆的方程要求层次重难点圆与方程圆的标准方程与一般方程C掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．（一） 知识内容直线与圆的位置关系将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系，若0∆<，则直线与圆相离 若0∆=，则直线与圆相切 若0∆>，则直线与圆相交 <教师备案>过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为200x x y y r +=知识框架例题精讲高考要求板块一：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程．解：当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ， ∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴11k k =-，又∵010y k x =，∴00x k y =-， ∴经过点M 的切线方程是0000()x y y x x y -=--， 整理得：220000x x y y x y +=+，又∵点00(,)M x y 在圆上，∴22200x y r +=， ∴所求的切线方程是200x x y y r +=．当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．（二）典例分析：【例1】 如图所示，在ABC ∆中，顶点A B ，和内心I 的坐标分别为(91)A ，、(34)B ，、(41)I ，，求顶点C 的坐标．【解析】 AB 边所在直线的方程为194139y x --=--，即2110x y +-=． 因内心到AB 的距离等于内切圆半径r，则r ==设AC 边所在直线方程为1(9)y k x -=-，即190kx y k -+-=．点I 到AC=，解得12k =±．因为12AB k =-，所以12AC k =．故AC 的方程为270x y --=．同理可算出BC 的方程为220x y --=． 上面两个方程联立可解出点C 坐标为(14)--，．【例2】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．⑴证明直线l 与圆相交；⑵求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩．即直线l 过定点(31)A ，，因为22(31)(12)525-+-=<，所以A 在圆C 的内部． 故直线l 恒与圆相交．⑵圆心(12)O ，，当截得的弦长最小时，l AO ⊥，不难算出12AO k =-，于是直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=．【例3】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8-的圆的方程．【解析】 过直线与圆的交点的圆方程可设为22223(37)0x y x y x y λ++--++-=，整理得：22(2)(32)370x y x y λλλ++++---=，令0y =，得2(2)370x x λλ++--=．所以圆在x 轴上的两截距之和为122x x λ+=--．同理，圆在y 轴上的两截距之和为23λ-，故有2238λλ--+-=-，解得2λ=， 所求圆的方程为2244170x y x y +++-=．【例4】 a 为何值时，直线0l y a +-=与圆22:4O x y +=：⑴ 相交；⑵相切；⑶相离． 【解析】 圆22:4O x y +=的半径2r =，法一：圆心(00)O ，到直线0l y a +-=的距离d =，即2a d =．⑴ 令d r <，得22a <，解得44a -<<．∴当44a -<<时，直线l 与圆O 相交．⑵ 令d r =，得22a=，解得4a =±．∴当4a =±时，直线l 与圆O 相切． ⑶ 令d r >，得22a >，解得4a >，或4a <-．∴当4a >，或4a <-时，直线l 与圆O 相离．法二：把直线l 0y a +-=代入圆O 的方程224x y+=并整理，得224240x a -+-=．这个方程的判别式2464a ∆=-+．依次令0∆>，0∆=，0∆<，得44a -<<；4a =±；4a >，或4a <-． ⑴ 当44a -<<时，直线与圆相交． ⑵ 当4a =±时，直线与圆相切．⑶ 当4a >或4a <-时，直线与圆相离．【例5】 （2005·上海高考模拟）求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程． 【解析】 法一：设切点00()M x y ，，则过点M 的切线方程为004x x y y +=．∵点A 在切线上，∴00244x y +=即0022x y +=． ① 又22004x y +=． ②由①②得：0020x y =⎧⎨=⎩或006585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则所求的切线方程为34100x y -+=或2x =．法二：设过点A 的切线斜率为k ，则切线方程可表示为4(2)y k x -=-， 即：(42)0kx y k -+-=．∵圆心到切线的距离为半径2r =．2=．解得：34k =． ∴切线方程为34100x y -+=．当过A 的直线斜率不存在时，方程为2x =，由于圆心到直线2x =的距离为2，所以2x =也是圆的切线． 因此所求的切线方程为34100x y -+=或2x =．【例6】 求过点(5,2)A ，(1,6)B ，且圆心在直线:330l x y --=上的圆的方程． 【解析】 直线AB 的斜率62115k -==-- 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1AB 的中点的坐标为1532x +==，2642y +== 因此，直线m 的方程为41(3)y x -=⨯-，即10x y -+=又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点，解联立方程组10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为(2,3)C ，又半径r CA ==所求圆的方程是22(2)(3)10x y -+-=．【例7】 求经过点(24)A --，，且与直线:3260l x y +-=相切于点(86)B ，的圆的方程． 【解析】 法一：设圆心为()C a b ，，圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由CA CB =，CB l ⊥，得112a =，32b =-，r =∴圆的方程为22113125()()222x y -++=． 法二：设圆心为C ，则CB l ⊥．∴直线CB 的方程为3180x y --=．①设直线CB 与圆C 的另一交点为P ，连结AP ，AB ，则AP AB ⊥．∴直线AP 的斜率为8(2)16(4)---=---．直线AP 的方程为60x y ++=．② 联立①与②，可得P 点的坐标为(39)-，．再由C 为线段BP 的中点知，C 点的坐标为113()22-，，以下略．法三：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．由CB l ⊥，点(24)A --，、(86)B ，在圆上，得2222(2)(4)(2)(4)0612()138286860D E F E DD E F ⎧-+-+-+-+=⎪⎪--⎪⋅-=-⎨⎪--⎪⎪++++=⎩，，， 整理得242086100336D E F D E F D E +-=⎧⎪++=-⎨⎪-=-⎩，，，解得11330.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，∴圆的方程为22113300x y x y +-+-=．【例8】 （安徽省和县一中2008—2009学年度第一学期必修2模块检测试卷）已知圆()()22:1225C x y -+-=及直线()():21174()l m x m y m m +++=+∈R ⑴证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；⑵求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．【解析】 ⑴ 直线方程()():21174l m x m y m +++=+，可以改写为()2740m x y x y +-++-=，所以直线必经过直线27040x y x y +-=+-=和的交点． 由方程组270,40x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,1x y =⎧⎨=⎩即两直线的交点为(3,1)A又因为点(3,1)A 与圆心()1,2C的距离5d ，所以该点在C 内，故不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交．⑵ 连接AC ，过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D ． BD 为直线被圆所截得的最短弦长．此时，5,AC BC BD ===所以又直线AC 的斜率12AC k =-，所以直线BD 的斜率为2．此时直线方程为：()123,250.y x x y -=---=即【例9】 （福建省宁德市2009届高中数学必修2模块考试）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点(22)P ，，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． ⑴当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；⑵当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； ⑶当直线l 的倾斜角为45︒时，求弦AB 的长．【解析】 ⑴已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为(10)C ，，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为2(1)y x =-，即22x y -=．⑵当弦AB 被点P 平分时，l PC ⊥， 直线l 的方程为12(2)2y x -=--， 即260x y +-=；⑶当直线l 的倾斜角为45︒时，斜率为1，直线l 的方程为22y x -=-，即0x y -=圆心C 到直线l，圆的半径为3，弦AB【例10】 已知点11()A x y ，、22()B x y ，12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足OA OB OA OB +=-．设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=． ⑴证明：线段AB 是圆C 的直径；⑵当圆C 的圆心到直线20x y -=时，求p 的值． 【解析】 ⑴将A B ，的坐标代入OA OB OA OB +=-，化简可得12120x x y y +=，即OA OB ⊥，由方程221212()()0x y x x x y y y +-+-+=知圆C 过原点及A B ，两点，又OA OB ⊥，故线段AB 是圆C 的直径；⑵由2212121224y y y y x x p=-=-，得2124y y p =-，2222121212()822y y y y p x x p p++++==，又圆心121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，到直线20x y -=的距离为：222d ===2p =．【例11】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问是否存在斜率为1的直线l ，其被圆C 截得弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 假设存在直线:l y x m =+，圆C 化为22(1)(2)9x y -++=，圆心(12)C -，．过圆心垂直于l 的方程为2(1)y x +=--，则AB 中点N 是直线0x y m -+=与2(1)y x +=--的交点，即11()22m m N +--，． 以AB 为直径的圆过原点，则AN ON =．又CN AB ⊥，CN =，所以AN ==又ON =AN ON =，解得1m =或4m =-． 因此存在直线l ，其方程为10x y -+=或40x y --=．【例12】 （2008辽宁）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A．(k ∈B ．((2)k ∈-∞+∞，， C．(k ∈D ．((3)k ∈-∞+∞，， 【解析】 C ；圆心(00)，到直线20kxy 的距离2211k时，直线与圆没有公共点，解得33k．【例13】 （2008重庆）直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(3)a <相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为()01，，则直线l 的方程为 ． 【解析】 10x y ；圆心的坐标为(12)，，圆心与弦的中点连线与弦垂直，故直线l 的斜率k 满足：211110kk．故直线l 的方程为11(0)1y x y x -=⋅-⇒=+．【例14】 （2008山东）已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ；点(35)，在圆内，故最长弦为直径，最短弦为以该点为中点的弦，且与过该点的直径互相垂直，故四边形ABCD 的面积12AC BD ．又圆的标准方程为22(3)(4)25xy ，故10AC，又最短弦的弦心距为1，故2225146BD，110462062S．【例15】 已知圆224O x y +=：，求过点(2,4)P 与圆O 相切的切线．【解析】 ∵点(2,4)P 到O⊙圆心的距离为d =，大于圆的半径2r =∴过点(2,4)P 与O ⊙相切的直线有两条若切线的斜率存在，设切线的方程为()24y k x =-+， 2=，解得 34k =． ∴()3244y x =-+，即 34100x y -+=； 若切线的斜率不存在，过点(2,4)P 的斜率不存在的直线方程为2x =，此时，圆心到直线的距离为202-=，即此直线也为圆的切线； 综上知，过点P 的圆的切线方程为34100x y -+=与2x =．【例16】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，求a 的取值范围．【解析】 圆的标准方程为：2223(1)124a x y a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，要使得过(1,1)A --的切线有两条，只需此点在圆外．从而有222223104433(1)01(11)124a a a a a a ⎧->⎧⎪<⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪->-++-+>-⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得0a <<或1a <<【例17】 求经过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程．【解析】 由题意知，(2,4)A --，(8,6)B 都是圆上的点，故圆心在线段AB 的中垂线上，故圆心坐标满足：6482822642y x -+-⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，即40x y +-=； 又直线l 是圆的过点B 的切线，故圆心在直线：63(8)y x -=-上， 联立403180x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而圆的半径为r ==故所求的圆的方程为22113250224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22113300x y x y +-+-=．【例18】 半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x =≥相切，求这个圆的方程． 【解析】 ∵半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，∴圆心在直线y =上，且圆心的横坐标为1这个圆的方程为22(1)(1x y -+-=．【例19】 （06全国I ）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为___________．【解析】 圆222210x x y y -+-+=的圆心为(1,1)M ，半径为1，点P 到圆心M，从圆外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则 每条切线与PM 的夹角θ12=， ∴两切线夹角的正切值为2122tan 42tan 211tan 314θθθ⨯===--，π22θ<， ∴该角的余弦值等于35．【例20】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_ __．【解析】M 与圆心C 的距离的平方减去半径的平方1，只要求M 与圆心距离MC 的最小值． ∴M 点在直线2x =上，故M 与圆心距离的最小值为圆心(5,1)C -到直线2x =的距离，等于|52|7--=．∴M =【例21】 一条光线从点(2,3)P 射出，经x 轴反射，与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，求反射光线所在的直线的方程．【解析】依题意得，点P 关于x 轴的对称点(2,3)P '-在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=．1=，解得43k =-或34k =-，∴反射光线所在直线的方程是43(2)3y x +=--或33(2)4y x +=--，即4310x y ++=或3460x y ++=．【例22】 自点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆224470C x y x y +--+=：相切，求入射光线l 和反射光线所在的直线方程，并求光线自A 到切点所经过的路程． 【解析】 首先求出点A 关于x 轴的对称点A '的坐标为()3,3--，则反射光线所在的直线即过A '的圆C 的切线方程，设之为()33y k x =+-， 圆的标准方程为：22(2)(2)1x y -+-=，圆心为(2,2)， 根据1d r ===，解得：43k =或34k =， 故反射光线所在的直线为4(3)33y x =+-或3(3)34y x =+-，整理得：反射光线所在的直线方程为4330x y -+=或3430x y --=，最后根据入射光线与反射光线关于x 轴对称，得入射光线所在直线方程为4330x y ++=或3430x y +-=． 记反射光线与圆的切点为M ，根据对称性知，所求的路程为'A M ， 可由勾股定理求得22222(23)(23)149A M A C CM ''=-=+++-=， ∴'7A M =．备注 本题也可以把圆对称到x 轴下方，再求解．【例23】 求经过点(0,5)A ，且与直线20x y -=和20x y +=都相切的圆的方程．【解析】 分析 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解 ∵圆和直线20x y -=与20x y +=相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心(,)x y 到两直线20x y -=和20x y +=的距离相等．=∴圆心(,)x y 在直线30x y +=或30x y -=上． 又∵圆过点(0,5)A ，∴圆心C 只能在直线30x y -=上．设圆心(,3)C t t ∵C 到直线20x y +=的距离等于AC ，=化简整理得2650t t -+=．解得：1t =或5t =∴所求圆的圆心是(1,3)或圆心是(5,15)，半径为 ∴所求圆的方程为22(1)(3)5x y -+-=或22(5)(15)125x y -+-=．【例24】 （03北京春）已知直线0(0)ax by c abc ++=≠与圆221x y +=相切，则三条边长分别为||a ，||b ，||c 的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在【解析】 圆心坐标为(0,0)，半径为1．因为直线和圆相切．利用点到直线距离公式得：1d ==，即222a b c +=．∴以||a ，||b ，||c 为边的三角形是直角三角形；【例25】 （02北京）已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_____． 【解析】 方法一 易知四边形PACB 是由两个全等的直角三角形构成，欲使面积最小，因为BC 为定值，只须BP 最小，欲使BP 最小只须CP 最小，CP 的最小值即为C 到直线的距离，从而得到结果．∵(1,1)C 到直线3480x y ++=3=，1r =，∵min 1()212PACB S =⨯⨯=CP 的直线方程为41(1)3y x -=-，联立它与3480x y ++=，解得P 点的坐标为47,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．方法二 ∵点P 在直线3480x y ++=上， ∴设3,24P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C 点坐标为(1,1)，122||||||||||2PACB PAB S S AP AC AP AC AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=，∵2222223255||||||(1)12194162AP CP AC x x x x ⎛⎫=-=-+++-=++ ⎪⎝⎭22548165x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴当45x =-，即P 点坐标为47,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，有min ||AP ==∴四边形PACB面积的最小值为【例26】 （04天津文）若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【解析】 结合图象知，要使直线与圆在第一象限内有交点，只需k 在0与MA k 之 间变化，其中A 点为圆与y 轴正半轴的交点．令0x =得：y = 故A点坐标为(0,，MA k ==∴(0,k ∈时满足题意；【例27】 （97全国文）如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．22)5=，圆过坐标原点．直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心(1,2)C ，如图得：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限．当直线l 过圆心与x 轴平行时，0k =，当直线l 过圆心与原点时，2k =．∴当[0,2]k ∈时，满足题意．【例28】 直线230x y -+=与圆224x y +=相交弦中点M 与点(1,2)N 的距离为_______． 【解析】 方法一 ∵弦心距所在直线过圆心，且与直线230x y -+=垂直，故弦心距所在直线方程为20x y +=，将此方程与已知直线方程230x y -+=联立，得弦中点坐标为36,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求得||MN =；方法二 联立222304x y x y -+=⎧⎨+=⎩，消去y 得：25670x x +-=， 此方程的两个根即为直线与圆的交点的横坐标，从而知中点M 点的横坐标为163255⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，从而知M 的纵坐标为3625x +=，故36,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，MN ．（可在此补充介绍直线上两点间距离公式12|d x x =-）【例29】 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．⑴ 过原点；⑵ 有最小面积．【解析】 设所求的圆的方程为22241(24)0x y x y x y λ++-++++=，即222(1)(4)(14)0x y x y λλλ++++-++=，⑴ 因为此圆过原点，∴140λ+=，14λ=-，故所求圆的方程为22317024x y x y ++-=；⑵ 方法一 当半径最小时，圆面积也最小，对原方程左边配方得：2224584[(1)]2455x y λλλ-⎛⎫⎛⎫++++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当85λ=时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．方法二 因为直线与圆的相交弦为所求圆的一条弦，故当此弦恰为直径时，所求圆的面积有最小值，此时圆心在直线240x y ++=上， 易求得圆心坐标为41,2λλ-⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 代入直线方程得：42(1)402λλ--+-+=，解得85λ=．∴当85λ=时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为222612370555x y x y ++-+=．【例30】 已知圆2260x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP OQ ⊥，求实数m 的值．【解析】 分析 设P 、Q 两点的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，则由1OP OQ k k ⋅=-，可得12120x x y y +=，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为yx，由直线l 与圆的方程构造以yx为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OP OQ k k ⋅的值，从而使问题得以解决．方法一 设点P 、Q 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ．一方面，由OP OQ ⊥，得1OP OQ k k ⋅=-，即12121y y x x ⋅=-，也即：12120x x y y +=． 另一方面，11(,)x y 、22(,)x y 是方程组2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩的实数解，即1x 、2x 是方程25104270x x m ++-=的两个根． ∴10020(427)08m m ∆=-->⇒<，122x x +=-，124275m x x -=． ① 又P 、Q 在直线230x y +-=上， ∴[]12121212111(3)(3)93()224y y x x x x x x =-⋅-=-++．从而有[]12121212193()504x x y y x x x x +=-++=将①代入上式得：1(96427)04m ++-=，解得3m =，满足8m <，∴3m =．方法二 由直线方程可得32x y =+，代入圆的方程2260x y x y m ++-+=，有2221(2)(6)(2)039mx y x y x y x y +++-++=，整理得 22(12)4(3)(427)0m x m xy m y ++-+-=． 由于0x ≠，故可得2(427)4(3)120y y m m m x x ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭．∴OP k ，OQ k 是上述方程两根，由1OP OQ k k ⋅=-得121427mm +=--，解得3m =．经检验可知3m =为所求．【例31】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由． 【解析】 方法一 假设存在这样的直线:l y x m =+满足题设的要求，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于以AB 为直径的圆过原点，∴121200OA OB OA OB x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=212121212()()02()0x x x m x m x x m x x m ⇔+++=⇔+++=，将直线:l y x m =+代入圆22:2440C x y x y +-+-=得：22(1)2202m x m x m ++++-=，121x x m +=--，212222m x x m =+-（*）其中22(1)42202m m m ⎛⎫∆=+-+-> ⎪⎝⎭，∴33m -<<， 将（*）代入212122()0x x m x x m +++=得：2340m m +-=， ∴4m =-或1m =，都满足0∆>∴这样的直线l 存在，为4y x =-或1y x =+．方法二 设需要过原点的圆的方程为22220x y mx ny +--=，则该圆的圆心为(,)m n ，并且公共弦所在直线的方程为2222(244)(22)0x y x y x y mx ny +-+--+--=，即(1)(2)20m x n y -++-=．一方面该直线的斜率为1，另一方面圆心(,)m n 在此直线上，于是112(1)(2)20m n m m n n -⎧-=⎪+⎨⎪-++-=⎩，解得10m n =-⎧⎨=⎩或3252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 对应的直线即40x y --=或10x y -+=． 方法三 设直线y x b =+满足题设要求，则1y x b-=对圆222440x y x y +-+-=，有222222222440y x y x y x b x b y b x b y b b b b ---⎛⎫+-⋅+⋅-⋅= ⎪⎝⎭即2222(24)(44)(86)0b b x b b y b xy +-++-+-=，也即222(44)(86)240y y b b b b b x x ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭．根据已知，2224144b b b b +-=-+-，即2340b b +-=，解得4b =-或1b =．∴这样的直线l 存在，为4y x =-或1y x =+．【例32】 求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程． 【解析】 设所求圆的方程为圆222:()()4C x a y b -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为1(,4)C a 或2(,4)C a -． 又已知圆224240x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则437CA =+=或431CA =-=．① 当1(,4)C a 时，有222(2)(41)7a -+-=或222(2)(41)1a -+-=（无解），可解得2a =±．∴所求圆方程为22(2(4)16x y --+-=，或22(2(4)16x y -++-=．② 当2(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=或222(2)(41)1a -+--=（无解），故2a =±． ∴所求圆的方程为22(2(4)16x y --++=或22(2(4)16x y -+++=．对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y =相切且半径为4，则圆心坐标为(,4)C a ， 且方程形如222()(4)4x a y -+-=．又圆224240x y x y +---=，即222(2)(1)3x y -+-=，其圆心为(2,1)A ，半径为3．若两圆相切，则43CA =+．故222(2)(41)7a -+-=，解之得2a =±．所以欲求圆的方程为222(2(4)4x y --+-=，或222(2(4)4x y -++-=． 上述误解只考虑了圆心在直线0y =上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y =下方的情形；只考虑了两圆外切的情况，没有考虑两圆内切的情况．【例33】 已知两圆22420x y x y +-+=和22240x y y +--=的交点分别为A B 、，⑴ 求直线AB 的方程及线段AB 的长；⑵ 求经过A B 、两点，且圆心在直线241x y +=上的圆的方程．【解析】 解 ⑴ 将两圆的方程相减得：10x y --=，∵交点A ，B 的坐标满足两圆的方程，故满足此直线方程，由两点确定一条直线知直线AB 的方程为：10x y --=．将两圆分别化为标准方程得：22(2)(1)5x y -++=，22(1)5x y +-=，其中一个圆心的坐标为(2,1)-，它到直线AB=故相交弦AB 的长度为=；⑵ 设过两圆的交点的圆系方程为：222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=， 即22(1)(1)42(1)40x y x y λλλλ+++-+--=，圆心为21,11C λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又∵圆心在直线241x y +=上， ∴44(1)111λλλ--+=++，解得：13λ=，将它代入圆系方程， 并整理得：22310x y x y +-+-=．圆系方程不包括22240x y y +--=，此圆圆心为(0,1)，不在直线241x y +=上， 从而满足条件的圆的方程为22310x y x y +-+-=．【例34】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【解析】 直线平分圆的周长，即直线过圆心(1,2)-，从而有1a b +=，∴112224a b a b a b ab a b b a ++⎛⎫+=+=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当12a b ==时取到等号， 故11a b+的最小值为4；【例35】 已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．【解析】 一般方法是求得切线，切点，再求直线AB 的方程．可以利用圆系方程求解．∵OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴四点A B C D 、、、共圆，以OP 为直径的圆的方程为：22(1)(2)5x y -+-=，知,A B 两点在此圆上． ∴AB 为此圆与圆O 的公共弦，故两圆方程相减即得直线AB 的方程， 即220x y +-=．【例36】 从抛物线2y x =的顶点引两条互相垂直的弦OA 、OB ，作OM AB ⊥．则点M 的轨迹方程为 ．【解析】220x y y +-=； 由A 、B 在抛物线上且OA OB ⊥，可设A 、B 的坐标为2()m m ，，211(0)m m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，．则AB 的方程为PA BC ⊥，等比211y m x m--=． 可见直线AB 过定点(01)D ，．因OM AB ⊥，故M 在以OD 为直径的圆上（如图），轨迹方程为2221122x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即220x y y +-=．M DBAOyx【例37】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【解析】 将圆的方程化为标准方程得：22(2)(2)18x y -+-=，得圆的半径为32，圆上至少有三个不同的点到直线的距离为22， 则圆心到直线的距离小于等于32222-=． 即22|22|24101k k k k -⇒-++≤≤，解得：2323k -+≤≤；【例38】 圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离为1的点有几个？ 【解析】 方法一 圆22(3)(3)9x y -+-=的圆心为1(3,3)O ，半径3r =．设圆心1O 到直线34110x y +-=的距离为d ，则223343112334d ⨯+⨯-==<+．如图，在圆心1O 同侧，与直线34110x y +-=平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又321r d -=-=．∴与直线34110x y +-=平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．方法二 符合题意的点是平行于直线34110x y +-=，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为340x y m ++=，则1d ==，∴115m +=±，即6m =-或16m =-，也即13460l x y +-=：或234160l x y +-=：．设圆221(3)(3)9O x y -+-=：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则13d ==，21d ==．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点． 即符合题意的点共3个．【例39】 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值，求2x y -的最大、最小值．【解析】 方法一 由22(2)1x y ++=知，可设P 的坐标为(2cos ,sin )θθ-+，θ是参数．则2sin 21cos 3y x θθ--=--，令sin 2cos 3t θθ-=-，得sin cos 23t t θθ-=-)23t θϕ-=-sin()1θϕ⇒=-≤t ．所以max t =，min t =． 即21y x --．此时22cos 2sin 2)x y θθθϕ-=-+-=-++． 所以2x y -的最大值为2-+2-- 方法二21y x --表示点(,)P x y 与点(1,2)连线的斜率，其中P 点为圆上的动点，结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过(1,2)点的圆的切线的斜率即可， 设过(1,2)点的直线方程为：20kx y k --+=． 由1d==，得k ， 所以21y x --令2x y m -=，同理两条切线在x 轴上的截距分别是 2x y -的最大、最小值．由1d ==，得2m =-．所以2x y -的最大值为2-+2--【例40】 求函数sin 12cos 4x y x -=+的值域．【解析】 sin 11sin 12cos 42cos 2x x y x x --==⨯++，于是sin 12cos 2x y x -=+， 其几何意义为单位圆上的任一点(cos ,sin )x x 与点(2,1)-的连线的斜率． 结合图象知：过点(2,1)-与单位圆相切的直线的斜率为10k =，243k =-，连线的斜率的取值范围为4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，从而此函数的值域为2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例41】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________． 【解析】 距离直线20x y -+=最远的点为过圆心且与此直线垂直的直线与圆的交点中的一点，∵圆心坐标为(2,3)-，∴过该点与直线20x y -+=垂直的直线为：3(2)y x +=--，即10x y ++=，联立22(2)(3)410x y x y ⎧-++=⎨++=⎩，解得23x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或23x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩易知与直线20x y -+=距离最远的点的坐标为(23-；【例42】 设||1a ≤，,a b ∈R ，求22()25)a b b -+-的最小值．【解析】 分析式子的几何意义，它表示两点(,a 与(,25)b b +的距离的平方，前者在半圆221(0)x y y +=≥上，后者在直线25y x =+上，11=，从而所求的最小值为21)6=-【例43】 （06湖南）圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【解析】 圆2244100x y x y +---=的圆心为(2,2)，半径为圆心到直线140x y +-==∴直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =【例44】 实数,x y 满足221x y +=，求22x y u x y ++=-+的最大值与最小值．【解析】 方法一 变形得：(1)(1)2(1)0(2)u x u y u y x -+++-=≠+，此方程表示一条直线．又∵,x y 满足221x y +=，故直线与圆221x y +=有公共点．1，解得22u-≤由于直线2y x=+与圆221x y+=无公共点，因此，22u≤即22x yux y++=-+的最大值为2，最小值为2方法二设cosxθ=，sinyθ=，则π22cos sin24π2cos sin224x yux yθθθθθθ⎛⎫++⎪++++⎝⎭===-+-+⎛⎫++⎪⎝⎭πsin4πcos4θθ⎛⎫++⎪⎝⎭=⎛⎫++⎪⎝⎭，①几何意义为单位圆221x y+=上的点ππcos sin44θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与点(连线的斜率，求过点(的单位圆切线的斜率：12k=22k=-从而22x yux y++=-+的最大值为2+，最小值为2-②由此式得πππcos sin444uθθθφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1，解得22u≤，因此22x yux y++=-+的最大值为2+，最小值为2-【例45】已知圆22(3)(4)1C x y-+-=：，(,)P x y为圆C上的动点，求22d x y=+的最大、最小值．【解析】方法一由圆的标准方程22(3)(4)1x y-+-=．可设点P的坐标为(3cos,4sin)θθ++（θ是参数）．则222296cos cos168sin sind x yθθθθ=+=+++++266cos8sin2610cos()θθθϕ=++=+-（其中4tan3ϕ=）．所以max261036d=+=，min261016d=-=．方法二d是圆上点到原点距离的平方，∴要求d的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点．结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以2max1)36d==，2min1)16d==．【例46】若220x y-+=，求函数2224u x y x y=+-+的最小值．【解析】222224(1)(2)5u x y x y x y =+-+=-++-，先求点(1,2)-与直线220x y -+=的距离为d =， 2min 49245555u d =-=-=．【例47】 （安徽省和县一中2008—2009学年度第一学期必修2模块检测试卷）点00(,)M x y 是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交【解析】C ；【例48】 （2004·天津高考试题）若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<【解析】22450x y x ++-=，∴22(2)9x y ++=是以(20)-，为圆心，3为半径的圆，如图7-6-2，令0x =得y =∴点C 坐标为(0．又(10)M -，，∴MC k =结合上述图形得0k <<A ．【例49】 半径为2的圆与直线:7l x y +=相切，切点为(43)M ，，求圆的方程．【解析】设圆心C 的坐标为()a b ，，则C 在过点(43)M ，且与直线:7l x y +=垂直的直线'l 上．易知':10l x y --=，其斜率1k =．∵C 与M 均在直线'l 上，2CM =，∴42a -，∴4a =+3b =+4a =3b =∴圆心分别为1(43C ++，2(43C ． 从而圆的方程是22(4(34x y -+-=，或22(4(34x y -+-=．【例50】 （2004·天津高考试题）若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k <<【解析】22450x y x ++-=，∴22(2)9x y ++=是以(20)-，为圆心，3为半径的圆，如图7-6-2，令0x =得y =∴点C坐标为(0． 又(10)M -，，∴MC k =结合上述图形得0k <<A ．【例51】 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切．求圆C 的方程．【解析】设圆心坐标为(,0)a ，则由点到直线的距离公式为3425a +=解得：2a =或7-，由0a >∴圆心坐标为(2,0) ∴22(2)4x y -+= 即2240x y x +-=【例52】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．【解析】⑴当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为3x =-代入2225x y +=，得1244y y ==-， ∴弦长为12||8y y -=⑵当斜率k 存在时，设所求方程3(3)2y k x +=+ 即3302kx y k -+-=由已知，弦心距||3OM =3= 解得34k =-所以此直线方程为33(3)24y x +=-+即34150x y ++= 所以所求直线方程为30x +=或34150x y ++=【例53】 若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 ．【解析】30x y --=【例54】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为 ．【解析】由已知条件有230a b -+-=，即23a b =-①，又22(2)5x y -+=，即圆心坐标为(20)，，则2OP k =，则12l k =-，∴12a b -=-，∴2b a =②，联立①②，解得：12a b =⎧⎨=⎩，∴2ab =．【例55】 已知直线(:l y k x =+()0k ≠与圆O ：224xy +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为S ．⑴试将S 表示为k 的函数()S k ，并求出它的义域；⑵求S 的最大值，并求出此时的k 值．【解析】⑴作OD AB ⊥于D ，则OD =，弦长AB ==ABC ∆的面积12S AB OD =⋅=∵011(0)AB k k >-<<≠，，∴()11,0)S k k k =-<<≠⑵设(0180)AOB θθ∠=︒<<︒，则1()sin 2sin 2S OA OB θθθ=⋅=∴当90θ=︒，max ()2,S θ=此时OD =k ==【例56】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)()13x y -+-=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223()(1)12x y -+-=【解析】设圆心为(1)a ，，由圆心到直线距离为1不难算出答案为B ．【例57】 （08天津）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且||6AB =，则圆C 的方程为 ．【解析】设圆C 的圆心C 的坐标为()a b ，，直线CP 的斜率为112b a -=-+，CP 的中点在直线1y x =+上，即12122b a +-=+．联立上面两个方程可解出01a b ==-，． 设圆的方程为222(1)x y r ++=，则C 到AB3=．因此2226()3182r =+=，于是圆C 的方程为22(1)18x y ++=．【例58】 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】把222430x y x y +++-=化为()()22128x y +++=，从而圆心为()1,2--，半径为r ==，所以选C ．【例59】 设点(,)P x y 是圆221x y +=是任一点，求21y u x -=+的取值范围．【解析】方法一 设(cos ,sin )P θθ，则有cos x θ=，sin y θ=，[0,2π)θ∈∴sin 2cos 1u θθ-=+，∴cos sin 2u u θθ+=-∴cos sin (2)u u θθ-=-+．)2u θφ-=+（tan u φ=）∴sin()θφ-．又∵sin()1θφ-≤1≤ 解之得：34u -≤．方法二 根据几何意义求解21y u x -=+的几何意义是过圆221x y +=上一动点和定点(1,2)-的连线的斜率， 利用此直线与圆221x y +=有公共点，可确定出u 的取值范围．由21y u x -=+得：2(1)y u x -=+，此直线与圆221x y +=有公共点， 故点(0,0)到直线的距离1d ≤．1≤，解得：34u -≤．另外，直线2(1)y u x -=+与圆221x y +=的公共点还可以这样来处理： 由222(1)1y u x x y -=+⎧⎨+=⎩消去y 后得：2222(1)(24)(43)0u x u u x u u ++++++=，此方程有实根，故2222(24)4(1)(43)0u u u u u ∆=+-+++≥，解之得：34u -≤．【例60】 已知对于圆22(1)1x y +-=上任一点(,)P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】方法一 ∵0x y m ++=右上方面的点满足：0x y m ++>，结合图象知，要圆上的任一点的坐标都满足0x y m ++≥， 只需直线在如图所示的切线的左下方，图中切线的纵截距1m -=，故只需1m -≤，即1m 即可．方法二 分析 设圆上一点(cos ,1sin )P θθ+，问题转化为利用三角函数求范围． 解 设圆22(1)1x y +-=上任一点(cos ,1sin )P θθ+，[0,2π)θ∈ ∴cos x θ=，1sin y θ=+，∵0x y m ++≥恒成立，∴cos 1sin 0m θθ+++≥恒成立，即(1cos sin )m θθ-++≥恒成立．∴只须m 不小于(1cos sin )θθ-++的最大值．设π(sin cos )1)14u θθθ=-+-=+-，∴max 1u =即1m ．【例61】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为（ ）A ． 1x =B ． 2y =C ． 1y x =+D ． 230x y -+=【解析】D ；显然，过P 且与直径垂直的直线即为所求 ．【例62】 已知a b ≠，且2πsin cos 04a a θθ+-=，2πsin cos 04b b θθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【解析】A ；设直线π:sin cos 04l y x θθ+-=，则点2(,)a a 和点2(,)b b 都在直线l 上，π14=<，所以与单位圆的位置关系为相交．【例63】 若220x y -+=，求函数2224u x y x y =+-+的最小值．【解析】222224(1)(2)5u x y x y x y =+-+=-++-，先求点(1,2)-与直线220x y -+=的距离为d =， 2min 49245555u d =-=-=．【例64】 过点(1,的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = ．；由图形可知点(1,A 在圆22(2)4x y -+=的内部， 圆心为(2,0)O 要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l OA ⊥，所以1l OA k k =-==【例65】 实数x 、y 满足2286210x y x y +--+=，求yx的取值范围．。
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.5.1 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.数学抽象——能够抽象出直线与圆的位置关系.2.逻辑推理——能够通过推理判断直线与圆的位置关系.3.数学建模——能够利用直线和圆的方程解决实际问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有①两个公共点；（2）直线与圆相切，只有②一个公共点；（3）直线与圆相离，③没有公共点.自主思考1.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.这个过程中，若将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月亮上升的过程中体现了直线与圆的几种位置关系？提示三种，相交、相切和相离.2.观察下图，图中直线l与圆是什么位置关系？有几个交点，切点与圆心的连线与l有什么位置关系？提示题图中的直线l与圆相切.有且仅有一个交点，切点与圆心的连线与l垂直.名师点睛1.直线Ax+By+C=0与圆(x−a)2+(y−b)2=r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d=√A2+B2d<r d=rd>r代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程及判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<02.圆的弦长的求法（1）几何法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，圆的半径为r，弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）为d，弦长为L，则(L2)2=r2−d2；（2）代数法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与圆的方程得{y=kx+m,(x−a)2+(y−b)2=r2,消去y 得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2，即可得出结果.互动探究·关键能力探究点一直线与圆位置关系的判断精讲精练例（2021黑龙江绥化青冈一中高二开学考）已知两条平行直线4x−2y+7=0，2x−y+ 1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x−2y+m=0(m＞0)的距离的一半. （1）求m的值；（2）判断直线l与圆C：x2+(y−2)2=15的位置关系.解析：思路分析（1）根据两条平行直线的距离与点到直线的距离的关系，求出m的值.（2）先求出圆心到直线的距离d，再比较d、r的大小，即可求解.答案：（1）将2x−y+1=0化为4x−2y+2=0，∴两条平行直线的距离为√42+(−2)2=√52.又原点O到直线l：x−2y+m=0(m＞0)的距离为√5，由题意得√5=√5，∴m=±5，又m＞0,∴m=5.（2）易知圆C：x2+(y−2)2=15的圆心为C(0,2)，半径r=√55，∴圆心C到直线l的距离d=√5=√55，∵d=r，∴直线l与圆C相切.变式若本例改为直线l：x−2y+m=0与圆C：x2+(y−2)2=15相交，求m的取值范围.答案：由题意知√12+(−2)2√5，解得3＜m＜5.解题感悟判断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断；（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 迁移应用（2020浙江嘉兴七校高二期中）已知圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心的坐标为(-2,1)，且过点(0,3).（1）求D,E,F的值；（2）判断直线x−y−2=0与圆C的位置关系.答案：（1）由x2+y2+Dx+Ey+F=0得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.∵圆心的坐标为(-2,1)，∴D=4,E=−2，又∵圆C过点(0,3),∴F=−3.（2）由（1）知，圆C的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=8，则半径r=2√2，∴圆心到直线x−y−2=0的距离d=√2=5√22＞2√2，∴直线与圆C相离.探究点二切线与弦长问题精讲精练类型1 求弦长例1已知直线l：x−y+m=0与圆C：(x+2)2+(y−2)2=2.（1）若直线l经过圆心C，求实数m的值；（2）当m=3时，判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长. 答案：（1）由圆C：(x+2)2+(y−2)2=2得圆心C的坐标为(-2,2)，半径为√2，若直线l经过圆心C，则−2−2+m=0，解得m=4.（2）当m=3时，直线l的方程为x−y+3=0，∴圆心C(−2,2)到直线l的距离d=√1+1=√2√2，∴直线l与圆C相交.此时弦长为2×√(√2)2−(√2)2=√6.解题感悟求弦长的方法：（1）交点法：将直线方程与圆的方程联立，交点的坐标易求的，用两点间的距离公式求解；交点的坐标不易求的，用弦长公式求解.（2）由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，用勾股定理求解.类型2 求切线方程例2过点A(−1,4)作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l，求切线l的方程.解析：思路分析设出切线l的方程（注意讨论斜率是否存在），利用点到切线l的距离等于圆的半径建立方程求解.答案：∵(−1−2)2+(4−3)2=10＞1，∴点A在圆外.当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是x=−1，不满足题意；当切线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y−4=k(x+1)，即kx−y+4+k=0，∴圆心(2,3)到切线l的距离为√k2+1=1，解得k=0或k=−34.综上，切线l的方程为y=4或3x+4y−13=0.解题感悟（1）过圆上一点(x0,y0)的切线方程只有1个，先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系求得切线的斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）过圆外一点(x0,y0)的切线方程有2个，设切线方程为y−y0=k(x−x0)，由圆心到切线的距离等于圆的半径建立方程求出k的值，即可求得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0（注意在上面解法中不包括斜率不存在的情况）.迁移应用1.已知直线mx−y+2=0与圆x2+y2=1相切，则m=.答案：±√3解析：已知圆的圆心为O(0,0)，半径r=1，则O到已知直线的距离d=√m2+1.由已知得d=r，即√m2+1=1，解得m=±√3.2.已知直线l：√3x−y+1=0，圆C：x2+y2+4x−2y+1=0.（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C相交，求出弦长；否则，求出圆C上的点到直线l的最短距离.答案：（1）圆C的方程为x2+y2+4x−2y+1=0，即(x+2)2+(y−1)2=4.∴圆心为(-2,1)，半径r=2，故圆心到直线l的距离d=√3−1+1|√3+1=√3＜r，∴直线l与圆C相交.（2）易知弦长为2√r2−d2=2×√4−3=2.探究点三直线与圆的位置关系的应用精讲精练例一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h.通过建立适当的平面直角坐标系，计算这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长.答案：建立如图所示的平面直角坐标系，圆O：x2+y2=676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以直线l AB的方程为x 40+y30=1，即3x+4y−120=0，因为O到l AB的距离|OO′|=√32+42=24 km，所以|MN|=2√|MO|2−|OO′|2=20 km，所以该轮船被监测的时间为2010=2 h.解题感悟用直线与圆的方程解决实际问题的四个步骤：（1）认真审题，明确题意.（2）建立适当的平面直角坐标系，在实际问题中建立直线与圆的方程.（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解.（4）用代数结果解释实际问题.迁移应用（2021山东日照高二期中）台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险地区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h答案：B评价检测·素养提升课堂检测1.直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法判断答案：B2.直线y=kx被圆x2+y2=2截得的弦长等于( )A.4B.2C.2√2D.√2答案：C3.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|=12 m，拱高|CD|=4 m，则拱桥的直径为 .答案：13 m4.过点(1,-7)，且与圆x2+y2=25相切的切线方程是.答案：4x−3y−25=0或3x+4y+25=0素养演练数学运算、逻辑推理——利用直线与圆解决面积问题（2021北京一零一中学高二期中）已知圆M ：x 2+(y −2)2=1 ，Q 是x 轴上的动点，QA,QB 分别与圆M 相切于A ，B 两点. （1）若Q(1,0) ，求切线方程； （2）求四边形QAMB 面积的最小值； （3）若|AB|=2413，求直线MQ 的方程.答案：（1）圆M ：x 2+(y −2)2=1 的圆心为(0,2)，半径为1，当过Q 的切线的斜率不存在时，切线方程为x =1 ，与圆相切，符合题意； 当过Q 的切线的斜率存在时，设切线方程为y =k(x −1) ，即kx −y −k =0 ， ∴ 圆心(0,2)到切线的距离d =√k 2+1=1 ，解得k =−34，∴ 切线方程为3x +4y −3=0 .综上，切线方程为x =1 或3x +4y −3=0 .（2）由题意得四边形QAMB 的面积S =2S △MAQ =2×12×1×√|MQ|2−1=√|MQ|2−1 ， ∴ 当MQ ⊥x 轴时，|MQ| 取得最小值，为2， ∴ 四边形QAMB 面积的最小值为√22−1=√3 . （3）由题意得圆心M 到弦AB 的距离为√1−(1213)2=513 ，设|MQ|=x ，x ＞0 ，则|QA|2=x 2−1 ， 又AB ⊥MQ,∴(x −513)2+(1213)2=x 2−1 ，解得x =135， ∴Q(√695,0) 或Q(−√695,0) ，∴ 直线MQ 的方程为y =−10√6969x +2 或y =10√6969x +2 .素养探究：（1）利用点到直线的距离等于圆的半径（注意讨论切线的斜率是否存在），建立方程求切线方程，渗透了数学运算的素养.（2）将条件转化为S =√|MQ|2−1 ，求出|MQ| 的最小值即可得解，渗透了逻辑推理、数学运算的素养.（3）设|MQ|=x,x ＞0 ，由切线长定理及勾股定理可得(x −513)2+(1213)2=x 2−1 ，渗透了逻辑推理的素养. 迁移应用已知圆M 过C(1,−1),D(−1,1) 两点，且圆心M 在x +y −2=0 上. （1）求圆M 的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.答案：（1）设圆M的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r＞0)，根据题意得{(1−a)2+(−1−b)2=r2, (−1−a)2+(1−b)2=r2,a+b−2=0 ⇒{a=1,b=1,r=2,故圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=4.（2）如图，连接PM，易知四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM，即S=12(|AM||PA|+|BM||PB|)，又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，易知|PA|=√|PM|2−4，即S=2√|PM|2−4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，故|PM|的最小值即为点M到直线3x+4y+8=0的距离，所以|PM|min=|3+4+8|5=3，故四边形PAMB面积的最小值为2√|PM|2−4=2√5.课时评价作业基础达标练1.（2020吉林学业水平考试）已知直线l：y=x+1和圆C：x2+y2=1，则直线l和圆C的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案：A2.已知直线l：x−y+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A、B两点，则|AB|= ( )A.2B.2√2C.4D.4√2答案：B3.已知直线l：y=k(x+√3)和圆C：x2+(y−1)2=1，若直线l与圆C相切，则k= ( )A.0B.√3C.√33或0D.√3或0答案：D4.已知圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a＞0)和直线l：x−y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2√3时，a等于( )A.√2B.2−√2C.√2−1D.√2+1答案：C5.（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二期中）当过点(1,2)的直线被圆x2+y2=9截得的弦长最短时，直线的方程是( )A.x+2y−5=0B.2x−y=0C.2x−y+3=0D.x+2y=0答案：A6.若直线x+my=2+m与圆x2+y2−2x−2y+1=0相交，则实数m的取值范围为( )A.(−∞,+∞)B.(−∞,0)C.(0,+∞)D.(−∞,0)∪(0,+∞)答案：D7.（2021福建厦门外国语学校高二期中）若直线l：x=my+√2与曲线C：y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，实数m的值为( ) A.0B.±√3C.-1D.−√3答案：D解析：曲线y=√1−x2表示圆心为原点，半径为1的圆的上半圆弧，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则直线l的斜率1m≤0⇒m＜0，则点O到l的距离d=√2√1+m2，又S△AOB=12|AB|⋅d=12×2√1−d2×d≤1−d2+d22=12，当且仅当1−d2=d2，即d2=12时，S△AOB取得最大值，所以d2=21+m2=12，解得m=−√3或m=√3（舍去）.8.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=2和点P(x0,0)，若圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则实数x0的取值范围是( )A.[−3,1]B.[−1,3]C.[−2,3]D.[−2,4]答案：B解析：由题意得圆C的圆心为C(1,2)，半径r=√2，如图所示，由图可知，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，若要使圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则∠APC≥π6，∴|PC|≤√2sinπ6=2√2，即√(x0−1)2+(0−2)2≤2√2，解得−1≤x0≤3.9.（2021江西南昌第十中学高二期中）点P(x,y)是直线kx+y+3=0上一动点，PA,PB是圆C：x2+y2−4y+3=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为.答案：±2解析：易知圆C的圆心为C(0,2)，半径为1，因为PA,PB是圆C的两条切线，A，B是切点，所以S四边形PACB=2S△PAC=|PA|⋅|AC|=|PA|=√|PC|2−|AC|2=√|PC|2−1，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，而|PC|的最小值即点C到直线kx+y+3=0的距离d=√k2+1，所以√d2−1=2⇒k2=4⇒k=±2.素养提升练10.（多选题）（2021山东肥城高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(−4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是( )A.圆C的方程是(x−4)2+(y−2)2=16B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±√155D.在直线y=2上存在异于A，B的两点D，E，使得|PD||PE|=2答案：A; B; D解析：设点P(x,y)，因为A(−4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，所以√(x+4)2+(y−2)2√(x−2)2+(y−2)2=2，化简得x2+y2−8x−4y+4=0，即(x−4)2+(y−2)2=16，故A中说法正确；设两条切线的夹角为α，易知|AC|=8，圆C的半径r=4，所以sinα2=r|AC|=12，则α2=π6，解得α=π3，故B中说法正确；易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−2=k(x+4)，即kx−y+4k+2=0，因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，所以圆心(4,2)到直线的距离d=√k2+1=2，解得k=±√1515，故C中说法错误；假设存在异于A，B的两点D(m,2)，E(n,2)，则√(x−m)2+(y−2)2√(x−n)2+(y−2)2=2，化简得x2+y2+2m−8n3x−4y+4n2−m2+123=0，因为点P的轨迹方程为x2+y2−8x−4y+4=0，所以{2m−8n3=−8,4n2−m2+123=4,解得{m=12,n=6 或{m=−4,n=2 （舍去），故存在D(12,2),E(6,2)，所以D中说法正确.11.（2021四川江油一中高二期中）若圆C：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+ 6=0对称，由点(a,b)向该圆引切线，则切线长的最小值为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解析：由题意得圆C的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=2，所以圆心为(-1,2)，半径为√2，因为圆C关于直线2ax+by+6=0对称，所以圆心位于该直线上，所以−2a+2b+6=0，即点(a,b)在直线l：−x+y+3=0上，设D(a,b)，过点D作圆C的切线，切点为E，则|DE|=√|CD|2−r2=√|CD|2−2，要使|DE|最小，则只需|CD|最小，所以|CD|的最小值即过点C作直线l：−x+y+3=0的垂线，此时|CD|=√2=3√2,|CE|=r=√2，所以|DE|=√|CD|2−|CE|2=4.12.（多选题）过O(0,0)作圆C：(x−4)2+(y−4)2=4的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A.|AB|=√14B.|OA|=4√7C.直线AB的方程为x+y=7D.cos∠AOB=47答案：A; C解析：如图所示，连接OC交直线AB于D，连接AC,BC，在Rt△OAC中，|AC|=2,|OC|=4√2，则|AO|=2√7，sin∠AOC=|AC||OC|=√24=sin∠AOD=|AD||AO|=2√7，∴|AD|=√142,∴|AB|=2|AD|=√14，故A中说法正确，B中说法错误. 易知AB⊥OC，k OC=1，∴k AB=−1，∴|OD|=√|AO|2−|AD|2=7√22，设直线AB的方程为y=−x+b(b＞0)，即x+y−b=0，∴|OD|=√2=7√22，∴b=7（负值舍去），故y=−x+7，∴C中说法正确.∵sin∠AOC=√24,∴cos∠AOB=1−2×(√24)2=34，∴D中说法错误.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，用坐标法求线段DE的最短距离.答案：以O为坐标原点，OB,OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1，B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8+y8=1，即x+y=8.当点D 是与直线BC 平行的直线（距BC 较近的一条）和圆O 相切所成的切点时，|DE| 为最短距离，此时|DE| 的最小值为√21=(4√2−1)km .创新拓展练14.（2021江西南昌第二中学高二期中）已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25 ，直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R) .（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度及此时l 的方程.命题分析 本题考查了直线与圆的位置关系，用几何法求弦长.答题要领 （1）确定直线l 过定点P ，且定点P 在圆内，则易得直线l 与圆C 相交.（2）当PC ⊥l 时，弦长最短，由此可计算出最短弦长和直线l 的方程.详细解析 （1）将直线l 的方程变形为m(2x +y −7)+x +y −4=0 ，由{2x +y −7=0,x +y −4=0,解得{x =3,y =1,所以直线l 恒过定点P(3,1) . ∵(3−1)2+(1−2)2＜25 ，∴ 点P 在圆内，∴ 无论m 取何值，直线l 与圆C 都相交.（2）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆截得的弦长为L ，如图所示，当直线PC 与直线l 不垂直时，d ＜|PC| ；当PC ⊥l 时，d =|PC| ，所以d ≤|PC| ，即当PC ⊥l 时，d 取得最大值，d max =|PC|=√(3−1)2+(1−2)2=√5 . 易知直线PC 的斜率k PC =1−23−1=−12 ，又PC ⊥l ， 所以直线l 的斜率k =−1k PC =2 ，此时直线l 的方程为y −1=2(x −3) ，即2x −y −5=0 .直线l 被圆截得的弦长的最小值L min =2×√25−(√5)2=4√5 .解题感悟 利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程，解析几何的有关知识并结合图形分析.。
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学中，直线与圆的常用二级结论有以下几个：
1. 直线与圆的位置关系：
a) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
b) 直线与圆外切：直线与圆相切于圆外切点。
c) 直线与圆内切：直线与圆相切于圆内切点。
2. 直线与圆的切线：
a) 切线的定义：直线与圆相切于圆上的一点，并且与
圆的切点垂直。
b) 切线的性质：切线与半径的夹角为直角。
3. 直线与圆的长度关系：
a) 弦：直线在圆内部的部分称为弦，弦的两个端点在
圆上。
b) 弦长定理：如果两条弦的长度相等，则它们所对应
的弧长也相等。
c) 弦切角定理：直线与圆相交于两个点，这两个点与
圆心连线所夹的角等于直线所对应的弦所对应的圆心角的
一半。
4. 直线与圆的垂直关系：
a) 直径与切线的垂直性：直径与其所对应的切线垂直。
b) 切线与半径的垂直性：切线与其所对应的半径垂直。
这些二级结论在高考数学中经常出现，考生需要熟练掌握，并能够运用到解题中。
人教版高中数学必修二 第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0，（x－a）2＋（y－b）2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断B[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B． 2C． 3 D．2D[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．45[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r2－d2＝4 5.]直线与圆的位置关系0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能A [将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交．]求圆的切线方程思路探究：确定点A 在圆外→判断切线条数 ――――――――――――――→根据圆心到直线的距离d ＝r求切线方程 [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？[解]因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.2．若本例的条件不变，求其切线长．[解]因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝（3－4）2＋（1＋3）2＝17，又|BC|＝r＝1，则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝（17）2－12＝4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.(2)点在圆外时：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．直线与圆的相交问题1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示]将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？[提示]通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2r2－d2.【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．思路探究：法一：求圆心半径――――→勾股定理 弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标――――――――――→利用两点间距离公式求弦长[解] 法一：圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5， 其圆心坐标为(0，1)，半径r ＝ 5. 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，l ＝2r 2－d 2＝10，所以截得的弦长为10.法二：设直线l 与圆C 交于A 、B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1，3)，B (2，0)，所以弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2＋（0－3）2＝10.3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为10，求该直线方程”，又如何求解？[解] 由例题知，圆心C (0，1)，半径r ＝5，又弦长为10， 所以圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝5－52＝102.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x －2)， 所以d ＝|－1－2k |k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，所以直线方程为y ＝－3(x －2)或y ＝13(x －2)， 即3x ＋y －6＝0或x －3y －2＝0.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．若直线y ＝x ＋a 与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．2 B ．± 2 C ．1 D ．±1B [由题意得|a |2＝1，所以a ＝±2，故选B.] 3．求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋1＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)， 即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.。
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题2.3.3 直线与圆的位置关系
(2)当Δ＝32(1－k2)＝0即k＝±1时，方程组有两组相同的实数 解，直线l与圆O相切；
(3)当Δ＝32(1－k2)＜0即k＜－1或k＞1时，方程组没有实数 解，直线l与圆O相离．
法二 直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0. 圆心O到直线l的距离 d＝ |－k24＋k|1， 圆O的半径r＝2 2.
(1)当d＝ |－k24＋k|1＜2 2， 即－1＜k＜1时，直线l与圆O相交； (2)当d＝ |－k24＋k|1＝2 2， 即k＝±1时，直线l与圆O相切； (3)当d＝ |－k24＋k|1＞2 2， 即k＜－1或k＞1时，直线l与圆O相离．
类型二、求圆的切线方程 例 2、过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此 切线的方程．
练：
已知圆 O：x2＋y2＝8，过 P(4，0)的直线 l 的斜率 k 在什么范 围内取值时，直线 l 与圆 O：(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解 法一 设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由yx＝ 2＋kyx2＝－84，， 得(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 由1＋k2＞0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． (1)当Δ＝32(1－k2)＞0即－1＜k＜1时，方程组有两组不同的 实数解，直线l与圆O相交；
[思路探索] 利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜 率，进而求出切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A在圆外． (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－3－4k＝0. 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1. 解得k＝－185.所以切线方程为y＋3＝－185(x－4)， 即15x＋8y－36＝0.
高中数学圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系教材梳理素材
4。
2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或Δ法）将直线的方程与圆C 的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程。
（1）当Δ＞0时,方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l 与圆C 相交;(2)当Δ=0时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线l 与圆C 相切；（3)当Δ＜0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l 与圆C 相离.方法二：几何法判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系。
（1）如果d 〈r,直线l 与圆C 相交;(2）如果d=r ，直线l 与圆C 相切；（3）如果d>r ，直线l 与圆C 相离.方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的,研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围。
二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较d 与r 的大小.2。
求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:（1)从圆上的已知点为切点求切线；（2)已知切线的斜率求切线；（3）已知圆外一点求切线.求切线的方法：（1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2）判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3）切点坐标代换法，即如果圆的方程为x 2+y 2=r 2，则过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.3。
关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示 在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系。
当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解。
问题·探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究：沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆C ：(x —2)2+(y —3)2=4，直线l:（m+2）x+(2m+1）y=7m+8,当m∈R 时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m 有关吗？探究：由已知直线l 的方程(m+2）x+（2m+1)y=7m+8变形可得（2x+y —8)+m （x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y —8=0和x+2y —7=0的交点，解之可得交点为(3,2），即无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2).而容易判断点（3,2）在已知圆内,所以直线与圆总相交,与参数m 无关.典题·热题例1 求经过点(1，-7）且与圆x 2+y 2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，—7）代入圆方程，有12+(-7)2=50〉25，可知点（1，-7）是圆外一点，故所求切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y+7=k(x —1)，即y=k （x —1）-7。
高中数学知识点精讲精析 直线与圆的位置关系
2.2.2直线与圆的位置关系1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切.③Δ＜0，直线和圆相离.方法二 是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为， ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：①d ＜R ，直线和圆相交.②d =R ，直线和圆相切.③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.例1．已知直线和圆 有两个交点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：D例2 如图，OA.OB.OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BAC.证明：l 0=++c by ax C 022=++++F Ey Dx y x r )2,2(E D --d 22B A CBb Aa d +++=k x y +=2422=+y x k 55<<-k 0=k 52>k 5252<<-k例3 如图，⊙O 是直角三角形的直角边AB 为直径的圆ED 与⊙O 切于D ，求证： .证明：连结OD.BD ∵ EB.ED 都是⊙O 的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO ≌△EDO ∴ ∠1=∠2∵ ∠A=∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD ，∠1=∠2∴ BD ⊥OE ∴ BD ⊥CA 又 AB ⊥BC ∴ △ABC ∽△BDC∴ 即例4如图，AB 是半圆的直径，E 是上任意一点，过E 作半圆的切线CD ，分别过A ，B 作半圆的切线交CD 于C.D 两点，连结AD ，BC 交于P 点，连结EP 且延长交AB 于F 点，求证：EP=FP .证明：∵ CA.CE 是⊙O 的切线 ∴ CA=CE 同理DE=DB∵ CA 是切线且AB 为直径 ∴ CA ⊥AB 同理DB ⊥AB∴ CA//DB ∴ △CAP ∽△BDP ∴ ∴ ∴ EP//CA ∴ 同理 ∴ CA//EF//DB ∴ ∴ ∴ EP=FP 例5 .已知实数x .y 满足x 2+y 2+2x －2y =0，求x +y 的最小值.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOC AOB BOC BAC AOB ACB 22121BAC ACB ∠=∠⇒2CD EO BC ⋅=2221=//21BC AC DCBC =CD EO DC AC BC ⋅=⋅=22⋂AB PD AP DBAC =PD AP ED CE =CA EP DCDE =CA PF BC PB =BC BP DCDE =CA PF CA EP =3解：原方程为（x +1）2+（y －）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为 x =－1+2cos θ，y =+2sin θ2sin （θ+），当θ=，即x =－1－，y =－时，x +y 的最小值为－1－2.3324π4π523232（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =－1+2（sin θ+cos θ）=－+1 33。
高中数学必修1-4.2.1直线与圆的位置关系
判别直线与圆的位置关系的方法: 直线 l : Ax By C 0 圆 C : ( x a )2 ( y b )2 r 2 d :圆心C (a , b)到直线 l 的距离
P137 问题:一艘轮船在沿直线返回港口的 途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于 轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为 30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北 40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否 (0,4) 会受到台风的影响? l 分析:以台风中心为原点O,东 (7,0) 西方向为x轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km 为单位长度. 问题归结为圆O与直线l 是否有交点
直 线 与 圆 的 位 置 关 系
思考:在初中,我们怎样判别直线与圆 的位置关系?
位置关系 直线与圆相交 判别方法 2个交点
直线与圆相切
直线与圆相离
1个交点
没有交点
例1. 已知直线 l : 3 x y 6 0 和圆心为C 2 2 的圆 x y 2 y 4 0,判断直线l 和圆的位 置关系;如果相交,求它们的交点的坐标.
分析:直线与圆的位置关系,可通过 交点的个数进行判别. 解:由直线 l 与圆的方程,得 x 2 x 1 3 x y 6 0 或 2 x y2 2 y 4 0 y 0 y 3 直线与圆有两个交点, 坐标分别为:(2, 0), (1, 3). 因而直线与圆相交.
思考:除了用交点个数判别直线与圆的 位置关系外,还有没有其它的判别方法? 直线 l : Ax By C 0 圆 C : ( x a )2 ( y b )2 r 2 d :圆心C (a , b)到直线 l 的距离
高中数学 直线与圆的位置关系
典例导学
即时检测
一
二
Байду номын сангаас
三
1.已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中 点的弦所在的直线,直线l的方程是ax+by=r2,那么①m∥l,②m⊥l,③l 与圆相交,④l与圆相切,⑤l与圆相离.其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
典例导学
即时检测
一
二
三
解析： 直线 m 的方程为 y-b=- (x-a), 整理得 ax+by=a2+b2. ∵直线 l 的方程为 ax+by=r2, 且 M(a,b)在圆内 , ∴a2+b2<r2. ∴两直线 m,l 平行 ,故 ①正确 .
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������
∵圆心到 l 的距离 d=
又 ∵a2+b2<r2,
(3)位置关系如下:
位置关系 公共点个数 几何特征(圆心到直线 的距离为 d,半径为 r) 代数特征(直线与圆的 方程组成的方程组)
相离 0 d>r 无实数解
相切 1 d=r 仅有一组 实数解
相交 2 d<r 有两组不同 的实数解
交流2 对比判断直线与圆的位置关系的两种方法,哪一种方法更好? 答案：利用几何法更好.因为借助数形结合的方法,运算量较小. 交流3 直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系如何? 答案：由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 而(0,1)在圆x2+y2=4内, 所以直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交.
2.直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法: 已知直线l:Ax+By+C=0,圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由l和O的方程
高中数学必修2直线与圆的位置关系1
高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ；圆心),(b a ，半径为r ；圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心)2,2(ED --，半径为F E D 42122-+； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外222)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内222)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上222)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔； ②两圆外切2121||r r O O +=⇔；③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔； ④两圆内切||||1221r r O O -=⇔； ⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。