实用文档之初中数学竞赛——绝对值

实用文档之"第2讲 绝对值"
知识总结归纳
一. 绝对值的定义
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
,(0)
0,(0),(0)
a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩
二. 绝对值的几何意义
a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．
三. 去绝对值符号的方法：零点分段法
（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，
确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．
（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到
相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．
四. 零点分段法的步骤
（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．
五. 含绝对值的方程
（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符
号，化成一般形式再求解．
（2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相
比较，去掉不符合要求 的．
六. 绝对值三边不等式:
a b a b a b -≤+≤+
七. 含有绝对值的代数式的极值问题
对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-+
+-（123n a a a a ≤≤≤
≤）
（1） 如果n 为奇数，则当12
n x a +=时取最小值；
（2） 如果n 为偶数，则当1
2
2n n a x a +≤≤时取最小值.
典型例题
一. 绝对值的化简
【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．
【例2】 已知a 、b 、
c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab ac
a b b c c a ab ac
-----++
----
c
b
0 a 的值.
【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，
11a b +=+,11c d -=-，求a b c d +++的值.
【例4】 化简：12x x -+-.
【例5】 化简：525x x +--.
【例6】 化简：23132x x x ++---.
【例7】 化简：5423x x x ++-++；
【例8】 化简：21x x -+.
【例9】化简：121
x x
--++.
【例10】已知0
x<，化简：
2
3
x x
x x
-
--
.
【例11】若25
x
<<，化简：
52
52
x x x
x x x
--
-+
--
.
【例12】若0
a<，且
a
x
a
≤，化简：12
x x
+--.
【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的
值.
【例14】
a 、
b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.
二. 绝对值方程
【例15】 解方程：
（1）2(1)5x x --+=； （2）576x --=-； （3）4426x x -=+．
【例16】4329
+=+.
x x
【例17】解方程：
（1）143
x x
-+-=；
（2）324
+-=；
x x
（3）13
-=+．
x x
【例18】解方程：|||4|5
x-=.
【例19】解方程：||48|3|5
+-=.
x x
【例20】 解方程：324x x -+=.
【例21】 解方程：3212x x x --+=+
【例22】 解方程：213x --=.
【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解
的情况.
三.绝对值不等式
【例24】解不等式：|35|10
x+≤.
【例25】解不等式：23
+>-.
x x
【例26】解不等式：|3||21|2
+--<.
x x
【例27】 解不等式：4231x x ---≤.
【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.
【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.
【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.
四. 绝对值的几何意义和最值问题
【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.
【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.
【例33】 求35x x ++-的最小值.
【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.
（2）试求1232013x x x x -+-+-+
+-的最小值.
【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．
【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．
【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.
五. 三角不等式
【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.
【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.
【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的
最大值和最小值.
【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且
25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.
【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P
与Q 的大小.
思维飞跃
【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？
【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．
作业
1. 已知a a =-，0b <，化简：
22442(2)24323
a b a b a b b a +--+++--.
2. 化简：3223x x -++．
3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简： a b c a b c ++.
4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．
5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．
6. 化简：2325x x
x x --．
7. 化简：123x x x -++--．
a b 0
8. 解方程：100100300x x ++-=．
9. 解方程：116x x x +-++=.
10. 解方程：
（1）32368x x ++-=； （2）23143x x x +--=-.
11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.
12. 计算下列式子的的最小值.
（1）123x x x -+++-；
（2）31523x x x -+++-；
（3）213243x x x x +-+-+-．
13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.
14. 计算21563x x x ++-++的最小值．
15. 已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求b a a b ⋅的
值.。