高一数学必修1第一章复习课(张奕辉用)

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原创1：第一章章末复习

问对A,B都赞成的观众和都不赞成的观众各有多少人?
典例精讲：题型四：集合中元素个数问题

[解析] 赞成A的人数为50× =30, 赞成B的人数为30+3=33,

记50名观众组成的集合为U,赞成影片A的观众
U
A
全体为集合A;赞成影片B的观众全体为集合B.
设对影片A,B都赞成的观众人数为x, 则对A,B
[思路分析]：由A∩B=B，可知B⊆A，由于B为含字母参数的集合，
要分B= ∅和B≠ ∅两种情况分类讨论，借助数轴进行求解.
典例精讲：题型二：集合间关系问题
[例2]已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若
A∩B=B，求实数a的取值范围．
[解析]：由A∩B=B，可知B⊆A，
故选C.
(2) ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；
x＝3，y＝1,2； x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，
(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.
[思考1]：(1)、(2)两题中集合B相同吗？它们的代表元素分别是什么？
提示：不同，(1)中代表元素为x−y，为一个实数，因此(1)中B为数集，(2)
中代表元素为有序数对(x,y)，因此(2)中B为点集.
典例精讲：题型一：集合的基本概念
[思考2]：(1)、(2)两题中都出现了“x−y”，在两题中这个式子有什么区

都不赞成观众人数为

30−x
B

高数数学必修一《第一章章末复习课》教学课件

(2)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_{_a|a_<_－_8_或_a_≥_3_} ____．
解析：用数轴表示两集合的位置关系，如图所示，
或
要使B⊆A，只需a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.所以实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}．
y|∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．6
B．12
C．16
D．20
答案：D
解析：B中元素： x＝1，y＝2，3，4，5，即：(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5) x＝2，y＝1，3，4，5，即：(2，1)、(2，3)、(2，4)、(2，5) x＝3，y＝1，2，4，5，即：(3，1)、(3，2)、(3，4)、(3，5) x＝4，y＝1，2，3，5，即：(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，5) x＝5，y＝1，2，3，4，即：(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4) 所以B中元素共有20个．故选D.
跟踪训练2 设集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，
则a的取值范围为( )
A．a≥4
B．－1≤a≤4
C．a<－1
D．a≤－1
答案：D 解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－1.故选D.
考点三集合的运算 1．集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之

高中数学必修一第一章章末复习课课件

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50 kg时，单价为m元；若一次购买大米超过50 kg时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了x kg大米，其费用为y元，则y与x的函数关系式y＝
mx，0≤x≤50， __0_.9_m__x_＋__5_m_，__x_＞__5_0___. 解析当0≤x≤50时，y＝mx；当x＞50时，y＝50m＋(x－50)×90%·m＝0.9mx＋5m.
2.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法： (1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题. (2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域. (3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨. (4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质.
(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作. (6)运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识，了解数学史及发展前沿，以及应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面.
所以 Q P.
解析答案
1 234
3.设函数 f(x)＝x22x＋，2x，>2x，≤2，则 f(－4)＝____1_8___，若 f(x0)＝8，则 x0 ＝__－___6_或___4_____. 解析 f(－4)＝(－4)2＋2＝18，由 f(x0)＝8，得xx020≤ ＋22，＝8，或x20x>0＝2，8，得 x0＝－ 6，或 x0＝4.

最新人教版高一数学必修1第一章《复习》教案

第一章单元复习从容说课通过对本章集合知识与函数知识结构的整合，使学生所学的知识系统化、网络化.本课从知识结构的整体出发，通过对集合知识与函数知识的综合运用，培养学生的理性思维能力，优化学生的数学认知结构.通过解决抽象函数、复合函数的有关问题，培养学生的抽象思维能力；利用分析、讨论的课堂教学手段，培养学生的合作、交流意识；结合函数知识解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养他们分析问题、解决问题的能力.三维目标一、知识与技能掌握集合、函数的有关概念，能综合运用集合与函数的基本知识解决问题.对复合函数与抽象函数有新的认识.二、过程与方程培养学生分析、探究、思考的能力，进一步培养学生综合运用基本知识解决问题的能力.三、情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力.教学重点集合与函数的基本知识，含字母问题的研究，抽象函数的理解.教学难点分类讨论的标准、抽象函数的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.课时安排2课时教学过程一、知识回顾（一）第一章知识点1.集合：①集合的含义；②表示法；③元素与集合的关系.2.集合间的基本关系：①子集；②真子集；③集合相等.3.集合的运算：①并集；②交集；③补集.4.函数：①函数的概念；②三要素：定义域，值域，对应法则；③映射概念.5.函数的表示：①表示法：解析法，列表法，图象法；②求函数的解析式；③求函数的定义域；④求一些简单函数的值域和最值.6.函数的单调性：①函数单调性定义；②单调函数的概念；③单调区间；④判断或证明函数单调性的方法；⑤单调性的应用；⑥利用函数的单调性求最值.7.函数的奇偶性：①奇偶性的概念；②奇偶性的定义域特征；③判断函数奇偶性的步骤；④奇偶性图象特征.8.函数的应用问题：①解函数应用题的基本方法步骤；②与几何图形有关的应用题的解法；③与物理现象有关的应用题的解法；④与社会生活有关的实际问题的解法.9.（1）解函数应用题的主要步骤是：①“设”即分析题意设出变量；②“列”即列出关系式，建设函数模型；③“解”即运用函数的性质解出要求的量；④“答”即回到原实际问题作答.（2）解实际问题的步骤用框图可表示为（3）当实际问题中的变量较多时，首先寻找所求量（y ）与这些变量间的关系式，然后根据实际要求确定一个自变量（x ），而其他变量通过题中条件再用x 表示出来，用代入法即可得到函数模型y =f （x ）.（二）方法总结1.证明集合相等的方法：A ＝B ⇔①A ⊂B ；②A ⊃B （两点必须同时具备）.2.相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应法则相同（两点必须同时具备）.3.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.4.函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③实际问题要考虑实际意义等.5.函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反表示法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.6.函数单调性的判定法：①设x 1、x 2是所研究区间内的任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f （x 1）与f （x 2）的大小；③作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）7.函数奇偶性的判断：首先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f （－x ）与f （x ）的关系.（1）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用函数图象的对称性描绘函数图象.（2）函数的应用举例（实际问题的解法）. a.解决应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型. ③求模：求解数学模型，得到数学结论.④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.b.建模类型：①可化为一、二次函数的应用题的解法；②可化为分段函数的应用题解法. 8.常用函数的研究、总结与推广：（1）以二次函数为背景的函数问题（包括通过换元可转化为二次函数的问题）.（2）研究函数y =b ax d cx ++（ac ≠b d）的图象性质. （3）研究函数y =x +x1的图象性质并推广.9.抽象函数（即不给出f （x ）解析式，只知道f （x ）具备的条件）的研究. （1）若f （a +x ）=f （a －x ），则f （x ）关于直线x =a 对称. （2）若对任意的x 、y ∈R ，都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），可利用赋值法研究抽象函数的性质.二、讲解新课典型例题【例1】集合A ={x |x 2－mx －8≥0}，B ={x |x 2－2mx －n ＜0}，问能否找到两个实数m 、n ，使A ∩B ={x |4≤x ＜5}？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在实数m 、n 满足条件.由题意可知，4是方程x 2－mx －8=0的一根，由韦达定理知方程的另一根为－2. ∴m =4+（－2）=2.∴B ={x |x 2－4x －n ＜0}，A ={x |x ≥4或x ≤2}. 由题意可知，5是方程x 2－4x －n ＝0的一根，方程x 2－4x －n ＝0的另一根为x 0，则⎩⎨⎧-=⋅=+,5,4500n x x ∴⎩⎨⎧=-=.5,10n x综上，存在实数m =2，n =5满足题意.方法引导：本题通过集合与一元二次方程结合，给出一类开放性的问题，要求学生自己找出是否存在实数m 、n 能够满足题意.解题的关键就是能发现一元二次不等式解的特点.【例2】设A ={x |－2≤x ≤a }≠∅，B ={y |y =2x +3，x ∈A }，C ={z |z =x 2，x ∈A }，且C ⊆B ，求实数a 的取值范围.解：∵A ={x |－2≤x ≤a }，∴B ={y |y =2x +3，x ∈A }={y |－1≤y ≤2a +3}. 又C ={z |z =x 2，x ∈A }，且C ⊆B ，①当－2≤a ≤0时，C ={z |z =x 2，x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}，∴⎩⎨⎧≥+-≥,432,12a a 得a ≥21，无解.②当0＜a ≤2时，C ={z |0≤z ≤4}，∴⎩⎨⎧+≤-≥,324,10a 得a ≥21.∴21≤a ≤2.③当a ＞2时，C ={z |0≤z ≤a 2}， ∴⎩⎨⎧+≤-≥,32,102a a 得－1≤a ≤3.∴2＜a ≤3.综上21≤a ≤3. 方法引导：本题是集合与二次函数相结合的问题，通过对a 进行分类讨论，利用数轴分析集合间的包含关系来解决.【例3】已知函数f （x ）=xax x ++22，x ∈［1，+∞）.（1）当a =21时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈［1，+∞），f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.（1）解：当a =21时，f （x ）=x +x21+2.设1≤x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=（x 2－x 1）（1－2121x x ）. ∵2x 1x 2＞2，0＜2121x x ＜21， ∴1－2121x x ＞0.又x 2－x 1＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＞0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在区间［1，+∞）上为增函数，则f （x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞］上，f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x +a ＞0恒成立.设y =x 2+2x +a ，x ∈［1，+∞)，y =x 2+2x +a =（x +1）2+a －1在区间［1，+∞)上递增， ∴当x =1时，y min =3+a .于是当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3.解法二：f （x ）=x +xa+2，x ∈［1，+∞），当a ≥0时，函数f （x ）的值恒为正；当a ＜0时，y =x +2与y =xa在［1，+∞)上都是增函数.所以f （x ）=x +xa+2在［1，+∞）上是增函数.故当x =1时，y min =3+a ，于是当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3.方法引导：本题体现了函数思想在解题中的运用，第（1）题用函数单调性求函数的最小值，第（2）题用函数的单调性解决恒成立的问题.在第（2）题的解法一中，还可以这样解：要使x 2+2x +a ＞0恒成立，只要a ＞－x 2－2x =－（x +1）2+1恒成立，在［1，+∞）上，由函数单调性得－（x +1）2+1≤－3，所以只要a ＞－3.【例4】已知f （x ）=－x 2+ax －4a +21，x ∈［0，1］，求f （x ）的最大值g （a ），且求g （a ）的最小值.解：∵f （x ）=－x 2+ax －4a +21=－（x －2a ）2+42a －4a +21，对称轴x =2a，∵x ∈［0，1］，①当2a≤0，即a ≤0时，f （x ）max =f （0）=－4a +21.②当0＜2a＜1，即0＜a ＜2时，f （x ）max =f （2a ）=42a －4a +21.③当2a≥1，即a ≥2时，f （x ）max =f （1）=43a－21.∴g （a ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<+-≤+-.2,2143,20,2144,0,2142a a a a aa a ①当a ≤0时，－4a +21≥21. ②当0＜a ＜2时，42a －4a +21＝41（a －21）2+167≥167.③当a ≥2时，43a－21≥1.∴g （a ）min =167.方法引导：本题是含参数的二次函数最值问题，通过对称轴x =2a的移动，对a 进行分类讨论，得到的最大值g （a ）是关于a 的一个分段函数的形式，注意分段函数的最小值，是每一段最小值的最小值.【例5】对于任意非零实数x 、y ，已知函数y =f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）=f （x ）+f （y ）. （1）求f （1），f （－1）；（2）判断y =f （x ）的奇偶性；（3）若y =f （x ）在（0，+∞）上是增函数，且满足f （x ）+f （x －21）≤0，求x 的取值范围.解：（1）∵对于任意非零实数x 、y ，有f （xy ）=f （x ）+f （y ），取x =y =1，得f （1）=f （1）+f （1）， ∴f （1）=0.取x =y =－1，得f （1）=f （－1）+f （－1），∴f （－1）=0.（2）对任意x ≠0，取y =－1，则f （－x ）=f （x ）+f （－1）=f （x ）+0，即f （－x ）=f （x ），∴f （x ）是偶函数.（3）∵f （x ）+f （x －21）≤0，∴f ［x （x －21）］≤0.由f （x ）是偶函数，得f （|x 2－21x |）≤f （1）.又y =f （x ）（x ≠0）在（0，+∞）上是增函数，∴0＜|x 2－21x |≤1. ∴－1≤x 2－21x ＜0或0＜x 2－21x ≤1. 解得0＜x ＜21或4171-≤x ＜0或21＜x ≤4171+.方法引导：本题求抽象函数的单调性与奇偶性，一般常用赋值法，给x 、y 取一些特殊的值，从而得到一些特殊的函数值，再结合函数的单调性与奇偶性的性质解题.【例6】已知f （x ）∈［83，21］，求y =f （x ）+)(21x f -的值域.解：∵f （x ）∈［83，21］，∴2f （x ）∈［43，1］.∴1－2f （x ）∈［0，41］.∴)(21x f -∈［0，21］.令t =)(21x f -，t ∈［0，21］，则f （x ）=21（1－t 2）.∴y =21（1－t 2）+t =－21（t －1）2+1.由于t ∈［0，21］，所以21≤y ≤87.故函数y 的值域为［21，87］.方法引导：本题利用换元法求函数的值域，设出新元以后必须给出新元的范围，对于)(21x f -的范围的研究通常由里向外，最后再根据二次函数的性质求值域.【例7】如下图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a ，边坡的倾斜角为60°.（1）求横断面积y 与底宽x 的函数关系式；（2）已知底宽x ∈［4a ，2a ］，求横断面面积y 的最大值和最小值. 解：（1）分别过A 、B 作AE 、BF 垂直于CD ，交CD 于点E 、F ， ∵∠ADC =∠BCD =60°，且AB =x ，∴AD =BC =2xa -.∴D E=CF =2x a -·cos60°=4xa -，AE =2xa -·sin60°=4)(3x a -.∴y =21（AB +CD ）·AE =21（x +x +2xa -）·4)(3x a -=163（a +3x ）（a －x ）（0＜x＜a ).（2）∵y =－1633（x －3a ）2+123a 2，x ∈［4a ，2a］，∴当x =3a时，y max =123a 2；当x =2a时，y min =6435 a 2.故横断面面积y 的最大值为123a 2，最小值为6435a 2.方法引导：本题是函数在几何图形方面的应用，运用几何图形的性质求出与面积有关的量（用x 表示），根据面积公式列出关系式，这个过程就是建立数学模型，得到的函数是二次函数，但定义域不是R ，而是实际的底宽［4a ，2a］.【例8】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：（1）写出如图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P =f （t ）；写出如图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g （t ）.（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天）解：（1）由图甲可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t由图乙可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）=2001（t －150）2+100，0≤t ≤300. （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）=f （t ）－g （t ），即h （t ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,2125272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）=－2001（t －50）2+100，所以，当t =50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）=－2001·（t －350）2+100，所以，当t =300时，h （t ）取得区间（200，300）上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t =50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.方法引导：本题是现实生活中的实际问题，题中两图本来是通过实验分析得到相关数据抽象出来的数学模型，这里让我们通过识图找到相应的函数关系式，然后建立纯收益关于时间的分段函数，利用二次函数和分段函数的知识解决问题.【例9】已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0，有ba b f a f ++)()(＞0.（1）判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若满足f （x +21）＜f （11-x ），求x 的取值范围；（3）若f （x ）≤m 2－2am +1，对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）任取－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2＜0.∵ba b f a f ++)()(＞0，∴2121)()(x x x f x f --+＞0.∴f （x 1）+f （－x 2）＜0.又∵f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）. ∴函数f （x ）在［－1，1］上是增函数.（2）∵函数f （x ）在［－1，1］上是增函数，由f （x +21）＜f （11-x ），得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤--≥+,1121,111,121x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<≥-≥.2311,12,23x x x x x 或或 ∴－23≤x ＜－1. （3）∵f （x ）≤m 2－2am +1，且对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立， ∴m 2－2am +1≥f （x ）max =f （1），得m 2－2am ≥0，当a ∈［－1，1］时恒成立. 令f （a ）=m 2－2am ，a ∈［－1，1］，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+=-≥+-=,02)1(,02)1(22m m f m m f得⎩⎨⎧-≤≥≤≥.20,02m m m m 或或∴m ≥2或m ≤－2或m =0.方法引导：本题是函数的一个综合题，注意对于函数单调性的证明应该用定义法，利用函数的单调性求出自变量之间的关系以及利用最值解决恒成立问题，这是对函数性质的一个综合把握.三、课堂练习（2课时的练习）课本P 51复习参考题A 组1，2，3，4，5，6，7，8，9. 答案：1.（1）A ={－3，3}；（2）B ={1，2}；（3）C ={1，2}. 2.（1）集合的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）集合的点组成以O 为圆心，3 cm 为半径的圆. 3.三角形的外心.4.a 的值为0，－1，1.5.A ∩B ={（0，0）}，A ∩C =∅，（A ∩B ）∪（B ∩C ）={（0，0），（53，－59}. 6.（1）{x |x ≤－2或x ≥2}. （2）{x |x ≥2}.（3）{x |x ≥4且x ≠5}.7.（1）f （a ）+1=a +12；（2）f （a +1）=－aa+2.8.证明：（1）f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211x x -+=f （x ）；（2）f （x 1）=22)1(1)1(1xx -+=1122-+x x =－2211x x -+=－f （x ）. 9.（1）图象略.（2）最大高度为1.08 m. 四、课堂小结1.集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容.2.运用集合与对应的语言进一步描述了函数概念.与初中的函数概念相比较，突出了函数概念的本质：两个数集间的一种确定的对应关系；明确了函数的三要素.3.函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种.4.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求.例如：事物的变化趋势、对称性、用料最省、利润最大、效率最高等，就要研究函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等.五、布置作业（2课时的作业）课本P52复习参考题A组10，11，12，13，14；B组2，3，4，5，6，7，8.板书设计第一章单元复习方法归类要点例题及分析过程课堂小结与布置作业。

高一数学必修一第一章知识点与习题讲解资料

必修 1 第一章会合与函数基础知识点整理第 1 讲§会合的含义与表示¤学习目标：经过实例，认识会合的含义，领会元素与会合的“属于” 关系；能选择自然语言、图形语言、会合语言（列举法或描绘法）描绘不一样的详细问题，感觉会合语言的意义和作用；掌握会合的表示方法、常用数集及其记法、会合元素的三个特点 .¤知识重点：1. 把一些元素构成的整体叫作会合（ set ），其元素拥有三个特点，即确立性、互异性、无序性 .2. 会合的表示方法有两种：列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用花括号“ { } ”括起来，基本形式为 { a 1 ,a 2 , a 3 , ,a n } ，合用于有限集或元素间存在规律的无穷集. 描绘法，即用会合所含元素的共同特点来表示，基本形式为 { x A | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要掌握其属性P( x) ，合用于无穷集 .3. 往常用大写拉丁字母A, B, C ,表示会合 .要记着一些常有数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与会合之间的关系是属于（ belong to ）与不属于（ not belong to ），分别用符号、表示，比如 3N ，2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描绘法表示以下会合：（ 1）由方程 x( x 22x 3) 0 的全部实数根构成的会合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（1）用描绘法表示为：{ x R | x( x 22 x 3)0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（ 2）用描绘法表示为： { xZ | 2x7} ；用列举法表示为{3,4,5,6} .【例 2】用适合的符号填空：已知 A { x | x 3k 2,k Z} ， B{ x | x 6m 1,mZ} ，则有：17A ；－ 5 A ； 17 B. 解：由 3k2 17 ，解得 k 5 Z ，所以 17 A ；由 3k 2 57Z ，所以 5A ；，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3Z ，所以 17 B .【例 3】试选择适合的方法表示以下会合：（教材 P 6 练习题 2， P 13 A 组题 4）（ 1）一次函数 y x 3 与 y 2 x 6 的图象的交点构成的会合；（ 2）二次函数 y x 2 4 的函数值构成的会合；（ 3）反比率函数 2y的自变量的值构成的会合 .x解：（1） {( x, y) |y x 3} {(1,4)} .y2 x6（ 2） { y | y x 2 4} { y | y4} .（ 3） { x| y2} { x | x 0} .x评论：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不可以把点的坐标混杂为 {1,4} ，也注意对照（ 2）与（ 3）中的两个会合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，剖析时必定要仔细.* 【例 4】已知会合 A{ a | x2 a 1有独一实数解 } ，试用列举法表示会合A ．x 2解：化方程x a 1为： x 2 x (a 2)0 ．应分以下三种状况：x 2 2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解为x2 1 ，合．综上可知， A{ 9, 2, 2} ．4. 注意分式方程易造成增根的现评论：运用分类议论思想方法，研究出根的状况，进而列举法表示象 .第 2 讲§ 会合间的基本关系¤学习目标：理解会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集；在详细情境中，认识全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达会合间的关系 .¤知识重点：1. 一般地，对于两个会合 A 、 B ，假如会合 A 中的随意一个元素都是会合 B 中的元素，则说两个会合有包含关系，此中会合 A 是会合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包括 A ”） . 2. 假如会合 A 是会合 B 的子集（ AB ），且会合 B 是会合 A 的子集（ B A ），即会合 A 与会合 B 的元素是相同的，所以会合 A 与会合 B 相等，记作 A B .3. 假如会合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称会合 A 是会合 B 的真子集（ proper subset ），记作A B （或 B A ） .4. 不含任何元素的会合叫作空集（ empty set ），记作，并规定空集是任何会合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 A C ；若 A BA ，则 AB ；若 AB A ，则 B A .¤例题精讲：【例 1】用适合的符号填空：（ 1） { 菱形 } { 平行四边形 } ； { 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（ 2）{ x R| 22 0；}{0} ；{0} ；N{0}.x解：（1），；（ 2） = ， ∈，， .【例 2】设会合A{ x | xn Z} , B { x | x n1Z } ，则以下图形能表示 A 与 B 关系的是（）., n, n22A B B AABABA ．B ．C ． 1 3D ． 1 1 3解：简单列举两个会合的一些元素，A{ ,3 1} ， B{ ,31,,0,,1, , ,2 ,, , } ，易知 BA ，故答案选 A ．22 2222 2另解：由 B{ x | 2n1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．x2 , n【例 3】若会合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，务实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0 x2或3 ，所以， M2, 3 .（ i ）若 a 0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a0 时，得 N { 1} . 若 N M ,知足 12或13 ，解得 a1或 a1 .a a a 23故所务实数a 的值为 0 或 1或1 .23评论：在观察“ A B ”这一关系时，不要忘掉“” ，因为 A 时存在 AB . 进而需要分状况讨论 . 题中议论的主线是依照待定的元素进行.【例 4】已知会合 A={ a,a+ b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，务实数 x 的值 .解：若a b axa+ax2-2ax=0,所以 a(x-1) 2 =0，即 a=0 或 x=1. a2b ax2当 a=0 时，会合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，会合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 22ax 2-ax-a=0. a2b ax因为 a≠ 0，所以 2x2 -x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x≠ 1，所以只有x 1 .2经查验，此时 A=B 建立 . 综上所述x 1 .2评论：抓住会合相等的定义，分状况进行议论. 融入方程组思想，联合元素的互异性确立会合.第 3 讲§会合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个会合的并集与交集的含义，会求两个简单会合的并集与交集；理解在给定会合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达会合的关系及运算，领会直观图示对理解抽象观点的作用 .¤知识重点：会合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解观点，并掌握符号等，再联合解题的训练，而达到掌握的层次 .下边以表格的形式概括三种基本运算以下.并集交集补集由全部属于会合 A 或属于集由属于会合 A 且属于会合 B对于会合 A,由全集 U 中不属于观点合 B 的元素所构成的会合，的元素所构成的会合，称为会合 A的全部元素构成的集称为集合 A与 B 的并集集合 A 与 B 的交集合，称为会合 A 相对于全集U （ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“A并B”）A B （读作“A交B”） e U A （读作“A的补集”）符号 A B { x | x A,或 x B} A B { x | x A,且 x B}e U A {x|,}x U且 x A图形U表示A¤例题精讲：【例1】设会合U R,A{ x |1x5}, B{ x | 3 x 9}, 求 A B,e U ( A B) .解：在数轴上表示出会合A、 B，如右图所示：BA B{ x | 3x5} ，AC U ( A B) { x | x1,或x 9} ，-1359x 【例2】设A{ x Z | | x |6} ， B1,2,3 ,C3,4,5,6 ，求：（ 1）A (B C ) ；（2） A e A (B C ) .解：A6, 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6 .（ 1）又B C 3 ，∴ A(B C ) 3 ；（ 2）又B C1,2,3,4,5,6，得 C A (B C)6,5,4,3,2,1,0.∴ A C A ( B C)6,5,4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知会合A{ x |2x4} ， B { x | x m} ，且 A B A ，务实数m的取值范围.解：由 A B A ，可得 A B .在数轴上表示会合 A 与会合 B，如右图所示：B A由图形可知， m 4 .-24m x评论：研究不等式所表示的会合问题，经常由会合之间的关系，获得各端点之间的关系，特别要注意能否含端点的问题 .【例 4】已知全集U{ x | x 10,且 x N * } ， A{2,4,5,8}， B{1,3,5,8} ，求 C U ( A B) ， C U ( A B) ，( C U A) (C U B) ， ( C U A)(C U B) ，并比较它们的关系.解：由 A B {1,2,3,4,5,8} ，则 C U ( A B){6,7,9}.由 A B{5,8} ，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{ 1,3,6,7,9}， C U B{2,4,6,7,9} ，则 ( C U A)(C U B){6,7,9} ，( C U A) (C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果能够知道，(C U A)(C U B)C U ( A B) ，( C U A) (C U B) C U ( A B) .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形能够直接察看出来结果.评论：可用 Venn 图研究(C U A(C U B C U(A B与(C U A) (C U B) C U ( A B)，在理解的基础记着)))此结论，有助于此后快速解决一些会合问题.第 4 讲§会合的基本运算（二）¤学习目标：掌握会合、交集、并集、补集的有关性质，运转性质解决一些简单的问题；掌握会合运算中的一些数学思想方法.¤知识重点：1. 含两个会合的Venn 图有四个地区，分别对应着这两个会合运算的结果. 我们需经过Venn 图理解和掌握各地区的会合运算表示，解决一类可用列举法表示的会合运算. 经过图形，我们还能够发现一些会合性质：C U( A B) (C U A)( C U B) , C U( A B)(C U A)(C U B).2. 会合元素个数公式：n( A B)n( A)n(B)n (A B) .3. 在研究会合问题时，经常用到分类议论思想、数形联合思想等.也常由新的定义观察创新思想.¤例题精讲：【例 1】设会合A4,2a1, a2, B9,a5,1 a ，若A B 9 ，务实数 a 的值.解：因为 A4,2a1, a2, B9,a5,1a ，且 A B9 ，则有：当2a 1＝9时，解得 a＝5 ，此时 A={ －4, 9, 25} ， B={9, 0, －4} ，不合题意，故舍去；当a2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－ 2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9,－8, 4} ，合题意.所以， a＝－ 3 .【例2】设会合 A { x | ( x 3)( x a) 0, a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14 B 组题 2）解： B{1,4} .当 a3时， A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a 1 时， A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a4时， A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1 且 a 4 时， A{3, a} ，则 A B{ 1,3,4, a} ， A B.评论：会合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分状况议论. 排列参数 a 的各样状况时，需依照会合的性质和影响运算结果的可能而进行剖析，不多许多是分类的原则.【例 3】设会合 A ={x | x2 4 x0}， B ={ x | x22( a1)x a 2 10 ， a R }，若A B=B，务实数 a 的值．解：先化简会合A= {4,0} .由A B=B ，则 B A，可知会合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i)若 B= ，则4( a 1)24(a 21) 0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0B，代入得a21=0 a =1或 a = 1 ，当 a =1时，B=A，切合题意；当 a =1时，B={0}A，也切合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a28a 7 0 a =7或 a =1，当a =1时，已经议论，切合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不切合题意．综上可得， a =1或 a ≤ 1 ．评论：本题观察分类议论的思想，以及会合间的关系的应用. 经过深刻理解会合表示法的变换，及会合之间的关系，能够把有关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别简单出现的错误是遗漏了A=B 和 B= 的情况，进而造成错误．这需要在解题过程中要全方向、多角度审视问题 .【例 4 】对集合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A, 且 x*，集合B} ，当集合 A { x | x 8, x N }B { x | x( x2)( x5)( x6)0} 时，有A B=. （由教材P12补集定义“会合 A 相对于全集U 的补集为CU A {|x,且 x} ”而拓展）x A解：依据题意可知，A{1,2,3,4,5,6,7,8} ， B{0,2,5,6}由定义 A B{ x | x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .评论：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思想的训练，重点是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中清除 B 的元素 . 假如再给定全集U ，则A B 也相当于 A (C U B).第 5 讲§函数的观点¤学习目标：经过丰富实例，进一步领会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学惯用会合与对应的语言来刻画函数，领会对应关系在刻画函数观点中的作用；认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识重点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，假如按某个确立的对应关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数x ，在会合B 中都有独一确立的数y 和它对应，那么就称 f ：A→B为从会合A到会合B的一个函数（function），记作y= f (x) ，x A ．此中，x叫自变量，x的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的会合 { f ( x) | x A} 叫值域（range）.2.设 a、 b 是两个实数，且 a<b，则： { x|a≤ x≤ b} ＝ [a,b]叫闭区间；{ x|a<x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a≤ x<b} ＝[ a, b)， { x|a< x≤ b} ＝(a, b]，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无量大” ；“－∞”读“负无量大”；“ +∞ ”读“正无量大”. 则{ x | x a} (a,) ， { x | x a}[ a,) ， { x | x b}(, b) ， { x | x b} (,b] ， R( ,) .3.决定函数的三个因素是定义域、值域和对应法例. 当且仅当函数定义域、对应法例分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求以下函数的定义域：（ 1）y1；（x3. x22）y1 3 x 1 2解：（1）由x210 ，解得 x 1 且 x 3 ，所以原函数定义域为(, 3)( 3,1) (1,) .x 30（ 2）由，解得x 3 且 x 9 ，3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求以下函数的定义域与值域：（ 1）y 解：（1）要使函数存心义，则5 4 x0 ，解得3x 2；（ 2）yx2x 2 .54xx55. 所以原函数的定义域是{ x | x} .443x 21 12x 81 3(4 x 5)23 3 233 3 ，所以值域为3 y5 4x4 5 4 x4{ y | y} .5 4 x 4 5 4 x 444（ 2） yx 2x 2(x1 )2 9 . 所以原函数的定义域是 R ，值域是 (, 9 ] .1 x 244【例 3】已知函数 x . 求：（ 1） f (2) 的值；（ 2） f ( x) 的表达式f ()解：（1）由1x 1 x1 ，所以 f (2)1 .2 ，解得 x1 x33（ 2）设1x t ，解得 x1 t，所以 f (t ) 1 t，即f (x)1 x . 1x1 t 1t1 x评论：本题解法中突出了换元法的思想.这种问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要联合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数x 2.f (x) 1 x2 ,xR（ 1）求 f (x)1f (1)f (2)f (3)f (4)1 f ( 1 1) . f ( ) 的值；（ 2）计算： f ( ) )f (x1234222解：（1）由 f (x) f ( 1)x 2xx11 x1 .x 1 x 211 x21 x 21 x 21x 2111 1 7（ 2）原式f (1) ( f (2)( f (3))) ( f (4)f ( ))f (f ( )) 32234 2评论：对规律的发现，能使我们实行巧算 . 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的重点 .第 6 讲 § 函数的表示法¤学习目标：在本质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数；经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用；认识映照的观点 .¤知识重点：1. 函数有三种表示方法：分析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，长处：简洁，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，长处：直观形象，反响变化趋向）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，长处：不需计算便可看出函数值） . 2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不一样范围的 x ，对应法例不一样） .3. 一般地，设 A 、 B 是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例f ，使对于会合 A 中的随意一个元素 x ，在会合 B 中都有独一确立的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照（ mapping ）．记作“ f : AB ” .鉴别一个对应能否映照的重点： A 中随意， B 中独一；对应法例f.¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，而后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是 _____ ，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a － 2x)2 .又由 a －2 xa0 ，解得 x.2a} .所以，体积V 以 x 为自变量的函数式是V x( a －2 x) 2 ，定义域为 { x | 0 x23x32x2x( , 1 )【例 2】已知 f(x)=x( 1 , ，求 f[f(0)] 的值 .3x 3)x解：∵ 0 (,1) ， ∴ f(0)=32 .又 ∵32 >1，∴ f( 32 )=(3 2 )3+(3 2 )-3=2+1=5，即f[f(0)]=5 . 222【例 3】画出以下函数的图象：（ 1）y | x 2 |；（教材P26练习题3）（ 2）y | x 1| | 2 x 4 |.解：（ 1）由绝对值的观点，有y| xx2,x2 2 |x,x.22所以，函数y | x 2 | 的图象如右图所示.3x 3, x1（ 2）y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2x 1，3 x 3, x2所以，函数 y | x 1|| 2x 4 | 的图象如右图所示.评论：含有绝对值的函数式，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，而后依据定义域的分段状况，选择相应的分析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超出x 的最大整数，比如[ 3.5] 4 ，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的分析式，并作出函数的图象.3,x22,2x11,1x0解： f ( x) 0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3评论：解题重点是理解符号m 的观点，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§函数的单一性¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 .理解增区间、减区间等观点，掌握增（减）函数的证明和鉴别.¤知识重点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为 I，假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的随意两个自变量x1，x2，当 x1< x2时，都有 f(x1)< f(x2 )，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 模仿增函数的定义可定义减函数 .2.假如函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D 叫 f(x)的单一区间 . 在单一区间上，增函数的图象是从左向右是上涨的（如右图1），减函数的图象从左向右是降落的（如右图 2） . 由此，能够直观察看函数图象上涨与降落的变化趋向，获得函数的单一区间及单一性.3. 判断单一性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且 x 1 <x 2；→计算 f(x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：2x 【例 1】试用函数单一性的定义判断函数 f (x)x 1解：任取 x1 , x2∈(0,1)，且 x1x2.则 f ( x1) f ( x2 )因为 0 x1x2 1 ， x1 1 0 ， x2 1 0 ， x2 x1所以，函数 f (x)2x在（0， 1）上是减函数 .x 1在区间（ 0， 1）上的单一性.2 x12x22( x2x1 )x1.1 x2 1 ( x1 1)(x2 1)0 ，故 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f (x2 ) .【例 2】求二次函数 f (x) ax2bx c (a 0) 的单一区间及单一性.解：设随意 x 1 , x 2R ，且 x 1 x 2 . 则f ( x ) f ( x )( ax 2 bx c) (ax 2 bx 2 c) a( x 2 x 2 ) b( x1211 2 12 1若 a0 ，当 x 1 x 2b时，有 x 1 x 2 0 ， x 1 x 2 b，即 a( x 12aa即 f ( x 1 ) f (x 2 ) ，所以 f (x) 在 (, b ] 上单一递加 . 同理可得f (x) 在 [【例 3】求以下函数的单一区间： 2a（ 1） y | x 1|| 2 x 4 |；（ 2） y x 2 2 | x | 3.3x3, x 1解：（ 1） y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，其图象如右 .x 2 ) ( x 1 x 2 )[ a(x 1 x 2 ) b] .x 2 ) b 0 ，进而 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0 ，b ) 上单一递减 .,2a3x3, x2由图可知，函数在 [ 2,) 上是增函数，在 ( , 2] 上是减函数 .2 2 x 3, x 0（ 2） y22| x |3xx22 x 3, x ，其图象如右 .x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .评论：函数式中含有绝对值，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也能够由偶函数的对称性，先作y 轴右边的图象，并把y 轴右边的图象对折到左边，获得f (| x |) 的图象 . 由图象研究单一性，重点在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x1，指出 f ( x) 的单一区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ， x 2 x 2 ∴ 把g (x) 5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，x获得 f ( x) 的图象，以下图 .由图象得 f (x) 在 (, 2) 单一递加，在 ( 2, ) 上单一递加 .评论：变形后联合平移知识，由平移变换获得一类分式函数的图象. 需知 f ( x a ) b 平移变换规律 .第 8 讲 § 函数最大（小）值¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单一性求函数的最大（小）值 .¤知识重点： 1.定义最大值：设函数y f ( x) 的定义域为I ，假如存在实数 M 知足：对于随意的 ∈ ，都有 f (x) ≤ M ；x I存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最大值（ Maximum Value ）. 模仿最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value ）的定义 .2. 配方法：研究二次函数y ax 2 bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成 y a( xb ) 2 4ac b 2 后，b 24ac b 22a 4a当 a0 时，函数取最小值为4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单一法：一些函数的单一性，比较简单察看出来，或许能够先证明出函数的单一性，再利用函数的单一性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，而后察看图象获得函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例 1】求函数 y 26的最大值 .x x 1解：配方为 y6 ，由 (x1 )23 3 ，得 0 68 .11( x2 324 4 ( x 23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人假如将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每日可售出100 件 . 此刻他采纳提升售出价，减少进货量的方法增添收益，已知这种商品每件抬价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每日所赚得的收益最大？并求出最大收益 .解：设他将售出价定为 x 元，则提升了 (x 10) 元，减少了 10 ( x 10) 件，所赚得的收益为y (x 8) [100 10 (x10)] .即 y2280x 160010( x2360 . 当 x 14 时， y max360 .10x14) 所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每日所赚得的收益最大 , 最大收益为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx1 的最小值 .解：此函数的定义域为 1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1 时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为2.评论：形如 y axbcx d 的函数最大值或最小值，能够用单一性法研究，也能够用换元法研究 .【另解】令x 1t ，则 t0 ， x t 21 ，所以 y 2t2t2 2(t 1 ) 2 15 ，4 8 在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为2.【例 4】求以下函数的最大值和最小值：（1） y 3 2x x 2, x [5 , 3] ；（2） y | x 1| | x 2 | .2 2解：（ 1）二次函数 y3 2x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a3画出函数的图象，由图可知，当x 1 时， y max 4 ；当 x9 .时， y min24所以函数 y3 2xx 2 , x[ 5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为 9 .2 2 43 ( x 2) （2） y | x 1| | x 2 |2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.评论：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常依据闭区间与对称轴的关系，联合图象进行剖析. 含绝对值的函数，常分零点议论去绝对值，转变为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲 § 函数的奇偶性¤学习目标：联合详细函数，认识奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟鉴别函数的奇偶性 .¤知识重点：1. 定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的随意一个x ，都有 f ( x)f ( x) ，那么函数 f ( x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有 f (x)f (x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 拥有奇偶性的函数其定义域对于原点对称，奇函数的图象对于原点中心对称，偶函数图象对于y 轴轴对称 .3. 鉴别方法：先观察定义域能否对于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等鉴别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲：【例 1】鉴别以下函数的奇偶性：（ 1） f (x) x31 ；（ 2） f (x) | x 1| 23| x 1| ；（ 3） f ( x) xx .x解：（1）原函数定义域为 { x | x0} ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x)( 3131f ( x) ，所认为奇函数 .x)x(x )x（ 2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 || x 1 | x| 1 |x| 1f |，x 所认为偶函数 .（ 3）因为 f ( x) x 2 x 3 f ( x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，且 f (x)g (x)1 ，求 f ( x) 、 g (x) . 1f ( x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，x解：∵∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g (x)1f (x)g (x)1x 1x1则，即.11f ( x)g ( x)f ( x)g (x)1x 1x两式相减，解得 f (x)x ；两式相加，解得g (x)1x21x2.21【例 3】已知 f ( x) 是偶函数， x 0 时， f ( x)4 x ，求 x 0 时 f (x) 的分析式 .2x 解：作出函数 y2 x 24 x2( x1)2 2, x0 的图象，其极点为(1,2) .∵ f (x) 是偶函数， ∴ 其图象对于 y 轴对称 .作出 x 0 时的图象，其极点为 ( 1,2) ，且与右边形状一致，∴ x0 时， f (x)2( x 1)2 22 x 24 x .评论：本题中的函数本质就是y2x 24 | x | . 注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也能够直接由函数奇偶性的定义来求，过程以下.【另解】当 x0 时，x 0 ，又因为 f ( x) 是偶函数，则f ( x)f ( x) ，所以，当 x 0 时， f ( x) f ( x)2( 24( x) 2x) 2 x 4x . 【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 ( ,0) 上是减函数，实数a 知足不等式2 a 3) f (3a2，务实数 a 的取值范围 .f (3a2a)解：∵ f ( x) 在区间 ( ,0) 上是减函数， ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左边递减 .又 ∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象对于原点中心对称，则在 y 轴右边相同递减 .又 f ( 0)f (0) ，解得 f (0) 0 ，所以 f ( x) 的图象在 R 上递减 .∵ f (3a 2 a 3) f (3a 22a ) ，∴ 3a 2 a 3 3a 2 2a ，解得 a 1 .评论：定义在 R 上的奇函数的图象必定经过原点.由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.会合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求 )1．函数 y ＝＝ x 2－6x ＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A ．递减函数B ．递加函数C ．先递减再递加D ．选递加再递减．x y 22．方程组 {xy 0的解构成的会合是（）A ． {( 1,1)}B ． {1,1}C ．（ 1， 1）D ． {1}3．已知会合A={ a， b， c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d} 4．以下图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．以下表述正确的选项是（）A.{ 0}B.{ 0}C.{ 0}D.{ 0}6、设会合 A＝{x|x参加自由泳的运动员} ， B＝ {x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为()A.A ∩B B C.A ∪ B B7.会合 A={x x 2k, k Z },B={x x2k 1, k Z },C={ x x4k 1,k Z }又a A,b B, 则有（）A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（）＝－2＋ 2（a－1）x＋ 2 在（－∞， 4）上是增函数，则a的范围是（）x x a a aaA．≥ 5B．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.知足条件 {1,2,3}M{1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C.6 D.510.全集 U = {1，2 ，3 ，4，5 ，6 ，7，8 }， A= {3，4 ，5 }， B= {1，3，6 }，那么会合 { 2 ，7 ，8} 是（）A. A BB. A BC. C U A C U BD. C U A C U B11.以下函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 假如会合 A={ x|ax 2＋ 2 x＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（）A ． 0B ． 0 或 1C．1D．不可以确立二、填空题 (共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上)13．函数f（x）＝ 2× 2－3｜x｜的单一减区间是 ___________．14．函数y＝1的单一区间为 ___________．x＋1{ a,b,1} ，又可表示成{ a2, a b,0}，则 a 200315.含有三个实数的会合既可表示成b2004.a， C U N{ x | 0x2} 那么集合16. 已知集合U{ x |3x3} ， M{ x |1x 1}N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知会合 A { x x240} ，会合 B{ x ax20} ，若 B A ，务实数 a 的取值会合．18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝ 1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞ 1．19. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时， f （ x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f ( x)x22(m 1) x2m m2的图象对于 y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f ( x) 的单一递加区间.必修 1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13 ［ 0，3］，（－∞，－ 3 ）4414 （－∞，－ 1），（－ 1 ，＋∞） 15-116 N { x | 3x 0 或 2 x3} ；M (C U N ) { x | 0 x 1} ；M N { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解：由条件可得 f （ x ）＋ f （ x －2）＝ f ［ x （ x － 2）］， 1＝ f （ 3）．f x x ff （ xR 上的增函数，所以有x xx所以［（－ 2）］＞（ 3），又）是定义在（－ 2）＞ 3，可解得＞ 3或 x ＜－ 1．答案： x ＞ 3 或 x ＜－ 1．19. ．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （ x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ -1 ．当 x ＜ 0 时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－ 1＝－ x 3＋ 2x 2－1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．20. 二次函数 f (x)x 22(m 1) x 2m m 2 的图象对于 y 轴对称，∴ m1，则xx 21f (x),0，函数的单一递加区间为.( )．。

高一数学必修一第1章集合章末复习课

题型一集合间的基本关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集，再进行相关的运算，以免混淆集合中元素的属性．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．应明确：元素与集合的关系是“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．例1 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解由题意得，P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a＝2，即a ＝13，或a ＝－12. 故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 跟踪训练1 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.答案 4解析由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.题型二集合的交、并、补运算集合与集合之间的交集、并集和补集有如下性质：(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(B ∪C )＝(A ∩B )∪(A ∩C )．(4)A ∪(B ∩C )＝(A ∪B )∩(A ∪C )．(5)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U .(6)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(7)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．(其中集合A 与集合B 为全集U 的子集)．例2 设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．(1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，2a ≤－1，∴⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤－12.∴a ＝2或a ≤－12. 故a 的取值范围是{a |a ≤－12}∪{2}． (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，有三种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1，得a ≤－3； ②⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4，得a ＝2； ③B ＝∅，得2a >a ＋2，a >2.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．跟踪训练2 已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(∁U B )＝________.答案 {3,6}解析 ∵U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{0,2,3,6}，又∵A ＝{1,3,6}，∴A ∩(∁U B )＝{3,6}．题型三数形结合思想的应用集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．例3 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围．(2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <0或x >2}．∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．跟踪训练3 若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.答案 {x |0<x <1}解析在数轴上表示出集合A ，如图所示．则∁U A ＝{x |0<x <1}．题型四转化与化归思想的应用转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种情况转化为另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．例已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋1＝0}，在下列条件下分别求实数m 的取值范围．(1)A ＝∅；(2)A 恰有两个子集；(3)A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅.解 (1)若A ＝∅，则关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0没有实数解，所以m ≠0，且Δ＝4－4m <0，所以m >1.(2)若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0恰有一个实数解，讨论：①当m ＝0时，x ＝12，满足题意； ②当m ≠0时，Δ＝4－4m ＝0，所以m ＝1.综上所述，m 的集合为{0,1}．(3)若A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅，则关于x 的方程mx 2＝2x －1在区间⎝⎛⎭⎫12，2内有解，这等价于当x ∈⎝⎛⎭⎫12，2时，求m ＝2x －1x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1x －12的值域，所以m ∈(0,1]．跟踪训练4 已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，是否存在实数a ，使得集合A ，B 同时满足下列三个条件：①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅(A ∩B )？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由．解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由A ∪B ＝B ⇒A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，又∅(A ∩B )，即∅A ⇒A ≠∅，而A ≠B ，所以A ＝{2}(经验证A ≠{3})．所以方程x 2－ax ＋a 2－12＝0有两个相等的实根2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a 2×2＝a 2－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a 2＝16⇒a ＝4，此时A ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}符合题意，故存在实数a ＝4同时满足题设中的三个条件．。

高中数学北师大必修一第一章《集合》复习课件

2018/9/21
典例分析
例1．已知A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．
解析：若 a＋ 2＝ 3，得 a＝ 1. ∵ a＝ 1 时， 2a2＋ a＝ 3＝ a＋ 2， ∴ a＝ 1 时不合题意．若 2a2＋ a＝ 3， 3 解得 a＝1 或 a＝－ . 2 由上面知 a＝ 1 不合题意， 3 1 a＝－时， A＝ { ， 3}， 2 2 3 综上，符合题意的 a 的值为－ . 2
2018/9/21
a<－8 ∴ 1 a≤－ 2
，∴a<－8；7 分
1 1 －a≥－2 当 a>0 时，若 A⊆B，则 4≤2 a
a≥2 ∴ a≥2
，
，∴a≥2.
综上知，当 A⊆B 时，a<－8 或 a≥2.9 分
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(2)当 a＝0 时，显然 B⊆A； 1 4 a≤－2 当 a<0 时，若 B ⊆ A ，则－1>2 a a≥－8 ∴ ， 1 a>－ 2 1 ∴－ <a<0；11 分 2 1 1 －a≤－2，当 a>0 时，若 B⊆A，则 4≥2， a
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，
a≤2 ∴ a≤2
，∴0<a≤2.
1 综上知，当 B⊆A 时，－ <a≤2.13 分 2 (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B，由(1)、(2)知，此时 a＝2.15 分
2018/9/21
2018/9/21
答案：D
6．(高考真题)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}， (∁UB)∩A＝{9}，则A＝( A．{1,3} C．{3,5,9} ) B．{3,7,9} D．{3,9}

高一数学-第一章复习课(1) 精品

【课题】第一章复习课(1)【教学目标】1、理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；2、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．【教学重点】1、有关集合的基本概念;2、逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件【教学难点】1、有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系;2、对一些代数命题真假的判断.【教学过程】一、系统小结本章内容1、学习本章内容的意义：它是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.2、集合的初步知识⑴集合的基本概念①集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.②集合的分类：有限集与无限集.③集合的表示法：列举法、描述法和图示法.④常见数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）等.⑵集合与集合的关系①子集与真子集：对于集合A，B，若A的任何一个元素都是B的元素，就说集合B 包含集合A，记作A B，此时也说集合A是集合B的子集.对于集合A与B，若A⊆B且B⊆A，则A=B.若A⊆B且A≠B，就说A是B的真子集，记作AÜB.②补集与全集：若A⊆S，则A在S中的补集C S A={x|x∈S，且x∉A}；若一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，则这个集合就可以看做一个全集，全集通常用U表示.③交集与并集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}；A∪B={x|x∈A,或x∈B}.3、不等式的解法①含绝对值的不等式：|x|<a(a>0) ⇔－a<x<a|x|>a(a>0) ⇔x<－a，或x>a.②一元二次不等式：ax2+b x+c>0(a>0)的解集如下表：4、简易逻辑⑴逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.五、四种命题及其关系：六、充分条件与必要条件：若已知p⇒q，则说p是q的充分条件；q是p的必要条件.充要条件：若已知p⇔q，则说p是q的充要条件.二、学习要求及要注意的问题1、学习要求⑴理解：集合、子集、交集、并集、补集的概念；逻辑联结词的含义；四种命题及其相互关系.⑵了解：空集和全集的意义；属于、包含、相等关系的意义；⑶掌握：简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法；充要条件.2、需要注意的问题⑴集合与集合的元素是两个不定义的概念，课本是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

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