2020版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第56讲二项式定理学案202005072114

第56讲二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝__C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N)__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)在二项展开式中第k 项为C k n a n －k b k.( × )(2)通项C k n an －k b k中的a 和b 不能互换．( √ )(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (4)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(5)(a ＋b )n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同．( √ )解析 (1)错误．在二项展开式中第k ＋1项为C k n a n －k b k，而第k 项应为C k －1n an －k ＋1b k －1. (2)正确．通项C k n an －k b k中的a 与b 如果互换，则它将成为(b ＋a )n 的第k ＋1项．(3)错误．由二项展开式中某项的系数的定义知；二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项．(4)正确．因为二项式(a ＋b )n的展开式中第k ＋1项的二项式系数为C kn ，显然它与a ，b 无关．(5)正确．因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数．2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x ＝( B )A ．17 B ．－17C ．7D ．－7解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式中T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，所以x ＝－17.3．化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n 的值为__22n －1__.解析 因为C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n2n ＝22n， 所以C 12n＋C 32n＋…＋C2n －12n＝22n2＝22n －1. 4.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为__40__.解析 T r ＋1＝C r5·(x 2)5－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40.5．(2017·山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝__4__. 解析 由题意可知C 2n 32＝54，∴C 2n ＝6，解得n ＝4.一 二项展开式中的特定项或系数问题(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可． (2)已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．【例1】 (1)(2018·广东惠州模拟)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( A )A ．10B ．－10C ．－5D ．20(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有__3__项． 解析 (1)T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r·(－x －1)r ＝C r 5(－1)r ·x10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以含x 4项的系数为C 25(－1)2＝10，故选A ．(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项．二 多项展开式中的特定项或系数问题(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【例2】 (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( D )A ．32B ．34C ．36D ．38(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( C ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80(3)(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( C )A ．15B ．20C ．30D ．35解析 (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m，令12－4m＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.(2)当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3；当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.(3)(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．三 二项式系数的和与性质赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例3】 (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( B )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝__0__. 解析 (1)由题意得：a ＝C m2m ，b ＝C m2m ＋1，所以13C m2m ＝7C m2m ＋1， ∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，选B ． (2)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1；令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.四 二项式定理的应用(1)整除问题的解题思路：利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．(2)求近似值的基本方法：利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx . 【例4】 (1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整数，则a ＝( D )A ．0B ．1C ．11D ．12(2)1.028的近似值是__1.172__.(精确到小数点后三位) 解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除，且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.1．(2018·河南商丘检测)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( D )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析 展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.2．(2018·安徽安庆二模)将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是__－160__.解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k. 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.3．(2018·广东广州综合测试)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(2x 3)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n ·2n －r ·(－1)r ·x 3n －4r， 依题意，有3n －4×6＝0，得n ＝8.4．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝__(n ＋1)·2n__. 解析 设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C nn ， ∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n， ∴S ＝(n ＋1)·2n .易错点 不能灵活使用公式及其变形错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误． 【例1】 求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3＋3x －1x 25展开式中常数项．解析 x －3＋3x －1x 2＝x 3－3x 2＋3x －1x 2＝(x －1)3x2， ∴原式＝1x10(x －1)15，则常数项为C 515(－1)5＝－3 003.【例2】 求9192被100除所得的余数．解析 (90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【跟踪训练1】 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( C )A ．10B ．20C ．30D ．60解析 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.课时达标 第56讲[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( A )A ．180B ．90C ．45D ．360解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52 k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.2．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( B )A ．16B ．10C ．4D ．2解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)kx4n －5k2 ，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，依据选项知n 可取10. 3.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛-2a x 2d x 的值为( B ) A ．3 B ．73 C ．3或73D ．3或－103解析 该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎠⎛-2a x 2d x ＝⎠⎛－2－1x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73.4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( D ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180解析 ∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22·(－1)8＝180，故选D ．5．若(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( D )解析 (3y ＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r 2 y 5-r3 ，则T 3＝C 25xy ＝10，即xy ＝1，由题意知x ≥0，故D 选项的图象符合．6．在(2x ＋x lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x ＝( C )A ．1B ．110C ．1或110D ．－1解析 二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T 5＝C 48(2x )4·(xlg x )4＝1 120，∴x4(1＋lg x )＝1，两边取对数可知lg 2x ＋lg x ＝0，得lg x ＝0或lg x ＝－1，故x ＝1或x ＝110.二、填空题7．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝__16__，a 5＝__4__.解析 由题意知a 4为展开式含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，含x 3项的系数是__10__(用数字填写答案)．解析 由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r＝25－r C r 5x 5－r2 ，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.9．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.解析 对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2rx n -r2 －r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解析 (1)依题意知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n -2r 3 ，又第6项为常数项，则当r ＝5时，n －2r3＝0，即n －103＝0，解得n ＝10.(2)由(1)得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r10x 10-2r3 ，令10－2r 3＝2，解得r ＝2，故含x 2的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.(3)若T r ＋1为有理项，则有10－2r3∈Z ，且0≤r ≤10，r ∈Z ，故r ＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2＝454x 2， T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2＝45256x －2. 11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，求：(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，∴9.4≤k ≤10.4，∵k ∈N ，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。